mathematics,set and function,exponent and logarithmic and trigonometric function

$f(a)=\dfrac{1+a^3+a^6}{a^3}$ হলে প্রমাণ কর যে, $f\left(a^2\right)=f\left(a^{-2}\right)$

         সৃজনশীল প্রশ্নঃ

$f(2)=f(6-4)=6^2+2×6+3$

$S=${$(x,y):x\in A , y\in A$এবং $y=2x$}

যেখানে $A=\left\{z\in \mathbb{Z}: z^2\le 9\right\}$

$S$ অন্বয়ের ডোমেন $D$ এবং রেঞ্জ $R$ .

(ক) $A$ কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।

(খ) $S$ কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে $S^{-1}$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

(গ) $S$ অন্বয়ের লেখচিত্র অঙ্কন করে $S$ ফাংশন কিনা তা নির্ধারণ কর।

(ঘ) $P(D\cap R)$ , $R\setminus D$ এবং $D\times R$ নির্ণয় কর।

(গ)প্রমাণ কর যে,$(A\setminus B)∩(B\setminus  A)=(A\cap B)\setminus (A∪B)$

$f\left( x\right) =x^{3}+ax^{2}+a^{2}x+a^{3}$ হলে $a$ কোন পূর্ণসাংখ্যিক মানের জন্য $f(-2)=-65$ হবে?

$f\left( x\right) =x^{2}+ax+a^{2}$ হলে $a$ কোন পূর্ণসাংখ্যিক মানের জন্য $f(-3)=19$ হবে?

গাণিতিক প্রশ্নঃ

$A\subseteq B$ হবে যদি এবং কেবল যদি নিম্নোক্ত যেকোন একটি শর্ত খাটে-

(ক) $A\cap B=A$

(খ) $A\cup B=B$

(গ) $B^\prime \subseteq A^\prime$

(ঘ) $A\cap B^\prime=\emptyset$

(ঙ) $A^\prime \cup B=U$

$A\subseteq B$ হলে প্রমাণ করতে হবে যে, $A\cap B=A$

প্রমাণঃ

মনেকরি, 

      $x\in A\cap B$

$\Rightarrow x\in A$ এবং $x\in B$           

$\Rightarrow x\in A$                                         $[\because A\subseteq B]$

$\therefore A\cap B\subseteq A\cdots\cdots (i)$

মনেকরি, 

      $x\in A$

$\Rightarrow x\in A$ এবং $x\in B$                    $[\because A\subseteq B]$

$\Rightarrow x\in A\cap B$ 

$\therefore A\subseteq A\cap B \cdots\cdots (ii)$

$(i)$ ও $(ii)$ নং হতে পাই, $A\cap B=A$

আবার,

$A\cap B=A$ হলে প্রমাণ করতে হবে যে, $A\subseteq B.$

প্রমাণঃ

মনে করি,

      $x\in A$

$\Rightarrow x\in A\cap B$                                $[\because A\cap B=A]$

$\therefore A\subseteq A\cap B$

কিন্তু $A\cap B\subseteq B$

$\therefore A\subseteq B$

সুতরাং $A\subseteq B$ হবে যদি এবং কেবল যদি $A\cap B=A$ হয়।

$A\subseteq B$ হলে প্রমাণ করতে হবে যে, $A\cup B=B$

প্রমাণঃ

মনেকরি, 

      $x\in A\cup B$

$\Rightarrow x\in A$ অথবা $x\in B$

$\Rightarrow x\in B$ অথবা $x\in B$            $[\because A\subseteq B]$

$\Rightarrow x\in B\cup B$

$\Rightarrow x\in B$

$\therefore A\cup B\subseteq B\cdots\cdots (i)$

কিন্তু $B\subseteq A\cup B\cdots\cdots (ii)$

$(i)$ ও $(ii)$ নং সমীকরণ হতে পাই, $A\cup B=B$

আবার, $A\cup B=B$ হলে প্রমাণ করতে হবে যে, $A\subseteq B$

মনে করি, 

      $x\in A$

$\Rightarrow x\in A\cap B$                 [$\because A\cup B=B$ হলে $A\cap B=A$]

$\therefore A\subseteq A\cap B$

কিন্তু $A\cap B\subseteq B$

$\therefore A\subseteq B$

$A\subseteq B$ হলে প্রমাণ করতে হবে যে, $B^\prime \subseteq A^\prime$

প্রমাণঃ

মনে করি, 

      $x\in B^\prime $

$\Rightarrow x\notin B$

$\Rightarrow \notin A$                                      $[\because A\subseteq B]$

$\Rightarrow x\in A^\prime$

$\therefore B^\prime \subseteq A^\prime$

আবার, 

$B^\prime \subseteq A^\prime$ হলে প্রমাণ করতে হবে যে, $A\subseteq B$.

