set and function higher math

$n(B)=x+2x+8$

$n(A\cup B)=3x+x+2x+8$

$n(A\cap B')=3x

$a$ দেওয়া আছে, $n(A)=n(B)$

বা, $4x=3x+8$

$\therefore$  $x=8$   $(ans)$

$(b)$ আমরা জানি, $n(A\cup B)$=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$

$=3x+x+x+2x+8-x$

$=6x+8=6\times8+8$ $[\because x=8]$

$=56(ans)$

এবং $n(A\cap B')=n(A)-n(A\cap B)$ [ভেনচিত্র থেকে ]

$=3x+x-x=3x3\times 8 [$\because]$

$=24(ans)$

[নোট : ভেনচিত্রে ${3x,x,2x+8}$ দ্বারা A ও B সেটের উপাদান নয় বরং উপাদান সংখ্যা বুঝানো হয়েছে ।]

৭. যদি $ U={x:x}$ জোড় পূর্ণ সংখ্যা }, $A={x:x \ge 5}\subset U$ এবং $B={x:x <12}\subset U$ তবে $n{A\cap B}$ এবং $n(A')$ এর মান নির্ণয় কর ।

সমাধান : দেওয়া আছে, $ U=${$x:x$ ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা }

$\therefore U=\{1,2,3,4,5,6,7,...............\}$

$A=\{x;x \ge 5\}$ 

$\therefore A=\{5,6,7,8,9,10,11,.............\}$

এবং $B=\{x:x < 12\}$ 

$\therefore B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,\}$

এখন, $A\cap B=\{5,6,7,8,9,10,...\}\cap \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,\}$

$=\{5,6,7,8,9,10,11\}$

$\therefore n(A\cup B) =7 (ans)$

এবং $A'=U-A$

$=\{1,2,3,4,5,6,7,.........\}-\{5,6,7,8,9,10,11,.....\}$

$=\{1,2,3,4,\}$

$\therefore n(A')=4(ans)$

৮. যদি $U=\{x;x $  জোর পূর্ণসংখ্যা },$A=\{x;3x\le 26\}$ $\subset U$ এবং নির্ণয় কর ।

সমাধান : দেওয়া আছে, $U=\{x;x$ জোর সংখ্যা}

$\therefore U=\{...........,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,.......\}$

$A=\{x;3x\le25\}$

$\therefore A=\{10,12,14,16,18,........\}$

এবং $B=\{x;5x<12\}$

$\therefore B=\{...........,-8,-6,-4,-2,0,2\}$

$\therefore A\cap B=\{10,12,14,16,18,.....\}$ $\cap\{.....,-8,-6,-4,-2,0,2\}$

$=\{ \}

$\therefore n(A\cap B)=0(Ans.)$

আবার, $A'=U-A$

$=\{......,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,......\}$

$-\{10,12,14,16,18......\}$

$=\{.........,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,\}$

এবং $B'=U-B$

$=\{.........,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,.....\}$

$-\{..........,-8,-6,-4,-2,0,2,\}$

$=\{4,6,8........\}$

$\therefore A'\cap B'=\{.........,-8-6-4,\}$

$\{-2,0,2,4,6,8,\}$ $\cap\{4,.6,8,.......\}$

$=\{4,6,8,\}$

$\therefore n(A' \cap B')=3(Ans)$

৯. দেওয়া আছে যে, (ক) $A\setminus A= \phi$ (খ) $A \setminus(A\setminus A)=A$

সমাধান :

(ক) মনে করি, $x \in A \setminus A$

তাহলে,$x \in A$ এবং $x \not\in A$

বা, $x \in \phi$

$\therefore A\setminus A  \phi$

আবার, মনে করি, $x \in \phi$

তাহলে, $x \in A$ এবং $x \not\in A$

বা, $x \in A\setminus A$

$\therefore $ $\phi$  $\subset $ $ A \setminus$ A$

সুতরাং $A \setminus A=\phi $(দেখানো হলো)

