mathematics, surds and indices
mathematics, surds and indices related theorems and problems and solutions of them.
General Mathematics
$\large{\textbf{Question-1:}}$
Simply $(12)^{-\tfrac{1}{2}}×\sqrt[3]{54}$
$\large{\textbf{Solution:}}$
$(12)^{-\tfrac{1}{2}}×\sqrt[3]{54}$
$=\left(2^2×3\right)^{-\tfrac{1}{2}}×\sqrt[3]{3^3×2}$
$=2^{2×-\tfrac{1}{2}}×3^{-\tfrac{1}{2}}×3×\sqrt[3]{2}$
$=2^{-1}×3^{-\tfrac{1}{2}}×3×2^{\tfrac{1}{3}}$
$=2^{-1+\tfrac{1}{3}}×3^{-\tfrac{1}{2}+1}$
$=2^{\tfrac{-3+1}{3}}×3^{\tfrac{-1+2}{2}}$
$=2^{\tfrac{-2}{3}}×3^{\tfrac{1}{2}}$
$=\dfrac{1}{2^{\tfrac{2}{3}}}×\sqrt{3}$
$=\dfrac{1}{\left(2^2\right)^{\tfrac{1}{3}}}×\sqrt{3}$
$=\dfrac{1}{4^{\tfrac{1}{3}}}×\sqrt{3}$
$=\dfrac{\sqrt{3}}{4^{\tfrac{1}{3}}}$
$=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{4}}$ $(Ans.)$
$\textbf{similar problems:}$
$(i).$ Simply $(24)^{\tfrac{-1}{3}}×\sqrt[4]{162}$. $Ans: \dfrac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[4]{8}}$
$(ii).$ Prove that, $\sqrt{20}×(1250)^{-\tfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt{5}}$
৩. সরল করঃ $\sqrt{20}×250^{-\tfrac{2}{3}}$
৪. সরল করঃ $45^{-\tfrac{1}{2}}×(375)^{\tfrac{1}{3}}$
৫.সরল করঃ $(18)^{\tfrac{-1}{2}}×\sqrt[4]{162}$. $Ans: \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
সরল করঃ $\dfrac{7^3×7^{-3}}{3×3^{-4}}$
সমাধানঃ
$\dfrac{7^3×7^{-3}}{3×3^{-4}}$
$=\dfrac{7^{3+(-3)}}{3^{1+(-4)}}$
$=\dfrac{7^{3-3}}{3^{1-4}}$
$=\dfrac{7^0}{3^{-3}}$
$=\dfrac{1}{3^{-3}}$
$=3^3$
$=27$ $(Ans.)$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
সরল করঃ $\dfrac{3^{-4}×3^4}{5^{-3}×5^{-1}}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
সরল করঃ $\dfrac{\sqrt[3] {7^{2}}\cdot \sqrt[3] {7}}{\sqrt{7}}$
সমাধানঃ
$\dfrac{\sqrt[3] {7^{2}}\cdot \sqrt[3] {7}}{\sqrt{7}}$
$=\dfrac{\left( 7^{2}\right)
^{\tfrac{1}{3}}\cdot 7^{\tfrac{1}{3}}}{7\tfrac{1}{2}}$
$=\dfrac{7^{\tfrac{2}{3}}\cdot
7^{\tfrac{1}{3}}}{7^{\tfrac{1}{2}}}$
$=\dfrac{7^{\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{3}}}{7\dfrac{1}{2}}$
$=\dfrac{7^{\tfrac{2+1}{3}}}{7\tfrac{1}{2}}$
$=\dfrac{7}{\sqrt{7}}$
$=\dfrac{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7}}$
$=\sqrt{7}$ $(Ans.)$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
সরল করঃ $\dfrac{\sqrt[4] {5^{3}}\cdot \sqrt[2] {5}}{\sqrt[4]{5^2}}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
সরল করঃ $\left(3a^{-1}+2b^{-1}\right)^{-1}$
