physical quantities and measurement

রাশিঃ ভৌত জগতে যা কিছু  পরিমাপ করা যায় তাকে রাশি বলে।

মাত্রাঃ

কোনো ভৌত রাশিতে উপস্থিত মৌলিক রাশিগুলোর সূচককে রাশিটির মাত্রা বলে।

ভার্ণিয়ার ধ্রুবকঃ

প্রধান স্কেলের $1$ ঘরের দৈর্ঘ্য ভার্ণিয়ার স্কেলের $1$ ঘরের দৈর্ঘ্যের চেয়ে যতটুকু বড় তাকে ভার্ণিয়ার ধ্রুবক বলে।

অথবা,

 ভার্ণিয়ার স্কেলের $1$ ঘরের দৈর্ঘ্য প্রধান স্কেলের $1$ ঘরের দৈর্ঘ্যরে চেয়ে যতটুকু ছোট তাকে ভার্ণিয়ার ধ্রুবক বলে।

অথবা, 

প্রধান স্কেলের $1$ ঘরের দৈর্ঘ্য এবং ভার্ণিয়ার স্কেলের $1$ ঘরের দৈর্ঘ্যের পার্থক্যকে ভার্ণিয়ার ধ্রুবক বলে।

মূলস্কেলের $1$ ঘরের দৈর্ঘ্য, $s=1\mathrm{mm}$

ভার্ণিয়ার স্কেলের $n$ ঘরের$=$মূলস্কেলের$(n-1)$ ঘরের দৈর্ঘ্য।

সুতরাং ভার্ণিয়ার স্কেলের $1$ ঘরের দৈর্ঘ্য$=$মূলস্কেলের$\dfrac{n-1}{n}$ ঘরের দৈর্ঘ্য$=\dfrac{n-1}{n}\mathrm{mm}$

অতএব সংজ্ঞানুসারে ,

ভার্ণিয়ার ধ্রুবক$=$প্রধান স্কেলের $1$ ঘরের দৈর্ঘ্য $-$ভার্ণিয়ার স্কেলের $1$ ঘরের দৈর্ঘ্য

                     $=1\mathrm{mm}-\dfrac{n-1}{n}\mathrm{mm}$

                    $=\left(1-\dfrac{n-1}{n}\right)\mathrm{mm}$

                   $=\dfrac{n-n+1}{n}\mathrm{mm}$

                   $=\dfrac{1\mathrm{mm}}{n}$

                   $=\dfrac{s}{n}$

$\therefore \fbox{$VC=\dfrac{s}{n}$}\cdots\cdots(i)$    [সূত্র]

                   ২য় পদ্ধতিঃ

ভার্ণিয়ারস্কেলের $x$ ঘরের দৈর্ঘ্য$=$ মূলস্কেলের $y$ ঘরের দৈর্ঘ্য।

সুতরাং ভার্ণিয়ারস্কেলের $1$ ঘরের দৈর্ঘ্য$=$ মূলস্কেলের $\dfrac{y}{x}$ ঘরের দৈর্ঘ্য $=\dfrac{y}{x}\mathrm{mm}$।

অতএব সংজ্ঞানুসারে ,

ভার্ণিয়ার ধ্রুবক$=$প্রধান স্কেলের $1$ ঘরের দৈর্ঘ্য $-$ভার্ণিয়ার স্কেলের $1$ ঘরের দৈর্ঘ্য

                     $=1\mathrm{mm}-\dfrac{y}{x}\mathrm{mm}$

                      $=\left(1-\dfrac{y}{x}\right)\mathrm{mm}$

                      $=\dfrac{x-y}{x}\mathrm{mm}$

$\therefore \fbox{$VC=\dfrac{x-y}{x}\mathrm{mm}$}\cdots\cdots(ii)$    [সূত্র]

গাণিতিক সমস্যাঃ 

একটি স্লাইড ক্যালির্পাসের প্রধান স্কেলের $48$ ঘরের দৈর্ঘ্য  ভার্ণিয়ার স্কেলের $50$ ঘরের দৈর্ঘ্যের সমান হলে স্কেলটির ভার্ণিয়ার ধ্রুবক কত?

সমাধানঃ

ভার্ণিয়ার স্কেলের ঘরসংখ্যা,$x=50$

প্রধান স্কেলের ঘরসংখ্যা,$y=48$

সুতরাং ভার্ণিয়ার ধ্রুবক,$VC=\dfrac{x-y}{x}\mathrm{mm}$

                                          $=\dfrac{50-48}{50}\mathrm{mm}$

                                          $=\dfrac{2}{50}\mathrm{mm}$ 

                                          $=\dfrac{1}{25}\mathrm{mm}$

                                          $=0.04\mathrm{mm}$  $(Ans.)$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

১.একটি স্লাইড ক্যালির্পাসের প্রধান স্কেলের $19$ ঘরের দৈর্ঘ্য  ভার্ণিয়ার স্কেলের $20$ ঘরের দৈর্ঘ্যের সমান হলে স্কেলটির ভার্ণিয়ার ধ্রুবক কত?  উত্তরঃ $0.05\mathrm{mm}$

২.একটি স্লাইড ক্যালির্পাসের ভার্ণিয়ার ধ্রুবক $0.1\mathrm{mm}$ হলে ভার্ণিয়ার স্কেলের $20$ ঘরের দৈর্ঘ্য প্রধান স্কেলের কত ঘরের দৈর্ঘ্যের সমান হবে?   উত্তরঃ $18$

ভার্ণিয়ার সমপাতনঃ

স্লাইড ক্যালির্পাসের দুটি চোয়ালের মাঝে কোন বস্তুকে রাখলে ভার্ণিয়ার স্কেলের শূণ্য দাগ হতে যতসংখ্যক ঘর পরে ভার্ণিয়ার স্কেলের একটি দাগ মূল স্কেলের একটি দাগের সাথে মিলে যায় ভার্ণিয়ার স্কেলের ঐ ঘর সংখ্যাকে ভার্ণিয়ার সমপাতন বলে।

একে $V$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মন্তব্যঃ

স্লাইড ক্যালির্পাসের সাহায্যে মিলিমিটারের ভগ্নাংশ $V×VC$ এর সাহায্যে পরিমাপ করা হয়।

ত্রুটিমুক্ত স্লাইড ক্যালির্পাসের সাহায্যে কোন বস্তুর দৈর্ঘ্য পরিমাপের সূত্রঃ

$\fbox{$L=M+V×VC$}\cdots\cdots(iii)$   [সূত্র]

