geometry higher mathematics
অনুশীলনী-৩.১
১. $\Delta ABC$ এর $\angle B=60°$ হলে প্রমাণ কর যে, $AC^2=AB^2+BC^2-AB.BC$
সমাধান :
দেওয়া আছে, $\Delta ABC-$ এ $\angle B=60°$ । প্রমান করতে হবে যে, $AC^2=AB^2+BC^2-AB.BC$
অঙ্কন : $A$ বিন্দু থেখে $BC$ এর উপর $AD$ লম্ব আঁকি ।
প্রমান : $\Delta ABD$- এ $cos 60°=\dfrac{BD}{AB}$
বা, $dfrac{1}{2}=\dfrac{BD}{AB}$ [$\because cos 60°=\dfrac{1}{2}$]
বা, $AB=2BD$
এখন, $\Delta ADC-$ এ $\angle ADC$ সমকোণ ।
$\therefore AC^2=AD^2+CD^2$ [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী]
বা, $AC^2=AD^2+(BC-BD)^2$
বা, $AC^2=AD^2+BC^2+BD^2-2BD.BC$
বা, $AC^2=AD^2+BD^2+BC^2-AB.BC$ [$\because 2BD=AB$]
আবার, $\Delta ABD-$ এ $\angle ADB$ সমকোণ ।
$\therefore AB^2=AD^2+BD^2$
অতএব, $AC^2=AB^2+BC^2-AB.BC$ (প্রমাণিত)
২. $\Delta ABC$ এর $\angle B=120°$ হলে প্রমাণ কর যে, $AC^2=AB^2+BC^2+AB.BC$
সমাধান :
অঙ্কন: $CB$ এর বর্ধিতাংশের উপর $AD$ লম্ব টানি ।
প্রমাণ : $\Delta ABC$ এর $\angle ABC=120°$ অর্থাৎ একটি স্থুলকোণ
$\therefore AC^2=AB^2+BC^2+2BC.BD. ............(i)$
$CD$ সরলরেখার উপর $\angle ABC$ ও $\angle ABD$ দুইটি সন্নিহিত কোণ
$\therefore \angle ABC+ABD=180°$
বা, $120°+ \angle ABD=180°$
বা, $\angle ABD=180°-120°$
$\therefore \angle ABD=60°$
এখন সমকোণী $\Delta ABD$ এর ভূমি= $BD$ এবং অতিভূজ=$AB$ ।
$\therefore cos\angle ABD=\dfrac{BD}{AB}$
[$\because cos \theta=\frac{ভূমি}{অতিভুজ}$]
বা, $\dfrac{1}{2}=\dfrac{BD}{AB}$
$\therefore BD=\dfrac{1}{2} AB$
$(i)$ নং-এ $BD$ এর মান বসিয়ে পাই,
$AC^2=AB^2+BC^2+2BC.\dfrac{1}{2} AB$
$\therefore AC^2=AB^2+BC^2+AB.BC$ (প্রমাণিত)
৩. $\Delta ABC$ এর $\angle C=90°$ এবং $BC$ এর মধ্যবিন্দু $D$ ।প্রমাণ কর যে, $AB^2=AD+3BD^2$
সমাধিন :
প্রমাণ করতে হবে যে, $AB^2=AD^2+3BD^2$
প্রমাণ: $\Delta ABC$-এর $\angle C=90°$
অর্থাৎ সমকোণী $\Delta ABC$ এর অতিভূজ $AB$
$\therefore$ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
$AB^2=AC^2+BC^2$
$=AC^2+(BD+CD)^2$ [$\therefore BC=BD+CD$]
$=AC^2+BD^2+2BD.CD+CD^2$
$=(AC^2+CD^2)+BD^2+2BD.BD$
[ $\therefore D,BC$ এর মধ্যবিন্দু হওয়ায় $ BD=CD$ ]
$=(aC^2+cD^2)+BD^2+2BD^2$
$=AD^2+3BD^2$ [ $\therefore\Delta ABC$ এর $\angle C$ ]
[ সমকোণ হওয়ায়পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, $AC^2+CD^2=AD^2$ ]
$\therefore AB^2=AD^2+3BD^2$ (প্রমাণিত)
৪. $\Delta ABC$ -এ $AD,BC$বাহুর উপর লম্ব এবং $BE,AC$ এর ওপর লম্ব । দেখাও যে, $BC.CD=AC.CE$
সমাধান :
প্রমাণ : $\Delta ABD$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ ।
পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,$AB^2=BD^2+AD^2$
$=(BC-CD)^2+AD^2$
$=BC^2+CD^2-2BC.CD+AD^2$
$=BC^2+(CD^2+AD^2)-2BC.CD$
$=BC^2+AC^2-2BC.CD...................(i)$
[ $\because ACD$ সমকোণী ত্রিভুজ তাই, $AC^2=CD^2+AD^2$ ]
আবার, $\Delta ABE$ সমকোণী ত্রিভুজ ।
$\therefore AB^2=AE^2+BE^2$
বা,$AB^2=(CA-CE)^2+BE^2$
বা,$AB^2=CA^2+CE^2-2CA.CE+BE^2$
বা,$AB^2=AC^2+(CE^2+BE^2)-2AC.CE$ [ $\because AC=CA $ ]
বা,$AB^2=AC^2+BC^2-2AC.CE..............................(ii)$
[ $\because BCE$ সমকোণী ত্রিভুজ তাই, $BC^2=CE^2+BE^2$ ]
