সাধারণ গণিত
সূত্রাবলীঃ
১.$1^2+2^2+3^2+\cdots\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
২.$1^2+3^2+5^2+\cdots\cdots+(2n-1)^2=\dfrac{n\left(4n^2-1\right)}{3}$
৩.$2^2+4^2+6^2+\cdots\cdots+(2n)^2=\dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$
৪.$1^3+2^3+3^3+\cdots\cdots+n^3=\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2$
৫.$1^3+3^3+5^3+\cdots\cdots+(2n-1)^3=n^2\left(2n^2-1\right)$
৬.$2^3+4^3+6^3+\cdots\cdots+(2n)^3=2n^2(n+1)^2$
সৃজনশীল প্রশ্ন-১:
$\log_xa+\log_xb+\log_xc+\cdots\cdots$ সমান্তর ধারাভূক্ত
(ক)প্রমাণ কর যে, $a,b,c$ ক্রমিক সমানুপাতিক ।
(খ)প্রমাণ কর যে, $a^2 b^2 c^2\left(\dfrac{1}{a^3} -\dfrac{1}{b^3} +\dfrac{1}{c^3}\right)=a^3-b^3+c^3.$
(গ) $a=2,b=8,c=32$ হলে ধারাটির $n$ পদের যোগফল নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-২:
$\dfrac{1^3+2^3+3^3+......+n^3}{1^2+2^2+3^2+.....+n^2}=\dfrac{630}{41}$
(ক) $a,b,c$ সমান্তর ধারাভুক্ত হলে $a,b,c$ এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন কর ।
(খ) $n$ এর মান নির্ণয় কর।
(গ) ঐ সংখ্যাগুলোর মধ্যে বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টি নির্ণয় কর।
(ঘ) ঐ সংখ্যাগুলোর মধ্যে জোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-৩:
$\dfrac{1^2+2^2+3^2+⋯⋯+n^2}{1+2+3+⋯⋯⋯⋯+n}=\dfrac{37}{3}$
(ক) $\log 3+\log 9+\log 27+\cdots\cdots$ প্রকৃতি নির্ধারণ কর।
অথবা, $10$ পদের যোগফল নির্ণয় কর।
(খ) n এর মান নির্ণয় কর।
(গ) ঐ সংখ্যাগুলোর ঘনের সমষ্টি নির্ণয় কর।
(ঘ) ঐ সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৩য় পদ হতে বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টি নির্ণয় কর।
(ঙ) ঐ সংখ্যাগুলোর ৪র্থ পদ হতে জোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-৪:
$6+x+y+z+96+\cdots\cdots$ একটি গুণোত্তর ধারা ।
(ক) $x ,y,z$ এর মধ্যে সম্পর্ক লিখ।
(খ) ধারাটির দশম পদ নির্ণয় কর ।
(গ) ধারাটি গঠন কর। ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $3066$ হলে $n$ এর মান কত?
সৃজনশীল প্রশ্ন-৫:
কোন সমান্তর ধারার প্রথম $m$ পদের সমষ্টি $n$ এবং প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $m.$
(ক) প্রথম পদকে $x$ এবং সাধারণ অন্তরকে $y$ ধরে দুটি সমীকরণ গঠন কর।
(খ) ধারাটির $(n+m)$ তম পদ নির্ণয় কর।
(গ) সমীকরণ দুটি হতে $x$ ও $y$ এর প্রাপ্ত মান দ্বারা $(m-n)$ তম পদ এবং $(n-m)$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-৬:
একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ এবং নবম পদ $\dfrac {8\sqrt{3}}{81}$.
(ক) প্রথম পদকে $x$ এবং সাধারণ অনুপাতকে $y$ ধরে সমীকরণ গঠন কর ।
(খ) ধারাটির ৫ম পদ নির্ণয় কর ।
(গ) ধারাটি গঠন করে দেখাও যে, সাতটি পদের যোগফল $\dfrac{65\sqrt{3} +57\sqrt{2}}{54}$
সৃজনশীল প্রশ্ন-৭:
গুনোত্তর ধারার
$U_n=8\sqrt{2}\left(\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\right)^n$ হলে
(ক) ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।
(খ) ধারাটির কততম পদ $\dfrac{-1}{8}$.