সমাধানঃ
$\left(3a^{-1}+2b^{-1}\right)^{-1}$
$=\left(3\cdot \dfrac{1}{a}+2\cdot\dfrac{1}{b}\right)^{-1}$
$=\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}\right)^{-1}$
$=\left(\dfrac{3b+2a}{ab}\right)^{-1}$
$=\dfrac{1}{\dfrac{3b+2a}{ab}}$
$=\dfrac{ab}{2a+3b}$ $(Ans.)$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
১. $\left(2^{-1}-3^{-1}\right)^{-1}$
২. $\left\{(2a)^{-1}-(3b)^{-1}\right\}^{-1}$
৩. $\left\{\left(5^{-1}x+2^{-1}y\right)^{-1}\right\}^{-1}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\left(\dfrac{a^{-2}b^2}{a^2b^{-2}}\right)^{-2}$
সমাধানঃ
$\left(\dfrac{a^{-2}b^2}{a^2b^{-2}}\right)^{-2}$
$=\left(a^{-2-2}b^{2-(-2)}\right)^{-2}$
$=\left(a^{-4}b^4\right)^{-2}$
$=a^{(-4)(-2)}b^{4(-2)}$
$=a^8b^{-8}$
$=\dfrac{a^8}{b^8}$
$=\left(\dfrac{a}{b}\right)^8$ $(Ans.)$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
১. $\left(\dfrac{a^2b^{-1}}{a^{-2}b}\right)^2$
২. $\left(\dfrac{a^{\tfrac{2}{3}}b^{-2}}{a^{-2}b^{\tfrac{3}{4}}}\right)^{-12}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\sqrt{x^{-2}y}\sqrt{y^{-1}z^2}\sqrt{z^{-2}x^2}$ , যেখানে $y>0$
সমাধানঃ
$\sqrt{x^{-2}y}\sqrt{y^{-1}z^2}\sqrt{z^{-2}x^2}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}\cdot y\cdot \dfrac{1}{y}\cdot z^2\cdot \dfrac{1}{z^2}\cdot x^2}$
$=\sqrt{1}$
$=1$ $Ans.)$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
$\sqrt{x^{-1}y}\sqrt{y^{-1}z}\sqrt{z^{-1}x}$ , যেখানে $x>0,y>0,z>0$.
গাণিতিক সমস্যাঃ
সরল করঃ $\dfrac{2^{n+4}-8\cdot 2^{n-1}}{2^{n+2}\div 2}$
সমাধানঃ
$\dfrac{2^{n+4}-8\cdot 2^{n-1}}{2^{n+2}\div 2}$
$=\dfrac{2^{n}\cdot
2^{4}-8\cdot 2^{n}2^{-1}}{2^{n+2-1}}$
$=\dfrac{2^{n}\left( 16-8\cdot
\dfrac{1}{2}\right) }{2^{n+1}}$
$=\dfrac{2^{n}\left( 16-4\right)
}{2^{n}\cdot 2}$
$=\dfrac{12}{2}$
$=6$ $(Ans.)$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
১.সরল করঃ $\dfrac{3^{x+4}-81\cdot 3^{x-2}}{3^{x-2}\div 27}$
২. $\dfrac{2^{x+4}-4\cdot 2^{x+1}}{2^{x+2}\div 2}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
সরল করঃ $\dfrac{2^{m+1}}{\left( 2^{m}\right) ^{m-1}}\div \dfrac{4^{m+1}}{\left( 2^{m+1}\right) ^{m-1}}$
সমাধানঃ
$\dfrac{2^{m+1}}{\left( 2^{m}\right) ^{m-1}}\div \dfrac{4^{m+1}}{\left( 2^{m+1}\right) ^{m-1}}$
$=\dfrac{2^{m+1}}{2^{m^{2}-m}}\div \dfrac{\left( 2^{2}\right) ^{m+1}}{2^{m^{2}-1}}$
$=2^{m+1-m^{2}+m}\div 2^{2m+2-m^{2}+1}$
$=2^{2m+1-m^{2}-2m-3+m^{2}}$
$=2^{-2}$
$=\dfrac{1}{2^{2}}$