সমীকরণ $(i)$ ও $(ii)$ হতে পাই,
$BC^2+AC^2-2BC.CD=AC^2+BC^2+2AC.CE$
বা.$-2BC.CD=AC.CE$
বা, $BC.CD=AC.CE$ [ $-2$ দ্বারা ভাগ করে ]
$\therefore BC.CD=AC.CE$ (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে , $\Delta ABC$ এর $BC$ বাহু $P$ ও $Q$ বিন্দুতে তিনটি সমান অংশে বিভক্ত হয়েছে । অর্থাৎ $BP=PQ=QC; A, P$ এর $A, Q$ যোগ করি ।
মনে করি, $ABC$ ত্রিভুজের $BC, CA $ ও $AB$ বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা
৫.$\Delta ABC$ এর $BC$ বাহু $P$ ও $Q$ বিন্দুতে তিনটি সমান অংশে বিভক্ত হয়েছে । প্রমাণ কর যে, $AB^2+AC^2=AP^2+AQ^2+4PQ^2.$
সমাধান :
প্রমাণ করতে হবে যে, $AB^2+AC^2=AP^2+AQ^2+4PQ^2.$
প্রমাণ :$\Delta ABQ$ এর মধ্যমা $AP$ [ $\because BP=PQ$ ]
$\therefore AB^2+ AQ^2=2(AP^2+PQ^2)$ [ এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে ]
বা, $AB^2+AQ^2=2AP^2+2PQ^2..........................(i)$
আবার , $\Delta APC$ এর মধ্যমা $AQ$ [ $\because PQ=QC$ ]
$\therefore AP^2+AC^2=2(AQ^2+PQ^2)$ [ এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে ]
বা, $AP^2+AC^2=2AQ^2+2PQ^2.....................(ii)$
সমীকরণ $(i)$ ও $(ii)$ যোগ করে পাই,
$AB^2+AC^2+AQ^2+AP^2=2AP^2+2AQ^2+4PQ^2$
বা ,$AB^2+AC^2=2AP62-AP^2+2AQ-AQ62+4PQ^2$
$\therefore AB^2+AC^2=AP^2+AQ^2+4PQ^2$ (প্রমাণিত)
৬. $\Delta ABC$ এর $AB=AC$ । ভূমি $BC$ এর উপর $P$ যেকোনো বিন্দু । প্রমান কর যে , $AB^2-AP^2=BP.PC$
সমাধান:
দেওয়া আছে, $\Delta ABC$ এর $AB=AC$ এবং ভুমি $BC$ ওএর উপর $P$ যেকোনো বিন্দু ।
প্রমাণ করতে হবে যে , $AB^2-AP^2=BP.PC$
অঙ্কন : $A$ হতে $BC$ এর উপর $AD$ লম্ব আঁকি ।
প্রমাণ : $ABC$ ত্রিভুজ $AB=AC$ এবং $AD$ শীর্ষ $A$ থেকে ভুমি $BC$ এর উপর লম্ব বলে $D, BC$ এর মধ্যবিন্দু ।
সুতরাং , $BD=DC$
এখন পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
সমকোণী, $\Delta ABD$-এ, $AB^2=bD^2+AD^2.............................(i)$
[ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে ]
এবং সমকোণী $\Delta APD$-এ, $AP^2=PD^2+AD^2............................(ii)$
সমীকরণ $(i)$ হতে $(ii)$ বিয়োগ করে পাই ,
$AB^2-AP^2=BD^2+AD^2-PD^2-AD^2$
$=BD^2-PD^2$
$=(BD-PD)(BD+PD)$
$=BP.(DC+PD)$ [ $\because BD=DC$ ]
$=BP.PC$
$\therefore AB^2-AP^2=BP.PC$ (প্রমাণিত)
৭. $\Delta ABC$ এর শধ্যমাত্রয় $G$ বিন্দুতে মিলিত হলে প্রমাণ কর যে,
$AB^2+BC^2+CA^2=3(GA^2+GB^2+GC^)$
সমাধান :
$AD, BE$ ও $CF$ পরস্পর $G$ বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করতে হবে যে, $AB^2+BC^2+CA^2=3(GA^2+GB^2+GC^2)$
প্রমাণ : আমরা জানি , ত্রাভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু এবং সমপাত বিন্দুতে প্রত্যেক , মধ্যমা $2:1 $ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় ।
$\Delta ABC$ এর $BC$ বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা $AD$ ।
$\therefore BD=CD=\dfrac{1}{2}BC$
এবং $GA=2gD$
বা, $GA=2(AD-GA)=2AD-2GA$
বা, $2AD=GA+2GA$ [ পক্ষান্তর করে ]
বা, $2AD=3GA$
$\therefore AD =\dfrac{3}{2} GA$
সুতরাং $AB^2+CA^2=2BD^2+2AD^2$
$=2\left(\dfrac12BC\right)^2+2\left(\dfrac32GA\right)^2$
$\left[\because\;BD=\dfrac12BC,AD=\dfrac32GA\right]$
$=2.\dfrac14BC^2+2.\dfrac92GA^2$
Enter Comment
comment url