(গ) $n$ পদের সমষ্টি $ -\dfrac{16\sqrt{2}+1}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$ হলে $n=?$
সৃজনশীল প্রশ্ন-৮:
কোন সমান্তর ধারার প্রথম $12$ পদের সমষ্টি $144$ এবং প্রথম $20$ পদের সমষ্টি $360$ হলে-
(ক) উপরোক্ত তথ্যাবলী বীজ গানিতিক সমীকরণে প্রকাশ কর।
(খ) ধারাটির প্রথম পদ ও সাধারন অন্তর নির্ণয় কর।
(গ) ধারাটির $n$ পদের সমষ্টি $2720$ হলে, $n$ এর মান কত?
সৃজনশীল প্রশ্ন-৯:
কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ $x$, সাধারণ অন্তর $y$ এবং তার প্রথম $6$ পদের সমষ্টি $0$ এবং প্রথম $12$ পদের সমষ্টি $144.$
(ক) তথ্যগুলোর সাপেক্ষে দুটি সমীকরণ গঠন কর।
(খ) লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে $x$ ও $y$ এর মান নির্ণয় করো।
(গ) ধারাটির প্রথম $18$ পদের সমষ্টি ও $15$ তম পদ নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-১০:
সমান্তর ধারার প্রথম $12$ পদের সমষ্টি $132$ এবং প্রথম $20$ পদের সমষ্টি $540.$
(ক) প্রদত্ত তথ্যগুলোকে সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
(খ) আড়গুণন পদ্ধতিতে সমীকরণ জোটকে সমাধান করে ধারাটির প্রথম পদ ও সাধারণ অন্তর নির্ণয় করো।
(গ) ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $414$ হলে $n$ এর মান কত?
সৃজনশীল প্রশ্ন-১১:
$5+8+11+14+17+\cdots\cdots$ একটি সমান্তর ধারা।
(ক) সমান্তর ধারার সাধারন পদ ও সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র দুটি লিখ।
(খ) ধারাটির $30$ টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
(গ) ধারাটির কোন পদ $383$?
সৃজনশীল প্রশ্ন-১২:
$\mathrm{log3+log9+log27+\cdots\cdots}$
(ক) সাধারণ অন্তর কত?
(খ) সপ্তম পদ ও $৭$ টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
(গ) ধারাটির কততম পদ $\mathrm{log531441}$ তা বের কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৩:
$5+x+y+135+z$ একটি গুনোত্তর ধারা।
(ক) $xy$ এরমান কত? $\left[\dfrac{x}{5}=\dfrac{135}{y}\Rightarrow xy=135×5\right]$
(খ) $x,y,z$ এর মান নির্ণয় কর।
(গ) ধারাটির প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $1820$ হলে, $n$ এর মান কত?
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৪:
$2+4+6+8+10+⋯⋯$
(ক) অনুক্রম ও ধারা বলতে কি বোঝ?
(খ) ধারাটির কততম পদ $32$?
(গ) ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $2550$ হলে $n$ এর মান কত?
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৫:
$2+4+8+16+⋯⋯$
(ক) ধারাটির $20$ তম পদ নির্ণয় কর।
(খ) ধারাটির প্রথম $10$ টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কত।
(গ) ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $254$ হলে $n$ এর মান কত?
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৬:
$a+b+2+\cdots\cdots$ সমান্তর ধারাটির সাধারন অন্তর d সম্বলিত একটি সমীকরন
$\dfrac{\sqrt{1+d}+\sqrt{1-d}}{\sqrt{1+d}-\sqrt{1-d}}=2+\sqrt{3}$
(ক) সমান্তর ধারাটি থেকে a ও b সম্বলিত একটি সমীকরণ গঠন কর।
(খ) প্রদত্ত সমীকরণ ব্যবহার করে দেখাও যে $d=\dfrac{1}{2}$
(গ) সমান্তর ধারাটির প্রথম $50$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৭:
একটি গুনোত্তর ধারার প্রথম পদ $a$, সাধারন অনুপাত $r$ এবং ধারাটির পঞ্চম পদ $3\sqrt{3}$ এবং অস্টম পদ $-27$.
