mathematics,differentiation and derivative

 গাণিতিক সমস্যাঃ

অন্তরজ নির্ণয় করঃ

$\dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt{1-\sin 2x}}$   যেখানে, $\sin x-\cos x >0$

সমাধানঃ

$y=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt{1-\sin 2x}}$

বা,$y=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x-2\sin x\cos x}}$

বা,$y=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\left( \sin x-\cos x\right) ^{2}}}$

বা,$y=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin x-\cos x}$

বা,$y =1$

$\therefore \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d(1)}{dx}=0$   $(Ans.)$

অনুরূপভাবে  অন্তরজ নির্ণয় করঃ

১.$\dfrac{\cos x+\sin x}{\sqrt{1+\sin 2x}}$ যেখানে,$\cos x+\sin x>0$

২. $\dfrac{\cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}}{\sqrt{1-\sin x}}$  যেখানে $\cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}>0$

গাণিতিক সমস্যাঃ

অন্তরজ নির্ণয় করঃ

$\dfrac{\cos 2x}{\sqrt{1+\sin 2x}}$   যেখানে $\cos x+\sin x>0$

সমাধানঃ

$y=\dfrac{\cos 2x}{\sqrt{1+\sin 2x}}$

$=\dfrac{\cos ^2{x}-\sin ^2{x}}{\sqrt{\cos ^{2}x+\sin ^{2}x+2\sin x\cos x}}$

 $=\dfrac{\left( \cos x+\sin x\right) \left( \cos x-\sin x\right) }{\sqrt{\left( \cos x+\sin x\right)^2}}$

$=\dfrac{\left( \cos x+\sin x\right) \left( \cos x-\sin x\right) }{\cos x+\sin x}$

$=\cos x-\sin x$

$\therefore \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left( \cos x-\sin x\right) $

             $=-\sin x-\cos x$

             $ =-\left( \sin x-\cos x\right) $    $(Ans.)$

অনুরূপভাবে অন্তরজ নির্ণয় করঃ 

$\dfrac{\cos 2x}{\sqrt{1-\sin 2x}}$ সেখানে $\cos x-\sin x>0$

গাণিতিক সমস্যাঃ

অন্তরজ নির্ণয় করঃ

$\dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$

সমাধানঃ

$y=\dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$

$\therefore \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right) $

$ =$$\dfrac{\left( 1-\sqrt{x}\right) \dfrac{d}{dx}\left( 1+\sqrt{x}\right) -\left( 1+\sqrt{x}\right) \dfrac{d}{dx}\left( 1-\sqrt{x}\right) }{\left( 1-\sqrt{x}\right) ^{2}}$

$=$$\dfrac{\left( 1-\sqrt{x}\right) \left( 0+\dfrac{1}{2}x^{\tfrac{1}{2}-1}\right) -\left( 1+\sqrt{x}\right) \cdot \dfrac{-1}{2\sqrt{x}}}{\left( 1-\sqrt{x}\right) ^{2}}$

$=\dfrac{\left( 1-\sqrt{x}\right) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\left( 1+\sqrt{x}\right) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\left( 1-\sqrt{x}\right) }$

$=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\left( 1-\sqrt{x}+1+\sqrt{x}\right) }{\left( 1-\sqrt{x}\right) ^{2}}$

$=\dfrac{2}{\left( 1-\sqrt{x}\right) ^{2}.2\sqrt{x}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{x}\left( 1-\sqrt{x}\right) ^{2}}$

অনুরূপভাবে অন্তরজ নির্ণয় করঃ

১.$\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$

২.$\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}$

গাণিতিক সমস্যাঃ

অন্তরজ নির্ণয় করঃ

$ae^{bx}\log_cx$

সমাধানঃ

$y=ae^{bx}\log_cx$

$\therefore\dfrac{d}{dx}\left( y\right) =\dfrac{d}{dx}\left( ae^{bx}\log _{c}x\right) $

$=ae^{bx}\dfrac{d}{dx}\left( \log _{c}x\right) +a\log _{c}x\dfrac{d}{dx}\left( e^{bx}\right) $

