equation in two variables,class nine and ten and eight

বহুভূজের কর্ণের সংখ্যাঃ

ত্রিভুজের তিনটি কৌশিক বিন্দু এবং কর্ণ সংখ্যা$=0$ টি

চতুর্ভুজের চারটি কৌশিক বিন্দু এবং কর্ণসংখ্যা$=2$ টি

সুতরাং বহুভূজের বাহুর সংখ্যা$=$ কৌণিক বিন্দুর সংখ্যা।

সুতরাং $n$ বাহুবিশিষ্ট বহুভূজের কৌশিক বিদুর সংখ্যা$=n$

আমরাজানি, দুটি বিন্দুর সংযোগে সর্বদাই একটি রেখাংশ পাওয়া যায়।

সুতরাং $n$ সংখ্যক কৌণিক বিন্দুর মধ্য থেকে দুটি করে বিন্দু নিয়ে গঠিত রেখার সংখ্যা$=$$^{n}\mathrm{C}_2$

                  $=\dfrac{n!}{2!(n-2)!}$

                  $=\dfrac{n(n-1)(n-2)!}{2\cdot1\cdot(n-2)!}$

                 $=\dfrac{n(n-1)}{2}$

                $=\dfrac{n^2-n}{2}$ ,এদের মধ্যে $n$ সংখ্যক বাহু রয়েছে।

সুতরাং কর্ণের সংখ্যা $=\dfrac{n^2-n}{2}-n$

                                $=\dfrac{n^{2}-n-2n}{2}$

                                $ =\dfrac{n^{2}-3n}{2}$

                                $ =\dfrac{n\left( n-3\right) }{2}$

                                $=\dfrac{1}{2}n\left( n-3\right)$

গাণিতিক সমস্যাঃ

দুটি বহুভূজের বাহুর সংখ্যা $17$ এবং কর্ণের সংখ্যা $53$ হলে প্রত্যেকের বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধানঃ

মনে করি, ১ম বহুভূজের বাহুর সংখ্যা $=x$ এবং 

              ২য় বহুভূজের বাহুর সংখ্যা $=y$

 প্রশ্নমতে, $x+y=17$

             বা, $y=17-x\cdots\cdots (i)$

এবং $\dfrac{1}{2}x\left( x-3\right) +\dfrac{1}{2}y\left( y-3\right) =53$

বা,$ x\left( x-3\right) +\left( 17-x\right) \left( 17-x-3\right) =106$

বা,$x^{2}-3x+\left( 17-x\right) \left( 14-x\right) =106$

বা,$x^{2}-3x+238-31x+x^{2}-106=0$

 বা,$2x^{2}-34x+132=0$

বা,$x^{2}-17x+66=0$

বা,$x^{2}-11x-6x+66=0$

বা,$x\left( x-11\right) -6\left( x-11\right) =0$

বা,$\left( x-11\right) \left( x-6\right) =0$

$\therefore x=11,6$

সুতরাং ১ম বহুভূজের বাহুর সংখ্যা$=11$ হলে

 ২য় বহুভূজের বাহুর সংখ্যা $=6$   

অনুপভাবে সমাধান করঃ

দুটি বহুভূজের বাহুর সংখ্যা $20$ এবং কর্ণের সংখ্যা $74$ হলে প্রত্যেকের বাহুর সংখ্যা কত?

আপেক্ষিক বেগ:

কোন স্থির বস্তুর সাপেক্ষে অন্য কোনো বস্তুর বেগকে আপেক্ষিক বেগ বলে।

সাপেক্ষ বস্তুটিকে প্রসঙ্গ বস্তু বা প্রসঙ্গ কাঠামো ও বলে।

তবে প্রসঙ্গ বস্তু গতিশীল হলে তার বিপরীতে সমান মানের বেগ প্রয়োগ করে তার বেগের মান শূন্য করা হয় ,অর্থাৎ বস্তুটিকে  স্থির করে নিতে হয়। 

যেমন: একই দিকে গতিশীল দুটি গাড়ির ক্ষেত্রে আপেক্ষিক বেগের চিত্র নিম্নরূপ:

এখানে $A$ গাড়ির বেগ $+u$ এবং $B$ গাড়ির বেগ $+v$. [একই দিকে গতিশীল হওয়ায় উভয় বেগ একই চিহ্নবিশিষ্ট]

 $A$ গাড়ির সাপেক্ষে $B$ গাড়ির বেগ নির্ণয় করতে হলে $A$ গাড়িকে স্থির করে নিতে হবে।

এক্ষেত্রে $A$ এবং $B$ গাড়ির বেগের সাথে $-u$ বেগ যোগ করতে হবে ।

সুতরাং $A$ গাড়ির বেগ$=u+(-u)=0$ ,যা স্থির অবস্থা বোঝায়।

সুতরাং স্থির $A$ গাড়ির সাপেক্ষে $B$ গাড়ির আপেক্ষিক বেগ$=v+(-u)=v-u$

দ্রষ্টব্য: একই দিকে গতিশীল  দুটি গাড়ির ক্ষেত্রে কোন গাড়ির  আপেক্ষিক বেগ গাড়ি দুটির বেগের বিয়োগফলের সমান।

আবার,

বিপরীত দিকে গতিশীল দুটি গাড়ির ক্ষেত্রে আপেক্ষিক বেগের চিত্র নিম্নরূপ:

এখানে $A$ গাড়ির বেগ $-u$ এবং বিপরীত দিকে গতিশীল $B$ গাড়ির বেগ $v$[বিপরীত দিকে গতিশীল হওয়ায় উভয় বেগ বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট].

 $A$ গাড়ির সাপেক্ষে $B$ গাড়ির বেগ নির্ণয় করতে হলে $A$ গাড়িকে স্থির করে নিতে হবে।

এক্ষেত্রে $A$ এবং $B$ গাড়ির বেগের সাথে $+u$ বেগ যোগ করতে হবে ।

সুতরাং $A$ গাড়ির বেগ$=(-u)+u=0$ ,যা স্থির অবস্থা বোঝায়।

সুতরাং স্থির $A$ গাড়ির সাপেক্ষে $B$ গাড়ির আপেক্ষিক বেগ$=v+u$

দ্রষ্টব্য: বিপরীত দিকে গতিশীল  দুটি গাড়ির ক্ষেত্রে কোন গাড়ির  আপেক্ষিক বেগ গাড়ি দুটির বেগের যোগফলের সমান।

গাণিতিক সমস্যঃ

সমবেগে চলমান $100$ মিটার এবং $200$ মিটার দীর্ঘ দুটি ট্রেনের সামনা সামনি অতিক্রম করতে $5$ সেকেন্ড এবং একই দিকে থেকে অতিক্রম করতে $15$ সেকেন্ড সময় লাগে। ট্রেন দুটির বেগ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনেকরি, ১ম ট্রেনের বেগ $=x\;\mathrm{ms^{-1}}$  এবং 

             ২য় ট্রেনের বেগ $=y\; \mathrm{ms^{-1}}$

  প্রশ্নমতে,

$x+y=\dfrac{100+200}{5}$

বা, $x+y=\dfrac{300}{5}$

বা, $ x+y=60\ldots \ldots\ldots \left( i\right) $

এবং $ x-y=\dfrac{200+100}{15}$

     বা, $ x-y=\dfrac{300}{15}$

    বা, $ x-y=20\ldots \ldots \ldots \ldots \left( ii\right) $

$(i)$ ও $(ii)$ নং সমীকরণ যোগ করে,

$x+y=60\\ \dfrac{x-y=20}{2x\;\;\;\;=\;80}$

বা,$x=\dfrac{80}{2}$

বা, $ x=40$

$x$ এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে ,

$40+y=60$

বা, $y=20$

সুতরাং প্রথম ট্রেনের বেগ $40\;\mathrm{ms^{-1}}$

         দ্বিতীয় ট্রেনের বেগ $20\;\mathrm{ms^{-1}}$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