(ক) উপরোদ তথ্যগুলোকে দুইটি সমীকরনে মাধ্যমে প্রকাশ কর।
(খ) ধারাটির $15$ তম পদ নির্ণয় কর।
(গ) ধারাটির নির্ণয় করে প্রথম $11$ টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৮:
একটি গুনোত্তর ধারার প্রথম পদ $a$, সাধারন অনুপাত $r$ এবং ধারাটির ৪র্থ পদ $-2$ এবং নবম পদ $8\sqrt{2}$.
(ক) উপরোদ তথ্যগুলোকে দুইটি সমীকরনে মাধ্যমে প্রকাশ কর।
(খ) ধারাটির $14$ তম পদ নির্ণয় কর।
(গ) $r$ কে সাধারণ অন্তর ধরে ধারাটির নির্ণয় করে প্রথম $10$ টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৯:
$2001$ সালের জানুয়ারী মাসে একজন সরকারি চাকুরিজীবি $10,000$ টাকা বেতন পান। প্রতি বছর মাসিক বেতন $400$ টাকা করে বৃদ্ধি পায়।
(ক) তার মাসিক বেতন একটি সমান্তর ধারায় প্রকাশ কর।
(খ) সমান্তর ধাররাটি সমাধান করে $2006$ সালের জানুয়ারি মাসের মূল বেতন কত?
(গ) মূল বেতন থেকে প্রতি মাসে $15\%$ হারে ভবিষ্যৎ তহবিলে কর্তন করলে $25$ বছরে ভবিষ্যৎ তহবিলে মোট কর্তনের পরিমান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-২০:
$7+a+b+c+567$ গুনোত্তর ধারাভুক্ত ও $x+y+z$ সমান্তর ধারাভূক্ত।
(ক) $(i)$ প্রমান কর যে $a^2 b^2 c^2 \left(\dfrac{1}{a^3} +\dfrac{1}{b^3} +\dfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3$
$(ii)$ প্রমান কর যে, $\dfrac{a^2-b^2}{a^2}=\dfrac{b^2-c^2}{c^2}$
$(iii)$ প্রমান কর যে, $\dfrac{a^2+b^2}{b^2-a^2}=\dfrac{b^2+c^2}{c^2-b^2}$
(খ) প্রমান কর যে $a^{y-z}b^{z-x} c^{x-y}=1$
(গ) $a,b,c$ এর মান বের কর।
(ক) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$(i)$ $a,b,c$ গুনোত্তর ধারাভূক্ত।
$∴\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$ বা, $b^2=ac$
$∴L.H.S=a^2 b^2 c^2 \left(\dfrac{1}{a^3} +\dfrac{1}{b^3} +\dfrac{1}{c^3}\right)$
$=a^3+b^3+c^3$
$(ii)$ $∵\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$
বা, $\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{b^2}{c^2}$
বা, $\dfrac{a^2-b^2}{b^2} =\dfrac{b^2-c^2}{c^2}$
$(iii)$ $∵\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$
বা, $\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{b^2}{c^2}$
বা, $\dfrac{a^2+b^2}{b^2-a^2}=\dfrac{b^2+c^2}{c^2-b^2}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
(খ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$x,y,z$ সমান্তর ধারাভূক্ত।
$∴y-x=z-y$
বা, $2y=z+x$
এবং $y-z=x-y$
এবং $a,b,c$ গুণোত্তর ধারাভুক্ত হওয়ায় $b^2=ac$
$L.H.S=a^{y-z}\cdot b^{z-x}\cdot c^{x-y}$
$=a^{x-y}\cdot b^{z-x}\cdot c^{x-y}$
$=(ac)^{x-y}\cdot b^{z-x}$
$=(b^2)^{x-y}\cdot b^{z-x}$
$=b^{2x-2y}\cdot b^{z-x}$
$=b^{2x-2y+z-x}$
$=b^{x-2y+z}$
$=b^{z+x-2y}$
$=b^{2y-2y}$
$=b^o=1=R.H.S$
সৃজনশীল প্রশ্ন-২১:
$ar^{-1}+a+ar+ar^2\cdots\cdots$ ধারাটি গুনোত্তর প্রগমনভূক্ত।ধারাটির প্রথম তিনটি সংখ্যা সমষ্টি $73$ এবং গুনফল $512$
(ক) ধারাটির $n$ তম পদ ও সমষ্টির কত?