এখানে, $M=$ প্রধান স্কেল পাঠ।

গাণিতিক সমস্যাঃ

কোনো বস্তুর দৈর্ঘ্য পরিমাপে স্লাইড ক্যালির্পাসের মূলস্কেলের পাঠ $7\mathrm{mm}$ এবং ভার্ণিয়ার সমপাতন $4$ পাওয়া গেলো।যদি ভার্ণিয়ার স্কেলের $40$ ঘরের দৈর্ঘ্য প্রধান স্কেলের $39$ ঘরের দৈর্ঘ্যের সমান হয় তবে তবে বস্তুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ভার্ণিয়ার স্কেলের ঘরসংখ্যা,$x=40$

প্রধান স্কেলের ঘরসংখ্যা,$y=39$

সুতরাং ভার্ণিয়ার ধ্রুবক,$VC=\dfrac{x-y}{x}\mathrm{mm}$

                                          $=\dfrac{40-39}{40}\mathrm{mm}$

                                        $=\dfrac{1}{40}\mathrm{mm}$ 

                                               $=0.025\mathrm{mm}$  

প্রধান স্কেল পাঠ,$M=7\mathrm{mm}$

ভার্ণিয়ার সমপাতন $V=4$

সুতরাং বস্তুটির দৈর্ঘ্য,$L=M+V×VC$

                                  $=7\mathrm{mm}+4×0.025\mathrm{mm}$

                                $=(7+0.1)\mathrm{mm}$

                                $=7.1\mathrm{mm}$  $(Ans.)$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

১.কোনো বস্তুর দৈর্ঘ্য পরিমাপে স্লাইড ক্যালির্পাসের মূলস্কেলের পাঠ $5\mathrm{mm}$ এবং ভার্ণিয়ার সমপাতন $3$ পাওয়া গেলো।যদি ভার্ণিয়ার স্কেলের ঘরসংখ্যা $30$ এবং প্রধান স্কেল ও ভার্ণিয়ার স্কেলের একই দৈর্ঘ্যে ঘরসংখ্যার পার্থক্য $1$ হয় তবে বস্তুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।  উত্তরঃ $5.1\mathrm{mm}$ 

২.কোনো বস্তুর দৈর্ঘ্য পরিমাপে স্লাইড ক্যালির্পাসের মূলস্কেলের পাঠ $5\mathrm{mm}$ এবং ভার্ণিয়ার সমপাতন ভার্ণিয়ার স্কেলের ঘরসংখ্যার অর্ধেক পাওয়া গেলো।যদি ভার্ণিয়ার ধ্রুবক $0.1$ হয় তবে তবে বস্তুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। উত্তরঃ $5.5\mathrm{mm}$ 

                         স্ক্রুগজঃ

পিচঃ স্ক্রুগজের স্ক্রুকে বা বৃত্তাকার স্কেলকে এক পাক ঘুরলে বৃত্তাকার স্কেল বা ঘূর্ণায়মান ভার্ণিয়ার স্কেল রৈখিক স্কেল বরাবর যে দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে পিচ বলে।

সাধারণত স্ক্রুকে একপাক ঘুরলেও বৃত্তাকার স্কেল রৈখিক স্কেল বরাবর $1$ ঘর অর্থাৎ $1\mathrm{mm}$ দূরত্ব করে।

সুতরাং পিচ $p=$ রৈখিক স্কেলের $1$ ঘরের দৈর্ঘ্য $=1\mathrm{mm}$

লগিষ্ঠ গণন বা ন্যূনাঙ্কঃ বৃত্তাকার স্কেলকে এক ঘর ঘুরালে রৈখিক স্কেল বরাবর এটি যে দুরত্ব অতিক্রম করে তাকে লগিষ্ঠ গণন বলে ।

ব্যাখ্যাঃ 

মনে করি, বৃত্তাকার স্কেলের ঘরসংখ্যা $=n$.

বৃত্তাকার স্কেলের $n$ ঘর ঘূর্ণনে এটি রৈখিক স্কেলের $1$ ঘর $=1\mathrm{mm}$ অতিক্রম করে।

$\therefore $ বৃত্তাকার স্কেলের $1$ ঘর ঘূর্ণনে এটি রৈখিক স্কেলের $\dfrac{1}{n}$ ঘর $=\dfrac{1}{n}\mathrm{mm}$ অতিক্রম করে।

সুতরাং সংজ্ঞানুসারে লগিষ্ঠ গণন,$LC=\dfrac{1\mathrm{mm}}{n}$

                                                            $=\dfrac{p}{n}$

$\fbox{$LC=\dfrac{p}{n}$}\cdots\cdots(iv)$  [সূত্র]

দ্রষ্টব্যঃ বৃত্তাকার স্কেলের পাঠ $C$ হলো স্ক্রুগজের কীলক এর মাঝে ব্যাস নির্ণয়ের জন্য কোন বস্তু রাখার ফলে বৃত্তাকার স্কেলের যতসংখ্যক ঘর রৈখিক স্কেলের মূল দাগ অতিক্রম করে।

ব্যাসের মিলিমিটারের ভগ্নাংশ পরিমাপ করার জন্য রৈখিক স্কেলের পাঠ $L$ এর সাথে $C\times LC$ যোগ করা হয়।

সুতরাং ত্রুটিমুক্ত স্ক্রুগজের সাহায্যে ব্যাস পরিমাপের সূত্রঃ

ব্যাস, $\fbox{$d=L+C\times LC$}\cdots\cdots(v)$    [সূত্র]

গাণিতিক সমস্যাঃ

সিলিন্ডার আকৃতির একটি তাবিজের দৈর্ঘ্য পরিমাপে যে $0.02\mathrm{mm}$ ভার্ণিয়ার ধ্রুবকবিশিষ্ট  স্লাইড ক্যালির্পাস ব্যবহার করা তাতে প্রধান স্কেল পাঠ $11\mathrm{mm}$ এবং ভার্ণিয়ার সমপাতন $7$ পাওয়া যায়। আর ব্যাস পরিমাপে স্ক্রুগজের রৈখিক স্কেল পাঠ $7\mathrm{mm}$ এবং বৃত্তাকার স্কেলের পাঠ $26$ পাওয়া যায়। বৃত্তাকার স্কেলের ঘরসংখ্যা $50$এবং পিচ $1\mathrm{mm}$ হলে তাবিজটির আয়তন ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

                              ১ম অংশ

ভার্ণিয়ার ধ্রুবক, $VC=0.02\mathrm{mm}$

প্রধান স্কেল পাঠ, $M=11\mathrm{mm}$ 

ভার্ণিয়ার সমপাতন , $ V=7$

সুতরাং তাবিজের দৈর্ঘ্য, $h=M+V\times VC$

                                      $=(11+7\times 0.02)\mathrm{mm}$

                                      $=11.14\mathrm{mm}$

                              ২য় অংশ

স্ক্রুগজের রৈখিক স্কেল পাঠ, $L=7\mathrm{mm}$.