$=\dfrac{1}{4}$ $(Ans.)$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
১. $\dfrac{5^{m+1}}{\left( 5^{m}\right) ^{m-1}}\div \dfrac{25^{m+1}}{\left( 5^{m+1}\right) ^{m-1}}$ $Ans:\; \dfrac{1}{25}$
২. $\dfrac{3^{m+1}}{\left( 3^{m}\right) ^{m-1}}\div \dfrac{9^{m+1}}{\left( 3^{m+1}\right) ^{m-1}}$ $Ans:\; \dfrac{1}{9}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
প্রমাণ কর যে, $\dfrac{4^{n}-1}{2^{n}+1}=2^{n}-1$
সমাধানঃ
$L.H.S.=\dfrac{4^{n}-1}{2^{n}+1}$
$=\dfrac{\left( 2^{2}\right) ^{n}-1}{2^{n}+1}$
$=\dfrac{2^{2n}-1}{2^{n}+1}$
$=\dfrac{\left( 2^{n}\right) ^{2}-1}{2^{n}+1}$
$=\dfrac{\left( 2^{n}+1\right) \left( 2^{n}-1\right) }{2^{n}+1}$
$ =2^{n}-1$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
১. প্রমাণ কর যে, $\dfrac{4^{n}-1}{2^{n}-1}=2^{n}+1$
২. প্রমাণ কর যে, $\dfrac{25^{n}-9}{5^{n}-3}=5^{n}+3$
গাণিতিক সমস্যাঃ
প্রমাণ কর যে, $\dfrac{27^{n}-1}{3^{n}-1}=3^{2n}+3^n+1$
সমাধানঃ
$L.H.S=\dfrac{27^{n}-1}{3^{n}-1}$
$=\dfrac{\left( 3^{3}\right) ^{n}-1}{3^{n}-1}$
$=\dfrac{\left( 3^{n}\right)
^{3}-1}{3^{n}-1}$
$=\dfrac{\left( 3^{n}-1\right) \left\{ \left(
3^{n}\right) ^{2}+3^{n}\cdot 1+1^{2}\right\} }{3^{n}-1}$
$=3^{2n}+3^n+1$
$=R.H.S$
$\therefore L.H.S=R.H.S$ $(proved)$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
১. প্রমাণ কর যে, $\dfrac{27^{n}+1}{3^{n}+1}=3^{2n}-3^n+1$
২. প্রমাণ কর যে, $\dfrac{8^{n}-27}{2^{n}-3}=2^{2n}+3\cdot 2^n+9$
গাণিতিক সমস্যাঃ
প্রমান কর যে, $\dfrac{2^{2p+1}\cdot 3^{2p+q}\cdot 5^{p+q}\cdot 6^p}{3^{p-2}\cdot 6^{2p+2}\cdot 10^p\cdot 15^q}=\dfrac{1}{2}$
সমাধানঃ
$L.H.S=\dfrac{2^{2p+1}\cdot 3^{2p+q}\cdot 5^{p+q}\cdot 6^p}{3^{p-2}\cdot 6^{2p+2}\cdot 10^p\cdot 15^q}$
$=\dfrac{2^{2p+1}\cdot 3^{2p+q}\cdot 5^{p+q}\cdot (2\cdot 3)^p}{3^{p-2}\cdot (2\cdot 3)^{2p+2}\cdot (2\cdot 5)^p\cdot (3\cdot 5)^q}$
$=\dfrac{2^{2p+1}\cdot 3^{2p+q}\cdot 5^{p+q}\cdot 2^p\cdot 3^p}{3^{p-2}\cdot 2^{2p+2}\cdot 3^{2p+2}\cdot 2^p\cdot 5^p\cdot 3^q\cdot 5^q}$
$=2^{2p+1+p-2p-2-p}\cdot 3^{2p+q+p-p+2-2p-2-q}\cdot 5^{p+q-p-q}$
$=2^{-1}$
$=\dfrac{1}{2}$
$=R.H.S.$
$\therefore L.H.S=R.H.S.$ $(proved)$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
$\dfrac{49^{p+1}\cdot 5^{2p-q}\cdot 3^{p}\cdot 15^p}{3^{p+2}\cdot 21^{p-2}\cdot 5^{2p}\cdot 35^{p-q}}=\dfrac{1}{7}$ হলে $q$ এর মান নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যাঃ
যদি $a^{-x}=b,\;b^{-y}=c,\;c^{-z}=a$ হয় তবে প্রমাণ কর যে, $xyz=-1$.