(খ) ধারাটির প্রথম তিনটি পদ নির্ণয় কর।
(গ) ধারাটির $10$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
(ক) নং প্রশ্নের সমাধান:
ধারাটির $n$ তম পদ $=ar^{n-2}$
$S_n=ar^{-1}+a+ar+ar^2+\cdots\cdots +ar^{n-2}$$\cdots\cdots (i)$
$∴rS_n=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots\cdots +ar^{n-1}$$\cdots\cdots (ii)$
$(i)$ হতে $(ii)$ বিয়োগকরে, $S_n (1-r)=ar^{-1}-ar^{n-1}$
বা, $S_n=\dfrac{a(r^{-1}-r^{n-1})}{1-r}$
সমষ্টি, $S_n=\dfrac{a(1-r^n )}{r(1-r)}\; ;r<1$
$=\dfrac{a(r^n-r)}{r(r-1)}\; ;r>1$
বিকল্পঃ
ধারাটির প্রথম পদ, $p=ar^{-1}$; সাধারণ অণুপাত , $q=r$
$∴n$ তমপদ $=pq^{n-1}=ar^{-1}×r^{n-1}=ar^{n-2}$
$S_n=\dfrac{p(1-q^n )}{1-q}$ অথবা $S_n=\dfrac{p(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{ar^{-1} (r^n-1)}{r-1}$
(খ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
প্রশ্নমতে, $\dfrac{a}{r}\cdot a\cdot ar=512$
বা, $a^3=512$
বা, $a=8$
এবং $a\left(\dfrac{1}{r}+1+r\right)=73$
বা, $8\left(\dfrac{1}{r}+1+r\right)=73$
বা, $\dfrac{8}{r}+8+8r=73$
বা, $\dfrac{8+8r+8r^2}{r}=73$
বা, $8r^2+8r+8=73r$
বা, $8r^2-65r+8=0$
বা, $r=8,\dfrac{1}{8}$
$∴r=8$ হলে $p=ar^{-1}=8×8^{-1}=1$ , এক্ষেত্রে প্রথম তিনটি পদ যথাক্রমে $1 ,8 ,64$ অথবা
$r=\dfrac{1}{8}$ হলে $p=ar^{-1}=8×\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-1}=8^2$ , এক্ষেত্রে প্রথম তিনটি পদ যথাক্রমে $64 ,8,1$
(গ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$r=8>1$ হলে, $S_{10}=\dfrac{1(8^{10}-1)}{8-1}$ $[∵p=1]$
$=\dfrac{8^{10}-1}{7}$
$r=\dfrac{1}{8}<1$ হলে, $S_{10}=\dfrac{8^2 \left(1-\dfrac{1}{8^{10}}\right)}{1-\dfrac{1}{8}}$
$=\dfrac{8^2 \left(1-\dfrac{1}{8^{10}}\right)}{\dfrac{7}{8}}$
$=\dfrac{8^3\left(1-\dfrac{1}{8^{10}}\right)}{7}$
সৃজনশীল প্রশ্ন-২২:
$9+7+5+\cdots\cdots $ ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $-144$.
(ক) ধারাটির প্রকৃতি ও পঞ্চমপদ লিখ।
(খ) ধারাটির কত তম পদ $-15.$
(গ) $n$ এর মান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-২৩:
একটি সমান্তর ধারার ৭ম পদ $34$ এবং $13$ তমপদ $64$,প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$ বিবেচনা কর।
(ক) প্রদত্ত তথ্যের ভিত্ততে সমীকরণ গঠন কর।
(খ) ধারাটি নির্ণয় করে $15$ তমপদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর।
(গ) ধারাটির $d$ কে $r$ (সাধারণ অণুপাত) বিবেচনা করে ৭টি পদের যোগফল বের বর।
(ক) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
৭ম পদ $u_7=a+(7-1)d=a+6d$
১৩ তমপদ,$u_13=a+12d$
প্রশ্নমতে, $a+6d=34⋯⋯(i)$
$a+12d=64........(ii)$
(খ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$(ii)$ হতে $(i)$ বিয়োগ করি,
$6d=30$
$d=5$
$d$ এর মান $(i)$ নং এ বসিয়ে, $a=4$.