বৃত্তাকার স্কেলের পাঠ, $C=26$ 

বৃত্তাকার স্কেলের ঘরসংখ্যা, $n=50$

              পিচ, $p=1\mathrm{mm}$

লগিষ্ঠ গণন, $LC=\dfrac{p}{n}=\dfrac{1\mathrm{mm}}{50}=0.02\mathrm{mm}$

সুতরাং তাবিজের ব্যাস, $d=L+C\times LC$

                                        $=7\mathrm{mm}+26\times 0.02\mathrm{mm}$

                                        $=7.52\mathrm{mm}$

$\therefore $ ব্যাসার্ধ, $ r=3.76\mathrm{mm}$

তাবিজটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $S=2\pi rh(r+h)$

                                    $=2×3.1416×3.76×11.14(3.76+11.14)$

$=3921.39\mathrm{mm^2}$ (প্রায়)

আয়তন, $V=\pi r^2h$

                 $=3.1416×3.76^2×11.14$

                 $=494.78\mathrm{mm^3}$ (প্রায়)

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

একটি ক্যাপসুলের দৈর্ঘ্য পরিমাপে $0.1\mathrm{mm}$ ভার্ণিয়ার ধ্রুবকবিশিষ্ট  স্লাইড ক্যালির্পাস ব্যবহার করা তাতে প্রধান স্কেল পাঠ $10\mathrm{mm}$ এবং ভার্ণিয়ার সমপাতন $3$ পাওয়া যায়। আর ব্যাস পরিমাপে স্ক্রুগজের রৈখিক স্কেল পাঠ $6\mathrm{mm}$ এবং বৃত্তাকার স্কেলের পাঠ $28$ পাওয়া যায়। বৃত্তাকার স্কেলের ঘরসংখ্যা $50$এবং পিচ $1\mathrm{mm}$ হলে তাবিজটির আয়তন ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ত্রুটিঃ

পরিমাপের অনিশ্চয়তার মানকে  ত্রুটি বলে।

যেমনঃ দিয়াশলাইয়ের বক্সে $50$ টি কাঠি থাকার কথা।কিন্তু যান্ত্রিক উপায়ে বক্স পূরণে সর্বোচ্চ দুটি কাঠি কম বা বেশি হতে পারে বলে ধরা হয়। ফলে বক্সের গায়ে $50\pm 2$ লেখা থাকে। অর্থাৎ কাঠির সংখ্যার সম্ভাব্য মান $48$ হতে $52$ এর মধ্যে যেকোনো সংখ্যায় থাকতে পারে।এই $e_n=\pm 2$ হলো সর্বোচ্চ অনিশ্চয়তা বা সর্বোচ্চ ত্রুটি। এখানে $+2$ কে বলা হয় সর্বোচ্চ ধনাত্মক  ত্রুটি  এবং $-2$ কে বলা হয় সর্বোচ্চ ঋণাত্মক ত্রুটি ।এখানে $n$ দ্বারা কাঠির সংখ্যা বোঝানো হয়েছে।

পরম ত্রুটিঃ

পরিমাপকৃত মান এবং সম্ভাব্য সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মানের বিয়োগফলের পরমমানকে পরমত্রুটি বলে। 

যেমনঃ 

পরিমাপকৃত মান,$n=50$

সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান,$n_{max}=52$

বা, সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মান,$n_{min}=48$

সুতরাং পরম ত্রুটি ,$|e_n|_1=|n-n_{max}|=|50-52|=|-2|=2$

অথবা, $|e_n|_2=|n-n_{min}|=|50-48|=|2|=2$

গড় পরম ত্রুটি ,$|\bar{e}_n|=\dfrac{|e_n|_1+|e_n|_2}{2}$

                      $=\dfrac{2+2}{2}$

                      $=\dfrac{4}{2}$

                      $=2=$ পরম ত্রুটি।

Note-1: এক মাত্রার পরিমাপে, পরমত্রুটি $=$ গড় পরম ত্রুটি।

অর্থাৎ,$|e|=|\bar{e}|$

আপেক্ষিক ত্রুটিঃ

গড় পরমত্রুটি এবং পরিমাপকৃত মানের অনুপাতকে আপেক্ষিক ত্রুটি বলে।

অর্থাৎ আপেক্ষিক ত্রুটি , $E_n=\dfrac{|\bar{e}_n|}{n}$

                                           $=\dfrac{2}{50}$

                                           $=\dfrac{1}{25}$

                                           $=0.04$

শতাংশ ত্রুটিঃ

আপেক্ষিক ত্রুটিকে শতকরায় প্রকাশ করলে যা পাওয়া যায় তাকে শতাংশ ত্রুটি বলে।

অর্থাৎ শতাংশ ত্রুটি $=E_n×100\%$

                             $=0.04×100\%$

                             $=4\%$

গাণিতিক সমস্যাঃ

একটি ঘনকের ধার পরিমাপ করে $10\mathrm{cm}$ পাওয়া গেল। ধার পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি $10\%$ হলে ক্ষেত্রফল ও আয়তন পরিমাপে শতাংশ ত্রুটি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দৈর্ঘ্যের পরিমাপকৃত মান, $l=10\mathrm{cm}$

 দৈর্ঘ্য পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি, $E_l=10\%=0.1$

দৈর্ঘ্যের গড় পরম ত্রুটি,$|\bar{e}_l|=?$

আমরাজানি, $E_l=\dfrac{|\bar{e}_l|}{l}$  

                   বা, $|\bar{e}_l|=E_ll$

                   বা, $|\bar{e}_l|=0.1×10$

                    বা, $|e_l|=1$  [Note-1 হতে] [দৈর্ঘ্য এক মাত্রা]

সুতরাং দৈর্ঘ্য পরিমাপে সর্বোচ্চ ত্রুটি $e_l=\pm 1$

সম্ভাব্য সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য, $l_{max}=(10+1)\mathrm{cm}=11\mathrm{cm}$

সুতরাং সম্ভাব্য সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল, $A_{max}=6l_{max}^2=6\times 11^2\mathrm{cm^2}=726\mathrm{cm^2}$

এবং সম্ভাব্য সর্বোচ্চ আয়তন, $V_{max}=l_{max}^3=11^3\mathrm{cm^3}=1331\mathrm{cm^3}$

সম্ভাব্য সর্বনিম্ন দৈর্ঘ্য, $l_{min}=(10-1)\mathrm{cm}=9\mathrm{cm}$

সুতরাং সম্ভাব্য সর্বনিম্ন ক্ষেত্রফল, $A_{min}=6l_{min}^2=6\times 9^2\mathrm{cm^2}=486\mathrm{cm^2}$

এবং সম্ভাব্য সর্বনিম্ন আয়তন, $V_{min}=l_{min}^3=9^3\mathrm{cm^3}=729\mathrm{cm^3}$

