physics,motion

মাত্রাঃ

কোনো রাশিতে উপস্থিত মৌলিক রাশিসমূহের ঘাত বা সূচককে ঐ রাশির মাত্রা বলে।

দূরত্ব:

প্রসঙ্গ বস্তু বা কাঠামোর সাপেক্ষে যেকোনো দিকে কোনো বস্তুর অবস্থানের পরিবর্তনকে দূরত্ব বলে।

দূরত্বকে $d$ বা $s$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

দূরত্বের একক মিটার $(\mathrm{m}).$

দূরত্বের মাত্রা $L$

দূরত্ব একটি স্কেলার রাশি।

সরণ:

প্রসঙ্গ বস্তু বা কাঠামোর সাপেক্ষে কোনো নির্দিষ্ট দিকে কোনো বস্তুর অবস্থানের পরিবর্তনকে সরণ বলে।

সরণকে $\vec{d}$ বা $\vec{s}$  দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

 সরণের একক মিটার $\mathrm{m}$

সরণের মাত্রা $L$

সরণ একটি ভেক্টর রাশি।

বস্তু দিক পরিবর্তন না করে সরলপথে গমণ করলে সরণের মানকে দূরত্ব বলে ।অর্থাৎ $|\vec{s}|=s=$দূরত্ব

যেমন:সরণ,$\vec{s}=5m$ দক্ষিণ 

 বা,$|\vec{s}|=$|5m দক্ষিণ|

 বা, $s=5m=$দূরত্ব

** দূরত্ব সরল বা বক্রপথ হতে পারে ।সরণ সবসময় আদি অবস্থান হতে শেষ অবস্থানের মধ্যবর্তী সরাসরি দূরত্ব বোঝায়।

গাণিতিক সমস্যা:

$10\mathrm{m}$ ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার পথে দূরত্ব ও সরণ নির্ণয় কর যদি-

(ক) সম্পূর্ণ বৃত্তপথ একবার ঘুরে আসা হয়।

(খ)অর্ধ বৃত্তপথ বা বৃত্তপথটি দেড় পাক ঘুরেআসা হয় ।

(গ)এক-চতুর্থাংশ বা তিন-চতুর্থাংশ বৃত্তপথ অতিক্রম করা হয়।

(ঘ)যে বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 30° কোণ উৎপন্ন করে ( বৃত্তপথটি সম্পূর্ণ বৃত্তের $\dfrac{1}{12}$  অংশ) সেই বৃত্তচাপ অতিক্রম করা হয়।

(ঙ)বৃত্তপথটির $\dfrac{3}{8}$ অংশ অতিক্রম করলে দূরত্ব ও সরণ কত হবে?

             (ক)নং প্রশ্নের সমাধান:

সম্পূর্ণ বৃত্তপথ হলো বৃত্তের পরিধি।

সুতরাং অতিক্রান্ত দূরত্ব,$s=2πr$   

                                        $=2×3.1416×10\mathrm{m}$

                                        $=62.832\mathrm{m}$

এবং সরণ, $\vec{s} =\underline{O}$   [কারণ আদি ও শেষ অবস্থান একই$(A)$]

অর্থাৎ $A$ বিন্দু থেকে রওনা দিয়ে সম্পূর্ণ পরিধি ঘুরে আবার ঐ বিন্দুতে অবস্থান করায় সরণ শূণ্য।

                       (খ)নং প্রশ্নের উত্তর:

অর্ধবৃত্তপথ$(ACB)$,$s=πr$

                          $ =3.1416×10$

                          $=31.416\mathrm{m}$

অর্ধবৃত্তপথে সরণ,$\vec{s}=$বৃত্তের ব্যাসের সমান $A$ হতে $B$ বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব $=2r (A$হতে$ B)$

                  $=2×10m (A$হতে$B)$

                  $=20m (A$ হতে$B)$

বৃত্তপথটি দেড় পাক ঘুরলেও সরণ একই হবে।কিন্তু অতিক্রান্ত দূরত্ব $=1.5×2πr$

         $=1.5×2×3.1416×10\mathrm{m}$

         $=94.248\mathrm{m}$

                    (গ)নং প্রশ্নের উত্তর:

বৃত্তপথটির এক-চতুর্থাংশ অতিক্রম করলে $(ACB$ পথে$)$

দূরত্ব $s=\dfrac{1}{4}×2πr$

       $=0.5×3.1416×10\mathrm{m}$

       $=15.708\mathrm{m}$

এবং সরণ,$\vec{s}=A$হতে $B$ পর্যন্ত দূরত্ব

                    $=\sqrt{10^2+10^2}$$ \mathrm{m}(A$ হতে$ B)$   

                                                 [$∵ΔAOB$ সমকোণী]

                  $=10\sqrt{2}\mathrm{m}$  $(A$হতে $B)$

বৃত্তপথটির তিন-চতুর্থাংশ অতিক্রম করলেও একই সরণ হবে।কিন্তু($ADB$ পথে) অতিক্রান্ত দূরত্ব $s=\dfrac{3}{4}×2πr$

                                         $=1.5×3.1416×10\mathrm{m}$

                                          $=47.124\mathrm{m}$

          .         (ঘ)নং প্রশ্নের সমাধান:

বৃত্তপথটি বৃত্তের কেন্দ্রে $∠AOB=30°$ কোণ উৎপন্ন করলে ($ACB$ পথে)

অতিক্রান্ত দূরত্ব $s=\dfrac{πrθ}{180}$

                $ =\dfrac{3.1416×10×30}{180}$

                 $ =5.236\mathrm{m}$

$ΔAOB$ এর $OA=b=10\mathrm{m}$ এবং $OB=c=10\mathrm{m}$.

$A$ হতে $B$ এর দূরত্ব $a$ হলে 

  $\cos{∠AOB}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

বা,$\cos 30°=\dfrac{10^2+10^2-a^2}{2×10×10}$

বা,$\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{100+100-a^2}{200}$

বা,$100\sqrt{3}=200-a^2$

বা,$a^2=200-100\sqrt{3}$

বা, $a^2=26.795$

বা,$a=\sqrt{26.795}$

$∴a=5.176\mathrm{m}$ 

সুতরাং সরণ,$\vec{s}=A$ হতে $5.176\mathrm{m}$ দূরে $B$ বিন্দুতে।

**অনুরূপভাবে

 অতিক্রান্ত বৃত্তপথটি কেন্দ্রে $60°$ কোণ উৎপন্ন করলে সরণ ও দূরত্ব নির্ণয় কর। [সংকেত: সমবাহু  ত্রিভুজের সাহায্যে ও সমাধান করা যাবে]

                    (ঙ)নং প্রশ্নের উত্তর:

বৃত্তপথটির $\dfrac{3}{8}$ অংশ অতিক্রম করলে ($ACB$ পথে)

দূরত্ব,$s=\dfrac{3}{8}×2πr$

    $=\dfrac{3}{4}×3.1416×10\mathrm{m}$

    $=23.562\mathrm{m}$

বৃত্তপথটির $\dfrac{3}{8}$ অংশ কেন্দ্রে $\dfrac{3}{8}×360^\circ=135^\circ=∠AOB$ কোণ উৎপন্ন করে এবং $AB=a,OA=b=10\mathrm{m}$,

$OB=c=10\mathrm{m}$ .

  $\cos{∠AOB}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 

বা,$\cos{135^\circ}=\dfrac{10^2+10^2-a^2}{2×10×10}$

বা, $\cos⁡\left(90^\circ+45^\circ\right)=\dfrac{1 00+100-a^2}{200}$

বা,$-\sin{45^\circ}=\dfrac{200-a^2}{200}$

বা,$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{200-a^2}{200}$

বা,$-\dfrac{200}{\sqrt{2}}=200-a^2$

বা,$a^2=200+\dfrac{200}{\sqrt{2}}$

বা,$a^2=341.421$

$∴a=18.48\mathrm{m}$

$\vec{s}=A$ হতে $18.48\mathrm{m}$ দূরে $B$ বিন্দুতে। 

**অনুরূপভাবে বৃত্তপথটির $\dfrac{1}{8}$ অংশ অতিক্রম করলে সরণ ও দূরত্ব নির্ণয় কর।

গাণিতিক সমস্যাঃ

একব্যক্তি একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে $3\mathrm{km}$ দক্ষিণে গিয়ে সেখান থেকে সোজা $6\mathrm{km}$ পূর্বে গিয়ে পুনরায় $5\mathrm{km}$ সোজা দক্ষিণে গেলে সরণ নির্ণয় কর ।

সমাধান :

মনে করি,আদি অবস্থান $A$ এবং শেষ অবস্থান $E$.

$AEF$ সমকোণী ত্রিভুজে ,

$AE^2=AF^2+  EF^2$ 

    $=8^2+6^2$

    $=64+36$

    $=100$

$∴AE=\sqrt{100}=10$ 

সরণ, $\vec{s}=A$ হতে $10\mathrm{km}$ দূরে $B$ বিন্দুতে।

** অনুরূপভাবে সরণ নির্ণয় কর যদি-

একব্যক্তি একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে $3\mathrm{km}$ দক্ষিণে গিয়ে সেখান থেকে সোজা $6\mathrm{km}$ পূর্বে গিয়ে পুনরায় $5\mathrm{km}$ সোজা দক্ষিণে গেল । সেখান থেকে সোজা $2\mathrm{km}$ পশ্চিমে গেল ।

প্রশ্ন:

প্রমাণ কর যে সরণের মান দূরত্বের সমান বা দূরত্ব অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর ।

অথবা, প্রমাণ কর যে দূরত্ব $≥$ সরণের মান ।

সমাধান :

বস্তুর সরল বা বক্রপথে অবস্থানের পরিবর্তন হলো দূরত্ব এবং বস্তু যে পথেই গমণ করুক না কেন কেবল আদি এবং শেষ অবস্থানের মধ্যবর্তী সরাসরি দূরত্ব হলো সরণের মান ।

বস্তু সরল পথে দিক পরিবর্তন না করলে দূরত্ব এবং সরণের মান একই কিন্তু দিক পরিবর্তন করলেই সরণের মান দূরত্বের চেয়ে ছোট হয় ।যেমন:

চিত্রটিতে $\left|\vec{s} \right|=s$

চিত্রটিতে $\left|\vec{s} \right|<s$

দ্রুতি:

সময়ের সাথে দূরত্বের পরিবর্তনের হারকে দ্রুতি বলে ।

$v=\dfrac{\Delta s}{Δt}$ 

$Δs=$ দূরত্বের বড় পরিবর্তন 

$Δt=$ সময়ের বড় পরিবর্তন 

তাৎক্ষণিক দ্রুতি:

অতি অল্প সময়ের ব্যবধানে দূরত্বের পরিবর্তনের হারকে তাৎক্ষণিক দ্রুতি বলে ।

$v=\lim\limits_{Δt→0} \dfrac{\Delta s}{Δt}=\dfrac{ds}{dt}$ 

এখানে $Δt→0$ দ্বারা সময়ের পরিবর্তন শূণ্যের কাছাকাছি বোঝায়। 

$ds=$ দূরত্বের ক্ষুদ্র পরিবর্তন 

$dt=$ সময়ের ক্ষুদ্র পরিবর্তন 

দ্রুতি একটি স্কেলার রাশি।

দ্রুতির একক $\mathrm{ms^{-1}}$

দ্রুতির মাত্রা $LT^{-1}$

দ্রুতির প্রকারভেদ:

দ্রুতি দুই প্রকার।যথা:

$(i)$ সমদ্রুতি বা সুষম দ্রুতি ।

$(ii)$ অসম দ্রুতি ।

সমদ্রুতি:

যে দ্রুতিতে দূরত্বের পরিবর্তনের হার একই বা সমান বা ধ্রুব থাকে তাকে সমদ্রুতি বলে ।

অর্থাৎ সমদ্রুতি,$v=\dfrac{Δs_1}{Δt_1}=\dfrac{Δs_2}{Δt_2}=\dfrac{Δs_3}{Δt_3}=$ধ্রুব

$t$(সেকেন্ড)	$3$	$5$	$7$	$10$
$s$(মিটার)	$2$	$4$	$6$	$9$
$(t,s)$	$(3,2)$	$(5,4)$	$(7,6)$	$(10,9)$

এখানে $v=\dfrac{Δs}{Δt}$$=\dfrac{(4-2)\mathrm{m}}{(5-3)\mathrm{s}}=\dfrac{(6-4)\mathrm{m}}{(7-5)\mathrm{s}}=\dfrac{(9-6)\mathrm{m}}{(10-7)\mathrm{s}}=\mathrm{1ms^{-1}}$$=$ ধ্রুব