(খ) মনে করি, $x \in A \setminus (A \setminus A)$

তাহলে, $x \in A$ এবং $x\notin (A \setminus A)$

বা, $x \in A$ এবং $x \notin \phi [\because A \setminus A=\phi]$

বা, $x \in A $

$\therefore A \setminus (A \setminus A) \subset A$

আবার, মনে করি, $x \in A$

তাহলে, $x \in A$ এবং $ x \notin$ $\phi$

বা, $x \in A$ এবং $ x \notin (A \setminus A)$

বা, $ x \in A \setminus (A \setminus A)$

$\therefore A \subset A \setminus (A \setminus A)$

সুতরাং $A \setminus(A \setminus A)=A$ (দেখানো হলো)

১০. দেখাও যে, $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$

সমাধান: কর্তেসীয় গুণজ সেটের সংজ্ঞানুসারে,

$A\times(B\cup C)=\{(x,y) : x\in A, y\in (B\cup C)\}$

$=\{($x,y$) : x\in A, y\in B$ অথবা $y\in C\}$

$=\{(x,y):(x \in A, y \in B)$ অথবা $(x\in A, y\in C)\}$

$=\{(x,y):(x,y)\in (A\times B)$ অথবা $(x,y)\in (A \times)\}$

$=\{(x,y):(x,y)\in (A \times B)\cup (A \times C)\}$

$=(A \times B)\cup (a \times C)$

$\therefore A\times(B\cup C) \subset(A\times B)\cup (A\times C)$

আবার, $(A\times B) \cup (A\times C)=\{(x,y):(x,y)\in (A\times B)$

অথবা,$(x,y)\in (A\times C)\}$

$=\{(x,y):(x\in A,y \in B)$ অথবা $(x\in A,y\in C)\}$

$=\{(x,y):(x,y)\in A,y\in (B\cup C)\}$

$=\{(x,y) :(x,y) \in A\times (B\cup C)\}$

$\therefore (A\times B)\cup (A\times C)\subset A\times (B\cup C)\}$

$\therefore A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$ (দেখানো হলো)

১১. যদি $ A \subset B$ এবং $C \subset D$ হয়, তবে দেখাও যে,$(A\times C) \subset (B\times D)$

সমাধান: মনে করি , $(x,y)\in  A\times C$

তাহলে $x \in A$ এবং $y \in C$

বা, $x \in B$ এবং $y \in D   [\because A\subset B$ এবং $C \subset D]$

বা, $(x,y)\in B\times D$

$\therefore (A\times C) \subset (B\times D)$ (দেখানু হলো ) 

১২. দেখাও যে, $A=\{1,2,3,.......n\}$ এবং $B=\{1,2,2^2,.............,2^{n-1}\}$ সেট দুইটি সমতুল । 

সমাধান : দেওয়া আছে, $A=\{1,2,3,...........n\}$

এবং $B=\{1,2,2^2,..........,2^{2-1}\}$

$A$ ও $B$ এর মধ্যে একটি এক- এক  মিল নিচের চিত্রে দেখানো হলো: 

আমরা জানি, যেকোনো দুইটি সেটের মধ্যে যদি একটি -এক মিল বর্ণনা করা যায় , তবে ।ঐ সেট দুটি সমতুল ।

সংতরাং $A$ ও $B$ সেট দুটি সমতুল । (দেখানো হলো )

১৩.দেখাও যে, স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সেট $S=\{1,4,9,16,25,36,............\}$ একটি অনন্ত সেট ।

সমাধান : দেওয়া আছে, স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সেট $S=\{1,4,9,16,25,36,.............\}$

$=\{1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2..................n^2............\}$

এখন স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $N=\{1,2,3,........n........\}$

$N$ ও $S$ এর মধ্যে একটি-এক মিল নিচে দেখানো হলো :