পরিমাপকৃত ক্ষেত্রফল, $A=6l^2=6\times 10^2\mathrm{cm^2}=600\mathrm{cm^2}$

পরিমাপকৃত আয়তন, $V=l^3=10^3\mathrm{cm^3}=1000\mathrm{cm^3}$

ক্ষেত্রফল পরিমাপে পরমত্রুটি , $|e_A|_1=|A-A_{max}|=|600-726|\mathrm{cm^2}$$=|-126|\mathrm{cm^2}=126\mathrm{cm^2}$

অথবা,

$|e_A|_2=|A-A_{min}|=|600-486|\mathrm{cm^2}$$=|114|\mathrm{cm^2}=114\mathrm{cm^2}$

ক্ষেত্রফল পরিমাপে গড় পরমত্রুটি, $|\bar{e}_A|=\dfrac{|e_A|_1+|e_A|_2}{2}$

                      $=\dfrac{(126+114)\;\mathrm{cm^2}}{2}$

                      $=\dfrac{240\;\mathrm{cm^2}}{2}$

                      $=120\;\mathrm{cm^2}$

ক্ষেত্রফলের আপেক্ষিক ত্রুটি,$E_A=\dfrac{|\bar{e}_A|}{A}$

                                         $=\dfrac{120}{600}$

                                         $=\dfrac{1}{5}$

                                         $=0.2×100\%$

                                         $=20\%$   $(Ans.)$

আয়তন পরিমাপে পরমত্রুটি ,

 $|e_V|_1=|V-V_{max}|$

           $=|1000-1331|\mathrm{cm^3}$

           $=|-331|\mathrm{cm^3}$

           $=331\mathrm{cm^3}$

অথবা,

$|e_{_V}|_2=|V-V_{min}|$

          $=|1000-729|\mathrm{cm^3}$

          $=|271|\mathrm{cm^3}$

          $=271\mathrm{cm^3}$

আয়তন পরিমাপে গড় পরম ত্রুটি, $|\bar{e}_V|=\dfrac{|e_V|_1+|e_V|_2}{2}$

                              $=\dfrac{(331+271)\;\mathrm{cm^3}}{2}$

                      $=\dfrac{602\;\mathrm{cm^3}}{2}$

                      $=301\;\mathrm{cm^3}$

আয়তনে আপেক্ষিক ত্রুটি,$E_V=\dfrac{|\bar{e}_V|}{V}$

                                         $=\dfrac{301}{1000}$

                                         $=0.301\times 100\%$

                                         $=30.1\%\approx 30\%$    $(Ans.)$

Note-2: উপরোক্ত উদাহরণ হতে দেখা যায় যে, কোন রাশির আপেক্ষিক ত্রুটি ঐ রাশিতে  উপস্থিত  রাশিসমূহের আপেক্ষিক ত্রুটির  সাথে তার নিজস্ব ঘাতের পরমমানের গুণফলের সমষ্টির সমান।

উপরের উদাহরণের বিকল্প সমাধানঃ

ধরি, ঘনকের ধার$=l$

দেওয়া আছে ধারের আপেক্ষিক ত্রুটি,$E_l=\dfrac{|e_l|}{l}=10\%$

ঘনকের ক্ষেত্রফল,$A=6l^2$

সুতরাং ক্ষেত্রফলের আপেক্ষিক ত্রুটি,$E_A=\dfrac{|\bar{e}_A|}{A}=2\dfrac{|e_l|}{l}$

                                            $=2\times 10\%$

                                            $=20\%$

ঘনকের আয়তন,$V=l^3$

সুতরাং আয়তনে আপেক্ষিক ত্রুটি,

$E_V=\dfrac{|\bar{e}_V|}{V}=3\dfrac{|e_l|}{l}$   [$\because l$ এর ঘাত $3$]

                                     $=3\times 10\%$

                                     $=30\%$    $(Ans.)$

Note-3: এই নিয়মে ঘাত বাড়তে থাকলে আপেক্ষিক ত্রুটি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সঠিক ফলাফলের বিচ্যুতি ঘটে। এক বা দুই ঘাতের ক্ষেত্রে এই নিয়মে আপেক্ষিক ত্রুটি সঠিক হলেও তিন বা ততোধিক ঘাতের ক্ষেত্রে সঠিক ফলাফল পাওয়া যায় না।

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

একটি ঘনকের ধার পরিমাপ করে $20\mathrm{cm}$ পাওয়া গেল। ধার পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি $12\%$ হলে ক্ষেত্রফল ও আয়তন পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি নির্ণয় কর।

গাণিতিক সমস্যাঃ

$0.01\mathrm{mm}$ লগিষ্ঠ গণন যুক্ত  স্ক্রুগজের সাহায্যে একটি মার্বেলের ব্যাস পরিমাপে রৈখিক স্কেল পাঠ $13\mathrm{mm}$ এবং ঘূর্ণায়মান ভার্ণিয়ার স্কেলের পাঠ $20$ পাওয়া গেলো । যদি ব্যাসার্ধ পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি $5\%$ হয় তবে এর ক্ষেত্রফল ও আয়তন পরিমাপে শতাংশ ত্রুটি নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

লগিষ্ঠ গণন, $LC=0.01\;\mathrm{mm}$

রৈখিক স্কেল পাঠ, $L=13\;\mathrm{mm}$

বৃত্তাকার স্কেল পাঠ, $C=22$

মার্বেলের ব্যাস, $d=L+C×LC$

                          $=(13+20×0.01)\;\mathrm{mm}$

                          $=13.2\;\mathrm{mm}$

সুতরাং পরিমাপকৃত ব্যাসার্ধ, $r=\dfrac{13.2}{2}$

                         $=6.6\;\mathrm{mm}$

ব্যাসার্ধ পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি, $E_r=5\%=0.05$

ব্যাসার্ধ পরিমাপে 

গড় পরমত্রুটি $=|\bar{e}_r|=$ পরমত্রুটি $=|e_r|$

$\therefore E_r=\dfrac{|\bar{e}_r|}{r}$

   বা,$|\bar{e}_r|=E_rr$

   বা,$|e_r|=0.05×6.6\;\mathrm{mm}$

   বা, $|e_r|=0.33\;\mathrm{mm}$

   $\therefore e_r=\pm 0.33\;\mathrm{mm}$

সম্ভাব্য সর্বোচ্চ ব্যাসার্ধ, $r_{max}=(6.6+0.33)\;\mathrm{mm}$

                                                 $=6.93\;\mathrm{mm}$

সম্ভাব্য সর্বনিম্ন ব্যাসার্ধ, $r_{min}=(6.6-0.33)\;\mathrm{mm}$

                                  $=6.27\;\mathrm{mm}$

সম্ভাব্য সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল, $A_{max}=4\pi r_{max}^2$

