physics,reflection of light
physics,reflection of light,laws of reflection,plane and spherical mirror , image creation on mirrors , mathematical problems and solutions of them,
দর্পণ:
$A$ বিন্দু থেকে $XY$ দর্পণে $AB$ অভিলম্ব বরাবর অপতিত আলোক রশ্মি $BA$ বরাবর প্রতিফলিত হয়।$A$ বিন্দু থেকে $AC$ বরাবর আপতিত আলোক $CN$ অবিলম্বের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই একই কোণে প্রতিফলনের সূত্রানুসারে $CD$ পথে প্রতিফলিত হয়।
মনে করি, $XY$ দর্পণের $O$ বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্ব $ON$ এবং আপতিত রশ্মি $AO$ এবং প্রতিফলিত রশ্মি $OB$.
$XY$ ও $YZ$ দর্পণ দুটি পরস্পরের সাথে $60^\circ$ কোণে হেলানো অবস্থায় আছে। $AB$ আপতিত রশ্মি অভিলম্ব $BN$ এর সাথে $\angle{ABN}=60^\circ=$ আপতন কোণ উৎপন্ন করে।প্রতিফলনের সূত্রানুসারে আলোক রশ্মিটি $\angle{NBC}=60^\circ$ কোণে $BC$ বরাবর প্রতিফলিত হয়ে $YZ$ দর্পণে আপতিত হয়়।
যে তলে আলোর নিয়মিত প্রতিফলন ঘটে তাকে দর্শন বলে।
দর্পণের প্রকারভেদ:
দর্পণ দুই প্রকার।যথা-
(ক) সমতল দর্পণ
(খ) গোলীয় দর্পণ
সমতল দর্পণ:
কোন দর্পণের পৃষ্ঠ যদি সমতল হয় এবং তাতে আলোর নিয়মিত প্রতিফলন ঘটে তবে তাকে সমতল দর্পণ বলে।
প্রশ্ন:
সমতল দর্পণের ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, দর্পণ থেকে বস্তুর দুরত্ব ও প্রতিবিম্বের দূরত্ব সমান।
প্রমাণ:
সুতরাং $\angle{ACN}=\angle{DCN}$
অর্থাৎ $\theta{_i}=\theta{_r}$
এখন প্রতিফলিত রশ্মি দুটিকে পিছনের দিকে বর্ধিত করলে
$A'$ বিন্দুতে $A$ এর অবাস্তব প্রতিবিম্ব গঠিত হয়।
$\angle{ACN}=\angle{CAB}=\theta{_i}$ [একান্তর কোণ]
$\angle{NCD}=\angle{CA'B}=\theta{_r}$ [অনুরূপ কোণ]
যেহেতু $\theta{_i}=\theta{_r}$
$\therefore \angle{CAB}=\angle{CA'B}\cdots(i)$
$\triangle{ABC}$ ও $\triangle{A'BC}$ এর
$\angle{CAB}=\angle{CA'B}$ [$(i)$ হতে]
$\angle{ABC}=\angle{A'BC}$ [প্রত্যেকে সমকোণ]
$BC$ সাধারণ বাহু।
$\triangle{ABC}\cong \triangle{A'BC}$
$\therefore AB=A'B$
সুতরাং আয়না হতে বস্তুর দূরত্ব$=$প্রতিবিম্বের দুরত্ব। [প্রমাণিত]
প্রশ্ন:
সমতল দর্পণের ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, পূর্ণ প্রতিবিম্বে
বস্তুর উচ্চতা$=\dfrac{1}{2}\times $আয়নার উচ্চতা।
অথবা, সমতল আয়নায় পূর্ণপ্রতিবিম্ব দেখার জন্য আয়নার উচ্চতা কমপক্ষে বস্তুর উচ্চতার অর্ধেক হতে হবে।
উত্তরঃ
[ অঙ্কনের কৌশল: $HF\parallel XY \parallel H'F'$ এবং $EF$ এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক আকলে তা $B$ বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্ব হবে আবার $HE$ এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক আকলে তা $A$ বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্ব হবে । ফলে প্রতিফলনের সূত্রানুসারে আপতন কোণ= প্রতিফিলন কোণ হবে।কারণ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব শীর্ষ কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।]
মনেকরি,কোন ব্যক্তির পা $F$ থেকে ঐ ব্যক্তির সমান্তরালে $XY$ আয়নায় আপতিত আলোক রশ্মি প্রতিফলিত হয়ে চোখ $E$ তে পৌঁছায়।আবার মাথা $H$ থেকে আয়নায় আপতিত আলোক রশ্মি প্রতিফলনের পর চোখ $E$ তে পৌঁছায়। ফলে ঐ ব্যক্তি তার পূর্ণ প্রতিবিম্ব দেখতে পাবে।$H$ হতে অপর একটি রশ্মি অভিলম্ব $HP$ বরাবর আপতিত হয়ে $PH$ পথে প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মিদ্বয়কে পিছনের দিকে বর্ধিত করলে $H'$ বিন্দুতে মাথা $H$ এর অবাস্তব বিম্ব গঠিত হয় । অনুরূপভাবে $F'$ বিন্দুতে পা $F$ এর অবাস্তব বিম্ব গঠিত হয়। সুতরাং$F'H'$ হলো $FH$ এর অবাস্তব প্রতিবিম্ব।
$\therefore FH=F'H'$.
$\triangle{HH'E}$ এর
$HH'$ এর মধ্যবিন্দু $P$ এবং
$AP\parallel HE$
$\therefore EH'$এর মধ্যবিন্দু $A$ [ ত্রিভুজের কোনো বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অপর বাহুর সমান্তরালে অঙ্কিত রেখা তৃতীয় বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে]
অনুরূপভাবে, $EF'$ এর মধ্যবিন্দু $B$.
$\triangle{EH'F'}$ এর
$EH'$ এর মধ্যবিন্দু $A$,
$EF'$ এর মধ্যবিন্দু $ B$ এবং
$AB\parallel H'F'$
$\therefore AB=\dfrac{1}{2}\times F'H'$ [ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং তার অর্ধেক]
বা,$AB=\dfrac{1}{2}\times FH$
গাণিতিক সমস্যাঃ
কোন আয়নার উচ্চতা $37cm$ হলে ঐ আয়নায় সর্বোচ্চ কত উচ্চতার বস্তুর পূর্ণ প্রতিবিম্ব দেখা যাবে?
গাণিতিক সমস্যাঃ
কোন ব্যক্তির উচ্চতা $66cm$ হলে ঐ ব্যক্তির পূর্ণ প্রতিবিম্ব দেখার জন্য সর্বনিম্ন কত উচ্চতার আয়ন দরকার?
প্রশ্ন:
সমতল দর্পণের ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, দর্পণকে যে কোণে ঘুরানো হয় প্রতিফলিত রশ্মি তার দ্বিগুণ কোণে ঘুরে যায়।
ads
প্রমাণ:
মনে করি, $XY$ দর্পণের $O$ বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্ব $ON$ এবং আপতিত রশ্মি $AO$ এবং প্রতিফলিত রশ্মি $OB$.
সুতরাং প্রতিফলনের সূত্রানুসারে,
আপতন কোণ$=$ প্রতিফলন কোণ
বা,$\theta{_i}=\theta{_r}$
বা,$\angle{AON}=\angle{BON}$
অর্থাৎ $\angle{AOB}=2\angle{AON}=2\theta{_i}$
দর্পণটিকে $\theta $ কোণে ঘুরিয়ে $X'Y'$ অবস্থানে আনা হলো।এক্ষেত্রে অভিলম্ব হবে $ON'$ এবং একই আপতিত রশ্মি $AO$ এর জন্য প্রতিফলিত রশ্মি $OB'$ হবে।
সুতরাংপ্রতিফলনের সূত্রানুসারে,
$\angle{AON'}=\angle{B'ON'}$
অর্থাৎ $\angle{AOB'}=2\angle{AON'}$
এখন $\angle{NON'}=\angle{XON'}-\angle{XON}$ $=\angle{XOX'}+\angle{X'ON'}-90^\circ$
$=\theta+90^\circ-90^\circ$
$=\theta$
$\therefore \angle{AON'}=\theta{_i}+\theta$
এবং $\angle{BOB'}=\angle{AOB'}-\angle{AOB}$
$=2\angle{AON'}-2\angle{AON}$
$=2(\theta{_i}+\theta)-2\theta{_i}$
$=2\theta{_i}+2\theta-2\theta{_i}$
$=2\theta$ [প্রমানিত]
[ প্রথমে দর্পণের সাপেক্ষ $\angle{NON'}=\theta$ এবং পরে আপতিত রশ্মির সাপেক্ষে $\angle{BOB'}=2\theta$ প্রমাণ করলেই হয়ে যাবে।]
গাণিতিক সমস্যাঃ
কোন আয়নাকে $15^\circ$ কোণে ঘুরানো হলে একই আপতিত আলোক রশ্মির জন্য অভিলম্ব ও প্রতিফলিত রশ্মি কত কোণে ঘুরে যাবে?