১.সমবেগে চলমান $120$ মিটার এবং $180$ মিটার দীর্ঘ দুটি ট্রেনের সামনা সামনি অতিক্রম করতে $15$ সেকেন্ড এবং একই দিকে থেকে অতিক্রম করতে $20$ সেকেন্ড সময় লাগে। ট্রেন দুটির বেগ নির্ণয় কর।

২. দুটি ট্রেনের দৈর্ঘ্যের অনুপাত $4:7$ এবং পার্থক্য $30\mathrm{m}$ এবং ট্রেন দুটির সমবেগে সামনা সামনি অতিক্রম করতে $10$ সেকেন্ড এবং একই দিকে থেকে অতিক্রম করতে $25$ সেকেন্ড সময় লাগে। ট্রেন দুটির বেগ নির্ণয় কর।

 বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ

১. $x+y-1=0$

   $2x+2y-4=0$

সমীকরণ জোটের সরলরেখা দুটি 

(ক) একটি বিন্দুতে ছেদ করে  

(খ) অসংখ্য বিন্দুতে ছেদ করে 

(গ) পরস্পরকে ছেদ করে না।

(ঘ) অসীমে মিলিত হয়।

উত্তরপত্র:

১.(গ) 

                                  অষ্টম শ্রেণি

প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

৪.x/a+y/b=1/a+1/b

x/a-y/b=1/a-1/b 

সমাধান:

x/a+y/b=1/a+1/b……….(i) 

x/a-y/b=1/a-1/b………..(ii) 

(i) নং হতে পাই,

 x/a=1/a+1/b-y/b…….(iii)

(iii)নং হতে x/a এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

1/a+1/b-y/b-y/b=1/a-1/b 

বা,-y/b-y/b=1/a-1/b-1/a-1/b

বা,-2y/b=-2/b

∴y=1

yএর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

x/a=1/a+1/b-1/b 

বা,x/a=1/a

∴x=1

নির্ণেয় সমাধান (x,y)=(1,1)

অনুরূপভাবে

 x/a+y/b=2/a+3/b

 x/a-y/b=2/a-3/b

এর সমাধান করে comment box এ উত্তর জানাও ।

৬.x-y=2a

ax+by=a^2+b^2 

সমাধান:

x-y=2a……….(i) 

ax+by=a^2+b^2………..(ii) 

(i) নং সমীকরণ হতে পাই, 

x=2a+y…………..(iii) 

(iii) নং এর x এর মান (ii)নং এ বসিয়ে পাই, 

a(2a+y)+by=a^2+b^2 

বা,2a^2+ay+by=a^2+b^2

বা,ay+by=a^2+b^2-2a^2

বা,y(a+b)=b^2-a^2

বা,y=(b+a)(b-a)/(a+b)

∴y=b-a

y এর মান (iii)নং এ বসিয়ে পাই, 

x=2a+b-a 

∴x=a+b

নির্ণেয় সমাধান (x,y)=(a+b,b-a)

অনুরূপভাবে x+y=2a

                      ax-by=a^2-b^2 

এর সমাধান করে comment box উত্তর জানাও ।

৭.ax+by=ab

bx+ay=ab 

সমাধান:

ax+by=ab…………(i) 

bx+ay=ab………..(ii) 

(i)নং সমীকরণ হতে পাই, 

ax=ab-by 

বা,x=(ab-by)/a……………..(iii)

(iii) নং এর x এর মান (ii)নং এ বসিয়ে পাই, 

b.(ab-by)/a+ay=ab 

বা, (ab^2-b^2 y)/a+ay=ab

বা,(ab^2-b^2 y+a^2 y)/a=ab

বা,ab^2-b^2 y+a^2 y=a^2 b

বা,a^2 y-b^2 y=a^2 b-ab^2

বা,y(a^2-b^2 )=ab(a-b)

বা,y=ab(a-b)/(a+b)(a-b) 

∴y=ab/(a+b)

y এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 

x=(ab-b.ab/(a+b))/a 

     =((a^2 b+ab^2-ab^2)/(a+b))/a 

      =(a^2 b)/a(a+b)  

   =ab/(a+b) 

নির্ণেয় সমাধান (x,y)=(ab/(a+b),ab/(a+b))