সম্ভাব্য সর্বোচ্চ আয়তন, $V_{max}=\dfrac{4}{3}\pi r_{max}^3$

সম্ভাব্য সর্বনিম্ন ক্ষেত্রফল, $A_{min}=4\pi r_{min}^2$

সম্ভাব্য সর্বনিম্ন আয়তন, $V_{min}=\dfrac{4}{3}\pi r_{min}^3$

পরিমাপকৃত ক্ষেত্রফল, $A=4\pi r^2$

                                     $=4\pi×6.6^2$

                                     $=4\pi×43.56\;\mathrm{mm^2}$

পরিমাপকৃত আয়তন, $V=\dfrac{4}{3}\pi  r^3$

ক্ষেত্রফলের পরম ত্রুটি, $|e_A|_1=|A-A_{max}|$

                                         $=4\pi|r^2-r_{max}^2|$

                                         $=4×\pi |6.6^2--6.93^2|\mathrm{mm^2}$

                                        $=4\pi |-4.4649|\mathrm{mm^2}$

                                       $=4\pi ×4.4649\mathrm{mm^2}$

অথবা, $|e_A|_2=|A-A_{min}|$

                                         $=4\pi|r^2-r_{min}^2|$

                                         $=4×\pi |6.6^2--6.27^2|\mathrm{mm^2}$

                                        $=4\pi |4.2471|\mathrm{mm^2}$

                                       $=4\pi ×4.2471\mathrm{mm^2}$

ক্ষেত্রফল পরিমাপে গড় পরমত্রুটি, $|\bar{e}_A|=\dfrac{|e_A|_1+|e_A|_2}{2}$

                      $=\dfrac{(4\pi ×4.4649+4\pi ×4.2471)\;\mathrm{mm^2}}{2}$

                      $=\dfrac{4\pi ×8.712\;\mathrm{mm^2}}{2}$

                      $=4\pi×4.356\;\mathrm{mm^2} $

ক্ষেত্রফলের আপেক্ষিক ত্রুটি,$E_A=\dfrac{|\bar{e}_A|}{A}$

                                         $=\dfrac{4\pi×4.356}{4\pi×43.56}$

                                         $=0.1$

                                         $=0.1×100\%$

                                         $=10\%$   $(Ans.)$

আয়তন পরিমাপে পরমত্রুটি , 

$|e_V|_1=|V-V_{max}|$

              $=\dfrac{4}{3}\pi|r^3-r_{max}^3|\mathrm{mm^3}$

              $=\dfrac{4}{3}\pi |6.6^3-6.93^3|\mathrm{mm^3}$

             $=\dfrac{4}{3}\pi|-45.316557|\;\mathrm{mm^3}$

            $=\dfrac{4}{3}\pi×45.316557\mathrm{mm^3}$

অথবা,

$|e_V|_2=|V-V_{min}|$

              $=\dfrac{4}{3}\pi|r^3-r_{min}^3|\;\mathrm{mm^3}$

             $=\dfrac{4}{3}\pi×|6.6^3-6.27^3|\;\mathrm{mm^3}$

            $=\dfrac{4}{3}\pi×41.00412\;\mathrm{mm^3}$

আয়তন পরিমাপে গড় পরম ত্রুটি,

 $|\bar{e}_V|=\dfrac{|e_V|_1+|e_V|_2}{2}$

            $=\dfrac{\dfrac{4}{3}\pi (45.316557+41.00412)\;\mathrm{mm^3}}{2}$                            $=\dfrac{\dfrac{4}{3}\pi×86.32067\;\mathrm{mm^3}}{2}$

             $=\dfrac{4}{3}\pi×43.16034\;\mathrm{mm^3}$

আয়তনে আপেক্ষিক ত্রুটি,$E_V=\dfrac{|\bar{e}_V|}{V}$

                                         $=\dfrac{\dfrac{4}{3}\pi×43.16034}{\dfrac{4}{3}\pi ×6.6^3}$

                                         $=0.150125\times 100\%$

                                         $=15.01\%\approx 15\%$    $(Ans.)$

বিকল্প নিয়মঃ

ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ,$=r$

দেওয়া আছে ব্যাসার্ধের আপেক্ষিক ত্রুটি,$E_r=\dfrac{|e_r|}{r}=5\%$

গোলকের ক্ষেত্রফল,$A=4\pi r^2$

সুতরাং ক্ষেত্রফলের আপেক্ষিক ত্রুটি,$E_A=\dfrac{|\bar{e}_A|}{A}=2\dfrac{|e_r|}{r}$

                                                                               $=2\times 5\%$

                                                                               $=10\%$

গোলকের আয়তন,$V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$

সুতরাং আয়তনে আপেক্ষিক ত্রুটি,

$E_V=\dfrac{|\bar{e}_V|}{V}=3\dfrac{|e_r|}{r}$   [$\because l$ এর ঘাত $3$]

                       $=3\times 5\%$

                       $=15\%$    $(Ans.)$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

$0.02\mathrm{mm}$ লগিষ্ঠ গণন যুক্ত  স্ক্রুগজের সাহায্যে একটি গোলকের ব্যাস পরিমাপে রৈখিক স্কেল পাঠ $15\mathrm{mm}$ এবং ঘূর্ণায়মান ভার্ণিয়ার স্কেলের পাঠ $24$ পাওয়া গেলো । যদি ব্যাসার্ধ পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি $7\%$ হয় তবে এর ক্ষেত্রফল ও আয়তন পরিমাপে শতাংশ ত্রুটি নির্ণয় করো।

*** সূত্রঃ

$Q=x^ay^bz^c$ এর (যেখানে $a,b,c\in\mathbb{R}$)  ক্ষেত্রে $Q$ এর আপেক্ষিক ত্রুটি, $E_Q=|a|\dfrac{|e_x|}{x}+|b|\dfrac{|e_y|}{y}+|c|\dfrac{|e_z|}{z}$

যেখানে $x,y,z$ একমাত্রিক রাশি। 

গাণিতিক সমস্যাঃ

সরলদোলকের সাহায্যে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান নির্ণয়ে কার্যকর দৈর্ঘ্য পরিমাপে $0.5\%$ এবং দোলনকাল পরিমাপে $2\%$ ত্রুটি হলে $g$ নির্ণয়ে শতাংশ ত্রুটি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে কার্যকর দৈর্ঘ্য পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি,

$E_L=\dfrac{|e_L|}{L}=0.5\%$

দোলনকাল পরিমাপে শতাংশ ত্রুটি,

$E_T=\dfrac{|e_T|}{T}=2\%$

আমরাজানি,

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

বা, $g=\dfrac{4\pi ^2L}{T^2}$

বা, $g=4\pi ^2LT^{-2}$

সুতরাং $g$ পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি,

$E_g=\dfrac{|e_L|}{L}+|-2|\dfrac{|e_T|}{T}$

      $=0.5\%+2×2\%$

       $=4.5\%$     $(Ans.)$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ 

তুলাযন্ত্রের সাহায্যে ভর পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি $2\%$ স্পিডোমিটারের সাহায্যে গতি পরিমাপে আনুপাতিক ত্রুটি $1\%$ হলে গতিশক্তি পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি কত?