গাণিতিক সমস্যাঃ
সমতল দর্পণের অভিলম্বকে $10^\circ$ কোণে ঘুরানোর জন্য একই আপতিত রশ্মির জন্য প্রতিফলিত রশ্মি কত কোণে ঘুরে যাবে?
গাণিতিক সমস্যাঃ
প্রতিফলিত রশ্মি $26^\circ$ কোণে ঘুরানোর জন্য একই আপতিত রশ্মির ক্ষেত্রে দর্পণকে কত কোণে ঘুরাতে হবে?
প্রশ্ন:
পরস্পরের সাথে $60^\circ$ কোণে আনত দুটি সমতল দর্পণের একটিতে $60^\circ$ কোণে আপতিত আলোক রশ্মি দ্বিতীয় দর্পণ হতে কত কোণে প্রতিফলিত হবে?
উত্তর:
$\angle{CBY}=90^\circ -60^\circ=30^\circ$ এবং
$\angle{BYC}=60^\circ$
সুতরাং $\triangle{BCY}$ এর
$\angle{BCY}=180^\circ -\left(60^\circ+30^\circ\right)=90^\circ$
সুতরাং $BC$ অভিলম্ব হওয়ায় আলোক রশ্মিটি $YZ$ দর্পণ থেকে $CB$ পথে প্রতিফলিত হয়।
অনুরুপ ভাবে সমাধান কর:
১.পরস্পরের সাথে লম্বভাবে অবস্থিত দুটি সমতল দর্পণের একটিতে $60^\circ$ কোণে আপতিত আলোক রশ্মি দ্বিতীয় দর্পণ হতে কত কোণে প্রতিফলিত হবে?
২.পরস্পরের সাথে $30^\circ$ কোণে আনত দুটি সমতল দর্পণের একটিতে $60^\circ$ কোণে আপতিত আলোক রশ্মি দ্বিতীয় দর্পণ হতে কত কোণে প্রতিফলিত হবে?
৩.পরস্পরের সাথে $60^\circ$ কোণে আনত দুটি সমতল দর্পণের একটিতে $30^\circ$ কোণে আপতিত আলোক রশ্মি দ্বিতীয় দর্পণ হতে কত কোণে প্রতিফলিত হবে?
8.পরস্পরের সাথে লম্বভাবে অবস্থিত দুটি সমতল দর্পণের একটিতে $30^\circ$ কোণে আপতিত আলোক রশ্মি দ্বিতীয় দর্পণ হতে কত কোণে প্রতিফলিত হবে?
গোলীয় দর্পণ:
$TMBE$ অবতল দর্পণের বক্রতার কেন্দ্র $C$, বক্রতার ব্যাসার্ধ $CM=CB=r$;
বক্রতার ব্যাসার্ধ,$MC=BC=r=4cm$
দর্পণের পৃষ্ঠ যদি কোন গোলকের অংশবিশেষ হয় এবং তাতে আলোর নিয়মিত প্রতিফলন ঘটে তবে তাকে গোলীয় দর্পণ বলে।
গোলীয় দর্পণ দুই প্রকার।যথাঃ
(ক) অবতল দর্পণ।
(খ) উত্তল দর্পণ ।
অবতল দর্পণ:
গোলকের অবতল পৃষ্ঠ যদি দর্পণ হিসেবে কাজ করে তবে তাকে অবতল দর্পণ বলে।
উত্তল দর্পণ:
গোলকের উত্তল পৃষ্ঠ যদি দর্পণ হিসেবে কাজ করে তবে তাকে উত্তল দর্পণ বলে।
গোলীয় দর্পণ সংক্রান্ত কয়েকটি রাশি:
(ক) মেরু
(খ) বক্রতার কেন্দ্র
(গ) বক্রতার ব্যাসার্ধ
(ঘ) প্রধান অক্ষ
(ঙ) গৌণ অক্ষ
(চ) প্রধান ফোকাস
(ছ) ফোকাস তল
(জ) গৌণ ফোকাস
(ঝ) ফোকাস দূরত্ব
(ঞ) উন্মেষ
উপরোক্ত রাশিগুলোর সংজ্ঞা দেওয়ার জন্য চিত্রটি নিম্নরূপ:
মেরু:
দর্পণের মধ্যবিন্দুকে মেরু বলে।
চিত্রে $M$ দর্পণের মেরু।
বক্রতার কেন্দ্র:
কোন দর্পণ যে গোলকের অংশবিশেষ সেই গোলকের কেন্দ্রকে বক্রতার কেন্দ্র বলে।
চিত্রে $C$ বক্রতার কেন্দ্র।।
বক্রতার ব্যাসার্ধ:
কোন দর্পণ যে গোলকের অংশবিশেষ সেই গোলকের ব্যাসার্ধকে বক্রতার ব্যাসার্ধ বলে।
চিত্রে $CM=CB=r$ বক্রতার ব্যাসার্ধ।
মন্তব্য: বক্রতার ব্যাসার্ধ সব সময় অভিলম্ব হিসেবে কাজ করে।তাই বক্রতার ব্যাসার্ধ বরাবর আপতিত আলোক রশ্মি ঐ ব্যাসার্ধ বরাবর প্রতিফলিত হয়।
প্রধান অক্ষ:
বক্রতার কেন্দ্র এবং মেরু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখাকে
প্রধান অক্ষ বলে।
চিত্রে$XY$ প্রধান অক্ষ।
গৌণ অক্ষ:
বক্রতার কেন্দ্র এবং দর্পণের মেরু বাদে অন্য সকল বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখাকে গৌণ অক্ষ বলে।
চিত্রে $X'Y'$ গৌণ অক্ষ।
মন্তব্য: $M$ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ ব্যতিত সকল ব্যাসার্ধ দ্বারা গঠিত সরলরেখা গৌণ অক্ষ।
প্রধান ফোকাস:
প্রধান অক্ষের সমান্তরালে আপতিত আলোক রশ্মি দর্পণ থেকে প্রতিফলনের পর প্রধান অক্ষের যে বিন্দু দিয়ে গমন করে বা প্রতিফলিত রশ্মিকে পিছনের দিকে বর্ধিত করলে প্রধান অক্ষের যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে প্রধান ফোকাস বলে।
চিত্রে$F$ প্রধান ফোকাস।
ফোকাস তল:
প্রধান ফোকাস দিয়ে প্রধান অক্ষের সাথে লম্বভাবে যে তল কল্পনা করা হয় তাকে ফোকাস তল বলে।
চিত্রে $PQRS$ ফোকাস তল।
গৌণ ফোকাস:
প্রধান ফোকাস বাদে ফোকাস তলের সকল বিন্দুকে গৌণ ফোকাস বলে।
চিত্রে $F'$ গৌণ ফোকাস।
ফোকাস দূরত্ব:
মেরু থেকে প্রধান ফোকাস পর্যন্ত দূরত্বকে ফোকাস দূরত্ব বলে।
চিত্রে $MF=f=$ ফোকাস দূরত্ব ।
উন্মেষ:
গোলীয় দর্পণের প্রান্ত বিন্দুদ্বয় কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্মেষ বলে।
চিত্রে $ \angle{TCE}=\theta=$ উন্মেষ ।
প্রশ্ন:
বাস্তব এবং অবাস্তব দূরত্ব বলতে কি বোঝ?