অনুরূপভাবে, ৮.ax-by=ab

                             bx-ay=ab 

(ক)ax+by=ab

      bx-ay=ab 

(খ)ax-by=ab

      bx+ay=ab

এর সমাধান করে comment box এ উত্তর জানাও।

৯.ax-by=a-b

ax+by=a+b 

সমাধান:

ax-by=a-b……………(i) 

ax+by=a+b………….  (ii) 

(i) নং সমীকরণ হতে পাই, 

ax=a-b+by…………..(iii) 

(iii) নং এর ax এর মান (ii)নং এ বসিয়ে পাই, 

a-b+by+by=a+b 

বা, 2by=a+b-a+b

বা,2by=2b

∴y=1 

y এর মান (iii)নং এ বসিয়ে পাই, 

ax=a-b+b.1 

বা, ax=a

∴x=1

নির্ণেয় সমাধান (x,y)=(1,1)

অনুরূপভাবে ay+bx=a+b

                       ay-by=a-b 

এর সমাধান করে comment box এ উত্তর জানাও।

১০.  1/x+1/y=5/6

         1/x-1/y=1/6 

সমাধান:

1/x+1/y=5/6…………(i) 

1/x-1/y=1/6…………..(ii) 

(i)নং সমীকরণ হতে পাই, 

1/x=5/6-1/y………..(iii) 

(iii)নং এর 1/x এর মান  (ii) নং এ  বসিয়ে পাই, 

5/6-1/y-1/y=1/6 

বা, -1/y-1/y=1/6-5/6

বা,(-1-1)/y=(1-5)/6

বা,-2/y=-4/6

বা,1/y=2/6

বা,1/y=1/3

∴y=3

yএর মান (iii) নং এ  বসিয়ে পাই, 

1/x=5/6-1/3 

বা, 1/x=(5-2)/6

বা,1/x=3/6

বা,1/x=1/2

∴x=2.

নির্ণেয় সমাধান (x,y)=(2 ,3)

অনুরূপভাবে 1/x+2/y=4/3

                         1/x-2/y=-2/3 

এর সমাধান করে comment box এ উত্তর জানাও ।

১১.  x/a+y/b=2/a+1/b

         x/b-y/a=2/b-1/a 

সমাধান:

         x/a+y/b=2/a+1/b……….(i) 

         x/b-y/a=2/b-1/a………..(ii)  

(i)নং সমীকরণ হতে পাই, 

x/a=2/a+1/b-y/b 

বা, x=a(2/a+1/b-y/b)………..(iii)

(iii) নং এর x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, 

a/b (2/a+1/b-y/b)-y/a=2/b-1/a 

বা,2/b+a/b^2 -ay/b^2 -y/a=2/b-1/a

বা,-ay/b^2 -y/a=2/b-1/a-2/b-a/b^2 

বা,y(-a/b^2 -1/a)=1(-a/b^2 -1/a)

∴y=1

y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, 

x=a(2/a+1/b-1/b) 

বা, x=a.2/a

∴x=2

নির্ণেয় সমাধান (x,y)=(2,1)

অনুরূপভাবে x/p-y/q=3/p-2/q

                         x/q+y/p=3/q+2/p 

এর সমাধান করে comment box এ উত্তর জানাও ।

১২.a/x+b/y=a/2+b/3

     a/x-b/y=a/2-b/3 

সমাধান:

a/x+b/y=a/2+b/3…………(i) 

a/x-b/y=a/2-b/3………….(ii) 

(i) নং সমীকরণ হতে পাই, 

a/x=a/2+b/3-b/y………..(iii) 

(iii) নং এর a/x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, 

a/2+b/3-b/y-b/y=a/2-b/3 

বা, -b/y-b/y=a/2-b/3-a/2-b/3

বা,-2b/y=-2b/3

∴y=3 

yএর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, 

a/x=a/2+b/3-b/3 

বা, a/x=a/2

∴x=2

নির্ণেয় সমাধান (x,y)=(2,3)