সুতরাং $N$ ও $S$ সমতুল । যেহেতু স্বাভাবিক সংখ্যার সেট , $N$ একটি অনন্ত সেট । সুতরাং আমরা বলতে পারি ,$S$ একটি অনন্ত সেট (দেখানো হলো ) 

১৪. প্রমান কর যে ,$n(A)=P,n(B)=q$ এবং $(A\cap B)=\phi $ হলে ,$n (A\cup B)=p+q $ ।

সমাধান:  আমরা জানি, $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$

$=p+q-n(\phi)$ [মান বসিয়র ]

$=p+q-0$

$=p+q$ (প্রমানিত ) 

১৫. প্রমান কর যে. $A,$ $B,$ $C,$ সান্ত সেট হলে, 

 $n(A\cup B \cup C)=n(A) +n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C \cap A) +n(A\cap B\cap C )$ ।

সমাধান : বাম পক্ষ $=n(A\cup B \cup C)$

$=\{(A\cup B)\cup C\}$

$=n(A\cup B) +n (C) -n\{(A\cup B)\cap C\}$

$[ \therefore n(A \cup B )=(A) +n (B) -n(A  \cap B) ]$

$=n(A) +n (B) -n(A\cap B) +n (C)$

$-n\{(A\cap C) \cup (B\cap C)\}$

$=n(A)+n(B) +n(C)-n(A\cap B)-(C)$

$+(B\cap C )-n(A\cap B\cap C)\}$

$=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)$

$-n(B\cap C) +n (A\cap B\cap C)$

$=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)$

$-n(C\cap A) +n(A\cap B\cap C)$

$=$ ডানপক্ষ (প্রামানিত)

১৬.যদি $A=\{a,b,x\}$ এবং $B=\{c,y\},$সার্বিক সেট $U=\{a,b,c,x,y,z\}$ এর উপসেট হলে, যাচাই কর যে,

$(a) (i) A \subset B' (ii) A\cup B'=B',(iii) A'\cap B=B$

$(b)$ নির্ণয় কর : $(a) (i)$ দেওয়া আছে, $A=\{a,b,x\},B=\{c,y\}$

এবং $U=\{a,b,c,x,y,z,\}$

$\therefore B'=U-B$

$=\{a,b,c,x,y,z\}-\{c,y\}$

$=\{a,b,x,z,\}$

$(ii) A'=U-A$

$=\{a,b,c,x,y,z\}-\{a,b,x\}=\{c,y,z,\}$

এখন, $A'\cap B=\{c,y,z\}\cap \{c.y\}=\{c,y\}=B$

$\therefore A' \cap B=B$ (যাচাই করা হলো ) 

$(b)$ দেখাও আছে, $A=\{a,b,x\}; B=\{c,y\}$

এবং $U=\{a,b,c,x,y,z\} $

$(a) i$ হইতে $B'=\{a,b,x,z\}$

$(A\cap B)=\{a,b,x\}\cap \{c,y\}=\emptyset$

এবং $A \cap B;=\{a,b,x\}\cap \{a,b,x,z,\}=\{a,b,x\}$

$\therefore (A\cap B) \cup (A \cap B')=\emptyset \cup \{a,b,x\} (Ans.)$

১৭. কোনো শ্রেণির $30$ জন শাক্ষাথীর মধ্যে $19$ জন অর্থণীতি, $17$ জন ভূগোণলে, $11$ জন পৌরনীতি, $12$ জন অর্থনীতি ও ভূগোল , $4$ জন পৌরনীতি ও ভূগোল, $7$ জন অর্থনীতি ও পৌরনীতি এবং $5$ জন তিনটি বিষয়ই নিয়েছে। কতজন শিক্ষার্থী তিনটি বিষয়ের কোনটিই নেয়নি ?