মনেকরি, 

      $x\in A$

$\Rightarrow x\notin A^\prime$

$\Rightarrow x\notin B^\prime$                   $[ B^\prime \subseteq A^\prime]$

$\Rightarrow x\in B$

$\therefore A\subseteq B$

$A\subseteq B$ হলে প্রমাণ করতে হবে যে, $A\cap B^\prime=\emptyset $

মনেকরি, 

      $x\in A\cap B^\prime$

$\Rightarrow x\in A$ এবং $x\in B^\prime$

$\Rightarrow x\in B$ এবং $x\in B^\prime$         $[\because A\subseteq B]$

$\Rightarrow x\in B$ এবং $x\notin B$

$\Rightarrow x\in B\setminus B$

$\Rightarrow x\in \emptyset$

$\therefore A\cap B^\prime \subseteq \emptyset$

কিন্তু $\emptyset \subseteq A\cap B^\prime$

$\therefore A\cap B^\prime=\emptyset$

আবার, $A\cap B^\prime=\emptyset $ হলে প্রমাণ করতে হবে যে, $A\subseteq B$.

বিকল্প সমাধানঃ

মনেকরি, 

      $x\in A\cap B^\prime$

$\Rightarrow x\in A$ এবং $x\in B^\prime$

$\Rightarrow x\in (A\cap B)$ এবং $x\in B^\prime$          $[\because A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A]$

$\Rightarrow x\in A$ এবং $x\in B$ এবং $x\notin B$

$\Rightarrow x\in A$ এবং $x\in B\setminus B$

$\Rightarrow x\in A$ এবং $x\in \emptyset$

$\Rightarrow x\in A\cap \emptyset$

$\Rightarrow x\in \emptyset$

$\therefore A\cap B^\prime \subseteq \emptyset$   [উল্টোদিকে প্রমাণ করা যায়]

কিন্তু $\emptyset \subseteq A\cap B^\prime$

$\therefore A\cap B^\prime=\emptyset$

প্রমাণঃ 

মনে করি, 

      $x\in A$

$\Rightarrow x\notin B^\prime$            $[\because A\cap B^\prime =\emptyset]$   

$\Rightarrow x\in \left(B^\prime\right)^\prime$

$\Rightarrow x\in B$ 

$\therefore A\subseteq B$

$A\subseteq B$ হলে প্রমাণ করতে হবে যে, $B\cup A^\prime =U$.

মনেকরি,

      $x\in B\cup A^\prime$

$\Rightarrow x\in B$ অথবা $x\in A^\prime$

$\Rightarrow x\in (A\cup B)$ অথবা $x\in A^\prime$         $\left[\because A\subseteq B \Leftrightarrow A\cup B=B\right]$

$\Rightarrow x\in A$ অথবা $x\in B$ অথবা $x\in  A^\prime$

$\Rightarrow x\in A $ অথবা $x\in A^\prime$ অথবা $x\in B$

$\Rightarrow x\in A\cup A^\prime$ অথবা $x\in B$

$\Rightarrow x\in U$ অথবা $x\in B$

$\Rightarrow x\in U\cup B$

$\Rightarrow x\in U$

$\therefore B\cup A^\prime \subseteq U\cdots\cdots (i)$

মনেকরি,

      $x\in U$ 

$\Rightarrow x\in U\cup B$

$\Rightarrow x\in U$ অথবা $x\in B$

$\Rightarrow x\in A\cup A^\prime$ অথবা $x\in B$

$\Rightarrow x\in A $ অথবা $x\in A^\prime$ অথবা $x\in B$

$\Rightarrow x\in A$ অথবা $x\in B$ অথবা $x\in A^\prime$

$\Rightarrow x\in (A\cup B)$ অথবা $x\in A^\prime$ $\left[\because A\subseteq B \Leftrightarrow A\cup B=B\right]$