সমাধানঃ
$c^{-z}=a$
বা, $\left(b^{-y}\right)^{-z}=a$ $\left[\because b^{-y}=c\right]$
বা, $b^{{-y}\cdot{-z}}=a$
বা, $b^{yz}=a$
বা, $\left(a^{-x}\right)^{yz}=a$ $\left[\because a^{-x}=b\right]$
বা, $a^{-x\cdot yz}=a$
বা, $a^{-xyz}=a^1$
বা, $-xyz=1$
$\therefore xyz=-1$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
১. যদি $a^x=b,\;b^{-y}=c,\;c^{-z}=a$ হয় তবে প্রমাণ কর যে, $xyz=1$.
২. যদি $a^{2x}=b,\;b^{2y}=c,\;c^{2z}=a$ হয় তবে প্রমাণ কর যে, $xyz=\dfrac{1}{8}$.
৩. যদি $a^x=b^2,\;b^y=c^2,\;c^z=a^2$ হয় তবে প্রমাণ কর যে, $xyz=8$.
গাণিতিক সমস্যাঃ
সমাধান করঃ $\left(\sqrt[6]{3}\right)^{x-1}=\left(\sqrt[4]{3}\right)^{2x-1}$
সমাধানঃ
$\left(\sqrt[6]{3}\right)^{x-1}=\left(\sqrt[4]{3}\right)^{2x-1}$
বা, $3^{\tfrac{1}{6}(x-1)}=3^{\tfrac{1}{4}(2x-1)}$
বা, $\tfrac{1}{6}(x-1)=\tfrac{1}{4}(2x-1)$
বা, $6(2x-1)=4(x-1)$
বা, $12x-6=4x-4$
বা, $12x-4x=6-4$
বা, $8x=2$
বা, $x=\dfrac{2}{8}$
$\therefore x=\dfrac{1}{4}$ $ (Ans.)$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
১. $\left(\sqrt[5]{5}\right)^{x+1}=\left(\sqrt[10]{25}\right)^{1-3x}$
২. $\left( \sqrt[4] {3}\right) ^{x+1}=\left( \sqrt[6] {3}\right) ^{2x-1}$ $Ans:\; 5$
গাণিতিক সমস্যাঃ
সমাধান করঃ $3^x+3^{1-x}=4$
সমাধানঃ
$3^x+3^{1-x}=4$
বা, $3^x+\dfrac{3}{3^x}=4$
বা, $a+\dfrac{3}{a}=4$ [ধরি, $3^x=a$]
বা, $\dfrac{a^2+3}{a}=4$
বা, $a^2+3=4a$
বা, $a^2-4a+3=0$
বা, $a^2-3a-a+3=0$
বা, $a(a-3)-1(a-3)=0$
বা, $(a-3)(a-1)=0$
হয়, $a-3=0$ অথবা, $a-1=0$
বা, $a=3$ বা, $a=1$
বা, $3^x=3^1$ বা, $3^x=3^0$
$\therefore x=1$ $\therefore x=0$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
$5^x+5^{1-x}=6$ $Ans:\;0,\;1$
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$p=2 ,q=3,r=5,s=7$
(ক) $\dfrac{p^{x+4}-4p^{x+1}}{p^{x+2}÷p}$ এর মান নির্ণয় কর। $Ans:\;4$
(খ) $\left(p^2 q\right)^{\tfrac{-1}{2}}×\sqrt[3]{pq^3}$ এর মান নির্ণয় কর। $Ans:\;\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{4}}$
(গ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{p^{m+1}×q^{2m-n}×r^{m+n}×(pq)^n}{(qr)^m×(pr)^{n+2}×(pq)^m }=\dfrac{1}{50}$.
(ঘ) দেখাও যে, $\left\{\dfrac{(2p)^{m+\tfrac{1}{4}}×\sqrt{2p^m}}{2p^{\tfrac{-m}{2}}}\right\}^{\tfrac{1}{m}}=8$.