∴ ধারাটি, $a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+\cdots\cdots $
বা, $4+9+14+19+\cdots\cdots $
(গ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$d=r=5>1$
$s_7=\dfrac{a\left(r^7-1\right)}{r-1}$
$=\dfrac{4\left(5^7-1\right)}{5-1}$
$=5^7-1$
সৃজনশীল প্রশ্ন-২৪:
পঞ্চম পদ $27$ এবং $25$ তম পদ $127$
প্রথম পদ $m$ এবং সাধারণ অন্তর $n$ বিবেচনা কর।
(ক) প্রদত্ত তথ্যের ভিত্ততে সমীকরণ গঠন কর।
(খ) ধারাটি নির্ণয় করে $21$ তমপদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর।
(গ) ধারাটির $n$ কে $r$ (সাধারণ অণুপাত) বিবেচনা করে ৮টি পদের যোগফল বের বর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-২৫:
সমান্তর ধারার ৩য় পদ $92$ এবং ৭মপদ $76.$
প্রথম পদ $x$ এবং সাধারণ অন্তর $y$ বিবেচনা কর।
(ক) প্রদত্ত তথ্যের ভিত্ততে সমীকরণ গঠন কর।
(খ) বজ্রগুণ পদ্ধতিতে $x$ ও $y$ নির্ণয় করে $16$ তমপদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর।
(গ) ধারাটির $y$ কে $r$ (সাধারণ অণুপাত) বিবেচনা করে ৯টি পদের যোগফল বের বর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-২৬:
গুনোত্তর ধারার ৬ষ্ঠ পদ $160$ এবং $9$ তম পদ $1280$.
(ক) প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অণুপাত $r$ ধরে সমীকরণ গঠন কর।
(খ) ধারাটি নির্ণয় করে প্রথম $10$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
(গ) সাধারণ অনুপাতকে সাধারন অন্তর ধরে সৃষ্ট ধারার প্রথম দশ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
(ক)নং প্রশ্নের সমাধানঃ
৬ষ্ঠ পদ $=ar^5$
৯তমপদ $=ar^8$
প্রশ্নমতে $ar^5=160\cdots\cdots (i)$
$ar^8=1280\cdots\cdots (ii)$
(খ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$(ii)÷(i)⇒r^3=\dfrac{128}{16}=8$
$r=2>1$
$r$ এর মান $(i)$ নং এ বসিয়ে পাই,
$a×2^5=160$
বা, $a=\dfrac{160^5}{32}$
$∴a=5$
∴ প্রথম $10$ পদের সমষ্টি $=\dfrac{a\left(r^{10}-1\right)}{r-1}$
$=\dfrac{5\left(2^{10}-1\right)}{2-1}$
$=5\left(2^{10}-1\right)$
(গ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
প্রশ্নমতে, $r=d=2$
প্রথম $10$ পদের সমষ্টি,
$S_{10}=\dfrac{10}{2}\left\{2×5+(10-1)×2\right\}$
$=5(10+18)$
$=5×18$
$=90$
সৃজনশীল প্রশ্ন-২৭:
$5+11+17+23\cdots\cdots $ একটি সমান্তর ধারা।
(ক) ধারাটির $10$ ম পদ কত?
(খ) ধারাটির $n$ তম পদ $149$ হলে $n$ এরমান কত?
(গ) ধারাটির $(n+2)$ সংখ্যক পদের যোগফল কত?
সৃজনশীল প্রশ্ন-২৮:
$9\sqrt{3}\left(\dfrac{-1}{\sqrt{3}}\right)^n$ একটি গুনোত্তর ধারার সাধারণ পদ।
(ক) ধারাটির ৩য়পদ নির্ণয় কর।
(খ) ধারাটির কত তম পদ $-1$ তা নির্ণয় কর।
(গ) ধারাটির প্রথম $9$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-২৯:
$2+6+18+\cdots\cdots $ একটি গুনোত্তর ধারা।
(ক) ষষ্ঠপদ কত?
(খ) কোনপদ $4374$ ?
(গ) $n$ পদের সমষ্টি $59048$ হলে, $n=$কত?
সৃজনশীল প্রশ্ন-৩০:
কোন ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $n^2+n$.