এক্ষেত্রে দূরত্বের পরিবর্তনের হার সমান বা একই বা ধ্রুব অর্থাৎ $\mathrm{1ms^{-1}}$

বিন্দুগুলো ছক কাগজে বসিয়ে লেখচিত্র অঙ্কন করি:

বিন্দুগুলো যোগ করলে মূলবিন্দুগামী সরলরেখা পাওয়া যায় ।সরলরেখার উপরস্থ যেকোন বিন্দু $P$ হতে $OX$ অক্ষের উপর $PM$ লম্ব আঁকলে $\triangle{POM}$ এর ক্ষেত্রে $OP$ এর ঢাল, 

$\tan θ=\dfrac{PM}{OM}=\dfrac{Δs}{Δt}=\dfrac{s-0}{t-0}$$=\dfrac{s}{t}=v=$সমদ্রুতি 

অর্থাৎ সমদ্রুতি, $v=\dfrac{s}{t}$

বা,$\fbox{$s=vt$}………(i)$  [সূত্র]

মন্তব্য: আলো,শব্দ, মানুষের হাঁটা-চলা সমদ্রুতিতে ঘটে।এক্ষেত্রে উপরোক্ত সূত্র প্রযোজ্য । 

অসমদ্রুতি:

যে দ্রুতিতে দূরত্বের পরিবর্তনের হার একই বা সমান বা ধ্রুব থাকে না থাকে তাকে অসমদ্রুতি বলে।

অর্থাৎ অসমদ্রুতি,$v=\dfrac{Δs_1}{Δt_1}≠\dfrac{Δs_2}{Δt_2}≠$ধ্রুব

$t$ সেকেন্ড	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$s$ মিটার	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$
$(t,s)$	$(0,0)$	$(1,1)$	$(2,4)$	$(3,9)$	$(4,16)$	$(5,25)$

এখানে $v=\dfrac{Δs}{Δt}=\dfrac{(1-0)\mathrm{m}}{(1-0)\mathrm{s}}≠\dfrac{(4-1)\mathrm{m}}{(3-2)\mathrm{s}}$

 এখানে দূরত্বের পরিবর্তনের হার সমান বা একই বা ধ্রুব নয়।

বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করি।

বিন্দুগুলো যোগ করলে একটি বক্ররেখা পাওয়া যায় ।বক্ররেখার কোন বিন্দু $P$ তে অঙ্কিত স্পর্শক $AB$ এর ঢাল ($\triangle{ABC}$ এর ক্ষেত্রে)$=\tan{θ}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{ds}{dt}=v=$ তাৎক্ষণিক দ্রুতি।

অর্থাৎ অসমদ্রুতির ক্ষেত্রে বক্ররেখার  কোন বিন্দুতে  অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল ঐ বিন্দুতে তাৎক্ষণিক দ্রুতি প্রকাশ করে ।

গড়দ্রুতি :

কোনো বস্তুর মোট অতিক্রান্ত দূরত্বকে মোট সময় দ্বারা ভাগ করলে যে ফল পাওয়া যায় তাকে গড় দ্রুতি বলে ।

ব্যাখ্যা :

কোনো বস্তুর মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব $=s$

এবং মোট সময় $=t$

গড়দ্রুতি, $\bar{v}=\dfrac{s}{t}$

বা, $s=\bar{v}t……….(ii)$

বেগ:

সময়ের সাথে কোন নির্দিষ্ট দিকে দূরত্বের পরিবর্তনের হারকে বেগ বলে ।

অথবা, 

সময়ের সাথে সরণের পরিবর্তনের হারকে বেগ বলে ।

বেগ, $\vec{v}=\dfrac{Δ\vec{s}}{Δt}$

তাৎক্ষণিক বেগ:

অতি অল্প সময়ের ব্যবধানে সরণের পরিবর্তনের হারকে তাৎক্ষণিক বেগ বলে ।

তাৎক্ষণিক বেগ, $\vec{v}=\lim\limits_{Δt→0} \dfrac{Δ\vec{s}}{Δt}=\dfrac{d\vec{s}}{dt}$

বেগের প্রকারভেদ:

বেগ দুই প্রকার।যথা:

$(i)$ সমবেগ

$(ii)$ অসম বেগ 

সমবেগ:

যে বেগে সরণের পরিবর্তনের হার সমান বা একই বা ধ্রুব থাকে তাকে সমবেগ বলে ।

অর্থাৎ, সমবেগ,$\vec{v}=\dfrac{Δ\vec{s}_1}{Δt_1}=\dfrac{Δ\vec{s}_2}{Δt_2}=\dfrac{Δ\vec{s}_3}{Δt_3}=$দিক সম্বলিত ধ্রুব সংখ্যা।

$t$(সেকেন্ড)	$3$	$5$	$7$	$10$
$s$(মিটার)পশ্চিম	$2$	$4$	$6$	$9$
$(t,s)$	$(3,2)$	$(5,4)$	$(7,6)$	$(10,9)$

এখানে $\vec{v}=\dfrac{Δ\vec{s}}{Δt}$$=\dfrac{(4-2)\mathrm{m}প.}{(5-3)\mathrm{s}}=\dfrac{(6-4)\mathrm{m}প.}{(7-5)\mathrm{s}}=\dfrac{(9-6)\mathrm{m}প.}{(10-7)\mathrm{s}}$$=\mathrm{1ms^{-1}প.}=$ দিক সম্বলিত ধ্রুব সংখ্যা। [এখানে, প.= পশ্চিম।]

এক্ষেত্রে সরণের পরিবর্তনের হার সমান বা একই বা ধ্রুব অর্থাৎ $\mathrm{1ms^{-1}}$ পশ্চিম।

অসমবেগ:

যে বেগে সরণের পরিবর্তনের হার একই বা সমান বা ধ্রুব থাকে না থাকে তাকে অসমবেগ বলে।

অর্থাৎ অসমবেগ,$\vec{v}=\dfrac{Δ\vec{s}_1}{Δt_1}≠\dfrac{Δ\vec{s}_2}{Δt_2}≠$ধ্রুব

$t$  সেকেন্ড	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$s (\mathrm{m})$ দক্ষিণ	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$
$(t,s)$	$(0,0)$	$(1,1)$	$(2,4)$	$(3,9)$	$(4,16)$	$(5,25)$

এখানে $\vec v=\dfrac{Δ\vec{s}}{Δt}=\dfrac{(1-0)\mathrm{m}দ.}{(1-0)\mathrm{s}}≠\dfrac{(4-1)\mathrm{m}দ.}{(3-2)\mathrm{s}}$

 এখানে সরণের পরিবর্তনের হার সমান বা একই বা ধ্রুব নয় যদিও দিক একই। কিন্তু ভেক্টর রাশির মান বা দিক বা উভয়ের পরিবর্তনে পরিবর্তিত হয়। [এখানে , দ.=দক্ষিণ]

গড়বেগ:

কোন নির্দিষ্ট দিকে মোট অতিক্রান্ত দূরত্বকে (সরণকে) মোট সময় দ্বারা ভাগ করলে যে ফল পাওয়া যায় তাকে গড়বেগ বলে । সরণ $=\vec{s}$

মোট সময় $=t$

গড়বেগ, $\vec{\bar{v}}=\dfrac{\vec s}{t}$

    বা, $\vec{s}=\vec{\bar{v}} t$

দ্রষ্টব্য:

বস্তু দিক পরিবর্তন না করে সরলপথে গমণ করলে বেগের মানকে দ্রুতি বলে ।

অর্থাৎ $\left|\vec v\right|=\dfrac{\left|\vec s \right|}{t}$

   বা, $v=\dfrac{s}{t}$

প্রশ্ন:

দেখাও যে,গড়বেগের মান গড়দ্রুতির সমান বা ছোট।

উত্তর:

চিত্রটিতে, $\left|\color{orange}{\vec s}\right|=\color{green} s$

    বা, $\dfrac{\left|\color{orange}{\vec s}\right|}{\color{darkred} t}=\dfrac{\color{green} s}{\color{darkred} t}$    

    বা, $\left|\vec{\bar{v}}\right|=\bar{v}$

সুতরাং গড়বেগ $=$ গড়দ্রুতি $\cdots\cdots (i)$

চিত্রটিতে, $\left|\vec s\right|<\color{gold} S$

    বা, $\dfrac{\left|\vec s\right|}{t}<\dfrac{\color{gold} S}{t}$ 

    বা, $\left|\vec{\bar{v}}\right|<\bar{v}$

সুতরাং গড়বেগ $<$ গড়দ্রুতি $\cdots\cdots (ii)$

$(i)$ ও $(ii)$ হতে,

গড়বেগ $\le$ গড়দ্রুতি

প্রশ্ন:গড়বেগ থেকে কিভাবে তাৎক্ষণিক বেগ পাওয়া যায়?

উত্তর:

গড়বেগ, $\vec{\bar{v}}=\dfrac{Δ\vec{s}}{Δt}$

এখন সময়ের ব্যবধান অতি ক্ষুদ্র হতে থাকলে অর্থাৎ $Δt→0$ হলে সরণের পরিবর্তন অতি ক্ষুদ্র হতে থাকে ।সেক্ষেত্রে গড়বেগ

তাৎক্ষণিক বেগে রূপান্তরিত হয় ।

অর্থাৎ তাৎক্ষণিক বেগ,$\vec{v}=\lim\limits_{\Delta{t}\to 0} \vec{\bar{v}}=\lim\limits_{\Delta{t}\to 0}\dfrac{Δ\vec{s}}{Δt}=\dfrac{d\vec{s}}{dt}$

ত্বরণঃ

সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে ।

সুতরাং ত্বরণ,$\vec{a}=\dfrac{\vec{v}}{Δt}$

ত্বরণের একক $\mathrm{ms^{-2}}$

ত্বরণের মাত্রা, $[a]=LT^{-2}$

প্রশ্ন:

ত্বরণ একটি ভেক্টর রাশি-ব্যাখ্যা কর।

উত্তর:

ভেক্টর রাশিকে স্কেলার রাশি দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে ভেক্টর রাশি পাওয়া যায় ।বেগ একটি ভেক্টর রাশি এবং সময় একটি স্কেলার রাশি এবং বেগকে সময় দ্বারা ভাগ করলে ত্বরণ পাওয়া যায় ।

এক্ষেত্রে ভেক্টর রাশিকে স্কেলার রাশি দ্বারা ভাগ করায় ত্বরণ একটি ভেক্টর রাশি ।

প্রশ্ন:

ত্বরণ একটি লব্ধ রাশি-ব্যাখ্যা কর।

উত্তর:

একাধিক মৌলিক রাশি থেকে সৃষ্ট রাশিকে লব্ধ রাশি বলে ।

সময় $=t$

সরণের মান $=s$

বেগের মান $=v$

 সুতরাং ত্বরণের মান,$a=\dfrac{v}{t}$

                                  $=\dfrac{\dfrac{s}{t}}{t}$

                                  $=\dfrac{s}{t^2}$

যেহেতু ত্বরণ একাধিক মৌলিক রাশি থেকে সৃষ্ট , তাই ত্বরণ একটি লব্ধ রাশি।

তাৎক্ষণিক ত্বরণ:

অতি অল্প সময়ের ব্যবধানে বেগের পরিবর্তনের হারকে তাৎক্ষণিক ত্বরণ বলে।

অর্থাৎ, তাৎক্ষণিক ত্বরণ, $\vec{a}=\lim\limits_{Δt→0}\dfrac{Δ\vec{v}}{Δt}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}$  

ত্বরণের প্রকারভেদ :

ত্বরণ দুই প্রকার।যথা-

(i) সমত্বরণ বা সুষমত্বরণ।

(ii) অসমত্বরণ

সুষমত্বরণ:

যে ত্বরণে সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তনের হার সমান, একই বা ধ্রুব থাকে তাকে সমত্বরণ বলে।

অর্থাৎ সমত্বরণ $\vec{a}=\dfrac{\Delta \vec{v_1}}{Δt_1}=\dfrac{Δ\vec{v_2}}{Δt_2}=\dfrac{Δ\vec{v_3}}{Δt_3}=$দিক সম্বলিত ধ্রুব সংখ্যা।

$t$(সেকেন্ড)	$3$	$5$	$7$	$10$
$v\left(\mathrm{ms^{-1}}\right)$পশ্চিম	$2$	$4$	$6$	$9$
$(t,v)$	$(3,2)$	$(5,4)$	$(7,6)$	$(10,9)$

এখানে $\vec{a}=\dfrac{Δ\vec{v}}{Δt}=\dfrac{(4-2)\mathrm{ms^{-1}}প.}{(5-3)\mathrm{s}}=\dfrac{(6-4)\mathrm{ms^{-1}}প.}{(7-5)\mathrm{s}}$$=\dfrac{(9-6)\mathrm{ms^{-1}}প.}{(10-7)\mathrm{s}}$$=\mathrm{1ms^{-2}প.}=$ দিক সম্বলিত ধ্রুব সংখ্যা। [এখানে, প.= পশ্চিম।]