[$5$ জন তিনটি বিষয়েই নিয়েছে এর স্থলে $4$ জন তিনটি বিষয় নিয়েছে হবে ]

সমাধান : মনে করি , ।ঐ শ্রেণির সকল শিক্ষার্থীর সেট $U$, যেসব ছাত্র অর্থনীতি নিয়েছে তাদের সেট $G$ এবং যারা  পৌরনীতি নিয়েছে তাদের সেট $C$ ।

তাহলে, প্রশ্নানুসারে, $n(U)=30,n(E)=19,n(G)=17n,(C)=11,n(E\cap G)n,(C\cap G)=4,n(E\cap C)=7$ এবং $n(E\cap G \cap C)=4$

তিনটি বিষয়ের কোনটিই নেয়নি এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা 

$=n(U)-n(E\cup G\cup C)$

এখন, $n(E\cup G \cup C)=n(E)+n(G)n(C)-n(E\cap G)$

$-n(E\cap C)-n(C\cap G)+n(E\cap G \cap C)$

$=19+17+11-12-7-4+4$

$=47-19=28$

$\therefore$ তিনটি বিষয়ের কোনোটিই নেয়নি এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা 

$=n(U)-n(E\cup G\cup C)=30-28=2$

সুতরাং $2$ জন শিক্ষার্থী তিনটি বিষয়ের কোনটিই নেয়নি । $(Ans.)$

১৮. ভেনচিত্র সার্বিক সেট $U$ এবং উপসেট $A,B,C$ এর সদস্য সংখ্যা উপস্থাপন করা হয়েছে । 

$(a)$ যদি $n (A\cap B)=n(B\cap C)$ হয়, তবে $x$ এর মান নির্ণয় কর ।

$(b)$ যদি $n(B\cap C')=n(A'\cap C)$ হয়, তবে $y$ এর মান নির্ণয় কর । 

$(c) n (U)$ এর মান নির্ণয় কর ।

$(a)$ দেওয়া আছে , $n(A\cap B)=n(B\cap C)$

প্রদত্ত ভেনচিত্র অনুসারে $n(A\cap B)=x$ এবং $n(B\cap C)=4$

$\therefore x=4(Ans.)$

$(b)$ দেওয়া আছে , $n(A\cap C')=n(A\cap C)$

প্রদত্ত ভেনচিত্র অনুসারে, $n(B\cap C')=x+6$

$n(A'\cap C)=4+y$

এখন $x+6=4=y$

বা, $4+6-4=y$ [$(a)$ হতে $x=4$ বসিয়ে ]

$\therefore y=6 (Ans.)$

$(c)$ ভেনচিত্র অনুসারে, $n(U)=8+x+6+4+y$

$=8+4+6+4+6=28 (Ans.)$

১৯. যদি $n(U)=50$ হয় , তবে ভেনচিত্র $A,B,C$ সেটের উপাদানগুলো এমনভাবে দেওয়া আছে যেন, $U=A\cup B\cup C$

যদি $n(U)=50$ হয়, তবে-

$(a) x$ এর মান নির্ণয় কর ।

$(b)n(B\cap C')$ এবং $n(A'\cap B)$ এর মান নির্ণয় কর ।

$(c) n(A\cap B\cap C')$ এর মান নির্ণয় কর ।

                                    সমাধান :

$(a)$  দেওয়া আছে , $n(U)=50$

ভেনচিত্র থেকে পাই, 

বা, $5x+10=50$

বা, $5x=50-10$

বা,$\frac{40}5=8 (Ans.)$

$(b)$ ভেনচিত্র থেকে পাই ,$n(B\cap C')=x+1+x-1$

$=2x=2\times8 [\because x=8]$

$=16(Ans.)$

এবং $n(A' \cap B)=x-1+0=x-2=8-2=7(Ans.)$

$(c)$

$=8+1=9 (Ans.)$

২০. তিনটি সেট $A,B$ এবং $C$ এমনভাবে দেওয়া আছে যেন, $A\cap B= \phi,A\cap C=\phi$ এবং $C\subseteq$ ভেনচিত্র অঙ্কন করে সেটগুলোর ব্যাখ্যা দাও :

