geometry higher mathematics

               

                               অনুশীলনী-৩.১

১. $\Delta ABC$ এর $\angle B=60°$ হলে প্রমাণ কর যে, $AC^2=AB^2+BC^2-AB.BC$ 

সমাধান :

দেওয়া  আছে, $\Delta ABC-$ এ $\angle B=60°$ । প্রমান করতে হবে যে, $AC^2=AB^2+BC^2-AB.BC$

অঙ্কন : $A$ বিন্দু থেখে $BC$ এর উপর $AD$ লম্ব আঁকি ।

প্রমান : $\Delta ABD$- এ $cos 60°=\dfrac{BD}{AB}$

বা, $dfrac{1}{2}=\dfrac{BD}{AB}$                                           [$\because cos 60°=\dfrac{1}{2}$]

বা, $AB=2BD$

এখন, $\Delta ADC-$ এ $\angle ADC$ সমকোণ ।

$\therefore AC^2=AD^2+CD^2$                                                 [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী]

বা, $AC^2=AD^2+(BC-BD)^2$

বা, $AC^2=AD^2+BC^2+BD^2-2BD.BC$

বা, $AC^2=AD^2+BD^2+BC^2-AB.BC$                                   [$\because 2BD=AB$]

আবার, $\Delta ABD-$ এ $\angle ADB$ সমকোণ ।

$\therefore AB^2=AD^2+BD^2$

অতএব, $AC^2=AB^2+BC^2-AB.BC$ (প্রমাণিত)

২. $\Delta ABC$ এর $\angle B=120°$ হলে প্রমাণ কর যে, $AC^2=AB^2+BC^2+AB.BC$

সমাধান :

দেওয়া আছে, $\Delta ABC$ এর $\angle B=120°$ । প্রমান করতে হবে যে, $AC^2=AB^2+BC^2+AB.BC$

অঙ্কন: $CB$ এর বর্ধিতাংশের উপর $AD$ লম্ব টানি ।

প্রমাণ : $\Delta ABC$ এর $\angle ABC=120°$ অর্থাৎ একটি স্থুলকোণ 

$\therefore AC^2=AB^2+BC^2+2BC.BD. ............(i)$

$CD$ সরলরেখার উপর $\angle ABC$ ও $\angle ABD$ দুইটি সন্নিহিত কোণ 

$\therefore \angle ABC+ABD=180°$

বা, $120°+ \angle ABD=180°$

বা, $\angle ABD=180°-120°$

$\therefore \angle ABD=60°$

এখন সমকোণী $\Delta ABD$ এর ভূমি= $BD$ এবং অতিভূজ=$AB$ ।

$\therefore  cos\angle ABD=\dfrac{BD}{AB}$            

                                 

                                                                       

[$\because cos \theta=\frac{ভূমি}{অতিভুজ}$]

বা, $cos 60°=\dfrac{BD}{AB}$

বা, $\dfrac{1}{2}=\dfrac{BD}{AB}$

$\therefore BD=\dfrac{1}{2} AB$

$(i)$ নং-এ $BD$ এর মান বসিয়ে পাই, 

$AC^2=AB^2+BC^2+2BC.\dfrac{1}{2} AB$

$\therefore AC^2=AB^2+BC^2+AB.BC$ (প্রমাণিত)

৩. $\Delta ABC$ এর $\angle C=90°$ এবং $BC$ এর মধ্যবিন্দু $D$ ।প্রমাণ কর যে, $AB^2=AD+3BD^2$

সমাধিন :

দেওয়া আছে, $\Delta ABC$-এর $\angle C=90°$ এবং $D,BC$ এর মধ্যবিন্দু ।

প্রমাণ করতে হবে যে, $AB^2=AD^2+3BD^2$

প্রমাণ: $\Delta ABC$-এর $\angle C=90°$

অর্থাৎ সমকোণী $\Delta ABC$ এর অতিভূজ $AB$

$\therefore$ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$AB^2=AC^2+BC^2$

$=AC^2+(BD+CD)^2$                                    [$\therefore BC=BD+CD$]

$=AC^2+BD^2+2BD.CD+CD^2$

$=(AC^2+CD^2)+BD^2+2BD.BD$

                                                                         [ $\therefore D,BC$ এর মধ্যবিন্দু হওয়ায় $ BD=CD$ ]

$=(aC^2+cD^2)+BD^2+2BD^2$

$=AD^2+3BD^2$                                            [ $\therefore\Delta ABC$ এর $\angle C$ ] 

[ সমকোণ  হওয়ায়পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, $AC^2+CD^2=AD^2$ ]

$\therefore AB^2=AD^2+3BD^2$ (প্রমাণিত)

৪. $\Delta ABC$ -এ $AD,BC$বাহুর উপর লম্ব এবং $BE,AC$ এর ওপর লম্ব । দেখাও যে, $BC.CD=AC.CE$

সমাধান :

                                               

                                                        

দেওয়া আছে, $\Delta ABC$-এ $AD,BC$ বাহুর ওপর লম্ব এবং $BE,AC$ এর ওপর লম্ব । প্রমাণ করতে হবে যে , $BC.CD=AC.CE$

প্রমাণ : $\Delta ABD$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ ।

পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,$AB^2=BD^2+AD^2$

$=(BC-CD)^2+AD^2$

$=BC^2+CD^2-2BC.CD+AD^2$

$=BC^2+(CD^2+AD^2)-2BC.CD$

$=BC^2+AC^2-2BC.CD...................(i)$

                                      [ $\because ACD$ সমকোণী ত্রিভুজ তাই, $AC^2=CD^2+AD^2$ ]