এক্ষেত্রে বেগের পরিবর্তনের হার সমান বা একই বা ধ্রুব অর্থাৎ $\mathrm{1ms^{-2}}$ পশ্চিম।

বিন্দুগুলো ছক কাগজে বসিয়ে লেখচিত্র অঙ্কন করি:

বিন্দুগুলো যোগ করলে মূলবিন্দুগামী সরলরেখা পাওয়া যায় ।সরলরেখার উপরস্থ যেকোন বিন্দু $P$ হতে $OX$ অক্ষের উপর $PM$ লম্ব আঁকলে $\triangle{POM}$ এর ক্ষেত্রে $OP$ এর ঢাল, 

$\tan θ=\dfrac{PM}{OM}=\dfrac{Δ\vec{v}}{Δt}=$সমত্বরণ$\left(\vec{a}\right)$ 

অসমত্বরণ:

যে ত্বরণে বেগের পরিবর্তনের হার একই বা সমান বা ধ্রুব থাকে না থাকে তাকে অসমত্বরণ বলে।

অর্থাৎ অসমত্বরণ,$\vec{a}=\dfrac{Δ\vec{v}_1}{Δt_1}≠\dfrac{Δ\vec{v}_2}{Δt_2}≠$ধ্রুব

$t$  সেকেন্ড	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$v \;\mathrm{ms^{-1}}$  দক্ষিণ	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$
$(t,v)$	$(0,0)$	$(1,1)$	$(2,4)$	$(3,9)$	$(4,16)$	$(5,25)$

এখানে $\vec a=\dfrac{Δ\vec{v}}{Δt}=\dfrac{(1-0)\mathrm{ms^{-1}}দ.}{(1-0)\mathrm{s}}≠\dfrac{(4-1)\mathrm{ms^{-1}}দ.}{(3-2)\mathrm{s}}$

 এখানে বেগের পরিবর্তনের হার সমান বা একই বা ধ্রুব নয় যদিও দিক একই। কিন্তু ভেক্টর রাশির মান বা দিক বা উভয়ের পরিবর্তনে পরিবর্তিত হয়। [এখানে , দ.=দক্ষিণ]

বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করিঃ

বিন্দুগুলো যোগ করলে একটি বক্ররেখা পাওয়া যায় ।বক্ররেখার কোন বিন্দু $P$ তে অঙ্কিত স্পর্শক $AB$ এর ঢাল ($\triangle{ABC}$এর ক্ষেত্রে)$=\tan θ=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\vec{a} =$ তাৎক্ষণিক ত্বরণ।

অর্থাৎ অসমত্বরণের ক্ষেত্রে বক্ররেখার  কোন বিন্দুতে  অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল ঐ বিন্দুতে তাৎক্ষণিক ত্বরণ প্রকাশ করে ।

ত্বরণের ব্যাখ্যা: (কেবল মান বিবেচনা করে)

$u$ আদিবেগে $a$ সমত্বরণে গতিশীল বস্তু $t$ সময় পর $v$ বেগ প্রাপ্ত হলে, বেগের পরিবর্তনের হার বা ত্বরণ, $\fbox{$a=\dfrac{v-u}{t}$}………(iii)$ [সূত্র]

বা,$ v-u=at$

বা,$\fbox{$v=u+at$}…….(iv)$ [সূত্র]

 সমত্বরণে গতিশীল বস্তুর ক্ষেত্রে, গড়বেগ,$\bar{v}=\dfrac{u+v}{2}$

$(ii)$ নং হতে পাই,

$s=\bar{v}t$

 বা, $\fbox{$s=\left(\dfrac{u+v}{2}\right)t$}……….(v)$ [সূত্র]

$(iii)$ নং হতে $t$ এর মান $(v)$ নং এ বসিয়ে পাই,

$s=\dfrac{v+u}{2}\cdot\dfrac{v-u}{a}$

বা,$s=\dfrac{v^2-u^2}{2a}$

বা, $v^2-u^2=2as$

বা, $\fbox{$v^2=u^2+2as$}……..(vi)$ [সূত্র]

$(iv)$ নং এর $v$ এর মান $(v)$ নং এ বসিয়ে 

$s=\left(\dfrac{u+u+at}{2}\right)t$ 

বা,$s=\left(\dfrac{2u+at}{2}\right)t$

বা,$s=\left(\dfrac{2u}{2}+\dfrac{at}{2}\right)t$

বা,$s=\left(u+\dfrac{1}{2}at\right)t$

বা,$\fbox{$s=ut+\dfrac{1}{2}at^2$}………(vii)$ [সূত্র]

$(vii)$ নং সমীকরণকে এভাবেও লেখা যায়,

    $t$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_t=ut+\dfrac{1}{2} at^2$

$∴(t-1)$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব, 

$s_{t-1}=u(t-1)+\dfrac{1}{2}a(t-1)^2$

$∴t$ তম সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব, 

$s_{tth}=s_t-s_{t-1}$

  $=ut+\dfrac{1}{2}at^2-u(t-1)-\dfrac{1}{2}a(t-1)^2$

  $=ut+\dfrac{1}{2}at^2-ut+u-\dfrac{1}{2} a\left(t^2-2t+1\right)$

  $=\dfrac{1}{2}at^2+u-\dfrac{1}{2}at^2+\dfrac{1}{2}a×2t-\dfrac{1}{2}a$

  $=u+\dfrac{1}{2}a×2t-\dfrac{1}{2}a$

  $\fbox{$s_{tth}=u+\dfrac{1}{2}a\left(2t-1\right)$}………(viii)$ [সূত্র]

প্রশ্ন :

স্থির অবস্থান থেকে সমত্বরণে চলন্ত বস্তুর ক্ষেত্রে দেখাও যে,$\dfrac{s_1}{t_1^2}=\dfrac{s_2}{t_2^2}=\dfrac{1}{2}a.$

উত্তর:

স্থির অবস্থানে $u=0$

সমত্বরণ $=a$

স্থির অবস্থান থেকে $a$ সমত্বরণে $t_1$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব $s_1$ হলে,$s_1=ut_1+\dfrac{1}{2} at_1^2$

  বা,$s_1=0+\dfrac{1}{2}at_1^2$

  বা,$s_1=\dfrac{1}{2}at_1^2$

$∴\dfrac{s_1}{t_1^2}=\dfrac{1}{2}a$ 

স্থির অবস্থান থেকে $a$ সমত্বরণে $t_2$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব $s_2$ হলে,$s_2=ut_2+\dfrac{1}{2} at_2^2$

  বা,$s_2=0+\dfrac{1}{2}at_2^2$

  বা,$s_2=\dfrac{1}{2}at_2^2$

$∴\dfrac{s_2}{t_2^2 }=\dfrac{1}{2}a$

সুতরাং $\fbox{$\dfrac{s_1}{t_1^2}=\dfrac{s_2}{t_2^2}=\dfrac{1}{2}a$}……(ix)$ [সূত্র]

প্রশ্ন:

সমবেগের ক্ষেত্রেও ত্বরণ থাকতে পারে-ব্যাখ্যা কর।

উত্তর:

দিক পরিবর্তন না করে সমবেগে গতিশীল বস্তুর ক্ষেত্রে 

ধরি,$\vec{u}=5\mathrm{ms^{-1}}$ দক্ষিণ

এবং $\vec{v}=5\mathrm{ms^{-1}}$ দক্ষিণ

$∴\vec{a}=\dfrac{\vec{v}-\vec{u}}{t}$ 

 $=\dfrac{\cancel{5\mathrm{ms^{-1}দ.}}-\cancel{5\mathrm{ms^{-1}দ.}}}{t}$    [ এখানে, দ.$=$ দক্ষিণ]

$=\underline{O}$  

এক্ষেত্রে ত্বরণ নেই বা ত্বরণ শূণ্য ভেক্টর।

কিন্তু বক্রপথে গতিশীল বস্তুর বেগের মান একই থাকলেও প্রতি মুহূর্তে দিক পরিবর্তন করতে থাকে ।যেহেতু ত্বরণ একটি ভেক্টর রাশি তাই বেগের মান বা দিক বা উভয়ের পরিবর্তনে ত্বরণ থাকবে ।

প্রশ্ন:

সমবেগের ক্ষেত্রে ত্বরণের মান শূন্য হয়-ব্যাখ্যা কর।

উত্তর:

একই দিকে সমবেগে গতিশীল বস্তুর ক্ষেত্রে বেগ সর্বত্রই সমান।অর্থাৎ $\vec{u}=\vec{v}$

ত্বরণ, $\vec{a}=\dfrac{\vec{v}-\vec{u}}{t}$ 

বা, $\vec{a}=\dfrac{\vec{v}-\vec{v}}{t}$ 

বা, $\vec{a}=\dfrac{\cancel{\vec{v}}-\cancel{\vec{v}}}{t}$ 

বা, $\vec{a}=\underline{O}$

বা, $|\vec{a}|=|\underline{O}|$

$∴a=0$ 

সুতরাং সমবেগে গতিশীল বস্তুর ত্বরণের মান শূন্য।

প্রশ্নঃ

ত্বরণ শূণ্য হলে বস্তু সমবেগে চলে-ব্যাখ্যা কর।

প্রশ্ন:

দেখাও যে,সমবেগের ক্ষেত্রে,$ s=vt.$

উত্তর:

আমরা জানি, সমবেগে গতিশীল বস্তুর ত্বরণ শূন্য ভেক্টর।

অর্থাৎ, $\vec{a}=\underline{O}$ 

এবং সরণ, $\vec{s}=\vec{u}t+\dfrac{1}{2}\vec{a}t^2$

                     $=\vec{u}t+\dfrac{1}{2}\underline{O}t^2$

                      $=\vec{u}t+\underline{O}$ 

                      $=\vec{v}t$   [ সমবেগের ক্ষেত্রে $\vec{u}=\vec{v}$]

          বা, $|\vec{s}|=|\vec{v}|t$ 

             $∴\fbox{$s=vt$}………(x)$ [সূত্র]

দ্রষ্টব্য: বেগের হ্রাস-বৃদ্ধির ভিত্তিতে ত্বরণ দুই প্রকার।যথা-

(ক)ধনাত্মক ত্বরণ (বেগ বৃদ্ধি)

(খ)ঋণাত্মক ত্বরণ বা মন্দন (বেগ হ্রাস )

প্রশ্নঃ সর্বোচ্চ উচ্চতায় বেগ শূণ্য হলেও বেগ শুণ্য হতে পারে কী?

উত্তরঃ

না। সর্বোচ্চ উচ্চতায় কোনো বস্তুকে নিক্ষেপ করলে তাকে একটা আদিবেগ দিয়ে নিক্ষেপ করা হয়। সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠে তা $O$ হয় যা এর শেষবেগ। কিন্তু এর উপর অভিকর্ষজ ত্বরন থাকে। তবে অভিকর্ষজ ত্বরণ পৃথিবীপৃষ্ঠের দিকে টানে। আর নিক্ষিপ্ত বস্তুর এর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে। তাই বিপরীতে দিকে বলে অভিকর্ষজ ত্বরণ ঋনাত্বক হয়।

গাণিতিক সমস্যাবলী:

$54\mathrm{kmh^{-1}}$বেগে সমত্বরণে গতিশীল বস্তু $1.5\mathrm{min.}$ পর $36\mathrm{kmh^{-1}}$বেগ প্রাপ্ত হয়।ত্বরণ এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান :

এখানে, আদিবেগ, $u=54\mathrm{kmh^{-1}}$

                              $=\mathrm{\dfrac{54km}{1h}}$

                                   $=\dfrac{54×1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}$

                              $=15\mathrm{ms^{-1}}$

   শেষবেগ, $v=36\mathrm{kmh^{-1}}$

                   $=10\mathrm{ms^{-1}}$

    সময়,$t=1.5\mathrm{min.}$

             $=1.5×60\mathrm{s}$

             $=90\mathrm{s}$

   দূরত্ব, $s=?$

   ত্বরণ, $a=?$

আমরাজানি, $s=\left(\dfrac{u+v}{2}\right)t$

                    $=\left(\dfrac{15+10}{2}\right)\times 90$

                   $=12.5×90$

                   $=1125\mathrm{m}$

    এবং $a=\dfrac{v-u}{t}$

              $=\dfrac{10-15}{90}$

              $=\dfrac{-5}{90}$

              $=-0.06\mathrm{ms^{-2}}$

সুতরাং মন্দন $0.06\mathrm{ms^{-2}}$

**অনুরূপভাবে সমাধান কর:

$72\mathrm{kmh^{-1}}$ বেগে চলমান একটি বস্তু $3\mathrm{min.}$ পর $108\mathrm{kmh^{-1}}$ বেগ প্রাপ্ত হয়।ত্বরণ এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।

গাণিতিক সমস্যাঃ

$72\;\mathrm{kmh^{-1}}$ বেগে চলন্ত একটি গাড়ির চালক $151\;\mathrm{m}$ দূরে দাঁড়ানো এক পথচারীকে দেখতে পেয়ে ব্রেক কষে পথচারীর $1\;\mathrm{m}$ সামনে এসে থেমে গেল। সময় এবং প্রযুক্ত মন্দন নির্ণয় কর ।একই মন্দনে কোন রকমে সংঘর্ষ এড়াতে আদিবেগ কত হতে হবে ?