(ক) একটি লগারিদমিক সমান্তর ধারা লিখ।
(খ) ধারাটি নির্ণয় কর।
(গ) ধারাটির প্রথম কত পদের সমষ্টি $2550\;?$ এর সপ্তম পদ নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-৩১:
কোন সমান্তর ধারার $m$ পদের সমষ্টি $m(m+3)$
(ক) একটি লগারিদমিক গুনোত্তর ধারার উদাহরণ দাও।
(খ) ধারাটি নির্ণয় কর।
(গ) ধারাটির প্রথম $(x+1)$ পদের সমষ্টি $304$ হলে ,$x$ এর মান কত?
সৃজনশীল প্রশ্ন-৩২:
একটি সমন্তর ধারার $p$ তম $p^2$ এবং $q$ তমপদ $q^2$ ধারাটির প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$. অথবা, $m$ তমপদ $n^2$ এবং $n$ তমপদ $m^2$
(ক) প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে সমীকরণ গঠন কর।
(খ) দেখাও যে, ধারাটির $p+q$ তম পদের $P^2+pq+q^2$
(গ) ধারাটির প্রথম $(p+q)$ পদের সমষ্টি কত?
(গ)নং প্রশ্নের সমাধাণ:
$d=p+q$
প্রথম $(p+q)$ পদের সমষ্টি
$=\dfrac{p+q}{2}\left\{2a+(p+q-1)d\right\}$
$=\dfrac{p+q}{2}\left\{2a+pd+(q-1)d\right\}$
$=\dfrac{p+q}{2}\left\{2a+(q-1)d+pd\right\}$
$=\dfrac{p+q}{2}\left\{2a+2(q-1)d-(q-1)d+pd\right\}$
$=\dfrac{p+q}{2}\left\{2q^2-qd+d+pd\right\}$
$=\dfrac{p+q}{2}\left\{2q^2-q(p+q)+p+q+p(p+q)\right\}$
$=\dfrac{p+q}{2}\left(2q^2-pq-q^2+p+q+p^2+pq\right)$
$=\dfrac{p+q}{2}\left(p^2+q^2+p+q\right)$
সৃজনশীল প্রশ্ন-৩৩:
দুপুর $1$ টা $15$ মিনিটে $1$ জন এস.এস.সি পরীক্ষার ফলাফল জানতে পারলো। $1$ টা $20$ মিনিটে $8$ জন, $1$ টা $25$ মিনিটে জানলো $27$ জন। এভাবে ফলাফল ছড়িয়ে পড়ল।
(ক) উদ্দীপকের আলোকে প্যাটার্ন দুটি লিখ।
(খ) ঠিক $2$ টা $10$ মিনিটে কতজন এবং $2 $ টা $10$ মিনিট পর্যন্ত মোট কতজন ফলাফল জানতে পারবে?
(গ) কয়টার সময় $6175225$ জন ফলাফল জানতে পারবে?
(ক)নং প্রশ্নের সমাধানঃ
দুপুর $12$ টা থেকে সময়ের প্যাটার্ন নিম্নরূপ:
$75+80+85+90+⋯⋯$
শিক্ষার্থীর প্যার্টন:
$1+8+27+⋯⋯$
(খ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
দুপুর $12$ টা থেকে সময়ের ধারা :
$75+80+85+90+⋯⋯$
এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ, $a=75$
সাধারণ অন্তর, $d=5$
$2$ টা $10$ মিনিট $=130$ মিনিট
ধরি, $n$ তমপদ, $u_n=130$
$∴ a+(n-1)d=130$
$∴75+(n-1)×5=130$
বা, $5(n-1)=130-75$
বা, $5n-5=55$
বা, $5n=60$
$∴n=12$
শিক্ষার্থীর প্যার্টন:
$1^3+2^3+3^3\cdots\cdots +12^3$
$∴ 2$ টা $10$ মিনিটে ফলাফল জানা শিক্ষার্থীর সংখ্যা $=12^3=1728$
$2$ টা $10$ মিনিট পর্যন্ত মোট ফলাফল জানা শিক্ষার্থীর সংখ্যা,
$s_{12}=\left\{\dfrac{12(12+1)}{2}\right\}^2$
$=6084$
(গ)নং প্রশ্নের সমাধানঃ
ধরি, $n$ তম সময় পর্যন্ত $6175225$ জন ফলাফল জানতে জানতে পারে।
$∴\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2=6175225$
বা, $\dfrac{n(n+1)}{2}=2485$
বা, $n^2+n=4970$
বা, $n^2+n-4970=0$
বা, $(n+71)(n-70)=0$
$∴ n=70\;,n=-71$ (গ্রহনযোগ্য নয়)
$n$ তম সময়, $u_n=a+(n-1)d$
$\therefore 70$ তম সময় $u_{_{70}}=\left\{75+(70-1)×5\right\}$ মিনিট
$=420$ মিনিট
$=7$ ঘন্টা
সুতরাং দুপুর $12$ টা $+7$ ঘণ্টা $=17$ টা বা সন্ধ্যা $7$ টা পর্যন্ত মোট $6175225$ জন ফলাফল জানতে পারবে।
গাণিতিক সমস্যা-১:
$27+22+17+12+\cdots\cdots$ ধারাটির দ্বাদশ পর্যন্ত যোগফল কত?