$\Rightarrow x\in B$ অথবা $x\in A^\prime$

$x\in B\cup A^\prime$

$\therefore U\subseteq B\cup A^\prime\cdots\cdots (ii)$

$(i)$ এবং $(ii)$ নং সমীকরণ হতে পাই,

 $B\cup A^\prime =U$

বিকল্পঃ

মনেকরি, 

    $B\cup A^\prime $

$\Rightarrow x\in B$ অথবা $x\in A^\prime $

$\Rightarrow x\in B$ অথবা $x\in B^\prime \cup A^\prime$  $\left[\because A\subseteq B \Leftrightarrow B^\prime \subseteq A^\prime \Leftrightarrow B^\prime\cup A^\prime=A^\prime\right]$

$\Rightarrow x\in B$ অথবা $x\in B^\prime $ অথবা $x\in A^\prime$

$\Rightarrow x\in B\cup B^\prime$ অথবা $x\in A^\prime$

$\Rightarrow x\in U$ অথবা $x\in A^\prime$

$\Rightarrow x\in U\cup A^\prime$

$\Rightarrow x\in U$

$\therefore B\cup A^\prime\subseteq U$

মনেকরি, 

      $x\in U$

$\Rightarrow x\in U\cup A^\prime$

$\Rightarrow x\in U$ অথবা $x\in A^\prime$

$\Rightarrow x\in B\cup B^\prime$ অথবা $x\in A^\prime$

$\Rightarrow x\in B$ অথবা $x\in B^\prime $ অথবা $x\in A^\prime$

$\Rightarrow x\in B$ অথবা $x\in B^\prime \cup A^\prime$    

$\Rightarrow x\in B$ অথবা $x\in A^\prime $     $\left[\because A\subseteq B \Leftrightarrow B^\prime \subseteq A^\prime \Leftrightarrow B^\prime\cup A^\prime=A^\prime\right]$

$\Rightarrow x\in B\cup A^\prime$

$\therefore U\subseteq B\cup A^\prime $

$\therefore B\cup A^\prime =U$

$B\cup A^\prime =U$ হলে প্রমাণ করতে হবে যে, $A\subseteq B$

মনেকরি, 

      $x\in A$

$\Rightarrow x\notin A^\prime $

$\Rightarrow x\in \left(B\setminus A^\prime\right)$      $\left[\because B\cup A^\prime =U \right]$

$\Rightarrow x\in B$ এবং $x\notin A^\prime$

$\Rightarrow x\in B$ এবং $x\in A$

$\Rightarrow x\in B\cap A$

$\Rightarrow x\in A\cap B$    [বিনিময় বিধি]

$\therefore A\subseteq A\cap B$

কিন্তু $A\cap B \subseteq B$

$\therefore A\subseteq B$

গাণিতিক প্রশ্নঃ

প্রমাণ কর যে,

(ক) $A\setminus B\subseteq A\cup B$

(খ) $A^\prime\setminus B^\prime=B\setminus A$

(গ) $A\setminus B\subseteq A$

(ঘ) $A\subseteq B$ হলে $A\cup \left(B\setminus A\right)=B$

(ঙ) $A\cap B=\emptyset $ হলে প্রমাণ কর যে, $A\subseteq B^\prime$ এবং $A\cap B^\prime=A$ এবং $A\cup B^\prime=B^\prime$