সমাধান :

প্রথম ক্ষেত্রে, 

আদিবেগ, $u=72\;\mathrm{kmh^{-1}}$

                  $=20\;\mathrm{ms^{-1}}$

শেষবেগ, $v=0\;\mathrm{ms^{-1}}$

  দূরত্ব, $ s=(151-1)\;\mathrm{m}$

         $=150\;\mathrm{m}$

  সময়, $t=?$

  ত্বরণ, $a=?$

আমরাজানি,

$s=\left(\dfrac{u+v}{2}\right)t$ 

বা, $150=\left(\dfrac{20+0}{2}\right)t$

বা, $150=10t$

$∴t=15\;\mathrm{s}$ 

এবং $a=\dfrac{v-u}{t}$

     $=\dfrac{0-20}{15}$

     $=-\dfrac{4}{3}$

     $=-1.33\;\mathrm{ms^{-2}}$

অতএব মন্দন $\dfrac{4}{3}\;\mathrm{ms^{-2}}$ বা $1.33\;\mathrm{ms^{-2}}$

২য় ক্ষেত্রে:

আদিবেগ, $u=?$

শেষবেগ, $v=0\;\mathrm{ms^{-1}}$

  দূরত্ব, $s=151\;\mathrm{m}$

  ত্বরণ, $a=-\dfrac{4}{3}\;\mathrm{ms^{-2}}$

আমরাজানি,

$v^2=u^2+2as$

বা, $0=u^2+2×-\dfrac{4}{3}×151$

বা, $u^2=402.67$

বা, $u=\sqrt{402.67}$

$∴u=20.067\;\mathrm{ms^{-1}}$

**অনুরূপভাবে সমাধান কর:

$54\;\mathrm{kmh^{-1}}$ বেগে চলমান গাড়ির চালক $46\;\mathrm{m}$ দূরে দাঁড়ানো একজনকে দেখে ব্রেক চেপে $1\;\mathrm{m}$ সামনে এসে থেমে গেল ।সময় এবং ত্বরণ নির্ণয় কর ।একই ত্বরণে কোন রকমে সংঘর্ষ এড়াতে আদিবেগ পূর্বের কত গুণ হতে হবে?

গাণিতিক সমস্যাঃ

একটি গাড়ি স্থির অবস্থান থেকে সমত্বরণে $2\;\mathrm{min.}$ এ $2\;\mathrm{km}$ পথ অতিক্রম করে । পরবর্তী $500\;\mathrm{m}$ সমবেগে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান :

প্রথম ক্ষেত্রে :

আদিবেগ, $u=0\;\mathrm{ms^{-1}}$

সময়, $t=2\;\mathrm{min.}=120\;\mathrm{s}$

দূরত্ব, $s=2\mathrm{km}=2000\mathrm{m}$

শেষবেগ, $v=?$

আমরাজানি, 

$s=\left(\dfrac{u+v}{2}\right)t$ 

বা, $2000=\left(\dfrac{0+v}{2}\right)×120$

বা, $60v=2000$

বা, $v=\dfrac{2000}{60}$

$∴v=\dfrac{100}{3}\;\mathrm{ms^{-1}}$

২য় ক্ষেত্র:

বেগ, $v=\dfrac{100}{3}\;\mathrm{ms^{-1}}$

দূরত্ব, $s=500\;\mathrm{m}$

সময়, $t=?$

আমরাজানি,

$s=vt$ 

বা, $500=\dfrac{100}{3} t$

বা, $100t=1500$

$∴t=15\;\mathrm{s}$

**অনুরূপভাবে সমাধান কর:

$3\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে সমত্বরণে চলমান একটি বস্তু এক মিনিটে প্রথম কিলোমিটার অতিক্রম করলে পরবর্তী এক কিলোমিটার সমবেগে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

দুটি গাড়ি যথাক্রমে $5\;\mathrm{ms^{-1}},7\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে এবং $0.06\;\mathrm{ms^{-2}}\; ,0.04\;\mathrm{ms^{-2}}$ ত্বরণে প্রতিযোগিতায় অংশগ্রহণ করে একই সময়ে প্রতিযোগিতা শেষ করল।

(ক)সময় এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর ।

(খ)যদি ১ম গাড়িটি $2\;\mathrm{s}$ এর জন্য জয়ী হয় তবে কত দূরত্বের পথে প্রতিযোগিতা করেছিল?

(গ)যদি প্রথম গাড়িটি $2\;\mathrm{m}$ ব্যবধানের জন্য বিজয়ী হয় হয় তবে তবে কত দূরত্বের পথে প্রতিযোগিতা করেছিল?

(ক)নং প্রশ্নের উত্তর: 

প্রথম গাড়ির 

আদিবেগ, $u_1=5\;\mathrm{ms^{-1}}$

ত্বরণ, $a_1=4\;\mathrm{ms^{-2}}$

সুতরাং $s=u_1 t+\dfrac{1}{2} a_1 t^2……..(i)$

২য় গাড়ির 

আদিবেগ, $u_2=7\;\mathrm{ms^{-1}}$

ত্বরণ, $a_2=3\;\mathrm{ms^{-2}}$

সুতরাং $s=u_2 t+\dfrac{1}{2} a_2 t^2…....(ii)$

$(i)$ ও $ (ii)$ নং হতে পাই,

$u_1 t+\dfrac{1}{2} a_1 t^2=u_2 t+\dfrac{1}{2} a_2 t^2$ 

বা, $u_1+\dfrac{1}{2} a_1 t=u_2+\dfrac{1}{2} a_2 t$   [$t$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $5+\dfrac{1}{2}×0.06t=7+\dfrac{1}{2}×0.04t$

বা, $0.03t-0.02t=7-5$

বা, $0.01t=2$

বা, $t=\dfrac{2}{0.01}$

$∴t=200\;\mathrm{s}$ 

$t $ এর মান $(i)$ নং এ বসিয়ে পাই, 

$s=5×200+\dfrac{1}{2}×0.06×200^2 $

 $=1000+0.03×40000$

 $=1000+1200$

 $=2200\;\mathrm{m}$

   (খ)নং প্রশ্নের উত্তর:

প্রথম গাড়ির 

আদিবেগ, $u_1=5\;\mathrm{ms^{-1}}$

ত্বরণ, $a_1=0.06\;\mathrm{ms^{-2}}$

সময় $=t$

সুতরাং $s=u_1 t+\dfrac{1}{2} a_1 t^2……..(i)$

২য় গাড়ির 

আদিবেগ, $u_2=7\;\mathrm{ms^{-1}}$

ত্বরণ, $a_2=0.04\;\mathrm{ms^{-2}}$

সময়$=t+2$

সুতরাং $s=u_2 (t+2)+\dfrac{1}{2} a_2 (t+2)^2$$…....(ii)$

$(i)$ ও $(ii)$ নং হতে পাই,

$u_1 t+\dfrac{1}{2} a_1 t^2=u_2 (t+2)+\dfrac{1}{2} a_2 (t+2)^2$ 

বা, $5t+0.03t^2=7t+14+0.02(t^2+4t+4)$

বা, $-2t+0.03t^2-14-0.02t^2-0.08t-0.08=0$

বা, $0.01t^2-2.08t-14.08=0$

বা, $t=\dfrac{2.08±\sqrt{(-2.08)^2-4×0.01×-14.08}}{2×0.01}$

বা, $t=\dfrac{2.08±\sqrt{4.3264+0.5632}}{0.02}$

বা, $t=\dfrac{2.08±\sqrt{4.8896}}{0.02}$

বা, $t=\dfrac{2.08±2.2112}{0.02}$

বা, $t=\dfrac{2.08+2.2112}{0.02}$  [সময় ঋণাত্মক হয় না]

বা, $t=\dfrac{4.2912}{0.02}$

$∴t=214.56\;\mathrm{s}$ 

$t$ এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে 

$s=5×214.56+0.03(214.56)^2$ 

  $=1072.8+1381.08$

  $=2453.88\;\mathrm{m}$  (প্রায়)

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

যদি ২য় গাড়িটি $1\;\mathrm{s}$ এর জন্য জয়ী হয় তবে কত  দূরত্বের পথে প্রতিযোগিতা করেছিল?

        (গ)নং প্রশ্নের উত্তর:

প্রথম গাড়ির 

আদিবেগ, $u_1=5\;\mathrm{ms^{-1}}$

ত্বরণ, $a_1=4\;\mathrm{ms^{-2}}$

সুতরাং $s_1=u_1 t+\dfrac{1}{2} a_1 t^2……..(i)$

২য় গাড়ির 

আদিবেগ, $u_2=7\;\mathrm{ms^{-1}}$

ত্বরণ, $a_2=3\;\mathrm{ms^{-2}}$

সুতরাং $s_2=u_2 t+\dfrac{1}{2} a_2 t^2…....(ii)$

প্রশ্নমতে,

$s_1-s_2=2$ 

বা, $5t+0.03t^2-7t-0.02t^2=2$

বা, $0.01t^2-2t-2=0$

বা, $t=\dfrac{-(-2)±\sqrt{(-2)^2-4×0.01×-2}}{2×0.01}$

বা, $t=\dfrac{2±\sqrt{4+0.08}}{0.02}$

বা, $t=\dfrac{2±2.02}{0.02}$

বা, $t=\dfrac{2+2.02}{0.02}$   [সময় ঋণাত্মক হয় না]

 বা, $t=\dfrac{4.02}{0.02}$ 

$∴t=201\;\mathrm{s}$ 

$t$ এর মান $(i)$ নং এ বসিয়ে, 

$s_1=5×201+0.03×201^2$ 

  $=1005+1212.03$

  $=2217.03\;\mathrm{m}$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

যদি ২য় গাড়িটি $1\;\mathrm{m}$ ব্যবধানের জন্য বিজয়ী হয় হয় তবে তবে কত দূরত্বের পথে প্রতিযোগিতা করেছিল?

অনুরুপ সৃজনশীল প্রশ্নঃ

দুটি গাড়ি যথাক্রমে $7\;\mathrm{ms^{-1}}$  ,$11\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে এবং $0.08\;\mathrm{ms^{-2}}$ ,$0.06\;\mathrm{ms^{-2}}$ ত্বরণে প্রতিযোগিতায় অংশগ্রহণ করে একই সময়ে একই দূরত্ব অতিক্রম করে প্রতিযোগিতা শেষ করল।

(ক)  অতিক্রান্ত দূরত্ব এবং সময় নির্ণয় কর ।

(খ)যদি ২য় গাড়িটি $2\;\mathrm{s}$ এর জন্য জয়ী হয় তবে কত   দূরত্বের পথে প্রতিযোগিতা করেছিল?

(গ)যদি ২য় গাড়িটি $2\;\mathrm{m}$ ব্যবধানের জন্য বিজয়ী হয় হয় তবে তবে কত দূরত্বের পথে প্রতিযোগিতা করেছিল?