উত্তর:
আলোক রশ্মি প্রকৃতপক্ষে যে দূরত্ব অতিক্রম করে বাস্তব বিম্ব গঠন করে তাকে বাস্তব দূরত্ব বলে।আলোক রশ্মির যে কল্পিত দূরত্বের ফলে অবাস্তব প্রতিবিম্ব গঠিত হয় তাকে অবাস্তব দূরত্ব বলে।
প্রশ্ন:
চিহ্নের ধনাত্মক বাস্তব প্রথা লিখ।
উত্তর:
$(i)$ সকল দূরত্ব মেরু থেকে পরিমাপ করতে হবে।যেমন:বস্তুর দূরত্ব , প্রতিবিম্বের দুরত্ব , ফোকাস দূরত্ব।
$(ii)$ সকল বাস্তব দুরত্ব ধনাত্মক এবং অবাস্তব দূরত্ব ঋণাত্মক।
প্রশ্ন:
কম উন্মেষের অবতল দর্পণের ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে ,$f=\dfrac{r}{2}$.
উত্তর:
এখানে $CB$ বক্রতার ব্যাসার্ধ ,স্পর্শক $PQ$ এর সাথে $B$ বিন্দুতে লম্ব। সুতরাং $BC$ অভিলম্ব [কারণ বৃত্তের স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সাথে লম্ব] । প্রধান অক্ষ $XY$ এর সমান্তরালে আপতিত $AB$ আলোক রশ্মি $B$ বিন্দু হতে $BD$ পথে প্রতিফলিত হয় যা $XY$ কে $F$ বিন্দুতে ছেদ করে ।তাহলে $F$ প্রধান ফোকাস।
প্রতিফলনের ২য় সূত্রানুসারে,
$\theta{_i}=\theta{_r}$ [আপতন কোণ=প্রতিফলন কোণ]
বা,$\angle{ABC}=\angle{CBF}\cdots(i)$
আবার $AB\parallel XY$ এবং $CB$ তাদের ছেদক হওয়ায় $\angle{ABC}=\angle{BCF}\cdots(ii)$ [ এরা একান্তর কোণ]
সমীকরণ $(i)$ ও $(ii)$ হতে পাই,
$\angle{CBF}=\angle{BCF}$
সুতরাং $BCF$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
$\therefore CF=BF\cdots(iii)$ [একই ত্রিভুজে সমান সমান কোণের বিপরীত বাহু সমান]
আবার দর্পণটি কম উন্মেষের হওয়ায় $B$ বিন্দু $ M$ এর নিকটবর্তী হবে ।ফলে $BF=MF\cdots(iv)$
সমীকরণ $(iii)$ ও $(iv)$ হতে,
$CF=MF\cdots(v)$
এখন,
$MC=MF+CF$
বা,$MC=MF+MF$ [$(v) $ হতে]
বা,$MC=2MF$
বা,$r=2f$
$\therefore f=\dfrac{r}{2}$ [প্রমাণিত]
প্রশ্ন:
কম উন্মেষের উত্তল দর্পণের ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে ,$f=\dfrac{r}{2}$.
উত্তর:
$TMBE$ উত্তল দর্পণের বক্রতার কেন্দ্র $C$, বক্রতার ব্যাসার্ধ $CM=CB=r$;
এখানে $CB$ বক্রতার ব্যাসার্ধ ,স্পর্শক $PQ$ এর সাথে $B$ বিন্দুতে লম্ব। সুতরাং $CBN$ অভিলম্ব [কারণ বৃত্তের স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সাথে লম্ব] । প্রধান অক্ষ $XY$ এর সমান্তরালে আপতিত $AB$ আলোক রশ্মি $B$ বিন্দু হতে $BD$ পথে প্রতিফলিত হয় যাকে পিছনের দিকে বর্ধিত করলে $XY$ কে $F$ বিন্দুতে ছেদ করে ।তাহলে $F$ প্রধান ফোকাস।
প্রতিফলনের ২য় সূত্রানুসারে,
$\theta{_i}=\theta{_r}$ [আপতন কোণ=প্রতিফলন কোণ]
বা,$\angle{ABN}=\angle{DBN}$
বা,$\angle{ABN}=\angle{CBF}\cdots(i)$ [ বিপ্রতীপ কোণ]
আবার $AB\parallel XY$ এবং $CBN$ তাদের ছেদক হওয়ায় $\angle{ABN}=\angle{BCF}\cdots(ii)$ [ এরা অনুরূপ কোণ]
সমীকরণ $(i)$ ও $(ii)$ হতে পাই,
$\angle{CBF}=\angle{BCF}$
সুতরাং $BCF$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
$\therefore CF=BF\cdots(iii)$ [একই ত্রিভুজে সমান সমান কোণের বিপরীত বাহু সমান]
আবার দর্পণটি কম উন্মেষের হওয়ায় $B$ বিন্দু $ M$ এর নিকটবর্তী হবে ।ফলে $BF=MF\cdots(iv)$
সমীকরণ $(iii)$ ও $(iv)$ হতে,
$CF=MF\cdots(v)$
এখন,
$MC=MF+CF$
বা,$MC=MF+MF$ [$(v) $ হতে]
বা,$MC=2MF$
বা,$-r=2\times -f$ [সকল অবাস্তব দূরত্ব ঋণাত্মক]
$\therefore f=\dfrac{r}{2}$ [প্রমাণিত]
গাণিতিক সমস্যাঃ
কোন গোলীয় দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ $3cm$ হলে তার ফোকাস দূরত্ব কত ?
গাণিতিক সমস্যাঃ
কোন গোলীয় দর্পণের ফোকাস দূরত্ব $7cm$ হলে তার বক্রতার ব্যাসার্ধ কত ?
গাণিতিক সমস্যাঃ
কোন গোলীয় দর্পণের ফোকাস দূরত্ব $9cm$ হলে ঐ দর্পণ যে গোলকের অংশবিশেষ তার আয়তন কত?
গাণিতিক সমস্যাঃ
কোন গোলকের আয়তন $64cm^3$ হলে তার দ্বারা গঠিত
গোলকের ফোকাস দূরত্ব কত হবে?
গাণিতিক সমস্যাঃ
একটি অবতল দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ $4cm$ দর্পণটিতে প্রধান অক্ষের সমান্তরালে আপতিত আলোক রশ্মির আপতন কোণ $30^\circ$ হলে ফোকাস দূরত্ব কত হবে?
সমাধান:
$\angle{ABC}=\angle{BCE}=30^\circ$ [একান্তর কোণ]
$\angle{ABC}=\angle{CBF}=30^\circ$ [প্রতিফলনের সূত্রানুসারে]
$\therefore \angle{CFB}=180^\circ-30^\circ-30^\circ$
$=120^\circ$
$\therefore \angle{BFE}=180^\circ-120^\circ$
$=60^\circ$
$\triangle{BCE}$ এর
$\sin\theta{_i}=\dfrac{BE}{BC}$
বা,$\sin30^\circ=\dfrac{BE}{4}$
বা,$\dfrac{1}{2}=\dfrac{BE}{4}$
$\therefore BE=2\;cm$
এবং $\cos30^\circ=\dfrac{CE}{BC}$
বা,$\cos30^\circ=\dfrac{CE}{4}$
বা,$\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{CE}{4}$
বা,$CE=2\sqrt{3}cm$
$\therefore ME=CM-CE$
$=(4-2\sqrt{3})\;cm$
$\triangle{BEF}$ এর
$\tan{\angle{BFE}}=\dfrac{BE}{FE}$
বা,$\tan{60^\circ}=\dfrac{2}{FE}$
বা,$\sqrt{3}=\dfrac{2}{FE}$
$\therefore FE=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
এখন, ফোকাস দূরত্ব,$MF=ME+FE$
$=\left(4-2\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)$
$=1.69\;cm$ (প্রায়)
গাণিতিক সমস্যাঃ
একটি গোলীয় দর্পণ যে গোলকের অংশবিশেষ তার আয়তন $288\pi\;cm^3$ এবং দর্পণটির উত্তল পৃষ্ঠে প্রধান অক্ষের সমান্তরালে আপতিত আলোক রশ্মির প্রতিফলন কোণ $30^\circ$ হলে ফোকাস দূরত্ব কত ?