সমাধান : $A\cap B=\phi$, ভ্যাখ্যা : সেট $A$ এবং সেট $B$ এর মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান নাই । সুতরাং $A$ ও $B$ নিশ্ছেদ সেট ।

$A\cap C=\phi,$ ব্যাখ্যা : সেট $A$ এবং সেট $C$ এর মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান নাই । সুতরাং $A$ ও $C$ নিশ্ছেদ সেট 

$C \subseteq B,$ ব্যাখ্যা : সেট $C$ এবং সেট $B$ এর মধ্যে সাধারণ উপাদান আ ছে । $C$ সেটের প্রত্যেকটি উপাদান $B$ সেটের অন্তর্ভুক্ত ।

২১. দেওয়া আছে $A=\{x:2<x\le 5,x\in R\}$ এবং $B=\{x:1\le x < 3,x \in R\}$ এবং $C=\{2,4,5\}$ নিম্নের সেটগুলো সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর :

$(a) A\cap B  (b) A'\cap B'$ এবং $(c) A' \cup B$

সমাধান : দেওয়া আছে , $A=\{x:2<x\le 5, x \in R\}$

$B=\{x:1 \le x<3,x \in R\}$

এবং $C=\{ 2,4,5\}$

$(a) A\cap B=\{x:2 < x \le 5, x \in R\} \cap \{x:1 \le x<3,x \in R\}$

$=\{x:2 < x < 3,x \in R\}$

$(b)$ এখানে , $U=R$

$\therefore A\cup B=\{x:2<x\le 5, x \in R\}$

দ্য মরগ্যানের সূত্রানুসারে,

$A'\cap B'=(A\cup B)'=U-(A\cup B)$

$=R-\{x:1 \le x \le 5; x \in R\}$

$=\{x:x < 1$ অথবা $x>5, x \in R\}$

$(C) U-R=R-\{x:2<x\le 5, x \in R\}$

$=\{x:x\le 2x > 5,$ অথবকা $x \in R\}$

$B=\{x:1\le x< 3, x \in R\}$ 

$\therefore A' \cup B=\{x:x < 2$  অথবা $x \in R\} \cup \{x:1 \le x <3, \in R\}$

$=\{x:x<3$ অথবা $x>5,x \in R\}$

২২. দেওয়া আছে, $U=\{x:x10, x\in R\},A=\{x:1<x\le 4\}$

এবং $B=\{x:3\le x < 6\}$ নিচের সেটগুলো সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর :

$(a) A\cap B              (b)A'\cap B                 (c) A\cap B'$ এবং  $(d) A'\cap B'$

সমাধান : 