গাণিতিক সমস্যাঃ

স্থির অবস্থান হতে একটি বস্তু সুষম ত্বরণে প্রথম সেকেন্ডে $4\;\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করে ।পরবর্তী সেকেন্ডে এটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে ?ত্বরণ নির্ণয় কর ।

সমাধান:

প্রথম দূরত্ব, $s_1=4\;\mathrm{m}$

এবং সময়, $t_1=1\;\mathrm{s}$

মোট দূরত্ব, $ s_2=?$

মোট সময়,  $t_2=(1+1)\;\mathrm{s}=2\;\mathrm{s}$

আমরাজানি, 

$\dfrac{s_1}{t_1^2}=\dfrac{s_2}{t_2^2}$

বা, $\dfrac{4}{1^2}=\dfrac{s_2}{2^2}$ 

বা, $s_2=16\;\mathrm{m}$

সুতরাং,পরবর্তী সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব $=(16-4)\;\mathrm{m}=12\;\mathrm{m}$

এবং $\dfrac{s_1}{t_1^2 }=\dfrac{1}{2} a$

বা, $\dfrac{4}{1^2} =\dfrac{1}{2}a$

$∴a=8\;\mathrm{ms^{-2}}$

                বিকল্প সমাধান :

প্রথম ক্ষেত্রে :

আদিবেগ, $u=0\;\mathrm{ms^{-1}}$

দূরত্ব, $s=4\;\mathrm{m}$

সময়, $t=1\;\mathrm{s}$

$s=\left(\dfrac{u+v}{2}\right)t$ 

বা, $4=\left(\dfrac{0+v}{2}\right)×1$

বা, $v=8\mathrm{ms^{-1}}$

এবং $a=\dfrac{v-u}{t}$

     $=\dfrac{8-0}{1}$

     $=8\mathrm{ms^{-2}}$

২য় ক্ষেত্র:

প্রথম ক্ষেত্রের শেষবেগ $=$ ২য় ক্ষেত্রের আদিবেগ, $u=8\mathrm{ms^{-1}}$

সময়, $t=1\;\mathrm{s}$

ত্বরণ, $a=8\;\mathrm{ms^{-2}}$

আমরাজানি, 

$s=ut+\dfrac{1}{2}at^2$

$ =8×1+\dfrac{1}{2}×8×1$

 $=12\;\mathrm{m}$    $(Ans.)$

              

** অনুরূপভাবে সমাধান কর:

স্থির অবস্থান হতে একটি বস্তু সুষম ত্বরণে প্রথম সেকেন্ডে $1\;\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করে ।পরবর্তী সেকেন্ডে এটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে ?ত্বরণ নির্ণয় কর ।

গাণিতিক সমস্যাঃ

 স্থির অবস্থান হতে একটি বস্তু সুষম ত্বরণে প্রথম সেকেন্ডে $1\;\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করে ।পরবর্তী $1\;\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে ?

সমাধান :

প্রথম দূরত্ব, $s_1=1\mathrm{m}$

এবং সময়, $t_1=1\;\mathrm{s}$

মোট দূরত্ব, $s_2=(1+1)\;\mathrm{m}=2\;\mathrm{m}$

মোট সময়, $t_2=?$

আমরাজানি, 

$\dfrac{s_1}{t_1^2}=\dfrac{s_2}{t_2^2}$

বা, $\dfrac{1}{1^2}=\dfrac{2}{t_2^2 }$

বা, $t_2^2=2$

বা, $t_2=\sqrt{2}$

$∴t_2=1.414\;\mathrm{s}$ 

সুতরাং,পরবর্তী $1\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করতে সময় 

$=(1.414-1)\;\mathrm{s}=0.414\;\mathrm{s}$

এবং $\dfrac{s_1}{t_1^2}=\dfrac{1}{2} a$

বা, $\dfrac{1}{1^2}=\dfrac{1}{2}a$

$∴a=2\;\mathrm{ms^{-2}}$

**অনুরূপভাবে সমাধান কর:

  স্থির অবস্থান হতে একটি বস্তু সুষম ত্বরণে প্রথম $2$ সেকেন্ডে $2\;\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করে । পরবর্তী $3\;\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে ?

গাণিতিক সমস্যাঃ

.সমত্বরণে গতিশীল একটি বস্তু $5$ সেকেন্ডে $75\;\mathrm{m}$ এবং $10$ সেকেন্ডে $100\;\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করে ।বস্তুটি $7$ সেকেন্ডে এবং অষ্টম সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে ?

সমাধান :

$u$ আদিবেগে $a$ সমত্বরণে গতিশীল বস্তুর 

$t$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_t=ut+\dfrac{1}{2} at^2$

$5$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_5=5u+12.5a$

$10$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_{10}=10u+50a$

প্রশ্নমতে, $5u+12.5a=75……..(i)$

   এবং $10u+50a=100$

    বা,  $5u+25a=50………(ii)$

$(i)-(ii)$ করে পাই, $-12.5a=25$

            বা, $a=\dfrac{25}{-12.5}$

            বা, $a=-2\;\mathrm{ms^{-2}}$

$a$ এর মান $(ii)$ নং এ বসিয়ে, $5u+25(-2)=50$

               বা, $5u=50+50$

               বা, $u=\dfrac{100}{5}$

               $∴u=20\;\mathrm{ms^{-2}}$

$7$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_7=u×7+\dfrac{1}{2} a×7^2$

                     $=20×7+\dfrac{1}{2}×-2×49$

                     $=140-49$

                     $=91\;\mathrm{m}$

$8^{th}$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,

 $s_{8th}=u+\dfrac{1}{2} a(2×8-1)$  [$(viii)$ নং সূত্র]

     $=20+\dfrac{1}{2}×-2×15$

     $=20-15$

     $=5\;\mathrm{m}$

দ্রষ্টব্য :

$20\;\mathrm{s}$ এ অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_{20}=u×20+\dfrac{1}{2}a×20^2$

                  $=20×20+\dfrac{1}{2}×-2×400$

                  $=400-400$

                  $=0$

বস্তুটি $20$ সেকেন্ডের আগেই থেমে যাবে।

তাই এই সময়ে সরণ থাকবে না।বস্তুটির $10\mathrm{s}$ পর বেগ শূণ্য।

**অনুরূপভাবে সমাধান কর:

সমত্বরণে গতিশীল একটি বস্তু $8$ সেকেন্ডে $272\;\mathrm{m}$ এবং $12$ সেকেন্ডে $312\;\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করে। $6$ সেকেন্ডে এবং দশম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর ।

গাণিতিক সমস্যাঃ

সমত্বরণে গতিশীল একটি বস্তু সুষম ত্বরণে $20$ তম সেকেন্ডে $44\;\mathrm{m}$ এবং $30$ তম সেকেন্ডে $64\;\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করে।

$25$ তম এবং $25$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর ।

সমাধান:

$u$ আদিবেগে $a$ সমত্বরণে গতিশীল বস্তুর 

$t$ তম সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_{tth}=u+\dfrac{1}{2}a(2t-1)$

$20$ তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_{20th}=u+19.5a$

$30$ তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_{30th}=u+29.5a$

প্রশ্নমতে, $u+19.5a=44……..(i)$

   এবং  $u+29.5a=64………(ii)$

$(ii)-(i)$ করে পাই, $10a=20$

            বা, $a=\dfrac{20}{10}$

            বা, $a=2\;\mathrm{ms^{-2}}$

$a$ এর মান $(i)$ নং এ বসিয়ে, $u+19.5×2=44$

               বা, $u=44-39$

               বা, $u=5$

               $∴u=5\;\mathrm{ms^{-1}}$

$25$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_{25}=u×25+\dfrac{1}{2}a×25^2$

                     $=5×25+\dfrac{1}{2}×2×625$

                     $=125+625$

                     $=750\;\mathrm{m}$

$25^{th}$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,

 $s_{25th}=u+\dfrac{1}{2}a(2×25-1)$  [$(viii)$ নং সূত্র]

     $=5+\dfrac{1}{2}×2×49$

     $=5+49$

     $=54\;\mathrm{m}$

**অনুরূপভাবে সমাধান কর:

সমত্বরণে গতিশীল একটি বস্তু সুষম ত্বরণে $16$ তম সেকেন্ডে $58.5\;\mathrm{m}$ এবং $21$ তম সেকেন্ডে $73.5\;\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করে।

$18$ তম এবং $18$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর ।

গাণিতিক সমস্যাঃ

সমত্বরণে গতিশীল একটি বস্তু $11$ তম সেকেন্ডে $59.5\;\mathrm{m}$

এবং $7$ সেকেন্ডে $171.5\;\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করে।

সপ্তম সেকেন্ডে এবং $11$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান :

$u$ আদিবেগে $a$ সমত্বরণে গতিশীল বস্তুর 

$t$ তম সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_{tth}=u+\dfrac{1}{2}a(2t-1)$

এবং $t$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_t=ut+\dfrac{1}{2 }at^2$

$11$ তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,$s_{11th}=u+10.5a$

$7$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_7=7u+24.5a$

প্রশ্নমতে, $u+10.5a=59.5$

     বা, $u=59.5-10.5a………(i)$

   এবং  $7u+24.5a=171.5$

   বা, $7(59.5-10.5a)+24.5a=171.5$  [$(i)$ হতে]

   বা, $416.5-73.5a+24.5a=171.5$

বা, $-49a=171.5-416.5$

বা, $-49a=-245$

বা, $a=\dfrac{-245}{-49}$

$∴a=5\;\mathrm{ms^{-2}}$ 

$a$ এর মান $(i)$ নং এ বসিয়ে, $u=59.5-10.5×5$

               বা, $u=59.5-52.5$

               বা, $u=7$

               $∴u=7\;\mathrm{ms^{-1}}$

$11$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_{11}=u×11+\dfrac{1}{2}a×11^2$

                     $=7×11+\dfrac{1}{2}×5×121$

                     $=77+302.5$

                     $=379.5\;\mathrm{m}$

$7^{th}$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,

 $s_{7th}=u+\dfrac{1}{2}a(2×7-1)$  [$(viii)$ নং সূত্র]

     $=7+\dfrac{1}{2}×5×13$

     $=7+32.5$

     $=37.5\;\mathrm{m}$

**অনুরূপভাবে সমাধান কর:

সমত্বরণে গতিশীল একটি বস্তু $21$ তম সেকেন্ডে $45.75\;\mathrm{m}$

এবং $17$ সেকেন্ডে $471.75\;\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করে।

$7$ সেকেন্ডে এবং $11$ তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।

গাণিতিক সমস্যাঃ

স্থির অবস্থান থেকে একটি গাড়ির সময়ের সাথে দূরত্বের ছক  নিম্নরুপ :

সময়$(\mathrm{s})$	$\;\;0\;\;$	$\;\;1\;\;$	$\;\;2\;\;$	$\;\;3\;\;$	$\;\;4\;\;$
দূরত্ব$(\mathrm{m})$	$\;\;0\;\;$	$\;\;1\;\;$	$\;\;4\;\;$	$\;\;9\;\;$	$\;\;16\;\;$

(ক)1s পর বেগ নির্ণয় কর।

(খ)গাড়িটি সমত্বরণে চলে-ব্যাখ্যা কর।

(গ)গাড়িটির ত্বরণ লেখচিত্র হতে নির্ণয় কর ।

              (ক)নং প্রশ্নের সমাধান:

আদিবেগ, $u=0$

সময়, $t=1\;\mathrm{s}$

দূরত্ব, $s=1\;\mathrm{m}$

আমরা জানি, 

$s=\left(\dfrac{u+v}{2}\right){t}$ 

বা, $1=\left(\dfrac{0+v}{2}\right)×1$

বা, $\dfrac{v}{2}=1$

$∴v=2\;\mathrm{ms^{-1}}$ 

  (খ)নং প্রশ্নের সমাধান:

এখানে, 

$s_1=1\;\mathrm{m}$           $t_1=1\;\mathrm{s}$

$s_2=4\;\mathrm{m}$           $t_2=2\;\mathrm{s}$

$s_3=9\;\mathrm{m}$           $t_3=3\;\mathrm{s}$

$s_4=16\;\mathrm{m}$          $t_4=4\;\mathrm{s}$

আমরাজানি, 

স্থির অবস্থান হতে সমত্বরণে চলমান বস্তু নিম্নোক্ত সূত্র মেনে চলে, 

$\dfrac{s_1}{t_1^2}=\dfrac{s_2}{t_2^2} =\dfrac{s_3}{t_3^2}=\dfrac{s_4}{t_4^2}= \dfrac{1}{2}a$

যেহেতু $\dfrac{1}{1^2}=\dfrac{4}{2^2} =\dfrac{9}{3^2}=\dfrac{16}{4^2}= \dfrac{1}{2}×2$ 

সুতরাং গাড়িটি সমত্বরণে চলে এবং ত্বরণের মান $2\;\mathrm{ms^{-2}}.$

(গ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

উদ্দীপকের সারণির লেখচিত্র নিম্নরূপঃ

প্রদত্ত সারণি হতে গড় সময় ও দূরত্বের পরিবর্তনের হার তথা বেগের মান দ্রুতির সারণি নিম্নরূপঃ

গড় সময়	$\dfrac{0+1}{2}=0.5$	$\dfrac{1+2}{2}=1.5$	$\dfrac{2+3}{2}=2.5$	$3.5$
বেগ$(v)$	$\dfrac{1-0}{1-0}=1$	$\dfrac{4-1}{2-1}=3$	$\dfrac{9-4}{3-2}=5$	$7$

প্রাপ্ত সারণির লেখচিত্র নিম্নরূপঃ

প্রাপ্ত বেগ-সময় সারণি হতে গড় সময় ও বেগের মানের পরিবর্তনের হার তথা ত্বরণের মানের সারণি নিম্নরূপঃ

গড় সময়	$\dfrac{0.5+1.5}{2}=1$	$\dfrac{1.5+2.5}{2}=2$	$\dfrac{2.5+3.5}{2}=3$
ত্বরণ$(a)$	$\dfrac{3-1}{1.5-0.5}=2$	$\dfrac{5-3}{2.5-1.5}=2$	$\dfrac{7-5}{3.5-2.5}=2$

প্রাপ্ত সারণির লেখচিত্র নিম্নরূপঃ

$OX$ অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম পাঁচ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে এক একক এবং $OY$ অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে এক একক ধরা হয়েছে ।

৩য় ছকে

 ত্বরণ $=2\;\mathrm{ms^{-2}}$

**অনুরূপভাবে সমাধান কর:

স্থির অবস্থান হতে গতিশীল একটি গাড়ির সময়-দূরত্বের ছক নিম্নরুপ:

সময়$(\mathrm{s})$	$\;\;0\;\;$	$\;\;1\;\;$	$\;\;2\;\;$	$\;\;3\;\;$	$\;\;4\;\;$
দূরত্ব$(\mathrm{m})$	$\;\;0\;\;$	$\;\;1.5\;\;$	$\;\;6\;\;$	$\;\;13.5\;\;$	$\;\;24\;\;$

(ক) $1\;\mathrm{s}$ বেগ নির্ণয় কর 

(খ)গাড়িটি সমত্বরণে চলে-ব্যাখ্যা কর।

(গ)গাড়িটির ত্বরণ লেখচিত্র হতে নির্ণয় কর ।

গাণিতিক সমস্যাঃ

বন্দুকের গুলি একটি দেওয়ালের মধ্যে $10\;\mathrm{cm}$ প্রবেশের পর বেগ অর্ধেক হারায়।গুলিটি আর কতদূর প্রবেশ করতে পারবে?