$Ans: \;-6$
গাণিতিক সমস্যা-২:
$11+8+5+\cdots\cdots$ ধারাটির কোনপদ $-49$
$Ans: \;21$
গাণিতিক সমস্যা-৩:
$1+\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{3}+\cdots\cdots$ ধারাটির $25$ তমপদ কত?
$Ans: \;-3$
গাণিতিক সমস্যা-৪:
$\mathrm{log3+log9+log27+\cdots\cdots}$ ধারাটির $10$ টি পদের যোগফল কত?
$Ans:\; 55\mathrm{log3}$
গাণিতিক সমস্যা-৫:
$a=1,d=7$ এবং $S_n=2871$ হলে $n=?$
$Ans:\;29$
গাণিতিক সমস্যা-৬:
$S_n=n(n+3)$ হলে এর $25$ তমপদ কত?
গাণিতিক সমস্যা-৭:
$1+3+5+7+\cdots\cdots +23=$ কত?
$Ans:$ $12^2$
গাণিতিক সমস্যা-৮:
$5+a+b+14$ সমান্তর ধারাটির $a$ ও $b$ এর মান কত ?
গাণিতিক সমস্যা-৯:
$2-5-12-19$ ধারাটির $14$ টি তাদের সমষ্টি কত?
গাণিতিক সমস্যা-১০:
গুনোত্তর ধারার ৮ম পদ $-27$ এবং ১১তমপদ $81\sqrt{3}$ হলে প্রথমপদ ও সাধারণ অনুপাত কত?
গাণিতিক সমস্যা-১১:
গুনোত্তর ধারার ৪র্থপদ $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ এবং সপ্তমপদ $\dfrac{4}{9\sqrt{3}}$ হলে প্রথমপদ ও সাধারণ অনুপাত কত?
গাণিতিক সমস্যা-১২:
গুনোত্তর ধারার ৩য়পদ $\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$ এবং পঞ্চমপদ $\dfrac{1}{9\sqrt{3}}$ হলে প্রথমপদ ও সাধারণ অনুপাত কত?
গাণিতিক সমস্যা-১৩:
গুনোত্তর ধারার ৪র্থপদ $\dfrac{1}{3}$ এবং দশমপদ $\dfrac{1}{81}$ হলে ধারাটি নির্ণয় কর?
গাণিতিক সমস্যা-১৪:
গুনোত্তর ধারার ৪র্থপদ $-2$ এবং নবমপদ $8\sqrt{2}$ হলে ধারাটি নির্ণয় কর?
গাণিতিক সমস্যা-১৫:
$4+a+b+c+324$ গুনোত্তর ধারাভুক্ত হলে $a,b,c=?$
গাণিতিক সমস্যা-১৬:
$5+p+q+r+3125$ গুনোত্তর ধারাভুক্ত হলে $p,q,r$ এর মান নির্ণয় কর?
গাণিতিক সমস্যা-১৭:
কোন ধারার ১ম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি এবং ঐ সংখ্যা গুলোর সমষ্টির অনুপাত $465$ হলে $n$ এর মান কত?
গাণিতিক সমস্যা-১৮:
$6+p+q+2+486$ গুনোত্তর ধারার প্রথম $(x+1)$ পদের সমষ্টি $19680$ হলে $x=?$
গাণিতিক সমস্যা-১৯:
একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ $18$ এবং ষষ্ঠ পদ $486$ হলে ধারাটির আট পদের সমষ্টি কত?