দেওয়া আছে, $U=\{x:x<10,x \in R\}$ 

$A=\{x:1< x\le 4\}$

$B=\{x:3 \le x <6\}$

$(a) A\cap B=\{x:1<x\le 4\}\cap \{x:3\le x<6\}=\{x:3\le x\le 4\}$

$(b) A'=U-A=\{x:x10,x \in R\}-\{x:1< x\le 4\}$

$=\{x:x\le 1$ অথবা $4<x<10\} $

$\therefore A'\cap B=\{x:x\le 1$ অথবা $4<x<10\}\cap \{x:3\le x<6\} $

$=\{x:4<x6,x\in R\}$

$(c) A\cap B'$

$\therefore B=U-B=\{x:x<10,x \in R\}-\{x:3\le x<6\} $

$=\{x:x<3$ অথবা $6<x<10\}$

$(c) A\cap B'$

$\therefore B'=U-B=\{x:x<10, x\in R\}-\{x:3\le x<6\}$

$=\{x:x<3$ অথবা $6\le x<10\}$

$A\cap B'=\{x:1<x\le 4 \} \cap \{x:x<3$ অথবা $6\le x<10\}$

$=\{x:1<x<3,x \in R\}$

$(d) A\cap B'$

$(b)$ থেকে পাই, $A=\{x:x\le 1$ অথবা $4<x<10\}$

$(c)$ থেকে পাই ,$B'=\{x:x<3$ অথবা $6\le x<10\}$

$\therefore A'\cap B'=\{x:x\le1$ অথবা $4<x<10\} \cap \{x:x<3 \}$

অথবা, $6\le x<10\}$

$=\{x:x\le 1$ অথবা $6\le x<10,x \in R\}$

২৩. নিম্নে $A$ ও $B$ সেট দেওয়া আছে । প্রতিক্ষেত্রে $A \cup B $ নির্ণয় কর এবং যাচাই কর যে $A \subset(A\cup B)$ এবং $B\subset (A\cup B)$

$(i) A=\{-2,-1,0,1,2,\}$ এবং $B=\{-3,0,3\}$

$(ii) A=\{x:x \in N,x<10 $ এবং $x,2$ এর গুনিতক }

এবং $B=\{x:x \in N, x<10$ এবং $x,3$ এর গুনিতক }

সমাধান:

$(i)$ দেওয়া আছে, $A=\{-2,-1,0,1,2\}$ এবং $B=\{-3,0,3\}$

$\therefore A\cup B=\{-2,-1,0,1,2\}\cup \{-3,0.3\}$

$=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$

$A$ এবং $B$ এর সকল উপাদান $(A\cup B)$ এর মধ্যে অন্তর্ভূক্ত আছে ।

অতএব, $A\subset (A\cup B)$ এবং $B\subset (A\cup B)$ (যাচাই করা হলো)

$(ii)$ দেওয়া আছে , $A=\{x:x \in N,x<10$ এবং $x,2$ এর গুনিতক }

$\therefore A=\{2,3,6,8\}$

এবং $B=\{x:x\in N,x<10$ এবং $x,3$ এর গুনিতক }

$\therefore B=\{3,6,9\}$

$A$ এবং $B$ এর সকল উপাদান $(A\cup B)$ এর মধ্যে অন্তর্ভুক্ত আছে ।

সংতরাং $A\subset (A\cup B)$ এবং$B\subset (A\cup B)$ (যাচাই করা হলো)

২৪. নিম্নে সেটগুলো ব্যবহার করে $A\cap B$ নির্ণয় কর এবং যাচাই কর 

যে, $(A\cap B)\subset A$ এবং $(A\cap B)\subset$

$(i) A=\{0,1,2,3,5\},B=\{-1,0,2\}$

$(ii A=\{a,b,c,d\}, B=\{b,x,c,y\}$

সমাধান:

$(i) A=\{0,1,2,3,5\}, B=\{-1,0,2\}$

$\therefore A\cap B=\{0,1,2,3,5\} \cap \{-10,2\}=\{0,2\}$

$A\cap B$ সেটের সকল উপাদান $A$ এবং $B$ সেটের অন্তর্ভুক্ত আছে ।

সুতরাং $(A\cap B)\subset A$ এবং $(A\cap B)\subset B$ (যাচাই করা হলো )

$(ii)$ দেওয়া আছে, $A=\{a,b,c,d\}, B\{b,x,c,y\}$

$\therefore A\cap B=\{a,b,c,d\} \cap \{b,x,c,y\}=\{b,c\}$

$A\cap B$ সেটের সকল উপাদান $A$ এবং $B$ সেটের অন্তর্ভুক্ত আছে ।

অতএব,$(A\cap B)\subset A$ এবং $(A\cap B)\subset B$ (যাচাই করা হলো)