              সমাধান:

প্রথম অংশ:

আদিবেগ $=u$

শেষবেগ, $v=\dfrac{u}{2}$

দূরত্ব, $s=10\;\mathrm{cm}=0.1\;\mathrm{m}$

আমরাজানি, 

$v^2=u^2+2as$ 

বা, $\left(\dfrac{u}{2}\right)^2=u^2+2as$

বা, $\dfrac{u^2}{4}-u^2=2as$

বা, $2a×0.1=\dfrac{-3u^2}{4}$

বা, $2a=\dfrac{-3u^2}{0.4}$

 ২য় অংশ:

আদিবেগ $ =u-\dfrac{u}{2}=\dfrac{u}{2}$

শেষবেগ, $v=0$

দূরত্ব, $ s=x$

আমরাজানি, 

$v^2=u^2+2as$

বা, $0=\left(\dfrac{u}{2}\right)^2-\dfrac{3u^2}{0.4}×x$

বা, $\dfrac{3u^2 x}{0.4}=\dfrac{u^2}{4}$

বা, $\dfrac{3x}{0.4}=\dfrac{1}{4}$

বা, $12x=0.4$

বা, $x=\dfrac{0.4}{12}$

$∴x=\dfrac{1}{30}\;\mathrm{m}=\dfrac{100}{30} \;\mathrm{cm}=\dfrac{10}{3}\;\mathrm{ cm}=3.33\;\mathrm{cm}$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

১.বন্দুকের গুলি একটি দেওয়ালের মধ্যে $8\;\mathrm{cm}$ প্রবেশের পর বেগ দুই-তৃতীয়াংশ হারায়।গুলিটি আর কতদূর প্রবেশ করতে পারবে?

২.বন্দুকের গুলি একটি দেওয়ালের মধ্যে $9\;\mathrm{cm}$ প্রবেশের পর বেগ এক-তৃতীয়াংশ হয়।গুলিটি আর কতদূর প্রবেশ করতে পারবে?

মন্তব্যঃ পড়ন্ত বস্তু $y$ অক্ষের ঋণাত্মক  দিকে গতিশীল থাকায় সকল ভেক্টর রাশি অর্থাৎ সরণ($h$), বেগ($v$), ঋণাত্মক হয় এবং উর্ধগামী হলে এগুলো ধনাত্মক হয়।কিন্তু অভিকর্ষজ ত্বরণ ($g$) সর্বদাই পৃথিবীর কেন্দ্রের দিকে অর্থাৎ $y$ অক্ষের ঋণাত্মক দিকে ক্রিয়াশীল হওয়ায় $g$ সর্বদাই ঋণাত্মক।

গাণিতিক সমস্যাঃ

উর্ধগামী একটি বেলুন হতে $200\;\mathrm{m}$ উচ্চতা হতে একখণ্ড পাথর ছেড়ে দেওয়া হলো ।পাথর খন্ডটি $8\;\mathrm{s}$ পর ভূমিতে ফিরে এলে পাথর খন্ডটি ছেড়ে দেওয়ার মুহূর্তে বেলুনের বেগ কত ছিল?  ছেড়ে দেওয়ার স্থান হতে পাথর কত মিটার উচ্চতায় উঠেছিল?

সমাধান:

পাথরের অতিক্রান্ত সরণ, $h=-200\;\mathrm{m}$

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g=-9.8\;\mathrm{ms^{-2}}$ 

পাথর ছেড়ে দেওয়ার মুহূর্তে বেলুনের উর্ধমুখী বেগ$=$ ঐ সময়ে পাথরের উর্ধমুখী বেগ$=+u$.  [যা আদিবেগ]

পাথর পতনের সময়, $t=8\;\mathrm{s}$

সুতরাং পাথরের ক্ষেত্রে,

$∴h=ut+\dfrac{1}{2}gt^2$ 

বা, $-200=u×8+\dfrac{1}{2}×-9.8×8^2$

বা, $-8u=-9.8×32+200$

বা, $-8u=-313.6+200$

বা, $-8u=-113.6$

বা, $u=\dfrac{-113.6}{-8}$

বা, $u=14.2$

$∴u=14.2\;\mathrm{ms^{-1}}$

সুতরাং পাথর পতনের সময় বেলুনের উর্ধমুখী বেগ, $14.2\;\mathrm{ms^{-1}}$

             ২য় অংশ:

পাথরের উর্ধমুখী আদিবেগ,$u=14.2\;\mathrm{ms^{-1}}$ এবং

সর্বোচ্চ উচ্চতায় বেগ, $v=0$.

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g=-9.8\;\mathrm{ms^{-2}}$

পাথরের উর্ধমুখী সর্বোচ্চ সরণ, $H=?$

$\therefore v^2=u^2+2gh$

বা, $0=14.2^2+2×-9.8×H$

বা, $19.6H=201.64$

বা, $H=\dfrac{201.64}{19.6}$

$\therefore H\approx 10.29 $

সুতরাং পাথরটি ছেড়ে দেওয়ার স্থান হতে উপরের দিকে সর্বোচ্চ $10.29\;\mathrm{m}$ উচ্চতায় উঠেছিল।

মন্তব্যঃ ছেড়ে দেওয়ার স্থান হতে ভূমিতেে ফিরে আসতে পাথরের মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব, 

$d=H+h$

  $=(10.29+200)\;\mathrm{m}$

  $=210.29\;\mathrm{m}$

এক্ষেত্রে, দূরত্ব($d$) $>$ সরণ($h$) । কিন্তু উভয় ক্ষেত্রে সময় একই অর্থাৎ  $8\;\mathrm{s}$.

মন্তব্যঃ কোন দুরত্ব অতিক্রম করতে কোন বস্তুর যে সময় লাগে ঐ দূরত্বের জন্য বস্তুর যে সরণ হয় , সেই সরণের জন্য ঐ একই সময় লাগে।

গাণিতিক সমস্যাঃ

উর্ধ্বগামী একটি বেলুন ভুমি থেকে $400\;\mathrm{m}$ উচ্চতায় ফেটে যায় এবং $10\;\mathrm{s}$ পর ভূমিতে ফিরে আসে ।অভিকর্ষজ ত্বরণের মান $10\;\mathrm{ms^{-2}}$.

(ক) বেলুনটি সর্বোচ্চ কত উচ্চতায় পৌঁছাবে?

(খ) ফেটে যাওয়ার পর থেকে ভূমিতে ফিরে আসতে গড়বেগ ও গড়দ্রুতি সমান হবে কি?গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

(ক)নং প্রশ্নের উত্তর:

ফেটে যাওয়ার মুহূর্তে বেলুনের উর্ধ্বগামী বেগ $+u$ হলে নামার সময় ঐ স্থানে নিম্নমুখী বেগ $-u$.

সরণ $h=-400\;\mathrm{m}$ এর জন্য সময় $t=10\;\mathrm{s}$.

সুতরাং, $h=ut+\dfrac{1}{2}gt^2$

বা, $-400=u×10+\dfrac{1}{2}×-10×10^2$

বা, $-400=10u-500$

বা, $-10u=-500+400$

বা, $-10u=-100$

$\therefore u=10$

সুতরাং $BC=H=x=\dfrac{u^2}{2g}=\dfrac{10^2}{2×10}=5\;\mathrm{m}$

সুতরাং বেলুনটি সর্বোচ্চ $(400+5)\;\mathrm{m}=405\;\mathrm{m}$ উচ্চতায় উঠবে ।

(খ)নং প্রশ্নের উত্তর:

বেলুন ফেটে যাওয়ার অবস্থান হতে ভূমিতে ফিরে আসতে অতিক্রান্ত দূরত্ব,

$s=(400+5×2)\;\mathrm{m}$

    $=410\;\mathrm{m}$

মোট সময়, $t=10\;\mathrm{s}$

সুতরাং গড়দ্রুতি $\bar{v}=\dfrac{410}{10} \;\mathrm{ms^{-1}}=41\;\mathrm{ms^{-1}}$

বেলুন ফেটে যাওয়ার অবস্থান হতে ভূমিতে ফিরে আসতে অতিক্রান্ত সরণ, $\vec{s}=400\;\mathrm{m}$ নিম্নমুখী ।

সময়, $t=10\;\mathrm{s}$

সুতরাং গড়বেগ, $\bar{\vec{v}}=\dfrac{400}{10} \;\mathrm{ms^{-1}}$ নিম্নমুখী $=40\;\mathrm{ms^{-1}}$ নিম্নমুখী ।

সুতরাং গড়বেগের মান $|\bar{\vec{v}}|=40\;\mathrm{ms^{-1}}$

$∴\bar{v}≠|\bar{\vec{v}}|$

গাণিতিক সমস্যা:

 একজন প্যারাসুট আরোহী প্যারাসুট হতে মুক্ত হয়ে বাধাহীনভাবে $80$ মিটার নিচে পতিত হয়েছে । যখন প্যারাসুট খুলেছে তখন গতি হ্রাসের হার $3\;\mathrm{ms^{-2}}$ এবং ওই ব্যক্তি $2\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে মাটিতে এসে পড়ল ।কত উচ্চতায় ঔ ব্যক্তি প্যারাসুট হতে মুক্ত হয়েছিল?

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

$500\;\mathrm{m}$ উচ্চতা থেকে একটি বস্তু নিচে ফেলে দেয়া হল। একই সময়ে অন্য একটি বস্তু $100\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে

ওপরের দিকে নিক্ষেপ করা হল। 

(ক)সমত্বরণ কাকে বলে?

(খ)সমবেগেও ত্বরণ থাকতে পারে-ব্যাখ্যা কর।

(গ) নিক্ষিপ্ত বস্তুটি কখন $200\;\mathrm{m}$ উচ্চতায় থাকবে?

(ঘ)বস্তু দুটি কখন ও কোথায় মিলিত হবে?

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

দুটি সমভরের গাড়ি স্থির অবস্থান থেকে একই সাথে একই দিকে চলতে শুরু করল 

প্রথম গাড়িটি $5\;\mathrm{ms^{-2}}$ সুষম ত্বরণ নিয়ে $15$ মিনিট চলার পর সমবেগে চলতে থাকে।

অবশ্য দ্বিতীয় গাড়িটি সর্বদা $4\;\mathrm{ms^{-2}}$ সুষম ত্বরণে চলতে থাকে।

ক.আপেক্ষিক  ত্রুটি কাকে বলে?

খ.দুরত্ব বনাম সময় এর সমবেগ এবং সমত্বরণের লেখচিত্র কিরূপ হবে?