আবার, $\Delta ABE$ সমকোণী ত্রিভুজ ।

$\therefore AB^2=AE^2+BE^2$

বা,$AB^2=(CA-CE)^2+BE^2$

বা,$AB^2=CA^2+CE^2-2CA.CE+BE^2$

বা,$AB^2=AC^2+(CE^2+BE^2)-2AC.CE$                               [ $\because AC=CA $ ]

বা,$AB^2=AC^2+BC^2-2AC.CE..............................(ii)$

                                                                            [ $\because BCE$ সমকোণী ত্রিভুজ তাই, $BC^2=CE^2+BE^2$ ]

সমীকরণ $(i)$ ও $(ii)$ হতে পাই,

$BC^2+AC^2-2BC.CD=AC^2+BC^2+2AC.CE$

 বা.$-2BC.CD=AC.CE$

বা, $BC.CD=AC.CE$                                                                      [ $-2$  দ্বারা ভাগ করে  ]

$\therefore BC.CD=AC.CE$                  (দেখানো হলো)

৫.$\Delta ABC$ এর $BC$ বাহু $P$ ও $Q$ বিন্দুতে তিনটি সমান অংশে বিভক্ত হয়েছে । প্রমাণ কর যে, $AB^2+AC^2=AP^2+AQ^2+4PQ^2.$  

সমাধান :

 

দেওয়া আছে , $\Delta ABC$ এর $BC$ বাহু $P$ ও $Q$ বিন্দুতে তিনটি সমান অংশে বিভক্ত হয়েছে । অর্থাৎ $BP=PQ=QC; A, P$ এর $A, Q$ যোগ করি ।

প্রমাণ করতে হবে যে, $AB^2+AC^2=AP^2+AQ^2+4PQ^2.$

প্রমাণ :$\Delta ABQ$ এর মধ্যমা $AP$                                 [ $\because BP=PQ$ ]

$\therefore AB^2+ AQ^2=2(AP^2+PQ^2)$                            [  এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে  ]

বা, $AB^2+AQ^2=2AP^2+2PQ^2..........................(i)$

আবার , $\Delta APC$ এর মধ্যমা $AQ$                                  [ $\because PQ=QC$ ]

$\therefore AP^2+AC^2=2(AQ^2+PQ^2)$                           [ এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে ]

বা, $AP^2+AC^2=2AQ^2+2PQ^2.....................(ii)$

সমীকরণ $(i)$ ও $(ii)$ যোগ করে পাই,

$AB^2+AC^2+AQ^2+AP^2=2AP^2+2AQ^2+4PQ^2$

বা ,$AB^2+AC^2=2AP62-AP^2+2AQ-AQ62+4PQ^2$

$\therefore AB^2+AC^2=AP^2+AQ^2+4PQ^2$  (প্রমাণিত)

৬. $\Delta ABC$ এর $AB=AC$ । ভূমি $BC$ এর উপর $P$ যেকোনো বিন্দু । প্রমান কর যে , $AB^2-AP^2=BP.PC$ 

সমাধান:

                               

দেওয়া আছে, $\Delta ABC$ এর $AB=AC$ এবং ভুমি $BC$ ওএর উপর $P$ যেকোনো বিন্দু ।

প্রমাণ করতে হবে যে , $AB^2-AP^2=BP.PC$

অঙ্কন : $A$ হতে $BC$ এর উপর $AD$ লম্ব আঁকি ।

প্রমাণ : $ABC$ ত্রিভুজ $AB=AC$ এবং $AD$ শীর্ষ $A$ থেকে ভুমি $BC$ এর উপর লম্ব বলে $D, BC$ এর মধ্যবিন্দু ।

সুতরাং , $BD=DC$

এখন পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

সমকোণী, $\Delta ABD$-এ, $AB^2=bD^2+AD^2.............................(i)$

                                                                           [ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে ]

এবং সমকোণী $\Delta APD$-এ, $AP^2=PD^2+AD^2............................(ii)$

সমীকরণ $(i)$ হতে $(ii)$ বিয়োগ করে পাই ,

$AB^2-AP^2=BD^2+AD^2-PD^2-AD^2$

$=BD^2-PD^2$

$=(BD-PD)(BD+PD)$

$=BP.(DC+PD)$                                         [ $\because BD=DC$ ]

$=BP.PC$

$\therefore AB^2-AP^2=BP.PC$                   (প্রমাণিত)

৭. $\Delta ABC$ এর শধ্যমাত্রয় $G$ বিন্দুতে মিলিত হলে প্রমাণ কর যে, 

$AB^2+BC^2+CA^2=3(GA^2+GB^2+GC^)$

 সমাধান :

                             

মনে করি, $ABC$ ত্রিভুজের $BC, CA $ ও $AB$ বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা 

$AD, BE$ ও $CF$ পরস্পর $G$ বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করতে হবে যে, $AB^2+BC^2+CA^2=3(GA^2+GB^2+GC^2)$

প্রমাণ : আমরা জানি , ত্রাভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু এবং সমপাত বিন্দুতে প্রত্যেক , মধ্যমা $2:1 $ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় ।

$\Delta ABC$ এর $BC$ বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা $AD$ ।

$\therefore BD=CD=\dfrac{1}{2}BC$

এবং  $GA=2gD$

বা, $GA=2(AD-GA)=2AD-2GA$

বা, $2AD=GA+2GA$                                                       [  পক্ষান্তর করে ]

বা, $2AD=3GA$

$\therefore AD =\dfrac{3}{2} GA$

সুতরাং $AB^2+CA^2=2BD^2+2AD^2$

                                                  $=2\left(\dfrac12BC\right)^2+2\left(\dfrac32GA\right)^2$

                                                          

                                                          $\left[\because\;BD=\dfrac12BC,AD=\dfrac32GA\right]$

$=2.\dfrac14BC^2+2.\dfrac92GA^2$