higher mathematics, equation

    গাণিতিক সমস্যাঃ

$\sqrt{3}x^2-2\sqrt{2}x-2\sqrt{3}=0$ 

উত্তরঃ  $\sqrt{6}, \dfrac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$         

$\Rightarrow(13 a-2) \cdot(a-3)=0$

হয় $a=3 $ অথবা   $a=\dfrac{2}{13}$

$a=3$ হলে $ y=a x=3 x$

$(ii)\Rightarrow$

$5 x^{2}+4(3 x)^{2}=41$

$\Rightarrow x^{2}=1$

$\Rightarrow x=\pm 1 \Rightarrow y=\pm 3$

$a=\dfrac{2}{13}$ হলে $y=a x=\dfrac{2 x}{13}$

$(ii)\Rightarrow$

$5 x^{2}+4 \cdot\left(\dfrac{2 x}{13}\right)^{2}=41$

$\Rightarrow 861 x^{2}=41 \cdot 13^{2} \Rightarrow x=\pm \dfrac{13}{\sqrt{21}} $

$\Rightarrow y=\pm \dfrac{2}{\sqrt{21}}$

$(x, y)=\left\{\pm(1,3), \pm\left(\dfrac{13}{\sqrt{21}}, \dfrac{2}{\sqrt{21}}\right)\right\}$

$(i)$ নং কে $4$ দ্বারা গুণ করে তা থেকে $(ii)$ নং কে বিয়োগ করিঃ

             সৃজনশীল প্রশ্ন-১:

একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের দ্বিগুণ দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 4মিটার বেশি এবং কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি পরিসীমা অপেক্ষা 8 মিটার কম । 

(ক) $x, y$ চলকের মাধ্যমে সমীকরণ গঠন কর।

(খ) $x, y$ এর মান নির্ণয় কর।

(গ) ক্ষেত্রটির সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট অপর একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা $3$ মিটার বেশি ।অপর ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

$p=\sqrt{x^2+5x-6}$ এবং $q=\sqrt{x^2+5x-4}$

(ক) $p=0$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।

(খ) $2q=3x-2$ এর সমাধান করে মূলের প্রকৃতি লিখ ।

(গ) $p-q=2\sqrt{2}-\sqrt{10}$  এর বীজ নির্ণয় কর।

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $300$ বর্গমিটার এবং এর অর্ধপরিসীমা একটি কর্ণ অপেক্ষা $10$ মিটার বেশি।

(ক) $x$ ও $y$  চলকের মাধ্যমে দুটি সমীকরণ গঠন কর।

(খ) ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর ।

(গ) ক্ষেত্রটির $\dfrac{1}{3}$ অংশ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ থেকে $10$ মিটার কম হলে ২য় আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর ।

 সৃজনশীল প্রশ্ন-৪:

$f(x)=x^2-6x+9$

(ক) $f(x)=0$ এর নিশ্চায়ক হতে মূলের প্রকৃতি লিখ।

(খ) $\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(x)-3}=1$ এর সমাধান কর।

(গ) $f(x)=0$ এর লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান কর।

$a=\dfrac{2x-3}{3x-2}$

(ক) $\sqrt{a}+2=1$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর ।

(খ)$2\sqrt{a}=x$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় করে মূলের প্রকৃতি লিখ।

(গ)$6\sqrt{a}+\dfrac{5}{\sqrt{a}}=\dfrac{29}{2}$ হলে  সমীকরণটির সমাধান কর।

(ঘ)$\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}=\dfrac{11}{3}$ হলে $a$ এর মান নির্ণয় কর।

গাণিতিক সমস্যাঃ

সমাধান করঃ $x^y=y^x$ এবং $x^2=y^3$

উত্তরঃ $(x,y)=(1,1),\left(\dfrac{27}{8},\dfrac{9}{4}\right)$

$\sqrt{6-\dfrac{6}{x^2}}+\sqrt{x^{2}-\dfrac{6}{x^{2}}}=x^{2}$

$6-\dfrac{6}{x^2}+2\sqrt{6x^2-\dfrac{36}{x^2}-6+\dfrac{36}{x^4}}+x^2-\dfrac{6}{x^2}=x^4$  [বর্গ করে]

বা, $2\sqrt{\dfrac{6x^6-36x^2-6x^4+36}{x^4}}=x^4-6+\dfrac{6}{x^2}-x^2+\dfrac{6}{x^2}$

বা, $2\sqrt{\dfrac{6\left(x^6-6x^2-x^4+6\right)}{x^4}}=\dfrac{x^6-6x^2+12-x^4}{x^2}$

বা, $2\sqrt{6\left(x^6-x^4-6x^2+6\right)}=x^6-x^4-6x^2+6+6$

বা, $2\sqrt{6p}=p+6$      $\left[\text{Let} \; x^6-x^4-6x^2+6=p\right]$

বা, $\left(2\sqrt{6p}\right)^2=(p+6)^2$

বা, $4×6p=p^2+12p+36$

বা, $p^2-12p+36=0$

বা, $(p-6)^2=0$

বা, $p-6=0$

বা, $x^6-x^4-6x^2+6-6=0$

বা, $x^6-x^4-6x^2=0$

বা, $x^2\left(x^4-x^2-6\right)=0$

বা, $x^4-3x^2+2x^2-6=0$       $\left[\because x\ne 0\right]$

বা, $x^2\left(x^2-3\right)+2\left(x^2-3\right)=0$

বা, $\left(x^2-3\right)\left(x^2+2\right)=0$

$\therefore x=\pm \sqrt{3}$       $\left[\because x^2\ne -2\right]$

 

$\left(  1  +  x  \right)   \left(  2  +  x  \right)  -  \sqrt{ -  2 +  x  +  x  ^ { 2 }}  =  0 $      Ans: $-2,-3$

                            বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ

১.$2^{x-4}=4a^{x-6}$ এর সমাধান $x=6$ হওয়ার শর্ত –

(ক) $a<0,a≠2$                 (খ) $a>0,a=2$  

(গ) $a<0,a=2$                  (ঘ) $a>0,a≠2$

২.$\sqrt{x^2-5}+5=3$ এর সমাধান সেট –

   (ক) ${3}$      (খ) ${-3}$      (গ) ${-3,3}$      (ঘ) $\left\{ \right\}$

৩.$x^2-2x-2=0$ এর নিশ্চায়ক কত?

   (ক) $12$         (খ) $6$       (গ) $24$        (ঘ) $18$

৪.কোন সমীকরণের নিশ্চায়ক ঋণাত্মক হলে মূলদ্বয় –

  (ক) বাস্তব   (খ) অসমান   (গ) অমূলদ    (ঘ)অবাস্তব

৫.$a^x=a^y\Leftrightarrow x=y $ হবে কোন শর্তে ?

 (ক)$a>0,a=1$             (খ) $a>0,a≠1$ 

(গ) $a<0,a=1$              (ঘ) $a<0,a≠1$ 

৬. $4096$ কে $2\sqrt{2}$ এর সূচকে প্রকাশ করলে ঘাত কত হবে?

  (ক) $4$     (খ) $6$      (গ) $8$      (ঘ) $12$