$=ae^{bx}\dfrac{d}{dx}\left( \log _{e}x\log _{c}e\right) +a\log _{c}x\cdot be^{bx}$

$=ae^{bx}\log _{c}e\dfrac{d}{dx}\left( \ln x\right) +abe^{bx}\log _{c}x$

$=ae^{bx}\log _{c}e.\dfrac{1}{x}+abe^{bx}\log _{c}x$

$=ae^{bx}\left( \dfrac{1}{x}\log _{c}e+b\log _{c}x\right)$  $(Ans.)$

অনুরূপভাবে অন্তরজ নির্ণয় করঃ

১.$3e^{4x}\log_5x$

২.$e^{3x}\log_{e}2x$

                 অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরীকরণ

ব্যক্ত ফাংশনঃ $f(x,y)=0$ কে $y=f(x)$ এবং $x=f(y)$ আকারে প্রকাশ করা গেলে $ f(x,y)=0$ কে ব্যক্ত ফাংশন বলে।যেমনঃ $f(x,y)=2x-y=0$

অব্যক্ত ফাংশনঃ $f(x,y)=0$ কে $y=f(x)$ এবং $x=f(y)$ আকারে প্রকাশ করা না গেলে $ f(x,y)=0$ কে অব্যক্ত ফাংশন বলে।যেমনঃ $f(x,y)=2xy^2-x^2y=0$

প্যারামেট্রিক ফাংশনঃ $f(x,y)=0$ কে $y=f(t)$ এবং $x=f(t)$ আকারে প্রকাশ করা গেলে $ f(x,y)=0$ কে প্যারামেট্রিক ফাংশন বলে।যেমনঃ $f(x,y)=x^2+y^2-a^2=0$ কে $y=a\sin t$ এবং $x=a\cos t$ আকারে প্রকাশ করা যায় , তাই $f(x,y)=0$  কে প্যারামেট্রিক (পরামিতিক ) ফাংশন বলে এবং $t$ কে প্যারামিটার (পরামিতি) বলে।

গাণিতিক সমস্যা-১ঃ

$\log _{e}\left( x^{2}y\right) =x^{3}+y^{2}$

সমাধানঃ

$\log _{e}\left( x^{2}y\right) =x^{3}+y^{2}$

বা,$\ln x^{2}+\ln y=x^{3}+y^{2}$

বা,$\dfrac{d}{dx}\left( \ln x^{2}+\ln y\right) =\dfrac{d}{dx}\left( x^{3}+y^{2}\right)$

বা,$\dfrac{1}{x^{2}}.2x+\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}+2y\dfrac{dy}{dx}$

বা,$\left( \dfrac{1}{y}-2y\right) \dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-\dfrac{2}{x}$

$\therefore \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y\left( 3x^{3}-2\right) }{x\left( 1-2y^{2}\right) }$ $(Ans.)$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

১.$\ln \left( xy^2\right) =x^{2}+y^{3}$

২.$\log _{2}\left( x^{-2}y\right) =x^{-3}+y^{2}$

গাণিতিক সমস্যাঃ

$x\sqrt{1-y}+y\sqrt{1-x}=0$  যেখানে $x\ne y$

সমাধান:

যেহেতু  $x\ne y$ তাই সমীকরণটিকে ব্যক্ত ফাংশনে প্রকাশ করা যায় ।এজন্য উভয় পক্ষে বর্গ করতে হবে।

$x\sqrt{1-y}+y\sqrt{1-x}=0$

বা,$x\sqrt{1-y}=-y\sqrt{1-x}$

বা,$\left( x\sqrt{1-y}\right) =\left( -y\sqrt{1-x}\right) ^{2}$

বা,$ x^{2}\left( 1-y\right) =y^{2}\left( 1-x\right)$ 

বা,$x^{2}-x^2y-y^{2}+xy^{2}=0$

বা,$x^{2}-y^{2}-x^{2}y+xy^{2}=0$

বা,$ \left( x+y\right) \left( x-y\right) -xy\left( x-y\right) =0$

বা,$\left( x-y\right) \left( x+y-xy\right) =0$

বা, $x+y-xy=0$  [$\because x\ne y$ ]