গাণিতিক সমস্যাঃ

একজন শিক্ষার্থী সরলদোলকের সাহায্যে $9.77\mathrm{ms^{-2}}$  অভিকর্ষজ ত্বরণ নির্ণয় করে ঐ স্থানে স্প্রিং নিক্তিতে $3\mathrm{kg}$ ভর ঝুলিয়ে  $29.43\mathrm{N}$ ওজন পরিমাপ করল।অভিকর্ষজ ত্বরণের আপেক্ষিক ত্রুটি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

সম্ভাব্য অভিকর্ষজ ত্বরণ $g_{\text{approach}}=9.77\mathrm{ms^2}$

প্রকৃত অভিকর্ষজ ত্বরণ,$g=\dfrac{W}{m}$

                                     $=\dfrac{29.43}{3}$

                                     $=9.81\mathrm{ms^{-2}}$

সুতরাং $g$ এর পরমত্রুটি $|e_g|=|g-g_{\text{approach}}|$

                                  $=|9.81-9.77|\mathrm{ms^2}$

                                   $=0.04\mathrm{ms^{-2}}$

এবং আপেক্ষিক ত্রুটি $E_g=\dfrac{|e_g|}{g}$

                                       $=\dfrac{0.04}{9.81}$

                                       $= 0.00408×100\%$

                                       $=0.408\%$    

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

পারদস্তম্ভের সাহায্যে কোন স্থানে চাপ পরিমাপ করে $1.013×10^5\;\mathrm{Pa}$ পাওয়া গেলো । একই সময়ে ঐ স্থানে কেরোসিন স্তম্ভের সাহায্যে চাপ $10^5\;\mathrm{Pa}$ পাওয়া গেলে চাপ নির্ণয়ে শতাংশ ত্রুটি নির্ণয় করো।

গাণিতিক সমস্যাঃ

$m=(1.5\pm 0.02)\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি গোলককে $r=(2.5\pm 0.01)\;\mathrm{m}$ ব্যাসার্ধের আনুভূমিক বৃত্তাকার পথে রশির সাহায্যে $v=(15\pm 0.5)\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে  ঘুরালে কেন্দ্রমুখী বল, $F=\dfrac{mv^2}{r}$ নির্ণয়ে আনুপাতিক ত্রুটি নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

$E_F=\dfrac{|e_m|}{m}+2\dfrac{|e_v|}{v}+|-1|\dfrac{|e_r|}{r}$

        $=\dfrac{|\pm 0.02|}{1.5}+2\dfrac{|\pm 0.5|}{15}+\dfrac{|\pm 0.01|}{2.5}$

   $=\dfrac{0.02}{1.5}+2\dfrac{0.5}{15}+\dfrac{0.01}{2.5}$

         $=0.084\times 100\%$

         $=8.4\%$     $(Ans.)$

Note:

ত্রুটিযুক্ত পরিমাপ $=$ পরিমাপকৃত মান $\pm$পরমত্রুটি।

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

১.$m=(1.5\pm 0.2)\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি গোলককে $r=(2.5\pm 0.1)\;\mathrm{m}$ ব্যাসার্ধের আনুভূমিক বৃত্তাকার পথে রশির সাহায্যে $v=(15\pm 0.5)\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে  ঘুরালে কেন্দ্রমুখী বল, $F=\dfrac{mv^2}{r}$ নির্ণয়ে আনুপাতিক ত্রুটি নির্ণয় করো।     উত্তরঃ $24\%$

গাণিতিক সমস্যাঃ

$L=(100\pm 0.1)\mathrm{cm}$ কার্যকর দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট সরলদোলকের দোলনকাল $T=2.1\mathrm{s}$ এবং সরলদোলকটির সাহায্যে $20$ টি দোলনের সময় পরিমাপে সর্বোচ্চ ত্রুটি $\pm 1\mathrm{s}$ হলে অভিকর্ষজ ত্বরণ নির্ণয়ে আনুপাতিক ত্রুটি নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

পরিমাপকৃত কার্যকর দৈর্ঘ্য, $L=100\;\mathrm{cm}$

 কার্যকর দৈর্ঘ্য পরিমাপে পরমত্রুটি, $|e_L|=|\pm 0.1|\;\mathrm{cm}=0.1\;\mathrm{cm}$

পরিমাপকৃত দোলনকাল $T=2.1\;\mathrm{s}$

দোলনকাল পরিমাপে পরমত্রুটি, $|e_T|=\left|\dfrac{\pm 1\;\mathrm{s}}{20}\right|$ 

             $=0.05\;\mathrm{s}$

আমরাজানি,

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

বা, $g=\dfrac{4\pi ^2L}{T^2}$

বা, $g=4\pi ^2LT^{-2}$

সুতরাং $g$ পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি,

$E_g=\dfrac{|e_L|}{L}+|-2|\dfrac{|e_T|}{T}$

      $=\dfrac{0.1\;\mathrm{cm}}{100\;\mathrm{cm}}+2\dfrac{0.05\;\mathrm{s}}{2.1\;\mathrm{s}}$

      $=0.001+0.048$

       $=0.049×100\%$  

       $=4.9\% \approx 5\%$    $(Ans.)$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

একটি ধাতব গোলকের পরিমাপ্য ব্যাসার্ধ $(2.4\pm 0.2)\;\mathrm{cm}$ হলে গোলকটির ক্ষেত্রফল , আয়তন ও ধারকত্ব পরিমাপে শতাংশ ত্রুটি নির্ণয় করো।

$($ গোলকের ধারকত্ব $C=\dfrac{r}{k}$ $)$

Note: যদি কোনো গাণিতিক সমস্যায় শুধু পরিমাপকৃত মান গুলো উল্লেখ করা হয় এবং আপেক্ষিক ত্রুটি নির্ণয় করতে বলা হয় তবে সর্বোচ্চ ত্রুটি $\pm 0.5$ ধরে আপেক্ষিক ত্রুটি নির্ণয় করা হয়। 