অনুরূপভাবে (ক) m/x-n/y=n/3-m/5

                                   n/y+m/x=m/5+n/3 

                         (খ)a/x+b/y=a-b/2

                                a/x-b/y=a+b/2

এর সমাধান করে comment box এ উত্তর জানাও । 

উদাহরণ ৪: 2/x+1/y=1

                       4/x-9/y=-1 

সমাধান:

2/x+1/y=1…………(i) 

4/x-9/y=-1……….(ii) 

(i)নং সমীকরণ হতে পাই, 

2/x=1-1/y………….(iii) 

(iii)নং এর 2/x এর মান (ii)নং এ বসিয়ে পাই, 

2.2/x-9/y=-1 

বা, 2(1-1/y)-9/y=-1

বা,2-2/y-9/y=-1

বা,-2/y-9/y=-1-2

বা,-11/y=-3

বা,3y=11

 ∴y=11/3

y এর মান (iii)নং এ বসিয়ে পাই 

2/x=1-1/(11/3) 

বা,2/x=1-3/11

বা,2/x=(11-3)/11

বা,2/x=8/11

বা,1/x=4/11

∴x=11/4

নির্ণেয় সমাধান (x,y)=(11/4,11/3)

অনুরূপভাবে 6/x+5/y=1

                         3/x-1/y=-1 

এর সমাধান করে comment box এ উত্তর জানাও ।

[সংকেত: ২য় সমীকরণ হতে 3/x এর মান বের করে ১ম সমীকরণে বসাও]

               অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

নিয়ম:  y এর সহগের পারস্পরিক বিনিময়  গুণ করে যোগ বা বিয়োগের মাধ্যমে সমাধান করা হয়েছে ।

১৪.2x+3y=7

      6x-7y=5

সমাধান:

2x+3y=7………..(i)  

6x-7y=5……… (ii) 

(i) কে 7 দ্বারা এবং (ii) কে 3 দ্বারা গুণ যোগ করি, 

            14x+21y=49

                                       18x-21y=15        

                                       32x             =64

                                   বা,x=64/32

                                   ∴x=2

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে, 

2×2+3y=7 

বা,3y=7-4

বা,3y=3

∴y=1 

নির্ণেয় সমাধান, (x,y)=(2,1)

**অনুরূপভাবে 

১৬.3x-2y=5

       2x+3y=12

এর সমাধান কর। 

১৫.4x+3y=15

      5x+4y=19

সমাধান:

4x+3y=15……….(i) 

5x+4y=19……….(ii) 

(i) কে 4 দ্বারা এবং (ii) কে 3 দ্বারা গুণ করে বিয়োগ করি, 

    16x+12y=60 

    15x+12y=57 

 -       -           - 

   x                   =3

∴x=3 

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

4×3+3y=15 

বা,3y=15-12

বা,3y=3

∴y=1  

নির্ণেয় সমাধান (x,y)=(3,1)

**অনুরূপভাবে সমাধান কর:

5x+3y=21 

3x+5y=19 

          সৃজনশীল প্রশ্ন:

১.দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 10 এবং অন্তর 4.

  (ক) x,yচলকের মাধ্যমে সংখ্যাটি লিখ।

  (খ) সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

  (গ) অন্তরের শর্ত দ্বারা গঠিত সমীকরণদ্বয়ের সমাধান লেখচিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

2. কোন ভগ্নাংশের লব থেকে 1 বিয়োগ এবং হরের সাথে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 1/3   হয়। আবার লব থেকে 2 বিয়োগ এবং হর থেকে 3 বিয়োগ করলে তা 1 এর সমান হয়। 

  (ক) প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে দুটি সমীকরণ গঠন কর ।

  (খ) অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করে ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর ।

  (গ) লেখচিত্র হতে প্রাপ্ত ভগ্নাংশের সত্যতা যাচাই কর ।

একটি ভগ্নাংশের লব এবং হরের সমষ্টি 13 এবং বিয়োগফল 3.

  (ক) সরল সহ সমীকরণ এবং এর সমাধান বলতে কি বোঝ ?

  (খ) ভগ্নাংশটি প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান করে নির্ণয় কর।

  (গ) লেখচিত্র থেকে প্রাপ্ত ভগ্নাংশটির সত্যতা যাচাই কর।