মনেকরি,

      $x\in A\setminus B$

$\Rightarrow x\in A$ এবং $x\notin B$

$\Rightarrow x\in A$

$\therefore A\setminus B\subseteq A$

কিন্তু $A\subseteq A\cup B$

সুতরাং $A\setminus B \subseteq A\cup B$

মনেকরি, 

      $x\in A^\prime \setminus B^\prime $

$\Rightarrow x\in A^\prime $ এবং $x\notin B^\prime$

$\Rightarrow x\notin A$ এবং $x\in B$

$\Rightarrow x\in B$ এবং $x\notin A$

$\Rightarrow x\in B\setminus A$

$\therefore A^\prime \setminus B^\prime\subseteq B\setminus A$

মনেকরি,

$\Rightarrow x\in B\setminus A$

$\Rightarrow x\in B$ এবং $x\notin A$

$\Rightarrow x\notin A$ এবং $x\in B$

$\Rightarrow x\in A^\prime $ এবং $x\notin B^\prime$

$\Rightarrow x\in A^\prime \setminus B^\prime $

$\therefore B\setminus A\subseteq A^\prime \setminus B^\prime$

$A^\prime \setminus B^\prime= B\setminus A$

মনেকরি,

      $x\in A\setminus B$

$\Rightarrow x\in A$ এবং $x\notin B$

$\Rightarrow x\in A$

$\therefore A\setminus B\subseteq A$

 মনেকরি, 

      $x\in A\cup \left(B\setminus A\right)$

$\Rightarrow x\in A$ অথবা $x\in \left(B\setminus A\right)$

$\Rightarrow x\in A$ অথবা ($x\in B$ এবং $x\notin A$)

$\Rightarrow$ ($x\in A$ অথবা $x\in B$) এবং ($x\in A$ অথবা $x\in A^\prime$)

$\Rightarrow$ ($x\in A$ অথবা $x\in B$) এবং $x\in\left(A\cup A^\prime\right)$

$\Rightarrow x\in A\cup B$ এবং $x\in U$

$\Rightarrow x\in B$ এবং $x\in U$     $[\because A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B]$

$\Rightarrow x\in (B\cap U)$

$\Rightarrow x\in B$

$\therefore A\cup \left(B\setminus A\right)\subseteq B$

মনেকরি,

      $x\in B$

$\Rightarrow x\in (B\cap U)$

$\Rightarrow x\in B$ এবং $x\in U$ $[\because A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B]$

$\Rightarrow x\in A\cup B$ এবং $x\in U$

$\Rightarrow (x\in A$ অথবা $x\in B$) এবং $x\in\left(A\cup A^\prime\right)$

$\Rightarrow$ ($x\in A$ অথবা $x\in B$) এবং ($x\in A$ অথবা $x\in A^\prime$)

$\Rightarrow x\in A$ অথবা ($x\in B$ এবং $x\notin A$)

$\Rightarrow x\in A$ অথবা $x\in \left(B\setminus A\right)$

$\Rightarrow x\in A\cup \left(B\setminus A\right)$

$\therefore B\subseteq A\cup \left(B\setminus A\right)$

$\therefore A\cup \left(B\setminus A\right)= B$

মনেকরি, 

      $x\in A$

$\Rightarrow x\notin B $    $[\because A\cap B=\emptyset]$

$\Rightarrow x\in B^\prime$

$\therefore A\subseteq B^\prime$  (প্রমাণিত)