২৫. আনোয়ারা মহাবিদ্যালয়ের ছাত্রীদের মধ্যে বিচিত্র, সন্ধানী ও পূর্বাণী পত্রিকার পাঠভ্যাস সম্পর্কে পরিচালিত এক সমীক্ষায় দেখা গেল $60%$ ছাত্রী বিচিত্রা, $50%$ ছাত্রী সন্ধাণী , $50%$ ছাত্রী পূর্বাণী ,$30%$ ছাত্রী বিচিত্রা ও সন্ধানী, $30%$ ছাত্রীবিচিত্রা ও পূর্বাণী ,$20%$ ছাত্রী সন্ধাণী ও পূর্বাণী এবং $10%$ ছাত্রী তিনটি পত্রিকাই পড়ে ।
$(i)$ শতকরা কতজন ছাত্রি উক্ত পত্রিকা তিনটি কোনোটিউ পড়ে না ?

$(ii)$ শতকরা কতজন ছাত্রী উক্ত পত্রিকাগুলোর মধ্যে কেবল দুইটি পড়ে ?

সমাধান : মনে করি , সকল ছাত্রী সেট $U$; বিচিত্রা পড়া ছাত্রীদের সেট $B;$ সন্ধানী পড়া ছাত্রীদের সেট $S$ এবং পূর্বালী পড়া ছাত্রীদের সেট $p$

$\therefore$ শতকরা $n(U)=100,n(B)=60$

$n=(S)=50,n(o)=50,n(B\cap S)=30$

$n(B\cap P)=30,n(P\cap S)=20$

$n(B\cap P\cap S)=10$

$=n(B\cup P \cup S)$

$\therefore n(B\cup P \cup S)=n(B)+n(P)+n(S)-n(B\cap P)$

$=n(p\cap S)-n(s\cap B)+n(B\cap P\cap S)$

$=60+50+50-30-30-20-10$

$=170-40=90$

$\therefore$ কোনো পত্রিকাই পড়ে না এমন ছাত্রী  সংখ্যা,

$=n(U)-n(B\cup P\cup S)$

$=(100-90)=10$

$\therefore$ শতকরা $10$ জন ছাত্রী কোনো পত্রিকাই পড়ে না । $(Ans.)$

$(ii)$ শুধু বিচিত্রা ও পূর্বিণী পড়ে এমন ছাত্রীর সংখ্যা 

$=n(B\cap P)-n(B\cap P\cap S)=30-10=20$

শুধু বিচিত্রা ও সনাধানী পড়ে এমন ছাত্রীর সংখ্যা

$=n(B\cap S)-n(B\cap P\cap S)=30-10=20$

শুধু পূর্বাণী ও সন্ধাণী পত্রিকা পড়ে এমন ছাত্রীর সংখ্যা

$n=(P\cap S)-n(B\cap P\cap S)=20-10=10$

$\therefore$ কেবল দুটি পত্রিকা পড়ে এমন ছাত্রীর সংখ্যা 

$=20+20+10=50$

$\therefore$ শতকরা $50$ জন ছাত্রী পত্রিকা পড়ে $(Ans.)$

২৬. $A=\{x:x \in R$ এবং $x^2-(a+b)x+ab=0\}$

$B=\{1,2\}$ এবং $C=\{2,4,5\}$

ক. $A$ সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয় কর ।

খ. দেখাও যে, $P(B\cap C)=P(B)\cap (C)$

গ. প্রমান কর যে, $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$

সমাধান : 

ক. দেওয়া আছে ,$A=\{x:x\in R$ এবং $x^2-(a+b)x+ab=0\}$

এখন,$x^2-ax-ab+ab=0$

বা, $x^2-ax-bx+ab=0$

বা,$x(x-a)-b(x-a)=0$

বা,$(x-a)(x-b)=0$

$therefore x=a$ অথবা $x=b$

$\therefore A$ সেটের উপাদানসমূহ হলো $a,b$

খ.দেওয়া আছে,$B=\{1,2\}$ এবং $C=\{2,4,5\}$

$\therefore B\cap C=\{1,2\}\cap \{2,4,5\}=\{2\}$

$\therefore P(B\cap C)=\{\{2\}, \phi\}$

আবার, B=\{1,2\}$

$\therefore P(B)=\{\{1,2\},\{1\},\{2\},\phi \}$

এবং $C=\{2,4,5\}$

$\therefore P (C)=\{\{2,4,5\},\{2,4\},\{4,5\},\{2\},\{4\},\{5\},\phi \}$

$\therefore P(B)\cap P(C)=\{\{2\} \phi \}$

সুতরাং $P(B)\cap P(C)=P(B)\cap P(C) $ (দেখানো হলো )