প্রশ্ন:
কম উন্মেষের অবতল দর্পণের ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে,$\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{f}$
$XY$ প্রধান অক্ষের উপর অবস্থিত $A$ বিন্দু থেকে $TMR$ অবতল দর্পণের $B$ বিন্দুতে আপতিত আলোক রশ্মি $CB$ অভিলম্বের সাথে $\theta_i$ কোণ উৎপন্ন করে অভিলম্বের সাথে $\theta_r$ কোণে $BE$ পথে প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মি $XY$ প্রধান অক্ষকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। $A$ বিন্দু থেকে অপর একটি আলোক রশ্মি $AM$ অভিলম্ব বরাবর অপতিত হয়ে $MA$ প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মিদ্বয় $D$ বিন্দুতে মিলিত হয়।ফলে $D$ হলো $A$ বিন্দুর বাস্তব প্রতিবিম্ব ।
$\triangle{ABD}$ এর বহি:স্থ$\angle{ABE}$ এর বহি:দ্বিখন্ডক $BN$ ।এখন$BN$ কে পিছনের দিকে বর্ধিত করলে $AD$ এর বর্ধিতাংশের সাথে $C$ বিন্দুতে মিলিত হয়।চিত্রে $DP\parallel CN$ অঙ্কন করা হয়েছে।
$XY$ প্রধান অক্ষের উপর অবস্থিত $A$ বিন্দু থেকে $TMU$ উত্তল দর্পণের $B$ বিন্দুতে আপতিত আলোক রশ্মি $BN$ অভিলম্বের সাথে $\theta_i$ কোণ উৎপন্ন করে অভিলম্বের সাথে $\theta_r$ কোণে $BE$ পথে প্রতিফলিত হয়। $A$ বিন্দু থেকে অপর একটি আলোক রশ্মি $AM$ অভিলম্ব বরাবর অপতিত হয়ে $MA$ প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মিদ্বয়কে পিছনের দিকে বর্ধিত করলে প্রধান অক্ষ $XY$ এর উপর $D$ বিন্দুতে মিলিত হয়।ফলে $D$ হলো $A$ বিন্দুর অবাস্তব প্রতিবিম্ব ।
১.(ক) ২.(খ) ৩.(ঘ) 8.(খ) ৫ .(ক) ৬.(গ) ৭,(খ)
প্রমাণ:
এখানে,
বক্রতার ব্যাসার্ধ,$CB=MC=+r$
বস্তুর দূরত্ব,$MA=u$ [বস্তুর দূরত্ব সর্বদাই ধনাত্মক]
প্রতিবিম্বের দুরত্ব,$MD=+v$
প্রতিফলনের সূত্রানুসারে,
$\theta_i=\theta_r$
অর্থাৎ,$\angle{ABC}=\angle{CBD}$
সুতরাং$\triangle{ABD}$ এর $CB$ হলো $\angle{ABD}$ এর সমদ্বিখন্ডক।
$\therefore \dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}\cdots\cdots(i)$
[ ত্রিভুজের কোনো কোণের সমদ্বিখন্ডক তৃতীয় বাহুকে উক্ত কোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের অনুপাতে বিভক্ত করে ]
দর্পণটি কম উন্মেষের হওয়ায় $B$ বিন্দু $M$ এর নিকটবর্তী হবে।
সেক্ষেত্রে $AB=MA$ এবং $BD=MD$ হবে।
$(i)$ নং হতে পাই,
$\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{AC}{CD}$
বা,$\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MA-MC}{MC-MD}$
বা,$\dfrac{u}{v}=\dfrac{u-r}{r-v}$
বা,$ur-uv=uv-vr$
বা,$ur+vr=uv+uv$
বা,$ur+vr=2uv$
বা,$\dfrac{ur}{uvr}+\dfrac{vr}{uvr}=\dfrac{2uv}{uvr}$
বা,$ \dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{u}=\dfrac{2}{r}$
বা,$ \dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{\dfrac{r}{2}}$
$\therefore \dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{f}$ [$\because f=\dfrac{r}{2}$]
প্রশ্ন:
প্রমাণ কর যে , ত্রিভুজের কোন কোণের বহি:দ্বিখন্ডক তৃতীয় বাহুকে উক্ত কোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের অনুপাতে বহি:বিভক্ত করে।
প্রমাণ:
$\angle{EBN}=\angle{CBD}\cdots(i)$ [বিপ্রতীপ কোণ]
$\angle{CBD}=\angle{BDP}\cdots(ii)$ [একান্তর কোণ ]
$(i)$ ও $(ii)$ হতে
$\angle{EBN}=\angle{BDP}\cdots(iii)$
$\angle{ABN}=\angle{BPD}\cdots(iv)$
কিন্তু
$\angle{EBN}=\angle{ABN}$
$\therefore \angle{BDP}=\angle{BPD}$ [$(iii)$ ও $(iv)$ হতে]
$BP=BD\cdots(v)$
এখানে $\triangle{BDP}$ সমদ্বিবাহু।
$\triangle{ABC}$ এর $BC\parallel PD$
$\therefore \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BP}{CD}$
বা,$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}$ [$(v)$ হতে]
$\therefore \dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}$
প্রশ্ন:
কম উন্মেষের উত্তল দর্পণের ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, $ \dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{f}$
প্রমাণ:
এখানে,
বক্রতার ব্যাসার্ধ,$CB=MC=-r$
বস্তুর দূরত্ব,$MA=u$ [বস্তুর দূরত্ব সর্বদাই ধনাত্মক]
প্রতিবিম্বের দুরত্ব,$MD=-v$
প্রতিফলনের সূত্রানুসারে,
$\theta_i=\theta_r$
অর্থাৎ,$\angle{ABN}=\angle{EBN}$
সুতরাং$\triangle{ABD}$ এর $CBN$ হলো $\angle{ABE}$ এর সমদ্বিখন্ডক।
$\therefore \dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}\cdots\cdots(i)$
[ ত্রিভুজের কোনো কোণের বহি:দ্বিখন্ডক তৃতীয় বাহুকে উক্ত কোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের অনুপাতে বহি:বিভক্ত করে ]
দর্পণটি কম উন্মেষের হওয়ায় $B$ বিন্দু $M$ এর নিকটবর্তী হবে।
সেক্ষেত্রে $AB=MA$ এবং $BD=MD$ হবে।
$(i)$ নং হতে পাই,
$\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{AC}{CD}$
বা,$\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MA+MC}{MC-MD}$
বা,$\dfrac{u}{-v}=\dfrac{u-r}{-r+v}$
বা,$-ur+uv=-uv+vr$
বা,$-ur-vr=-uv-uv$
বা,$ur+vr=2uv$
বা,$\dfrac{ur}{uvr}+\dfrac{vr}{uvr}=\dfrac{2uv}{uvr}$
বা,$ \dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{u}=\dfrac{2}{r}$
বা,$ \dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{\dfrac{r}{2}}$
$\therefore \dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{f}$ [$\because f=\dfrac{r}{2}$]
প্রয়োজনীয় সূত্র:
১.$f=\dfrac{r}{2}$
২. $|m|=\dfrac{l_i}{l_o} =\dfrac{v}{u}$
৩.$\dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2}{r}$
৪.সমতল দর্পণে পূর্ণ প্রতিবিম্ব দেখার ক্ষেত্রে
আয়নার সর্বোনিম্ন উচ্চতা $=\dfrac{1}{2}×$বস্তুর সর্বোচ্চ উচ্চতা।
৫.সমতল দর্পণ বা আয়নার ঘূর্ণন কোণ$ = \dfrac{1}{2}×$ প্রতিফলিত রশ্মির ঘূর্ণন কোণ
৬.অবাস্তব প্রতিবিম্বের ক্ষেত্রে (প্রতিবিম্বের দূরত্ব ) ঋণাত্মক ।
৭.অবতল দর্পণ বা আয়নায় ফোকাস দূরত্ব $(f)$ সর্বদাই ধনাত্মক।
৮. উত্তল দর্পণ বা আয়নায় ফোকাস দূরত্ব $(f)$ এবং বক্রতার ব্যাসার্ধ $( r)$ সর্বদাই ঋণাত্মক ।
৯. বস্তু এবং প্রতিবিম্বের উচ্চতার সাপেক্ষে বিবর্ধন ঋণাত্মক হলে বাস্তব প্রতিবিম্ব।
১০. বস্তু এবং প্রতিবিম্বের অবস্থান সাপেক্ষে প্রতিবিম্ব ঋণাত্মক হলে অবাস্তব প্রতিবিম্ব।
গাণিতিক সমস্যাঃ
১. $30cm$ বক্রতার ব্যাসার্ধবিশিষ্ট অবতল দর্পণ হতে কত দূরে বস্তু রাখলে তিন গুণ বিবর্ধিত বিম্ব গঠিত হবে ? (উত্তর : বাস্তব $20cm$ , অবাস্তব $10cm$)
২.একটি অবতল দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ $30cm$ ।দর্পণটি হতে $20cm$ দুরে বস্তু রাখলে প্রতিবিম্বের অবস্থান , প্রকৃতি এবং বিবর্ধন নির্ণয় কর।
৩.$1m$ ফোকাস দূরত্ববিশিষ্ট একটি উত্তল দর্পণ হতে কত দূরে বস্ত স্থাপন করলে প্রতিবিম্বের আকার বস্তুর আকারের এক -তৃতীয়াংশ হবে ?