(ঙ) $\dfrac{q⋅r^x-p^p⋅r^{x-2}}{r^x-r^{x-1}}$ এর সরলফল নির্ণয় কর। $Ans:\; \dfrac{71}{20}$
(চ) $\dfrac{(s^p )^{x+1}⋅r^{2x-y}⋅q^x⋅(qr)^x}{q^{x+2}⋅(qs)^{x-2}⋅r^{2x}⋅(rs)^{x-y}}=\dfrac{1}{s}$ হলে $y$ এর মান নির্ণয় কর। $Ans:\;-5$
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$a+\dfrac{2}{a}=3$
(ক) $\dfrac{1}{4}a^2+\dfrac{1}{a^2}$ এর মান নির্ণয় কর। $Ans:\;\dfrac{5}{4}$
(খ) প্রমাণ কর যে , $a^3-\dfrac{8}{a^3} =±7$.
(গ) $a=2^x$ হলে $x$ এর প্রাপ্ত মান দ্বারা $\dfrac{27^x-1}{3^x-1}$ এর মান নির্ণয় কর। $Ans:\;3,\;13$
Higher Mathematics
Mathematical Questions:
$\large{\textbf{Question-1}:}$
$\text { Simplify: }\left(\dfrac{343}{1024 \times 8 \times 4}\right)^{\tfrac{1}{3}} \times(256)^{\tfrac{1}{2}}$
$\large{\textbf{Solution:}}$
$\left(\dfrac{343}{1024 \times 8 \times 4}\right)^{1 / 3} \times(256)^{1 / 2}$
$=\left[\dfrac{7^3}{32^3}\right]^{1 / 3} \times 16 $
$=\dfrac{7}{32} \times 16$
$=\dfrac{7}{2}$
$\large{\textbf{Question-2}:}$
Solve $\left\{\left(\sqrt{\dfrac{16}{25}}\right)^{4 x-9}\right\}^3=\dfrac{64}{125}$
$\large{\textbf{Solution:}}$
$\left\{\left(\sqrt{\dfrac{16}{25}}\right)^{4 x-9}\right\}^3=\dfrac{64}{125}$
$\Rightarrow\left(\dfrac{4}{5}\right)^{4 x-9}=\sqrt[3]{\dfrac{64}{125}}$
$\Rightarrow\left(\dfrac{4}{5}\right)^{4 x-9}=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{3 \times \tfrac{1}{3}}$
$\Rightarrow\left(\dfrac{4}{5}\right)^{4 x-9}=\left(\dfrac{4}{5}\right)^1$
$\Rightarrow 4 x-9=1$
$\Rightarrow 4 x=10 $
$x=\dfrac{5}{2}$
$\large{\textbf{Question-3}:}$
solve $\left(\dfrac{2 a}{b}\right)^{2 x-4}=\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2 x-4}$
$\large{\textbf{Solution:}}$
$\left(\dfrac{2 a}{b}\right)^{2 x-4}=\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2 x-4}$
$\Rightarrow\left(\dfrac{2 a}{b}\right)^{2 x-4}=\left(\dfrac{2 a}{b}\right)^{-2 x+4}$
$\Rightarrow 2 x-4=-2 x+4$
$\Rightarrow 4 x=4+4$
$\Rightarrow 4 x=8$
$\Rightarrow x=2$
$\large{\textbf{Question-4}:}$
Solve $\left\{\left(\dfrac{9}{7}\right)^{5 x-3}\right\}^2=\dfrac{6561}{2401}$
$\large{\textbf{Solution:}}$
$\left\{\left(\dfrac{9}{7}\right)^{5 x-3}\right\}^2=\dfrac{6561}{2401}$
$\Rightarrow\left(\dfrac{9}{7}\right)^{5 x-3}=\sqrt{\dfrac{6561}{2401}}$
$\Rightarrow\left(\dfrac{9}{7}\right)^{5 x-3}=\dfrac{81}{49}$
$\Rightarrow\left(\dfrac{9}{7}\right)^{5 x-3}=\left(\dfrac{9}{7}\right)^2$
$\Rightarrow 5x-3=2$
$\Rightarrow 5x=3+2$
$\therefore x=1$
$\large{\textbf{Question-5}:}$
Solve $\left(\sqrt{x}\right)^\sqrt{x}=x^2$
Ans: $16$
$\large{\textbf{Question-6}:}$
Solve $\left(\sqrt[3]{x}\right)^\sqrt{x}=x^x$
Ans: $\dfrac{1}{9}$
$\large{\textbf{Question-7}:}$
If $2^{x}-2^{y}=1$ and $4^{x}-4^{y}=\dfrac{5}{3}$ , find $x-y$.