গ. ১ম গাড়িটির ভর $500$ কেজি হলে যাত্রা শুরুর আধা ঘণ্টা পরে এর অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।

ঘ, যাত্রাকালে গাড়ি দুইটির প্রকৃতপক্ষে কতবার মিলিত হওয়া সম্ভব?এ বিষয়ে

উপযুক্ত গাণিতিক ব্যাখ্যাসহ মতামত দাও।

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

 একটি গাড়ি স্থির অবস্থান থেকে $0.4\mathrm{ms^{-2}}$ সুষম ত্বরণে যাত্রা শুরু করে

$40$ সেকেন্ড সময় ধরে চলে। পরবর্তী $30$ সেকেন্ড সমবেগে চলার পর গন্তব্যে

পৌছায়।

ক, মন্দন কাকে বলে?

খ. সরল দোলকের গতি স্পন্দন গতি কেন?

গ. প্রথম $41$ সেকেন্ডে গাড়িটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

ঘ. গাড়িটি সমস্ত পথ উক্ত ত্বরণে চললে পূর্বের চেয়ে কত আগে গন্তব্যে পৌছাবে গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

গাণিতিক সমস্যা সমূহঃ

১. কোন একটি বস্তুর সরলরেখায় $10\mathrm{s}$ -এর অতিক্রান্ত দূরত্ব $8\mathrm{m}$ । গড় বেগ নির্ণয় কর।      

উত্তর: $0.8\mathrm{ms^{-1}}$

২. একটি বস্তু স্থিতিশীল অবস্থা হতে যাত্রা করে $2\mathrm{ms^{-2}}$ সমত্বরণে চলতে লাগল।

(ক) $5\mathrm{s}$ পর বস্তুর বেগ কত?                             (ক) $10\mathrm{ms{-1}}$

(খ) $5\mathrm{s}$ -এ বস্তু কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?      (খ) $25\mathrm{m}$

(গ) কতক্ষণ পর এর বেগ $50\mathrm{ms^{-1}}$ হবে?      (গ) $25\mathrm{s}$

(ঘ) $5\mathrm{th\;s}$ এটি কত দূরত্ব যাবে?                          (ঘ) $9\mathrm{m}$

৩. $40\mathrm{kmh^{-1}}$ বেগে চলন্ত একটি গাড়িকে $6\mathrm{s}$ যাবৎ $1.5\mathrm{ms^{-2}}$ হারে ত্বরিত করা হল, এর শেষ বেগ কত হবে এবং ত্বরণকালে এটি কত দূর চলবে?           

উত্তর: $20.11\mathrm{ms^{-1}}, 93.66\mathrm{m}$

৪. একটি বস্তু স্থিতিশীল অবস্থা হতে যাত্রা করে $5\mathrm{ms^{-2}}$ সমত্বরণে  চলতে লাগল। $5\mathrm{s}$ -এ বস্তু কত পথ অতিক্রম করবে নির্ণয় কর।

উত্তর: $62.5\mathrm{m}$

৫. একটি বস্তু স্থিতিশীল অবস্থা হতে যাত্রা করে $5\mathrm{ms^{-2}}$ সমত্বরনে চলতে লাগল। কতক্ষণ পর এর বেগ $396\mathrm{kmh^{-1}}$ হবে বের কর।

উত্তর: $22\mathrm{s}$

৬. একটি বস্তুর প্রথম $4\mathrm{s}$ এর গড় বেগ $30\mathrm{ms^{-1}}$ এবং পরবর্তী $4\mathrm{s}$ -এর গড় বেগ $10\mathrm{ms^{-1}}$ । বস্তুটি সমমন্দনে গতিশীল আছে ধরে এর আদি বেগ এবং মন্দন বের কর।

উত্তর: $40\mathrm{ms^{-1}};5\mathrm{ms^{-2}}$

৭. একটি গাড়ি $50\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে চলছিল। গাড়ির চালক ব্রেক চেপে $5\mathrm{ms^{-2}}$ মন্দন সৃষ্টি করল।

(ক) এর বেগ $8\mathrm{s}$ পর কত হবে?                           (ক) $10\mathrm{ms^{-1}}$

(খ) এই $8\mathrm{s}$ এ গাড়ি কত গড় বেগে যাবে?             (খ) $30\mathrm{ms^{-1}}$

(গ) $8\mathrm{s}$ -এ গাড়ি কত দূরে যাবে?                            (গ) $240\mathrm{m}$

(ঘ) $8th\;\mathrm{s}$ এর শুরুতে তাৎক্ষণিক বেগ কত হবে?    (ঘ) $15\mathrm{ms^{-1}}$

৮. একটি মটর গাড়ি ঘন্টায় $316.8\mathrm{km}$ বেগে চলে। ব্রেক চেপে একে $2\mathrm{min}$ -এ থামিয়ে দেয়া হল। মন্দন এবং স্থিতিতে আসার পূর্ব মূর্হূত পর্যন্ত অতিক্রান্ত দূরত্ব বের কর।

উত্তর: $\dfrac{11}{15}\mathrm{ms^{-2}},\;5280\mathrm{m}$

৯. একটি কণা স্থির অবস্থা হতে $5\mathrm{ms^{-2}}$ সমত্বরণে চলতে থাকলে $5\mathrm{th}$ সেকেন্ডে এটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে বের কর।

উত্তর: $22.5\mathrm{m}$

১০. একটি বস্তু $5\mathrm{th}$ সেকেন্ডে $50\mathrm{m}$ এবং $10\mathrm {th}$ সেকেন্ডে $100\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করে। বস্তুটির (ক) ত্বরণ, (খ) আদি বেগ এবং (গ) $20\mathrm{s}$ -এ অতিক্রম দূরত্ব নির্ণয় কর।

উত্তর: (ক)$10\mathrm{ms^{-1}},$ (খ) $5\mathrm{ms^{-1}},$ (গ) $2100\mathrm{m}$

১১. সরলরেখায় চলে কোন একটি বস্তু প্রথম $4\mathrm{s}$ -এ $160\mathrm{m}$ এবং পরবর্তী $4\mathrm{s}$-এ $160\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করে।বস্তুটির সমত্বরণ  ধরে এর আদি বেগ ও ত্বরণ নির্নয় কর।

উত্তর: $20\mathrm{ms^{-1}},$ $10\mathrm{ms^{-2}}$

১২. $98\mathrm{m}$ উঁচু একটি মিনারের চূড়া হতে একটি বস্তিকে ছেড়ে দেয়া হল। একই সময়ে অন্য একটি বস্তুকে ভুমি হতে $24.5\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হল। কখন এবং কোথায় বস্তু দুটি মিলিত হবে?

উত্তর: $4\mathrm{s},19.3\mathrm{m}$

১৩. একটি ট্রেন স্থির অবস্থান হতে $5\mathrm{ms^{-2}}$ ত্বরনে চলতে শুরু করল। একই সময়ে একটি গাড়ি $50\mathrm{ms^{-1}}$ সমবেগে ট্রেনের সমান্তরালে চলা শুরু করল। ট্রেন গাড়িটিকে কখন পিছনে ফেলবে?

উত্তর: $20\mathrm{s}$

১৪. একটি বন্দুকের গুলি কোন দেয়ালের মধ্যে $0.08\mathrm{m}$ প্রবেশ করার পর অর্ধেক বেগ হারায়। গুলিটি দেয়ালের মধ্যে আর কতদূর প্রবেশ করতে পারবে?

উত্তর: $0.1\mathrm{m}$

১৫. একটি বন্দুকের গুলি কোন দেয়ালের মধ্যে $0\cdot 06\mathrm{m}$ প্রবেশ করার পর অর্ধেক বেগ হারায়। গুলিটি দেয়ালের মধ্যে আর কতদূর প্রবেশ করতে পারবে?

উত্তর: $0.02\mathrm{m}$

১৬. একটি রাইফেলের গুলি নির্দিষ্ট পুরুত্বের একটি তক্তা ভেদ করতে পারে। ঐরূপ $16$টি তক্তা ভেদ করতে হলে এর বেগ কতগুন হতে হবে?

উত্তর: $4$ গুন।

১৭. $20\mathrm{ms^{-2}}$ মন্দন সৃষ্টিকারী বল প্রয়োগ করে একটি গাড়িকে $40\mathrm{m}$ দূরে থামানো হলে গাড়াটির আদি বেগ নির্ণয় কর।

উত্তর: $40\mathrm{ms^{-1}}$

১৮. দুটি মোটরগাড়ি $16\mathrm{ms^{-1}}$ এবং $12\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে একই সময়ে যাত্রা শুরু করে এবয একই সময়ে গন্তব্যে পৌঁছায়। গাড়ি দুটির ত্বরন যথাক্রমে $5\mathrm{ms^{-2}}$ এবং $4\mathrm{ms^{-2}}$ হলে তাদের গন্তব্যে পৌঁছাতে কত সময় লেগেছিল এবং গন্তব্যের দূরত্ব কত ছিল?

উত্তর: $8\mathrm{s},\;256\mathrm{m}128\mathrm{m}$

 ১৯. একট মোটরগাড়ি সরলরেখা বরাবর $20\mathrm{^{-1}}$ বেগে চলছে। গাড়ির চালক $100\mathrm{m}$ দূরে $36\mathrm{kmh^{-1}}$ গতিসীমা নির্দেশক চিহ্ন দেখতে পেলেন। ব্রেক কষে গাড়িটিতে কত মন্দন সৃষ্টি করলে ঐ স্থানে গাড়িটি নির্দেশিত বেগ প্রাপ্ত হবে এবং ঐ নির্দেশ চিহ্ন পর্যন্ত পৌঁছাতে গাড়িটির কত সময় লাগবে?

উত্তর: $1.5\mathrm{ms^{-2}}, 6.67\mathrm{s}$

২০. একটি মোটরগাড়ি $30\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে চলছে। এ অবস্থায় ব্রেক কষায় গাড়িটির বেগ সমত্বরনে কমে $5\mathrm{sec}$ পরে $12\mathrm{ms^{-1}}$ হল। (ক) গাড়িটির ত্বরন ও (খ) পঞ্চম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।

উত্তর: $-3.6\mathrm{ms^{-2}};13.8\mathrm{m}$

২১. একটি বস্তু $50\mathrm{m}$ উপর হতে অভিকর্ষের টান পড়ে $3\mathrm{m}$ পুরু বালু ভেদ করার পর বেগ অর্ধেক হয়। বস্তুটি বালির আর কত গভীরে যেতে পারবে?

উত্তর: $1\mathrm{m}$

২২. একটি বাঘ $8\mathrm{m}$ মিটার সম্মুখে একটি হরিনকে দেখতে পেয়ে স্থিরাবস্থা হতে $1\mathrm{ms^{-2}}$ ত্বরনে তার পেছনে দৌড়াতে থাকে। হরিনটি টের পেয়ে $3\mathrm{ms^{-1}}$ সমবেগে চলতে থাকলে কতক্ষন পরে ও কত দূরত্ব অতিক্রমে বাঘটি হরিনটিকে ধরতে পারবে?

উত্তর: $8\mathrm{s},32\mathrm{m}$

২৩. একটি বস্তুকে খাড়া উপরের দিকে $100\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে নিক্ষেপ করা হল। বস্তুটি যখন $300\mathrm{m}$ উঁচতে থাকবে তখন এর বেগ কত?

উত্তর: $\pm 64.2\mathrm{ms^{-1}}$

২৪. $50\mathrm{m}$ উপর হতে একটি বস্তু ছেড়ে দেয়া হল। ঐ স্থানে $g=9.8\mathrm{^{-2}}$ হলে বস্তুটির মাটিতে পৌঁছবার প্রাক্কালে বেগ কত হবে? মাটিতে পড়তে কত সময় লাগবে?

উত্তর: $31.3\mathrm{ms^{-1}};3.19\mathrm{s}$

২৫. $1\mathrm{kg}$ ভরের একটি বস্তকে পৃথিবীর টানে মুক্তভাবে পড়তে দেয়া হল। কত সেকেন্ড পর এর বেগ $95\mathrm{ms^{-1}}$ হবে?

উত্তর: $9.7\mathrm{s}$

২৬. একটি প্রস্তর খন্ডকে $30\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে খাড়া ভাবে উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হল। এটি কত উপরে উঠবে এবং ঐ উচ্চতায় উঠতে কত সময় লাগবে?

উত্তর: $45\mathrm{m},3\mathrm{s}$

২৭. কত বেগে একটি প্রস্তর খন্ডকে খাড়াভাবে নিক্ষেপ করলে এটি $20\mathrm{m}$ উচ্চতায় উঠবে?

উত্তর: $20\mathrm{ms^{-1}}$

২৮. একটি ক্রিকেট বলকে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হল এবং এটি $6$ সেকেন্ডে ওঠা-নামা করে। সার্বাধিক উচ্চতায় উঠতে কত সময় লাগবে এবং এই উচ্চতা কত হবে নির্নয় কর।

উত্তর: $3\mathrm{s},45\mathrm{m}$

২৯. $150\mathrm{m}$ উঁচু হতে একটি পাথর ভূমিতে পতিত হয়। (ক) ভুমিতে পৌঁছাতে এর কত সময় লাগে? এবং (খ) ভূমি স্পর্শ করার মুহূর্তে এর বেগ কত?