গাণিতিক সমস্যা-২০:
কোনো গুনোত্তর ধারার তৃতীয় পদ $\dfrac{4}{3\sqrt{3}}$ এবং ষষ্ঠপদ $\dfrac{8\sqrt{2}}{27}$ হলে অষ্টমপদ কত? পাঁচটি পদের যোগফল নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা-২১:
কোনো গুনোত্তর ধারার পঞ্চম পদ $\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ এবং দশমপদ $\dfrac{8\sqrt{2}}{81}$ হলে সপ্তম পদ কত? ছয়টি পদের যোগফল নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা-২২:
কোনো গুনোত্তর ধারার তৃতীয় পদ $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ এবং ৮ম পদ $\dfrac{8\sqrt{3}}{81}$ হলে পঞ্চম পদ কত? সাতটি পদের যোগফল নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা-২৩:
কোনো গুনোত্তর ধারার তৃতীয় পদ $-8$ এবং দশমপদ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
হলে দ্বাদশ পদ কত? আটটি পদের যোগফল নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা-২৪:
কোনো গুনোত্তর ধারার পঞ্চম পদ $3\sqrt{3}$ এবং অষ্টম পদ $-27$ নবম পদ কত? সাতটি পদের যোগফল নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা-২৫:
কোনো গুনোত্তর ধারার ৪র্থ পদ $-2$ এবং নবমপদ $8\sqrt{2}$ হলে ষষ্ঠ পদ কত? নয়টি পদের যোগফল নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা-২৬:
কোনো গুনোত্তর ধারার ৩য় পদ $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ এবং ৫ম পদ $\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ হলে সপ্তমপদ কত? ৬টি পদের যোগফল নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা-২৭:
কোনো গুনোত্তর ধারার ৩য় পদ $\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$ এবং ৫ম পদ $\dfrac{1}{9\sqrt{3}}$ হলে অষ্টম পদ কত? ১০ টি পদের যোগফল নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা-২৮:
কোনো গুনোত্তর ধারার ৬ষ্ঠপদ $160$ এবং নবমপদ
$1280$ হলে নবম কত? $৮$ টি পদের যোগফল নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা-২৯:
কোনো গুনোত্তর ধারার সপ্তমপদ $\dfrac{4\sqrt{3}}{27}$ এবং দশমপদ $\dfrac{8\sqrt{2}}{81}$ হলে একাদশ পদ কত? দশম পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা-৩০:
$2+4+8+16⋯⋯$ গুনোত্তর ধারার $n$ তমপদ $2048$ হলে $n$ এর মার কত?
গাণিতিক সমস্যা-৩১:
$\dfrac{1}{\sqrt{2}},-1,\sqrt{2},\cdots\cdots$ একটি গুনোত্তর ধারা। এর সপ্তম পদ হতে $১৩$ তম পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা-৩২:
$\dfrac{1}{\sqrt{3}},-1,\sqrt{3},\cdots\cdots$ গুনোত্তর অনুক্রমের কোনপদ $27\sqrt{3}$.
গাণিতিক সমস্যা-৩৩:
$\dfrac{1}{\sqrt{2}},1,\sqrt{2},\cdots\cdots$ একটি গুনোত্তর ধারা। এর প্রথম নয়টি পদের যোগফল নির্ণয় কর।
বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ
১. কোন শর্তে $a,b,c$ গুনোত্তর প্রগমনভূক্ত?
(ক) $a^2=bc$ (খ) $b^2=ac$
(গ) $c^2=ab$ (ঘ) $abc=1$
২. কোন শর্তে $a,b,c$ প্রগমনটি সমান্তর ধারাভুক্ত?
(ক) $a=\dfrac{b+c}{2}$ (খ) $b=\dfrac{c+a}{2}$
(গ) $c=\dfrac{a+b}{2}$ (ঘ) $\dfrac{a+b+c}{2}=1$
৩. একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ $7$ এবং সাধারন অন্তর $3$ হলে দশম পদ কত?
(ক) $34$ (খ) $43$ (গ) $53$ (ঘ) $35$
৪. গুনোত্তর ধারার প্রথম পদ ও এবং সধারণ অণুপাত 2 হলে অষ্টম পদ কত?
(ক) $381$ (খ) $382$ (গ) $383$ (ঘ) $384$
Enter Comment
comment url