৪. $20cm$ ফোকাস দূরত্বের অবতল দর্পণ হতে কত দুরে $5cm$ উচু বস্তু রাখলে $8cm$ উচু বাস্তব বিম্ব গঠিত হবে ?
৫. $0.2m$ ফোকাস দূরত্বের অবতল দর্পণ হতে কত দুরে বস্তু রাখলে বাস্তব প্রতিবিম্বের আকার বস্তুর আকারের এক- চতুর্থাংশ হবে ?
৬.একটি দর্পণের $20cm$ সামনে লক্ষবস্তু রাখলে $60cm$ পিছনে প্রতিবিম্ব গঠিত হয়।দর্পণটির ফোকাস দূরত্ব বের কর এবং দর্পণটি কি ধরনের তা লিখ ।
৭.একটি ঘরে দুই বিপরীত দেওয়ালের মধ্যবর্তী দুরত্ব $30m$ .দেওয়াল দুটির একটিতে কত ফোকাস দূরত্বের অবতল দর্পণ রেখে তার সামনে $6m$ দুরে $12cm$ উচ্চতার মোমবাতি রাখলে বিপরীত দেওয়ালে প্রতিবিম্ব গঠিত হবে ? প্রতিবিম্বের উচ্চতা নির্ণয় কর।
৮. $50cm$ বক্রতার ব্যাসার্ধের একটি উত্তল দর্পণের $1\;\mathrm{m}$ সামনে প্রধান অক্ষের উপর $10cm$ উঁচু বস্তু রাখলে প্রতিবিম্বের অবস্থান ও প্রকৃতি নির্ণয় কর।
৯. গাণিতিক যুক্তির সাহায্যে দেখাও যে,উত্তল দর্পণে সর্বদাই অবাস্তব এবং খর্বিত বিম্ব গঠিত হয়।
সমাধানঃ
উত্তল দর্পণের ফোকাস দূরত্ব$=-f$
বস্তুর দূরত্ব$=u$
বস্তুর উচ্চতা$=l_o$
প্রতিবিম্বের উচ্চতা$=l_i$
প্রতিবিম্বের দূরত্ব$=v$
সুতরাং বিবর্ধন,$m=\dfrac{v}{u}=\dfrac{l_i}{l_o}$
এখন,
$\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{-f}$
বা,$\dfrac{1}{v}=-\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{u}$
বা,$\dfrac{1}{v}=-\left(\dfrac{1}{f}+\dfrac{1}{u}\right)$
$\because v $ ঋণাত্মক , তাই উত্তল দর্পণে সর্বদাই অবাস্তব বিম্ব গঠিত হবে।
সুতরাং $\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{-v}=\dfrac{1}{-f}$
বা,$\dfrac{v}{u}+\dfrac{v}{-v}=\dfrac{v}{-f}$
বা,$\dfrac{v}{u}-1=-\dfrac{v}{f}$
বা, $m-1=-\dfrac{v}{f}$
বা, $m=1-\dfrac{v}{f}$
$\therefore m<1$
সুতরাং অবতল দর্পণে সর্বদাই খর্বিত বিম্ব গঠিত হয়।
১০. একটি অবতল দর্পণের ফোকাস দূরত্ব $b$ এবং প্রধান ফোকাস হতে বস্তু ও প্রতিবিম্বের দূরত্ব যথাক্রমে $a$ এবং $c$ হলে দেখাও যে, $b^2=ac$.
সমাধানঃ
ফোকাস দূরত্ব,$f=b$
বস্তুর দূরত্ব,$u=b\pm a$
প্রতিবিম্বের দুরত্ব,$v=b\pm c$
আমরাজানি,
$\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{f}$
বা,$ \dfrac{v+u}{uv}=\dfrac{1}{f}$
বা,$f\left( u+v\right) =uv$
বা,$ b\left( b\pm a+b\pm c\right) =\left( b\pm a\right) \left( b\pm c\right) $
বা,$ b\left( 2b\pm a\pm c\right) =b^{2}\pm bc\pm ab+ac$
বা,$2b^{2}\pm ab\pm bc=b^{2}\pm bc\pm ab+ac$
বা,$2b^2-b^2=ac$
$\therefore b^2=ac$ [প্রমাণিত]
অনুরূপ প্রশ্নঃ
১. একটি অবতল দর্পণের ফোকাস দূরত্ব $6\;\mathrm{cm}$ এবং প্রধান ফোকাস হতে বস্তু ও প্রতিবিম্বের দূরত্ব যথাক্রমে $2\;\mathrm{cm}$ এবং $x$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
২. একটি অবতল দর্পণের ফোকাস দূরত্ব $8\;\mathrm{cm}$ এবং প্রধান ফোকাস হতে বস্তু ও প্রতিবিম্বের দূরত্ব যথাক্রমে $x\;\mathrm{cm}$ এবং $15\;\mathrm{cm}$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
৩. একটি অবতল দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ $20\;\mathrm{cm}$ এবং প্রধান ফোকাস হতে বস্তু ও প্রতিবিম্বের দূরত্ব যথাক্রমে $7\;\mathrm{cm}$ এবং $x$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
৪. একটি অবতল দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ $30\;\mathrm{cm}$ এবং বক্রতার কেন্দ্র ও প্রধান ফোকাস হতে বস্তু ও প্রতিবিম্বের দূরত্ব যথাক্রমে $12\;\mathrm{cm}$ এবং $x$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
৫. একটি উত্তল দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ $18\;\mathrm{cm}$ এবং প্রধান ফোকাস হতে বস্তু ও প্রতিবিম্বের দূরত্ব যথাক্রমে $30\;\mathrm{cm}$ এবং $x$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যাঃ
একটি সমতল দর্পণের $6\mathrm{cm}$ সামনে $2.5\mathrm{cm}$ উচ্চতার বস্তুর প্রতিবিম্বের দূরত্ব ও উচ্চতা কত?
গাণিতিক সমস্যাঃ
একটি অবতল দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ $6\mathrm{cm}$ । দর্পণটির কেন্দ্র ও প্রধান ফোকাসের মধ্যবিন্দুতে $1.5\mathrm{cm}$ উচ্চতার বস্তুর প্রতিবিম্বের আকার, প্রকৃতি ও অবস্থান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$15\mathrm{cm}$ ফোকাস দুরত্বের অবতল দপর্ন দ্বারা $5\mathrm{cm}$ উচ্চতার একটি বস্তুর দ্বিগুণ বিবধির্ত প্রতিবিম্ব পাওয়া যায়
(ক) প্রধান ফোকাস বলতে কি বোঝ?
(খ) প্রধান অক্ষ বরাবর আপতিত আলোকরশ্মি একই পথে প্রতিফলিত হয় কেন ?
(গ) বস্তু ও প্রতিবিম্বের দুরত্ব বের কর ।
(ঘ) তথ্য গুলোকে আনুপাতিক রশ্মি চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ কর ।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
চিত্রে $MQ=RQ=2cm ,MC=RC=8cm ,$$ PQ=1.5cm$
(ক) রৈখিক বিবর্ধন বলতে কি বোঝ?
(খ) গোলীয় আয়নায় ব্যাসার্ধ বরাবর আপতিত আলোকরশ্মি একই পথে প্রতিফলিত হয় কেনো?
(গ) $a$ ও $b$ চিত্রে প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে চিত্র অঙ্কন করে প্রতিবিম্ব বর্ণনা কর।
(ঘ) গাণিতিকভাবে অঙ্কিত চিত্রের সত্যতা যাচাই কর।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$20\;\text{cm}$ ফোকাস দূরত্ব বিশিষ্ট একটি অবতল দৰ্পণের সামনে $30\;\text{cm}$ দূরে একটি বস্তু রাখা হলাে।
(ক) গৌণ অক্ষ বলতে কি বোঝ ?