$\therefore$ বামপক্ষ $=A\times (B\cup C)=\{a,b\}\times \{1,2,4,5\}$

$=\{(a,1),(a2),(a,4),(a,5),$

                                         $(b,1)(b,2),(b,4),(B,5),\}$

আবার ,$(A\times B)=\{a,b\}\times \{1,2\}$

                                 $=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,4),(b,5)\}$

$\therefore$ ডানপক্ষ $=(A\times B)\cup (A\times C)$

                                   $=\{(a,1),(a,4)<(a,5),(b,2),(b,4),(b,5)\}$

$\therefore$ বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ 

অর্থাৎ $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$ (প্রমানিত )

২৭.একটি শ্রেণির $100$ জন ছাত্রের মধ্যে $42$ জন ফুটবল ,$46$ জহন ক্রিকেট এবং $39$ জন হকি খেলে । এদের মধ্যে $13$ জন ফুটবল এ ক্রিকেট, $14$ জন ক্রিকেট ও হকি এবং $12$ জন ফুটবল ও হকি খেলতে পারে । এছাড়া $7$ জন কোনো খেলায় পারদর্শী নয়-

ক. উল্লিখিত তিনটি খেরার পারদর্শী এমন ছাত্রদের সেট এবং কোনো খেলায় পারদর্শী নয় এমন ছাত্রদের সেট ভেনচিত্র দেখাও ।

খ. কত জন ছ্ত্র উলালিখিত তিনটি খেলায় পারদর্শী তা নির্ণয় কর ।

গ. কত জন ছ্ত্র কেবলমাত্র একটি খেলায় পারদর্শী এবং কতজন অন্নত দুইটি খেলায় পারদর্শী ?

সমাধান :

ক. মনে করি , ।ঐ শ্রেণির ছাত্রদের সেট $U$, এবং ছাত্রদের মধ্যে যারা ফাটবল খেলতে পারদর্শী তাদের সেট $F$ , যারা ক্রিকেট খেলতে পারদর্শী তাদের সেট $C$ ও যারা হকি খেলতে পারদর্শী তাদের সেট $H$ তাহলে প্রশ্নানুসারে ,$n(U)=100,n(F)=42,n(C)=46,n(H)=39,n(F\cap C)=13,n(C\cap H)$

$14,n(F\cap H)=12,n(F\cup C\cup H)'=7$

আমরা জানি, $n(F\cup C\cup H)'=n(U)-n(F\cup C\cup H)$

বা, $n(F\cup C\cup H)=n(U)-n(F\cup C\cup H)'$

                                   $=100-7=93$

এখন, $n(F\cup C\cup H)=n(F)+n(C)+n(H)-n(F\cap C)-n(C\cap H)$

              $-n(H\cap F)+n(F\cap H)$

বা, $93=42+46+39-13-14-12+n(F\cap C\cap H)$

বা, $93=127-39+n(F\cap C\cap H)$

$\therefore n(f\cap C\cap H)=5$

$\therefore$ তিনটি খেলায় পারদর্শী ছাত্রদের সংখ্যা $5$ জন । $(Ans)$

গ. অন্তত দুটি খেলার পারদর্শী এমন  ছাত্রদের সেট 

$=(F\cap C)\cup (C\cap F)\cup (F\cap H)$     [ভেনচিত্র হতে ]