মনেকরি,

      $x\in A\cap B^\prime$

$\Rightarrow x\in A $ এবং $ x\in B^\prime$

$\Rightarrow x\in A$ এবং $x\notin B$

$\Rightarrow x\in A$ এবং $x\in A$

$\Rightarrow x\in A\cap A$

$\Rightarrow x\in A$

$\therefore A\cap B^\prime\subseteq A$

মনেকরি,

      $x\in A$

$\Rightarrow x\in A\cap A$

$\Rightarrow x\in A$ এবং $x\in A$

$\Rightarrow x\in A$ এবং $x\notin B$

$\Rightarrow x\in A $ এবং $ x\in B^\prime$

$\Rightarrow x\in A\cap B^\prime$

$\therefore A\subseteq A\cap B^\prime$

$\therefore A\cap B^\prime= A$

৩য় প্রমাণঃ

মনেকরি, 

      $x\in A\cup B^\prime$

$\Rightarrow x\in A $ অথবা $x\in B^\prime$

$\Rightarrow x\notin B$ অথবা $x\in B^\prime$

$\Rightarrow x\in B^\prime$ অথবা $x\in B^\prime$

$\Rightarrow x\in B^\prime \cup B^\prime$

$\Rightarrow x\in B^\prime$

$\therefore A\cup B^\prime \subseteq B^\prime$

মনেকরি,

      $x\in B^\prime$

$\Rightarrow x\in B^\prime \cup B^\prime$

$\Rightarrow x\in B^\prime$ অথবা $x\in B^\prime$

$\Rightarrow x\notin B$ অথবা $x\in B^\prime$

$\Rightarrow x\in A $ অথবা $x\in B^\prime$

$\Rightarrow x\in A\cup B^\prime$

$\therefore B^\prime \subseteq A\cup B^\prime$

$\therefore A\cup B^\prime =B^\prime$

$f:\mathbb{R_0}^+\rightarrow [5,\infty)$  এবং $g:[5,\infty)\rightarrow \mathbb{R}^+$ ফাংশন দুটি যথাক্রমে $f(x)=x^2+5$ এবং $g(x)=(x-5)^\tfrac{1}{2}$

(ক) $F(y+2)=3y^2-1$ হলে $F(3)=$কত?

(খ) দেখাও যে, $f$ বিপরীতযোগ্য এবং $f^{-1}=g$.

(গ) $4f^{-1}(x)=x$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর ।

(ঘ) $f^{-1}$ ফাংশন কিনা নির্ধারণ কর।

এখানে $y+2=3$

       বা, $y=3-2=1$

এখন, $F(y+2)=3y^2-1$

       বা,$F(1+2)=3×1^1-1$

       বা,$F(3)=3-1$

       $\therefore F(3)=2$

যেহেতু $f:\mathbb{R_0}^+\rightarrow [5,\infty)$

সুতরাং ডোমেন, $D_f=\mathbb {R_0}^+$

কোডোমেন, $Co-D_f= [5,\infty)$

যেহেতু, $x\in \mathbb {R_0}^+$

সুতরাং $x=0$ হলে $y=f(0)=0^2+5=5$

এবং$x>0$ হলে $y>5$ হয়।

সুতরাং রেঞ্জের শর্তঃ $y\ge 5$

এই শর্ত দ্বারা গঠিত রেঞ্জ, $R_f=\left\{y\in \mathbb {R}:y\ge 5\right\}$

$=[5,\infty)$

যেহেতু $Co-D_f=R_f$

সুতরাং ফাংশনটি সার্বিক $(onto)$.

মনেকরি, $x_1,x_2\in D_f$ এর জন্য $f(x_1)=f(x_2)$.

এখন $f(x_1)=f(x_2)$

বা,$x_1^2+5=x_2^2+5$       $\left [\because f(x)=x^2+5\right]$

বা,$x_1^2=x_2^2$

বা,$x_1=\pm x_2$      

$\therefore x_1=x_2$        $\left[\because x\ge 0\right]$

যেহেতু $f(x_1)=f(x_2)$ এর জন্য $x_1=x_2$.

সুতরাং ফাংশনটি এক-এক $(one-one)$.

আবার যেহেতু ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক। তাই ফাংশনটি বিপরীতযোগ্য। অর্থাৎ, $f^{-1}$ বিদ্যমান। 

$y=f(x)=x^2+5$

$\therefore y=f(x)$

বা,$f(x)=y$

$\therefore x=f^{-}(y)\cdots \cdots (i)$

এবং $y=x^2+5$

 বা,$x^2+5=y$

বা,$x^2=y-5$

বা,$x=\pm \sqrt{y-5}$

$\therefore x=\sqrt{y-5}\cdots (ii)$      $[\because x\in \mathbb {R}]$

$(i)$ ও $(ii)$ হতে পাই,

$x=f^{-1}(y)=\sqrt{y-4}$

বা,$y=f^{-1}(x)=\sqrt{x-5}=g(x)$

$\therefore f^{-1}=g$

$4f^{-1}(x)=x$

বা,$4\sqrt{x-5}=x$

বা,$16(x-5)=x^2$

বা,$x^2=16x-80$

বা,$x^2-16x+80=0$ কে $ax^2+bx+c=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $a=1,\;b=-16,\;c=80$.