$\large{\textbf{Solution:}}$
$2^{x}-2^{y}=1$
$\Rightarrow 2^{x}=1+2^{y}\cdots\cdots(i)$
$4^{x}-4^{y}=\dfrac{5}{3}$
$\Rightarrow \left(2^{x}\right)^{2}-4^{y}=\dfrac{5}{3}$
$\Rightarrow \left(1+2^{y}\right)^{2}-4^{y}=\dfrac{5}{3}$
$\Rightarrow 1+2 \cdot 2^{y} \cdot 1+\left(2^{y}\right)^{2}\hspace-3.2ex\Big /-\left(2^{y}\right)^{2}\hspace-3.2ex\Big /=\dfrac{5}{3}$
$\Rightarrow 1+2 \cdot 2^{y}=\dfrac{5}{3}$
$\Rightarrow 2 \cdot 2^{y}=\dfrac{5}{3}-1$
$\Rightarrow 2 \cdot 2^{y}=\dfrac{5-3}{3} $
$\Rightarrow 2 \cdot 2^{y}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow 2^{y}=\dfrac{1}{3} \cdots\cdots(ii)$
$(i) \Rightarrow 2^{x}=1+\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow 2^{x}=\dfrac{4}{3}\cdots\cdots(iii)$
$(iii)÷(ii)\Rightarrow$
$\dfrac{2^{x}}{2^{y}}=\dfrac{4 / 3}{1/3}$
$\Rightarrow 2^{x-y}=4$
$\Rightarrow 2^{x-y}=2^2$
$\therefore x-y=2$
$$
\begin{aligned}
& 2^{x}-2^{y}=1 \cdots \cdot \cdot(i) \\
& 4^{x}-4^{y}=\frac{5}{3} \\
\Rightarrow &\left(2^{x}\right)^{2}-\left(2^{y}\right)^{2}=\frac{5}{3} \\
\Rightarrow &\left(2^{x}+2^{y}\right)\left(2^{x}-2^{y}\right)=\frac{5}{3} \\
\Rightarrow &\left(2^{x}+2^{y}\right) \cdot 1=\frac{5}{3}[\text { by (i) }] \\
\Rightarrow & 2^{x}+2^{y}=\frac{5}{3} \cdots \cdots(\text { ii) }\\
\text { (i) }+(\text { ii) } \Rightarrow& 2 \cdot 2^{x}=1+\frac{5}{3} \\
\Rightarrow & 2 \cdot 2^{x}=\frac{8}{3} \\
\therefore & 2^{x}=\frac{4}{3} \cdots \cdots \text { (iii) } \\
\text { (ii) } & \text { (ii) }
\end{aligned}
$$
(ii) $-$ (i) $\Rightarrow$
$$
\begin{aligned}
& 2 \cdot 2^{y}=\frac{5}{3}-1 \\
\Rightarrow & 2 \cdot 2^{y}=\frac{2}{3} \\
\therefore \quad 2^{y} &=\frac{1}{2} \cdots \cdot \text { (iv) }
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&\text { (iii) } \div \text { (iv) } \Rightarrow \\
&\frac{2^{x}}{2^{y}}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{3}} \\
&\Rightarrow 2^{x-y}=4 \\
&\Rightarrow 2^{x-y}=2^{2} \\
&\therefore x-y=2 \text { Ans: }
\end{aligned}
$$
গাণিতিক সমস্যা-৩:
সমাধান করঃ $4^\sqrt{x}=32^x$
উত্তরঃ $0$, $\dfrac{4}{25}$
গাণিতিক সমস্যা-৪:
সমাধান করঃ $3^x=81^{x^3}$
উত্তরঃ $0,\pm \dfrac{1}{2}$
গাণিতিক সমস্যা-৫:
$5^{\sqrt[3]{x}}=125^x$ এর সমাধান কর।
গাণিতিক সমস্যা-৬:
$\left[1-\left\{1-\left(1-x^2\right)^{-1}\right\}^{-1}\right]^\tfrac{-1}{2}$ এর সরল কর।
উত্তরঃ$x$
গাণিতিক সমস্যা-৭:
$a,b,c$ সমান্তর এবং $x,y,z$ গুনোত্তর ধারাভুক্ত হলে প্রমাণ কর যে,$x^{b-c}y^{c-a}z^{a-b}=1$
গাণিতিক সমস্যা-৮:
$\left(\dfrac{x}{y}\right)^a \left(\dfrac{y}{z}\right)^b\left(\dfrac{z}{x}\right)^c=1$ অভেদ হলে প্রমাণ কর যে, $a=b=c$.