(খ) রৈখিক বিবর্ধন $2$ বলতে কী বুঝায়-ব্যাখ্যা করাে।
(গ) উদ্দীপকে উল্লিখিত বস্তুটির রৈখিক বিবর্ধন বের করাে।
(ঘ)বস্তুটিকে দর্পণের দিকে $2\;\text{cm}$ এগিয়ে আনলে প্রতিবিম্ব কেমন ও কোথায় গঠিত হবে-রশিচিত্র একে ব্যাখ্যা করাে।
গাণিতিক সমস্যা
১। $12 \mathrm{~cm}$ ফোকাস দূরত্ব বিশিষ্ট একটি অবতল দর্পন থেকে কত দূরে একটি বস্তু স্থাপন করলে বিম্বের আকার বস্তুর আকারের তিন গুন হবে?
সমাধানঃ
এখানে, ফোকাস দূরত্ব, $\mathrm{f}=12 \mathrm{~cm}$
বিবর্ধন, $\mathrm{m}=\mp 3$
বস্তুর দূরত্ব, $\mathrm{u}=?$
$\mathrm{~m}=-\dfrac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}$
$\Rightarrow \mp 3=-\dfrac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}$
$\Rightarrow-3=-\dfrac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}} \quad$ [ বাস্তব প্রতিবিম্ব $\mathrm{m}=-3$ হবে]
$\therefore \mathrm{v}=3 \mathrm{u} \ldots \ldots(1)$
আবার,
$\dfrac{1}{\mathrm{v}}+\dfrac{1}{\mathrm{u}}=\dfrac{1}{\mathrm{f}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{3 u}+\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{12}$
$\Rightarrow \dfrac{1+3}{3 u}=\dfrac{1}{12}$
$\Rightarrow 3 \mathrm{u}=48$
$\therefore \mathrm{u}=16 \mathrm{~cm} \quad$ (Ans.)
আবার,
$3=-\dfrac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}$ [ অবাস্তব প্রতিবিম্ব $\mathrm{m}=3$ হবে ]
$\Rightarrow \mathrm{v}=-3 \mathrm{u} \quad \ldots \ldots(2)$
আবার,
$\dfrac{1}{\mathrm{v}}+\dfrac{1}{\mathrm{u}}=\dfrac{1}{\mathrm{f}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{-3 u}+\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{12}$
$\Rightarrow \dfrac{-1+3}{3 u}=\dfrac{1}{12}$
$\Rightarrow 3 \mathrm{u}=24$
$\therefore \mathrm{u}=8 \mathrm{~cm}$ (Ans.)
২। প্রমান কর যে, $r$ বক্রতার ব্যাসার্ধ্যের একটি অবতল দর্পন হতে $x$ দূরত্বে কোন বস্ত্ত স্থাপন করলে এর বাস্তব বিম্বের দূরত্ব $\mathrm{v}=\dfrac{\mathrm{rx}}{2 \mathrm{x}-\mathrm{r}}$ হবে।
সমাধানঃ
এখানে, বস্ত্তর দূরত্ব, $\mathrm{u}_{1}=\mathrm{x}$
প্রতিবিম্বের দূরত্ব, $\mathrm{v}_{1}=\mathrm{v}$
প্রমান করতে হবে যে, $\mathrm{v}=\dfrac{\mathrm{rx}}{2 \mathrm{x}-\mathrm{r}}$
ব্যাসার্ধ, $\mathrm{r}_{1}=\mathrm{r}$
আমরা জানি,
$\dfrac{1}{\mathrm{v}_{1}}+\dfrac{1}{\mathrm{u}_{1}}=\dfrac{2}{\mathrm{r}_{1}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{r}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{v}=\dfrac{2}{r}-\dfrac{1}{x}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{v}=\dfrac{2 x-r}{r x}$
$\therefore \mathrm{v}=\dfrac{\mathrm{rx}}{2 \mathrm{x}-\mathrm{r}}$ (প্রমাণিত।)
৩। একটি অবতল দর্পনের ফোকাস দূরত্ব $20 \mathrm{~cm}$ । দর্পনটি হতে কত দূরে বস্তু রাখলে বাস্তব প্রতিবিম্বের আকার বস্তুর আকারের এক-চতুর্থাংশ হবে?
সমাধানঃ
এখানে,
ফোকাস দূরত্ব, $\mathrm{f}=20 \mathrm{~cm}$
বিবর্ধন, $\mathrm{m}=-\dfrac{1}{4}$
$\mathrm{m}=-\dfrac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}$
$\Rightarrow-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}$
$\therefore \mathrm{v}=\dfrac{\mathrm{u}}{4}$ $\ldots \ldots . .(1)$
আমরা জানি,
$\dfrac{1}{\mathrm{v}}+\dfrac{1}{\mathrm{u}}=\dfrac{1}{\mathrm{f}}$
$\Rightarrow \dfrac{1 \times 4}{\mathrm{u}}+\dfrac{1}{\mathrm{u}}=\dfrac{1}{20} $
$\Rightarrow \dfrac{4+1}{\mathrm{u}}=\dfrac{1}{20}$
$\therefore \mathrm{u}=100 \mathrm{~cm} \quad \text { (Ans.) }$
৪. $25 \mathrm{~cm}$ ফোকাস দূরত্বের একটি উত্তল দর্পণ হতে কত দূরে একটি $2 \mathrm{~cm}$ লম্বা লক্ষ্য বস্তু প্রধান অক্ষের উপর লম্ব ভাবে স্থাপন করলে $0.4\mathrm{~cm}$ লম্বা একটি প্রতিবিম্ব গঠিত হবে?
সমাধানঃ
এখানে,
ফোকাস দূরত্ব $\mathrm{f}=-25 \mathrm{~cm}$
বস্তুর আকার, $\mathrm{x}=2 \mathrm{~cm}$
প্রতিবিম্বের আকার, $\mathrm{y}=-0.4 \mathrm{~cm}$
বস্তুর দূরত্ব, $\mathrm{u}=$ ?
আমরা জানি,
$-\dfrac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=-\dfrac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}$
$\Rightarrow \dfrac{-0.4}{2}=\dfrac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}$
$\Rightarrow \mathrm{v}=-\dfrac{0.4 \mathrm{u}}{2}=-0.2 \mathrm{u}$
আবার, $\dfrac{1}{\mathrm{v}}+\dfrac{1}{\mathrm{u}}=\dfrac{1}{\mathrm{f}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{-0.2 \mathrm{u}}+\dfrac{1}{\mathrm{u}}=\dfrac{1}{-25}$
$\Rightarrow \dfrac{10}{-2 \mathrm{u}}+\dfrac{1}{\mathrm{u}}=\dfrac{1}{-25}$
$\Rightarrow \dfrac{-10+2}{2 \mathrm{u}}=\dfrac{1}{-25}$
$\Rightarrow 2 \mathrm{u}=200$
$\therefore \mathrm{u}=100 \mathrm{~cm}$ (Ans.)
৫। $15 \mathrm{~cm}$ ফোকাস দূরত্বের একটি অবতল দর্পন হতে কত দূরে একটি বস্তু স্থাপন করলে তিনগুন বিবর্ধিত অবাস্তব প্রতিবিম্ব গঠিত হবে?
সমাধানঃ
এখানে,
ফোকাস দূরত্ব, $\mathrm{f}=15 \mathrm{~cm}$
বিবর্ধন, m =3 (অবাস্তব প্রতিবিম্ব)
বস্তুর দূরত্ব, $\mathrm{u}=$ ?
আমরা জানি,
$\mathrm{m}=-\dfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{u}}$
$\Rightarrow 3=-\dfrac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}$
$\therefore \mathrm{v}=-3 \mathrm{u}$
আবার,
$\dfrac{1}{\mathrm{v}}+\dfrac{1}{\mathrm{u}}=\dfrac{1}{\mathrm{f}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{-3 u}+\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{15}$
$\Rightarrow \dfrac{-1+3}{3 u}=\dfrac{1}{15}$
$\Rightarrow 3 \mathrm{u}=30$
$\therefore \mathrm{u}=10 \mathrm{~cm} \quad$ (Ans.)
৬। একটি অবতল দর্পনের বক্রতার ব্যাসার্ধ $30 \mathrm{~cm}$ । একটি বস্তুকে বক্রতার কেন্দ্রে রাখলে কোথায় এর প্রতিবিম্ব গঠিত হবে?