$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ =\dfrac{-\left( -16\right) \pm \sqrt{\left( -16\right) ^{2}-4\times 1\times 80}}{2\times 1}\\ =\dfrac{16\pm \sqrt{256-320}}{2}\\ =\dfrac{16\pm \sqrt{-64}}{2}$ ,

যা অবাস্তব সংখ্যা।

$y=f^{-1}(x)=\sqrt{x-5}$

$x=6$ হলে $y=f^{-1}(6)=\sqrt{6-5}=\sqrt{1}=1$

$x$ এর একটি মানের জন্য $f^{-1}$ এর একটি মান পাওয়া যায় তাই $f^{-1}$ একটি ফাংশান।

$F:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ এবং $G:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$

$F(x)=\log\sqrt{1-x}$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

(খ) ভেনচিত্র অঙ্কন করে $x$ এর ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।

(গ) ভেনচিত্র অঙ্কন করে $x$ এর বৃহত্তম মান নির্ণয় কর।

                   (ক) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

আমরাজানি,

$n\left( A\cup B\right) =n\left( A\right) +n\left( B\right) -n\left( A\cap B\right) $

বা, $16=3x-12+3x+8-x$

বা, $5x-4=21$

বা, $5x=25$

 বা, $x=\dfrac{25}{5}$

$\therefore x=5$

                 (খ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

$x$ বা $n\left( A\cap B\right)$ ক্ষুদ্রতম যখন 

$n\left(A\cup B\right)=n\left(U\right)$

বা, $21=25-x$

বা, $x=4$

                 (গ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

$x$ বা $n\left( A\cap B\right)$ বৃহত্তম যখন $A\subset B$

তখন $ n\left( A\cap B\right)=n\left( A\right)$

     বা, $x=3x-12$

     বা, $-2x=-12$

     বা, $x=6$

$x$	$-2$	$0$	$2$	$4$	$6$
$y$	$0.5$	$1$	$2$	$4$	$8$
$(x,y)$	$(-2,0.5)$	$(0,1)$	$(2,2)$	$(4,4)$	$(6,8)$

ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে এক একক ধরে বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলো যোগ করলে একটি বক্ররেখা পাওয়া যায়।লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্যঃ

$(i)$ লেখচিত্র $y$ অক্ষকে $(0,1)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$(ii)$ লেখচিত্রটি একটি অপ্রতিসম বক্ররেখা।

$y=f(x)=\log_e \dfrac{4-x}{4+x}$ এর লেখচিত্র অঙ্কন করে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

$y=f(x)=\log_{10}\dfrac{4+x}{x-4}$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

লেখচিত্র অঙ্কন করে দেখাও যে, $y=2^x$ ফাংশন এবং তার বিপরীত ফাংশনের লেখ প্রতিসম।

$f(3x)=x+2$ হলে $f(3-3x)$ কে $x$ চলকের ফাংশনরূপে প্রকাশ কর।

     $f(3x)=x+2$

বা, $f(3x)=\dfrac{3x}{3}+2$

বা, $f(a)=\dfrac{a}{3}+2$                   ধরি, $3x=a$

$\therefore f(3-3x)=\dfrac{3-3x}{3}+2$

                             $=\dfrac{3-3x+6}{3}$

                             $=\dfrac{9-3x}{3}$

                             $=\dfrac{3(3-x)}{3}$

                             $=3-x$

পূর্ণমান-২৫                                       সময়-২৫ মিনিট

১.$F(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}$ ফাংশনের ডোমেন কত?

(ক) $\left\{x\in \mathbb{R}:x\ne 1\right \}$    (খ) $\left\{x\in \mathbb{R}:x\ge 1\right \}$

(গ) $\left\{x\in \mathbb{R}:x<1\right \}$   (ঘ) $\left\{x\in \mathbb{R}:x>1\right \}$

কোনটি সঠিক?

(ক) $i,ii$    (খ) $i,iii$    (গ) $ii,iii$    (ঘ) $i,ii,iii$

১০. $x$ এর সর্বোচ্চ মান কত?

  (ক) $2$         (খ) $3$          (গ) $4$             (ঘ) $5$

১১. $x$ এর সর্বনিম্ন মান কত?

  (ক) $1$         (খ) $2$          (গ) $3$             (ঘ) $4$

১.(গ)

২১. $\mathrm {64x^{3}\div 27a^{-3})^{-2/3}=?}$ 

(a) $\mathrm {\dfrac{9}{16} \dfrac{1}{x^2a^2}}$ 

(b) $\mathrm{\dfrac{3}{4} x^{-2}a^{-2}}$

(c)$\mathrm{\dfrac{9}{16ax}}$