গাণিতিক সমস্যাঃ

শুধু সেন্টিমিটার এককে দাগ কাটা রুলারের সাহায্যে একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা পরিমাপে যথাক্রমে $10\;\mathrm{cm},\; 5\;\mathrm{cm}\; ও\; 4\;\mathrm{cm}$ পাওয়া গেলো। বাক্সটির ক্ষেত্রফল ও আয়তন পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

পরিমাপকৃত ক্ষেত্রফল, $A=2(10×5+5×4+10×4)\;\mathrm{cm^2}$

   $=220\;\mathrm{cm^2}$

ত্রুটিযুক্ত পরিমাপে দৈর্ঘ্য $=(10\pm 0.5)\;\mathrm{cm}$

                         প্রস্থ $=(5\pm 0.5)\;\mathrm{cm}$

                    উচ্চতা $=(4\pm 0.5)\;\mathrm{cm}$

সুতরাং ত্রুটিযুক্ত পরিমাপে সম্ভাব্য সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল,

$A_{max}=2(10.5×5.5+5.5×4.5+4.5×10.5)\mathrm{cm^2}$

                $=\dfrac{519}{2}\;\mathrm{cm^2}$

                $=259.5\;\mathrm{cm^2}$

এবং সম্ভাব্য সর্বনিম্ন ক্ষেত্রফল,

$A_{min}=2(9.5×4.5+4.5×3.5+3.5×9.5)\;\mathrm{cm^2}$

             $=\dfrac{367}{2}\;\mathrm{cm^2}$

             $=183.5\;\mathrm{cm^2}$

ক্ষেত্রফল পরিমাপে পরমত্রুটি ,

 $|e_A|_1=|A-A_{max}|$

             $=|220-259.5|\mathrm{cm^2}$

             $=|-39.5|\mathrm{cm^2}$

             $=39.5\mathrm{cm^2}$

অথবা,

$|e_A|_2=|A-A_{min}|$

               $=|220-183.5|\mathrm{cm^2}$

               $=|36.5|\mathrm{cm^2}$

               $=36.5\mathrm{cm^2}$

ক্ষেত্রফল পরিমাপে গড় পরমত্রুটি, $|\bar{e}_A|=\dfrac{|e_A|_1+|e_A|_2}{2}$

                      $=\dfrac{(39.5+36.5)\;\mathrm{cm^2}}{2}$

                      $=\dfrac{76\;\mathrm{cm^2}}{2}$

                      $=38\;\mathrm{cm^2}$

ক্ষেত্রফলের আপেক্ষিক ত্রুটি,$E_A=\dfrac{|\bar{e}_A|}{A}$

                                         $=\dfrac{38}{220}$

                                         $=\dfrac{19}{110}$

                                         $=0.172×100\%$

                                         $=17.2\%$   $(Ans.)$

পরিমাপকৃত আয়তন, $V=10×5×4\;\mathrm{cm^3}$

                                   $=200\;\mathrm{cm^3}$

সম্ভাব্য সর্বোচ্চ আয়তন,

$V_{max}=(10+0.5)(5+0.5)(4+0.5)\;\mathrm{cm^3}$

             $=\dfrac{2079}{8}\;\mathrm{cm^3}$

             $=259.875\;\mathrm{cm^3}$

সম্ভাব্য সর্বনিম্ন আয়তন,

$V_{max}=(10-0.5)(5-0.5)(4-0.5)\;\mathrm{cm^3}$

             $=\dfrac{1197}{8}\;\mathrm{cm^3}$

             $=149.625\;\mathrm{cm^3}$

আয়তন পরিমাপে পরমত্রুটি ,

 $|e_V|_1=|V-V_{max}|$

           $=|200-259.875|\mathrm{cm^3}$

           $=|-59.875|\mathrm{cm^3}$

           $=59.875\mathrm{cm^3}$

অথবা,

$|e_V|_2=|V-V_{min}|$

          $=|200-149.625|\mathrm{cm^3}$

          $=|50.375|\mathrm{cm^3}$

          $=50.375\mathrm{cm^3}$

আয়তন পরিমাপে গড় পরম ত্রুটি, $|\bar{e}_V|=\dfrac{|e_V|_1+|e_V|_2}{2}$

                              $=\dfrac{(59.875+50.375)\;\mathrm{cm^3}}{2}$

                      $=\dfrac{110.25\;\mathrm{cm^3}}{2}$

                      $=55.125\;\mathrm{cm^3}$

আয়তনে আপেক্ষিক ত্রুটি,$E_V=\dfrac{|\bar{e}_V|}{V}$

                                         $=\dfrac{55.125}{200}$

                                         $=0.275625\times 100\%$

                                         $=27.56\%\approx 27.5\%$    $(Ans.)$

বিকল্প সমাধানঃ

আয়তন,$V=abc$

আয়তনে আপেক্ষিক ত্রুটি,

$E_V=\dfrac{|e_a|}{a}+\dfrac{|e_b|}{b}+\dfrac{|e_c|}{c}$

      $=\dfrac{|\pm 0.5|}{10}+\dfrac{|\pm 0.5|}{5}+\dfrac{|\pm 0.5|}{4}$

      $=\dfrac{0.5}{10}+\dfrac{0.5}{5}+\dfrac{0.5}{4}$

     $=0.275\times 100\%$

     $=27.5\%$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

সেন্টিমিটারে দাগাঙ্কিত রুলারের সাহায্যে একটি বইয়ের মাত্রা পরিমাপে যথাক্রমে $15\;\mathrm{cm}\:,\;10\;\mathrm{cm}\; ও \; 2\;\mathrm{cm}$ পাওয়া গেলো।বইটির ক্ষেত্রফল ও  আয়তন পরিমাপে কি পরিমাণ আপেক্ষিক ত্রুটি হবে।

গাণিতিক সমস্যাঃ

একটি গোলকের ব্যাসার্ধ পরিমাপে $6\;\mathrm{cm}$ পাওয়া গেল। এর আয়তন পরিমাপে শতাংশ ত্রুটি $30\%$ হলে ব্যাসার্ধ ও ক্ষেত্রফল পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি নির্ণয় কর।

বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ

১.পদার্থ বিজ্ঞানের প্রাচীনতম শাখা-

  (ক) বলবিদ্যা    (খ) স্থিতিবিদ্যা    (গ) গতিবিদ্যা   (ঘ) জ্যোতির্বিদ্যা

২.রসায়ন শাখার সাথে পদার্থ বিজ্ঞান শাখার সম্মিলনে গড় উঠেছে-

  (ক) Biophysics    (খ) Chemical Physics      (গ) Geophysics       (ঘ) Astrophysics

৩.আধুনিক পদার্থ বিজ্ঞানের শাখা কোনটি?

  (ক) চৌম্বকবিজ্ঞান    (খ) আলোকবিজ্ঞান    (গ) পার্টিকেল ফিজিকস      (ঘ) তাপগতিবিজ্ঞান

৪.পৃথিবীর ব্যাসার্ধ সঠিকভাবে বের করেছেন কোন বিজ্ঞানী?