উত্তর: $5.53\;\mathrm{s},54.2\mathrm{ms^{-1}}$

৩০.ভূমির $5\;\mathrm{m}$ উঁচু থেকে একটি বস্তু খাড়া উপরের দিকে $58.8\;\mathrm{ms^{-1}}$বেগে নিক্ষেপ করা হলো। এরপর আরেকটি বস্তুকে $2\;\mathrm{s}$ পর একই স্থান থেকে $6 \;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে নিক্ষেপ করা হলো। দুটি বস্তু কোথায় ও কখন সংঘর্ষে লিপ্ত হবে?

৩১.একটি বস্তু কণা $2$ সেকেন্ডে $20$ মিটার এবং পরের $4\;sec$ এ $160$ মি. দুরত্ব অতিক্রম

করে। শুরু থেকে $17\;sec$ পর বস্তুটির বেগ কত হবে?

৩২. $3\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে গতিশীল বস্তুর ত্বরণ $2\;\mathrm{ms^{-2}}$ হলে $80\;\text{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

৩৩. $40\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তু কত সময়ে $50\;\mathrm{m}$ উচ্চতায় থাকবে?

৩৪. $29.4\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তু কত সময়ে $44.1\;\text{m}$ উচ্চতায় থাকবে?

৩৫. সমবেগে গতিশীল বস্তু $5\;\text{s}$ সময়ে $15\;\text{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করার পর $4\;\mathrm{ms^{-2}}$ সমত্বরণে কত সময়ে $90\;\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করবে?

৩৬. সরলরেখা বরাবর সমত্বরণে গতিশীল কণা পঞ্চম সেকেন্ডে $7\;\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করে কিছুক্ষণ পর থেমে যায়। কণাটির থেমে যাওয়ার পূর্বের সেকেন্ডের অতিক্রান্ত দূরত্ব মোট দূরত্বের $\dfrac{1}{64}$ অংশ হলে বস্তুটি $3\;\mathrm{s}$ সময়ে কত দূরত্ব অতিক্রম করেছিল?

সমাধানঃ

মনেকরি, $u$ আদিবেগে $a$ সমত্বরণে গতিশীল কণা $t$ সময়ে $s$ দূরত্ব অতিক্রম করে থেমে যায়। অর্থাৎ শেষবেগ, $v=0$

   $\therefore v=u+at$

বা, $0=u+at$

বা, $u=-at\cdots\cdots (i)$

$t$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s=ut+\dfrac{1}{2}at^2$

শেষ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব $=s এর \dfrac{1}{64}$

                                             $=\dfrac{1}{64}×s$

                                             $=\dfrac{1}{64}×\left(ut+\dfrac{1}{2}at^2\right)$

 শেষ সেকেন্ডে বা $t$ তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, 

     $s_{t\text{th}}=u+\dfrac{1}{2}a(2t-1)$

বা, $\dfrac{1}{64}×\left(ut+\dfrac{1}{2}at^2\right)=u+\dfrac{1}{2}a(2t-1)$

বা, $\dfrac{1}{64}×\left(-at×t+\dfrac{1}{2}at^2\right)=-at+at-\dfrac{1}{2}a$     $[\because u=-at]$

বা, $\dfrac{1}{64}×\left(-at^2+\dfrac{1}{2}at^2\right)=-\dfrac{1}{2}a$

বা, $\dfrac{1}{64}×\left(-\dfrac{1}{2}at^2\right)=-\dfrac{1}{2}a$

বা, $\dfrac{1}{64}×t^2=1$

বা, $t^2=64$

$\therefore t=8\;\mathrm{s}$

$5 th$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_{5th}=u+\dfrac{1}{2}a(2×5-1)$

                                                বা, $7=-at+\dfrac{1}{2}×a×9$

                                                বা, $7=-a×8+4.5a$

                                                বা, $7=-3.5a$

                                                বা, $a=\dfrac{7}{-3.5}$

                                                    $\therefore a=-2\;\mathrm{ms^{-2}}$

$a$ এর মান $(i)$ নং এ বসিয়ে পাই, $u=-(-2)×8=16\;\mathrm{ms^{-1}}$

$3\;\mathrm{s}$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_3=u×3+\dfrac{1}{2}a×3^2$

                                                                      $=16×3+\dfrac{1}{2}×-2×9$

                                                                      $=48-9$

                                                                      $=39\;\mathrm{m}$

অনুরূপ গাণিতিক প্রশ্নঃ

১.বিনা বাঁধায় পড়ন্ত বস্তু শেষ সেকেন্ড যে দূরত্ব অতিক্রম করে তা মোট অতিক্রান্ত দূরত্বের $\dfrac{1}{8}$ অংশ। বস্তুটি কত উচ্চতা হতে কত সময় পর ভূমিতে আঘাত করবে?

২. $3\;\mathrm{m\; s^{-1}}$ বেগে গতিশীল বস্তু সমমন্দনে থেমে যাওয়ার পূর্বের সেকেন্ডের অতিক্রান্ত দূরত্ব মোট দূরত্বের $\dfrac{1}{64}$ অংশ হলে অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব , সময় এবং মন্দন নির্ণয় কর।

উত্তরঃ $12\;\mathrm{m}$ , $8\;\mathrm{s}$ , $\dfrac{3}{8}\;\mathrm{m\; s^{-2}}$

৩৭.একটি কণা সরলরেখা বরাবর চলে কোন এক সেকেন্ডে $10\;\mathrm{m}$ পথ অতিক্রম করে এবং পরবর্তী $4\;\mathrm{s}$ এ $60\;\mathrm{m}$ পথ অতিক্রম করে কণাটির ত্বরণ কত $\mathrm{m\;s ^{-2}}$ ?

প্রশ্ন-১. একজন লোক $48.0 \mathrm{~ms}^{-1}$ বেগে একটি বল খাড়া ওপরের দিরেক নিক্ষেপ করে। ।বলটি কত সময় শূন্যে থাকবে এবং সর্বোচ্চ কত ওপরে উঠবে ?

প্রেন-২. কোন বস্তুকে খাড়া উপরের দিকে কোন বেগে নিক্ষেপ কররে সর্বোচ্চ উচ্চতা ও ভ্রমণকালের সাংখ্যিক মান সমান হবে?

প্রচ্ন-৩. ঘণ্টায় $60 \mathrm{~km}$ বেগে চলন্ত একটি গাড়িকে 6 সেকেন্ড যাবত $1.5 \mathrm{~ms}^{-2}$ হারে ত্বরিত করা হলো, এর শেষ বেগ কত হবে এবং এটি কত দূর চলবে ?

প্রু-8. $5 \mathrm{~ms}^{-1}$ বেগে চলন্ত একটি গাড়ির উপর বল প্রভ়োগ করায় এটিতে $1.5 \mathrm{~ms}^{-2}$ ত্বরণ সৃষ্টি হয়। $5 \mathrm{~s}$ পর বল সরিয়ে निলে এটি সমবেগে চলতে থাকে। প্রথম 5s এ অতিক্রান্ত দূরত্বের দ্বিগুণ দূরত্ব অতিক্রম করতে গাড়িটির কত সময় লাগবে?

প্রল্ন-৫. $54 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$ বেগে চলन্ত একটি রেল গাড়িতে স্টেশন থেকে কিছু দূরে $0.75 \mathrm{~ms}^{-2}$ মन्দन সৃষ্টিকারী ब্রেক দেওয়ায় গাড়িটি ল্টেশনে এসে থেমে গেলো। ল্টেশন থেকে কত দূরে ব্রেক দেওয়া হয়েছে এবং এর থামতে কত সময় লাগবে ?

ধল্ন-৬. $54 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$ বেগে চলন্ত একটি রেল গাড়িতে স্টেশন থেকে কিছু দূরে $0.75 \mathrm{~ms}^{-2}$ মन्फन সৃষ্টিকারী ब্রেক দেওয়ায় গাড়িটি স্টেশনে এসে শথলে গেলো। স্টেশন থেকে কত দূরে ব্রেক দেওয়া হয়েছে এবং जর থাসতে কত সময় লাগবে ?

                        বহুনির্বাচনী প্রশ্ন 

                           মডেল টেষ্ট-১

পূর্ণমান-২৫                                   সময়-২৫ মিনিট

১.কোনটি ভেক্টর রাশি?                         

(ক)চাপ (খ) তাপ (গ) তড়িৎতীব্রতা (ঘ) কাজ

২.কোনটি সরল স্পন্দন গতি?               

(ক) ঘড়ির কাঁটার গতি (খ) বড় বিস্তারে সরল দোলকের গতি 

(গ) স্প্রিং এর গতি (ঘ) ফ্যানের গতি 

৩.$108\;\mathrm{kmh^{-1}}=$ কত $\mathrm{ms^{-1}}?$

(ক) $15$ (খ) $20$ (গ) $25$ (ঘ) $30$      

৪.সমবেগের ক্ষেত্রে-

$i.s=vt$  

$ii.a=0$ 

$iii.F=0$

কোনটি সঠিক?

(ক) $i,ii$ (খ) $i,iii$ (গ) $ii,iii$ (ঘ) $i,ii,iii$   

৫.সময়ের সাথে বস্তুর অবস্থানের পরিবর্তন মাপার জন্য ব্যবহার করা হয়-

  $i.$ electric spark 

  $ii.$ electronics signal

  $iii.$ air track

কোনটি সঠিক?

(ক) $i,ii$ (খ) $ii,iii$ (গ) $i,iii$ (ঘ) $i,ii,iii$

৬. $10$ পিকো ফ্যারাড $=$ কত ফ্যারাড?

(ক) $10^{-11}$ (খ) $10^{-12}$ (গ) $10^{-13}$ (ঘ) $10^{15}$

৭. $50\;\mathrm{m}$ উঁচু দালানের ছাদ থেকে কোন বস্তু ছেড়ে দিলে এটি কত বেগে ভূ-পৃষ্ঠকে আঘাত?

(ক) $3.13\;\mathrm{ms^{-1}}$ (খ) $33.1\;\mathrm{ms^{-1}}$

(গ) $3.31\;\mathrm{ms^{-1}}$ (ঘ) $31.3\;\mathrm{ms^{-1}}$

৮. মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তু $1\;\mathrm{s}$ এ $4\;\mathrm{m}$ দূরত্ব

অতিক্রম করলে $5\;\mathrm{s}$ পর সেটি কত দূরত্ব

অতিক্রম করবে?

(ক) $16\;\mathrm{m}$ (খ) $20\;\mathrm{m}$ (গ) $40\;\mathrm{m}$ (ঘ) $100\;\mathrm{m}$

৯. $\dfrac{7}{22}\;\mathrm{m}$ দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের ব্যাস কত হলে এর আয়তন $4\;\mathrm{m^3}$ হবে?

(ক) $1\mathrm{m}$ (খ) $4\;\mathrm{m}$ (গ) $7\;\mathrm{m}$ (ঘ) $22\;\mathrm{m}$

১০.আলবার্ট আইনস্টাইন কোন তত্ত্ব প্রদান করেন?

ক কোয়ান্টাম তত্ত্ব

খ. আপেক্ষিক তত্ত্ব

গ.কণা তত্ত্ব

ঘ.তাড়িতচৌম্বক তত্ত্ব

১১. সরণ, গতি, ত্বরণ, সময় ইত্যাদির সংজ্ঞা

প্রদান করেন কোন বিজ্ঞানী?

ক. নিউটন খ.হাইগেন গ.কেপলার ঘ. গ্যালিলিও

১২. স্পর্শ বলের উদাহরণ হলো-

$i.$ ঘর্ষণ বল।

$ii.$ মহাকর্ষ বল

$iii.$ টানবল

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) $i,ii$ (খ) $i,iii$ (গ) $ii,iii$ (ঘ) $i,iiও iii$

১৩. জ্বালানির অপচয় হয় কোনটির জন্য?

(ক) ঘর্ষণ (খ) বল (গ) অভিকর্ষজ ত্বরণ (ঘ) ভর

১৪. ঘড়ির কাঁটার গতি হলো—

$i.$ ঘূর্ণন গতি।

$ii.$ পর্যায়বৃত্ত গতি

$iii.$ স্পন্দন গতি

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) $i,ii$     (খ) $i,iii$  (গ) $ii,iii$  (ঘ) $i,ii ও iii$

১৫.পদার্থের চতুর্থ অবস্থার নাম কী?

(ক)কঠিন     (খ)তরল      (গ)বায়বীয়    (ঘ)প্লাজমা