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
$\left(\dfrac{x}{y}\right)^a \left(\dfrac{y}{z}\right)^b\left(\dfrac{z}{x}\right)^c=1$
বা, $\dfrac{x^a}{y^a}\cdot \dfrac{y^b}{z^b}\cdot \dfrac{z^c}{x^c}=1$
বা, $x^{a-c}\cdot y^{b-a}\cdot z^{b-c}=x^0\cdot y^0\cdot z^0$ এটি অভেদ।
সুতরাং $a-c=0$ ; $b-a=0$ ; $b-c=0$
বা, $a=c$ বা, $b=a$ বা, $b=c$
$\therefore a=b=c$
অনুরূপ গাণিতিক প্রশ্নঃ
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{x^2} \left(\dfrac{b}{c}\right)^{y^2} \left(\dfrac{c}{a}\right)^{z^2}=\log _{a}a$
গাণিতিক সমস্যা-৯:
$x^\tfrac{1}{a}=y^\tfrac{1}{b}=z^\tfrac{1}{c}$ এবং $xyz=1$ হলে প্রমাণ কর যে, $\left(a^3+b^3+c^3\right)^3=27a^3b^3c^3$
গাণিতিক সমস্যা-১০:
$5^h=7^k=35^m$ হলে প্রমাণ কর যে, $m=\dfrac{hk}{h+k}$
গাণিতিক সমস্যা-১১:
$x=\log_{12}18$ এবং $y=\log_{24}54$ হলে প্রমাণ কর যে, $xy+5(x-y)=1$
গাণিতিক প্রশ্ন-১২:
$\left(5 + 2 \sqrt{6}\right)^{x^2 - 5}+ \left(5 - 2 \sqrt{6}\right)^{x^2 - 5} =10 $
সমাধানঃ
এখানে, $5+2\sqrt{6}=\dfrac{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right)}{5-2\sqrt{6}}$
$=\dfrac{5^2-\left(2\sqrt{6}\right)^2}{5-2\sqrt{6}}$
$=\dfrac{1}{5-2\sqrt{6}}$
মনেকরি,$\left(5+2\sqrt{6}\right)^{x^2-5}=y$
$\left(5 +2\sqrt{6}\right)^{x^2 - 5}+\left(5 - 2\sqrt{6}\right)^{x^2 -5} =10$
বা, $\left(5+2\sqrt{6}\right)^{x^2-5}+\dfrac{1}{\left(5+2\sqrt{6}\right)^{x^2 -5}}=10$
বা, $y+\dfrac{1}{y}=10$
বা, $\dfrac{y^2+1}{y}=10$
বা, $y^2-10y+1=0$
বা, $y=\dfrac{10\pm \sqrt{100-4×1×1}}{2×1}$
বা, $y=5\pm 2\sqrt{6}$
$+$ চিহ্নযুক্ত মান নিয়ে,
$\left(5+2\sqrt{6}\right)^{x^2-5}=5+2\sqrt{6}$
বা, $x^2-5=1$
বা, $x^2=6$
$\therefore x=\pm\sqrt{6}$
$-$ চিহ্নযুক্ত মান নিয়ে পাই,
$y=5-2\sqrt{6}$
বা, $\left(5+2\sqrt{6}\right)^{x^2-5}=\dfrac{1}{5+2\sqrt{6}}$
বা, $\left(5+2\sqrt{6}\right)^{x^2-5}=\left(5+2\sqrt{6}\right)^{-1}$
বা, $x^2-5=-1$
বা, $x=\pm 2$