  ( ক) ইরাতোস্থিনিস    (খ) আরিস্তারাকস      (গ) সেলেউকাস      (ঘ) আর্কিমিডিস

৫.গোলীয় আয়নায় সূর্যরশ্মিকে কেন্দ্রীভূত  করেছিলেন কোন বিজ্ঞানী?

( ক) ইরাতোস্থিনিস    (খ) আরিস্তারাকস      (গ) সেলেউকাস      (ঘ) আর্কিমিডিস

৬.আলোক বিজ্ঞানের স্থপতি-

  (ক) আল হাইয়াম     (খ) আল খোয়ারিজমি     (গ) আল মাসুদি       (ঘ) ওমর খৈয়াম 

৭.প্রকৃতির ইতিহাস নিয়ে ৩০খন্ডে এনসাইক্লোপিডিয়া লিখেছেন কোন বিজ্ঞানী?

(ক) আল হাইয়াম     (খ) আল খোয়ারিজমি     (গ) আল মাসুদি       (ঘ) ওমর খৈয়াম 

৮.ওমর খৈয়াম একাধারে 

  $i.$কবি 

 $ ii.$গণিতবিদ 

  $iii.$ দার্শনিক 

কোনটি সঠিক?

   (ক) $i, ii$      (খ) $i,iii$     (গ) $ii, iii$     (ঘ) $i,ii,iii$

৯.কোয়ান্টাম তত্ত্বের সাথে থিওরি অব রিলেটিভিটি ব্যবহার করে কোন বিজ্ঞানী প্রতি পদার্থের অস্তিত্ব ঘোষণা করেন?

  (ক) আইনস্টাইন      (খ) ইয়ং     (গ) ডিরাক      (ঘ) অয়েরস্টেড

১০.তড়িৎ প্রবাহে চৌম্বকক্ষেত্রের সৃষ্টি হয় – কোন বিজ্ঞানীর সৃষ্টি?

  (ক) আইনস্টাইন      (খ) ইয়ং     (গ) ডিরাক      (ঘ) অয়েরস্টেড

১১.কঠিন পদার্থের বিজ্ঞান  (solid state) নিয়ে গবেষণা কিসের জন্ম দেয়?

  (ক) ডার্ক ম্যাটার    (খ) এন্টি ম্যাটার     (গ) বোসন কণা    (ঘ)ইলেকট্রনিক্স 

১২.বিদ্যুৎ চৌম্বকীয় এবং দুর্বল নিউক্লিয় বলকে একত্রে কি নামে ডাকা হয়?

  (ক) electro weak force     (খ) electromagnetic force      (গ) magnetism     (ঘ) electric force

১৩.কোনটি মৌলিক রাশি?

  (ক) পরিবাহিতা     (খ) রোধকত্ব     (গ) পরিবাহকত্ব       (ঘ) দীপন তীব্রতা 

১৪.কোনটি লব্ধ রাশি?

  (ক) চার্জ         (খ) তড়িৎ প্রবাহ      (গ)পদার্থের পরিমাণ      (ঘ) তাপমাত্রা 

১৫.$1\;\mathrm{Pm}=$কত মিটার? 

    (ক) $10^{12}$    (খ) $10^{-15}$         (গ) $10^{15}$        (ঘ) $10^{-12}$

১৬.$i.$সকল রাশির মান এবং এককের মাঝে Space থাকে ।

      $ii.$ গুণ করে পাওয়া লব্ধ রাশির দুটি এককের মাঝে Space থাকে ।

     $iii.$ প্রতীকগুলো গাণিতিক প্রকাশ ,কোন কিছুর সংক্ষিপ্ত প্রকাশ নয়।

কোনটি সঠিক?

     (ক) $i, ii$      (খ) $i,iii$     (গ) $ii, iii$    (ঘ) $i,ii,iii$

১৭.$i.$ এককের সংকেত সব সময় ছোট হাতের অক্ষর।

      $ii.$ এককের উপসর্গ এবং এককের মাঝে Space থাকে না।

    $iii.$  এককের সংকেত গুলো কখনো বহুবচন হয় না।

কোনটি সঠিক?

    (ক) $i, ii$      (খ) $i,iii$     (গ) $ii, iii$     (ঘ) $i,ii,iii$

১৮.স্ক্রুগেজের সাহায্যে সর্বোনিম্ন  কত মি.মি. পর্যন্ত মাপা সম্ভব ?

    (ক) $0.1$         (খ) $0.01$       (গ) $0.5$       (ঘ) $0.05$

নিচের উদ্দীপকের সাহায্যে ১৯-২৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

স্লাইড ক্যালির্পাসের সাহায্যে ঘনক আকৃতির বস্তুর ধার পরিমাপে প্রধান স্কেলের পাঠ $4\;\mathrm{cm}$ ,

ভার্ণিয়ার সমপাতন $5$ পাওয়া গেল, ভার্ণিয়ারের ঘর সংখ্যা $10$ এবং প্রধান স্কেলের $1$ ঘরের দৈর্ঘ্য $1\;\mathrm{mm}.$

১৯.ভার্ণিয়ার ধ্রুবক কত সে.মি.?

   (ক) $0.5$       (খ) $0.05$        (গ) $0.1$       (ঘ) $0.01$

২০.ঘনকটির ধার কত সে.মি.?

  (ক) $4.5$        (খ) $4.05$         (গ) $4.1$        (ঘ) $4.01$

২১.ঘনকটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

   (ক) $121.5$       (খ) $98.415$      (গ) $100.86$       (ঘ) $96.4806$

২২.ঘনকটির আয়তন কত ঘন সে.মি.?

   (ক) $64.481$      (খ) $68.921$          (গ) $91.125$         (ঘ) $66.4301$

২৩.ঘনকটির দৈর্ঘ্য  পরিমাপে ত্রুটি $±0.5\;\mathrm{mm}$ ক্ষেত্রফল পরিমাপে  শতাংশ ত্রুটি কত?

    (ক)  $1.5$      (খ) $2.5$       (গ) $3.5$         (ঘ) $4.5$ 

২৪.গোলকের ব্যাস $d$ হলে তার আয়তন কত?

   ক  $\dfrac{4}{3} πd^3$          (খ) $\dfrac{1}{3} πd^3$      (গ) $\dfrac{1}{6}πd^3$      (ঘ) $\dfrac{2}{3} πd^3$

২৫.কোয়ান্টাম তত্ত্ব প্রথম কে প্রদান করেন?

 (ক)প্ল্যাঙ্ক          (খ) আইনস্টাইন         (গ) রাদারফোর্ড      (ঘ) হাইজেনবার্গ