এখন,$x+y-xy=0$

বা,$y(1-x)=-x$

বা,$y=\dfrac{x}{x-1}$

বা,$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\left( x-1\right) \cdot 1-x\left( 1-0\right) }{\left( x-1\right) ^{2}}$

        $=\dfrac{x-1-x}{\left( x-1\right) ^{2}}$

        $=\dfrac{-1}{\left( x-1\right) ^{2}}$ $(Ans.)$

গাণিতিক সমস্যাঃ

$x\sqrt{1-y}+y\sqrt{1-x}=0$ 

সমাধানঃ

যেহেতু $x\ne y$ শর্তটি দেওয়া নেই। তাই সমীকরণটিকে ব্যক্ত ফাংশনে প্রকাশ করা যায় না। এজন্য সমীকরণটিকে সরাসরি অন্তরীকরণ করতে হবে।

$\dfrac{d}{dx}\left( x\sqrt{1-y}+y\sqrt{1-x}\right) =0$

বা,$x\dfrac{1}{2\sqrt{1-y}}\left( 0-\dfrac{dy}{dx}\right) +\sqrt{1-y}$$+y\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}\left( 0-1\right) +\sqrt{1-x}\dfrac{dy}{dx}=0$

বা,$ \left( \sqrt{1-x}-\dfrac{x}{2\sqrt{1-y}}\right) \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{2\sqrt{1-x}}$$-\sqrt{1-y}$

বা,$\dfrac{2\sqrt{1-y}\sqrt{1-x}-x}{2\sqrt{1-y}}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-2\sqrt{1-x}\sqrt{1-y}}{2\sqrt{1-x}}$

$\therefore \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sqrt{1-y}\left( y-2\sqrt{1-x}\sqrt{1-y}\right) }{\sqrt{1-x}\left( 2\sqrt{1-x}\sqrt{1-y}-x\right) }$  $(Ans.)$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

১.$x\sqrt{1-x}+y\sqrt{1-y}=0$ যখন $x\ne y$

২.$x\sqrt{1-x}+y\sqrt{1-y}=0$

৩.$x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}=0$  যখন $x\ne y$

8.$x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}=0$

৫.$x\sqrt{1-y}-y\sqrt{1-x}=0$  (সমীকরণটিকে ব্যক্ত ফাংশনে প্রকাশ করা যায় না , তাই সরাসরি অন্তরীকরণ করতে হবে )

বেগঃ ক্ষুদ্র সময়ের ব্যবধানে সরণের পরিবর্তনের হারকে বেগ বলে ।

$\Delta t $ বৃহত্তর সময়ের ব্যবধানে  সরণের বৃহত্তর পরিবর্তন $\Delta s$ বা $\Delta y$ হলে ক্ষুদ্র সময়ের পরিবর্তন অর্থাৎ $\Delta t\to 0$ হলে বেগ

$v=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta s}{Δt}=\dfrac{ds}{dt}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta y}{Δt}=\dfrac{dy}{dt}$ , এখানে $s$ বা $y$ সময়ের ফাংশন হিসাবে সরলরেখা বা বক্ররেখা প্রকাশ করে এবং $\dfrac{ds}{dt}$ বা $\dfrac{dy}{dt}$ ঐ রেখার কোন বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল প্রকাশ করে।

ত্বরণঃ ক্ষুদ্র সময়ের ব্যবধানে বেগের পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে ।

$\Delta t $ বৃহত্তর সময়ের ব্যবধানে বেগের বৃহত্তর  পরিবর্তন $\Delta v$ হলে ক্ষুদ্র সময়ের পরিবর্তন অর্থাৎ $\Delta t\to 0$ হলে ত্বরণ