সমাধানঃ
এখানে,
বক্সতার ব্যাসার্ধ, $\quad \mathrm{r}=30 \mathrm{~cm}$
বস্তুর দূরত্ব, $\mathrm{u}=30 \mathrm{~cm}$
প্রতিবিম্বের দূরত্ব , $\mathrm{V}=$ ?
আমরা জানি,
$\dfrac{1}{\mathrm{v}}+\dfrac{1}{\mathrm{u}}=\dfrac{2}{\mathrm{r}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\mathrm{v}}+\dfrac{1}{30}=\dfrac{2}{30}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\mathrm{v}}=\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{30}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\mathrm{v}}=\dfrac{2-1}{30}$
$\therefore \mathrm{v}=30 \mathrm{~cm}$
৭। একটি অবতল দর্পনের বক্রতার ব্যাসার্ধ $30 \mathrm{~cm}$ । দর্পন হতে অসীম দূরে একটি বস্তু রাখা হলো । প্রতিবিম্বের অবস্থান, প্রকৃতি ও বিবর্ধন নির্ণয় কর?
সমাধানঃ
এখানে,
ফোকাস দূরত্ব, $\mathrm{f}=15 \mathrm{~cm}$
বস্তুর দূরত, $\mathrm{u}=\infty$
প্রতিবিম্বের দূরত্ব, $\mathrm{v}=$ ?
আমরা জানি,
$\dfrac{1}{\mathrm{v}}+\dfrac{1}{\mathrm{u}}=\dfrac{1}{\mathrm{f}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\mathrm{v}}+\dfrac{1}{\infty}=\dfrac{1}{15}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\mathrm{v}}+0=\dfrac{1}{15}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\mathrm{~v}}=\dfrac{1}{15}$
$\therefore \mathrm{v}=15 \mathrm{~cm}$
$\therefore$ প্রতিবিম্ব ফোকাসে গঠিত হবে
৮। একটি অবতল দর্পনের বক্রতার ব্যাসার্ধ $30 \mathrm{~cm}$ । দর্পন হতে $40 \mathrm{~cm}$ দূরে একটি বস্তু রাখা হলো। প্রতিবিস্বের অবস্থান, প্রকৃতি ও বিবর্ধন নির্ণয় কর?
সমাধানঃ
এখানে,
বক্রতার ব্যাসার্ধ $\mathrm{r}=30 \mathrm{~cm}$
বস্তুর দূরত্ব $\mathrm{u}=40 \mathrm{~cm}$
প্রতিবিম্বের দূরত্ব $\mathrm{v}=$ ?
প্রকৃতি = ?
বিবর্ধন $\mathrm{m}=$ ?
আমরা জানি,
$\dfrac{1}{\mathrm{v}}+\dfrac{1}{\mathrm{u}}=\dfrac{2}{\mathrm{r}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\mathrm{v}}+\dfrac{1}{40}=\dfrac{2}{30}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\mathrm{v}}=\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{40}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{\mathrm{v}}=\dfrac{40-15}{15 \times 40}$
$\Rightarrow 25 \mathrm{v}=15 \times 40$
$\Rightarrow \mathrm{v}=\dfrac{15 \times 40}{25}$
$\therefore \mathrm{v}=24 \mathrm{~cm} \quad$ (Ans.)
$v$ ধনাত্নক হওয়ায় প্রতিবিম্ব বাস্তব ও উল্টো হবে এবং দর্পণের $24 \mathrm{~cm}$ সামনে গঠিত হবে।
$\therefore$ বিবর্ধন $\mathrm{m}=-\dfrac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}$
$=-\dfrac{24}{40}$
$=-\dfrac{3}{5} \quad(\text { Ans. })$
৯। একটি অবতল দর্পনের ফোকাস দূরত্ব $12 \mathrm{~cm}$ । দর্পন হতে $4 \mathrm{~cm}$ দূরে একটি বস্তু রাখা হলো। প্রতিবিম্বের অবস্থান ও প্রকৃতি নির্ণয় কর। বস্ত্তটি $2 \mathrm{~cm}$ লম্বা হলে প্রতিবিম্বের আকার বের কর।
সমাধানঃ
এখানে,
ফোকাস দূরত্ব, $\mathrm{f}=12 \mathrm{~cm}$
বস্তুর দূরত্ব, $\mathrm{u}=4 \mathrm{~cm}$
প্রতিবিম্বের দূরত্ব, V = ?
প্রকৃতি = ?
বস্তুর আকার, $\mathrm{x}=2 \mathrm{~cm}$
প্রতিবিম্বের আকার, $\mathrm{y}=$ ?
আমরা জানি,
$\dfrac{1}{\mathrm{v}}+\dfrac{1}{\mathrm{u}}=\dfrac{1}{\mathrm{f}}$
$\Rightarrow \quad \dfrac{1}{\mathrm{v}}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}$
$\Rightarrow \quad \dfrac{1}{\mathrm{~v}}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow \quad \dfrac{1}{\mathrm{v}}=\dfrac{1-3}{12}$
$\Rightarrow-2 \mathrm{v}=12$
$\therefore \mathrm{v}=-6 \mathrm{~cm}$
$v$ ঋণাত্মক হওয়ায় প্রতিবিম্ব অবাস্তব ও সিধা হবে এবং দর্পনের $6 \mathrm{~cm}$ পিছনে গঠিত হবে। আবার
$\mathrm{m}=-\dfrac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}=-\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$
$\Rightarrow-\frac{-6}{4}=-\frac{\mathrm{y}}{2}$
$\Rightarrow \frac{6}{4}=\frac{-\mathrm{y}}{2}$
$\Rightarrow-4 \mathrm{y}=12$
$\Rightarrow \mathrm{y}=-3 \mathrm{~cm}$
$\therefore$ অবাস্তব প্রতিবিম্বের আকার $3 \mathrm{~cm}$ হবে। (Ans.)
১০। একটি উত্তল দর্পনের ফোকাস দূরত্ব $10 \mathrm{~cm}$ । মেরু হতে 15 cm দূরে একটি বস্তু রাখা হলো। প্রতিবিম্বের অবস্থান, প্রকৃতি ও বিবর্ধন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
এখানে,
ফোকাস দূরত্ব, $\mathrm{f}=-10 \mathrm{~cm}$
বস্তুর দূরত্ব, $\mathrm{u}=15 \mathrm{~cm}$
প্রতিবিম্বের দূরত্ব, $\mathrm{v}=$ ?
প্রকৃতি $= ?$
বিবর্ধন, $\mathrm{m}$ = ?
আমরা জানি,
$ \dfrac{1}{\mathrm{v}}+\dfrac{1}{\mathrm{u}}=\dfrac{1}{\mathrm{f}}$
$\Rightarrow \quad \dfrac{1}{\mathrm{v}}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{-10}$
$\Rightarrow \quad \dfrac{1}{\mathrm{v}}=\dfrac{1}{-10}-\dfrac{1}{15}$
$\Rightarrow \quad \dfrac{1}{\mathrm{v}}=\dfrac{-3-2}{30}$
$\Rightarrow -5 \mathrm{v}=30 $
$\Rightarrow \mathrm{v}=-\dfrac{30}{5}$
$\therefore \mathrm{v}=-6 \mathrm{~cm}$
$v$ ঋণাত্মক হওয়ায় প্রতিবিম্ব অবাস্তব ও সিধা হবে এবং দর্পনের $6 \mathrm{~cm}$ পিছনে গঠিত হবে।
বিবর্ধন, $\mathrm{m}=-\dfrac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}$
$=-\dfrac{-6}{15}=\dfrac{2}{5} $ (Ans.)
বহুনির্বাচনী প্রশ্ন:
১.সবচেয়ে ক্ষুদ্র তরঙ্গদৈর্ঘ্য কোনটির ?
(ক) গামা (খ) এক্সরে (গ) রেডিও ওয়েভ (ঘ) অবলোহিত রশ্মি
২.দৃশ্যমান আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য -
(ক) $300-700nm$ (খ) $400-700nm$
(গ) $450-730nm$ (ঘ) $500-700nm$
৩.সাধারণ কঁচের টুকরো কত শতাংশ আলো প্রতিফলন করতে পারে ?
(ক) $4-7$ (খ) $5-7$ (গ) $4-8$ (ঘ) $4-5$
৪.প্রতিফলনের পরিমাণ কোন বিজ্ঞানীর সূত্র হতে জানা যায় ?
(ক) স্নেল (খ) ফ্রেনেল (গ) ফ্যাড়াড (ঘ) নিউটন
৫.$i.$ পূর্ণপ্রতিবিম্বে সমতল আয়নার দৈর্ঘ্য কমপক্ষে বস্তুর অর্ধেক
$ii.$সমতল দর্পণে বস্তুর দৈর্ঘ্য =প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য
$iii.$সমতল আয়নায় বাস্তব বা অবাস্তব বিম্ব গঠিত হয়
কোনটি সঠিক ?
(ক) $i,ii$ (খ) $i,iii$ (গ) $ii,iii$ (ঘ) $i,ii,iii$
৬ .উত্তল দর্পণে গঠিত প্রতিবিম্ব সর্বদাই -
(ক) বিবর্ধিত (খ) বাস্তব (গ) সিধা (ঘ) উল্টো
৭.পরস্পরের সাথে $60^\circ$ কোণে হেলানো সমতল দর্পণের একটিতে আপতিত আলোকরশ্মির আপতন কোণ $30^\circ$ হলে অপর দর্পণে প্রতিফলন কোণ কত হবে ?
(ক) $0^\circ$ (খ)$30^\circ$ (গ)$60^\circ$ (ঘ) $90^\circ$
৮.ডেন্টিস্টরা বড় প্রতিবিম্ব দেখার জন্য কোনটি ব্যবহার করেন ?
(ক) সমতল দর্পণ (খ) উত্তল দর্পণ (গ) অবতল দর্পণ (ঘ) প্রিজম
৯.$i.$সমতল দর্পণের ফোকাস দূরত্ব অসীম
$ii.$সমতল দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ অসীম
$iii.$সমতল দর্পণে প্রতিবিম্ব সোজা ।
কোনটি সঠিক ?
(ক)$ i,ii$ (খ) $i,iii$ (গ)$ ii,iii$ (ঘ)$i,ii,iii $
১০.উত্তল দর্পণ কোথায় ব্যবহার করা হয় ?
(ক) গাড়িতে (খ) টর্চলাইটে (গ) সৌরচল্লিতে (ঘ) রাডারে
নিচের উদ্দীপকের সাহায্যে ১১-১৬নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
একটি অবতল দর্পণের ফোকাস দূরত্ব $3cm $, দর্পণটির সামনে $4cm$ দূরে $1cm$ উচ্চতার বস্তু রাখা হলো ।
১১. দর্পণটির বক্রতার ব্যাসার্ধ কত?
(ক)$3cm$ (খ) $1.5cm$ (গ)$6cm$ (ঘ)$4.5cm$
১২.দর্পণটি যে গোলকের অংশ তার আয়তন কত ঘন সে.মি. ?
(ক) $36π$ (খ)$4.5π$ (গ)$288π$ (ঘ)$121.5π$
১৩.প্রতিবিম্বের দুরত্ব কত ?
(ক) $\dfrac{1}{12} cm$ (খ)$12cm$ (গ)$-12cm$ (ঘ)$6cm$
১৪. বিবর্ধন কত ?
(ক) $\dfrac{1}{3}$ (খ) $3$ (গ) $-\dfrac{1}{3}$ (ঘ)$-3$
১৫.প্রতিবিম্বের উচ্চতা কত?
(ক) $3cm$ (খ) $4cm$ (গ) $5cm$ (ঘ) $6cm$
১৬.$i.$ প্রতিবিম্ব সোজা
$ ii.$প্রতিবিম্ব বিবর্ধিত
$iii.$প্রতিবিম্ব উল্টো
কোনটি সঠিক?
(ক) $ i,ii $ (খ) $i,iii$ (গ) $ii,iii$ (ঘ) $i,ii,iii$
১৭.গামা-রে এর তরঙ্গদৈর্ঘ্য কত?
(ক) $10^{-2} m$ (খ)$10^{-10}m$ (গ)$10^{-6}m$ (ঘ)$10^{-14} m$
১৮.কোন বস্তুর উচ্চতা $2m$ হলে তার পূর্ণ প্রতিবিম্ব দেখতে আয়নার সর্বোনিম্ন উচ্চতা কত হতে হবে?
(ক)$2m$ (খ) $1m$ (গ) $0.5$ (ঘ) $0.1m$
১৯.একটি সমতল আয়না $30^\circ$ কোণে ঘুরলে প্রতিফলিত রশ্মি কত ডিগ্রি কোণে ঘুরবে?
(ক) $60°$ (খ) $30°$ (গ) $45°$ (ঘ) $90°$
২০.সমতল দর্পণ-
$(i)$ রাস্তার বাঁকে ,
$(ii)$ পেরিস্কোপে,
$(iii)$ গাড়ির লুকিং গ্লাসে ব্যবহার করা হয়।
কোনটি সঠিক?
(ক) $ i,ii $ (খ) $i,iii$ (গ) $ii,iii$ (ঘ) $i,ii,iii$
২১. সমতল দর্পণের বিবর্ধন কত?
(ক) $0.5$ (খ) $1.5$ (গ) $1$ (ঘ) সর্বদাই $1$ এর ছোট
উত্তরপত্রঃ
৮.(গ) ৯.(ঘ) ১০.(ক) ১১.(গ) ১২.(গ) ১৩.(খ)
১৪.(ঘ) ১৫.(ক) ১৬.(গ) ১৭.(ঘ) ১৮.(খ) ১৯.(ক) ২০.(ক) ২১.(গ)
আলোর প্রতিফলন
আলোর প্রতিফলন: আলোক রশ্মির এক মাধ্যম হতে অন্য মাধ্যমে যাওয়ার সময় মাধ্যমদ্বয়ের বিভেদতলে বাঁধাপেয়ে পূর্বের মাধ্যমে ফিরে আসার ঘটনাকে আলোর প্রতিফলন বলে।
দুটি চিত্র
চিত্র
আপতিত রশ্মি:
আলোকরশ্মি বিভেদতলের উপর যে গতিপথে আপতিত হয়, তাকে আপতিত রশ্মি বলে।
প্রতিফলিত রশ্মি:
আলোকরশ্মি বিভেদতলে আপতনের পর যে গতিপথে প্রথম মাধ্যমে ফিরে আসে, তাকে প্রতিফলিত রশ্মি বলে।
আপতন বিন্দু:
আলোকরশ্মি বিভেদতলের উপর যে বিন্দুতে পতিত হয়, তাকে আপতন বিন্দু বলে।
চিত্রে $B$ আপতন বিন্দু।
অভিলম্ব:
আপতন বিন্দুতে বিভেদ তলের উপর অঙ্কিত লম্বকে অভিলম্ব বলে। চিত্রে $BN$ অভিলম্ব।
আপতন কোণ: আপতিত রশ্মি অভিলম্বের সাথে যে কোন উৎপন্ন করে, তাকে আপতন কোন বলে।
চিত্রে $\angle ABN=\theta i$ =আপতন কোন।
প্রতিফলন কোন:
প্রতিফলিত রশ্মি অভিলম্বের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে প্রতিফলন কোন বলে।
চিত্রে $\angle CBN=\theta r$ = প্রতিফলন কোন।
বিভেদতল: দুটি মাধ্যমকে স্পর্শ করে যে তল কল্পনা করা হয় তাকে বিভেদতল বলে।
সমতলের ক্ষেত্রে দর্শন বিভেদতল।
উত্তল বা অবতলের স্পর্শক বিভেদতল।
প্রতিফলনের সূত্র দুইটি।
$(i)$ আপতিত রশ্মি, প্রতিফলিত রশ্মি এবং আপতন বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্ব একই সমতলে থাকে।
$(ii)$ আপতন কোন= প্রতিফলন কোন।
প্রতিফলনের প্রকারভেদ:
প্রতিফলন দুই প্রকার। যথা:
$(i)$ নিয়মিত প্রতিফল।
$(ii)$ অনিয়মিত বা ব্যপ্ত প্রতিফলন।
নিয়মিত প্রতিফলন: যে প্রতিফলন প্রতিফলনের সূত্র দুটি মেনে চলে, তাকে নিয়মিত প্রতিফলন বলে।
ব্যপ্ত প্রতিফলন: যে প্রতিফলন প্রতিফলনের সূত্র দুটি মেনে চলে না, তাকে অনিয়মিত বা ব্যপ্ত প্রতিফলন বলে।
abdus sattar
Simple Blogger
Enter Comment
comment url