$a=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta v}{Δt}=\dfrac{dv}{dt}$ , এখানে $v$ সময়ের ফাংশন হিসাবে সরলরেখা বা বক্ররেখা প্রকাশ করে এবং $\dfrac{dv}{dt}$ ঐ রেখার কোন বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল প্রকাশ করে।

এখন, $a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d\left(\dfrac{ds}{dt}\right)}{dt}=\dfrac{d^2s}{dt^2}$

অথবা, $a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d\left(\dfrac{dy}{dt}\right)}{dt}=\dfrac{d^2y}{dt^2}$ 

অর্থাৎ সরণকে দুইবার অন্তরীকরণ করলে ত্বরণ পাওয়া যায়।

গড়মান উপপাদ্য (ল্যাগ্রাঞ্জের আকার):

বিবৃতিঃ যদি $y=f(x)$ ফাংশন $\left[a,b\right]$ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং $\left(a,b\right)$ ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য হয় তবে $a$ ও $b$ এর মধ্যে অন্ততঃপক্ষে $x$ এর এমন একটি মান $c$ রয়েছে যাতে, $f(a)-f(b)=(a-b)f^\prime (c)$ হয়।

প্রমাণ(জ্যামিতিক):

চিত্রে, $y=f(x)$ ফাংশনের বক্ররেখা দেখানো হয়েছে।$RB$ সরলরেখা $[a,b]$ বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন বক্ররেখাটিকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং $QP$ সরলরেখা $AB$ এর সমান্তরালে $P$ বিন্দুতে   স্পর্শ করেছে।  $OK=x_1=a,\;OM=x_2=b,\;OL=x=c\in(a,b)$ এবং 

$AK=y_1=f(a),\;BM=y_2=f(b),\;PL=f(c)$

$AB$ রেখার ঢাল,

 $\tan\theta =m_1=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$

                             $=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$

$P$ বিন্দুতে $QP$ স্পর্শকের ঢাল, $\tan\theta=m_2=f^\prime (c)$

যেহেতু সরলরেখা দুটি সমান্তরাল সেহেতু এদের ঢাল সমান।অর্থাৎ

$m_1=m_2$

বা, $\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=f^\prime (c)$

$\therefore f(a)-f(b)=(a-b)f^\prime (c)$    (প্রমাণিত)

মধ্যবর্তী মান উপপাদ্যঃ

যদি $y=f(x)$ ফাংশন $\left[a,b\right]$ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন  এবং $c\in\left[f(a),f(b)\right]$ হয় তবে $[a,b]$ ব্যবধিতে $x$ এর কমপক্ষে একটি মান থাকবে যেন $f(x)=c$ হয়। 

ব্যাখ্যাঃ

$y=f(x)$ ফাংশন $[a,b]$ বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন হলে $x$ অক্ষের সমান্তরালে কমপক্ষে একটি সরলরেখা $y=f(x)=c$ বা $y=c$ থাকবে যা অবিছিন্ন লেখের  অংশকে কমপক্ষে একটি বিন্দুতে ছেদ করবে।

প্রতিজ্ঞা:

যদি $y=f(x)=0$ ফাংশন $\left[a,b\right]$ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন  এবং $f(a)$ ও $f(b)$ বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট হয় তবে $(a,b)$ ব্যবধিতে $f(x)=0$ ফাংশনের কমপক্ষে একটি সমাধান বিদ্যমান থাকবে।

ব্যাখ্যাঃ

যদি $y=f(x)=0$ ফাংশন $\left[a,b\right]$ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন  এবং $f(a)$ ও $f(b)$ বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট হয় তবে অবিছিন্ন লেখের  অংশকে $x$ অক্ষ  কমপক্ষে একটি বিন্দুতে ছেদ করবে। আর $ f(x)=y=0$ ফাংশনের ক্ষেত্রে $x$ অক্ষের ঐ ছেদবিন্দু $(c,0)$ এর ভুজ অর্থাৎ $c$ ফাংশনটির কমপক্ষে একটি সমাধান। কারণ $x=c$ দ্বারা $y=f(x)=0$ সিদ্ধ হয়।