অনুরূপভাবে সমাধান করঃ
(ক) $\left(3+2\sqrt{2}\right)^{x^2-3}+\left(3-2\sqrt{2}\right)^{x^2-3}=6$
(খ) $\left(1+\sqrt{2}\right)^{1-\tfrac{1}{x}}-\left(1-\sqrt{2}\right)^{1-\tfrac{1}{x}}=2$
(গ)$\left(7-5\sqrt{2}\right)^{x-4}-\left(7+5\sqrt{2}\right)^{x-4}=14$
গাণিতিক প্রশ্ন-১৩:
যদি $\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{x^2y^4}}=a$ হয় তবে প্রমাণ কর যে, $x^{\tfrac{2}{3}}+y^{\tfrac{2}{3}}=a^{\tfrac{2}{3}}$.
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
$\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{x^2y^4}}=a$
বা, $\sqrt{x^2+x^{\tfrac{4}{3}}y^{\tfrac{2}{3}}}+\sqrt{y^2+x^{\tfrac{2}{3}}y^{\tfrac{4}{3}}}=a$
বা, $\sqrt{x^{\tfrac{4}{3}}\left(x^{\tfrac{2}{3}}+y^{\tfrac{2}{3}}\right)}+\sqrt{y^{\tfrac{4}{3}}\left(y^{\tfrac{2}{3}}+x^{\tfrac{2}{3}}\right)}=a$
বা, $x^{\tfrac{2}{3}}\left(x^{\tfrac{2}{3}}+y^{\tfrac{2}{3}}\right)^{\tfrac{1}{2}}+y^{\tfrac{2}{3}}\left(y^{\tfrac{2}{3}}+x^{\tfrac{2}{3}}\right)^{\tfrac{1}{2}}=a$
বা, $\left(x^{\tfrac{2}{3}}+y^{\tfrac{2}{3}}\right)^{\tfrac{1}{2}}\left(x^{\tfrac{2}{3}}+y^{\tfrac{2}{3}}\right)=a$
বা, $\left(x^{\tfrac{2}{3}}+y^{\tfrac{2}{3}}\right)^{\tfrac{1}{2}+1}=a$
বা, $\left(x^{\tfrac{2}{3}}+y^{\tfrac{2}{3}}\right)^{\tfrac{3}{2}}=a$
বা, $x^{\tfrac{2}{3}}+y^{\tfrac{2}{3}}=a^{\tfrac{2}{3}}$ (proved)
গাণিতিক প্রশ্ন-১৪:
সমাধান করঃ
$x^2-3|x|+2=0$ এর সমাধান কর। উত্তরঃ $±2,±1$
সমাধানঃ
$x^2-3|x|+2=0$
বা, $x^2+2=3|x|$
বা, $\left(x^2+2\right)^2=\left(3|x|\right)^2$
বা, $x^4+4x^2+4=9x^2$
বা, $x^4-5x^2+4=0$
বা, $x^4-4x^2-x^2+4=0$
বা, $x^2\left(x^2-4\right)-1\left(x^2-4\right)=0$
বা, $\left(x^2-4\right)\left(x^2-1\right)=0$
হয়, $x^2-4=0$ অথবা, $x^2-1=0$
বা, $x=\pm 2$ বা, $x=\pm 1$
বিকল্প সমাধানঃ
$x^2-3|x|+2=0$
বা, $x^2-3×\pm x+2=0$
বা, $x^2\mp 3x+2=0$
ঋণাত্মক চিহ্নযুক্ত মান নিয়ে পাই,
$x^2-3x+2=0$
বা, $x^2-2x-x+2=0$
বা, $x(x-2) -1(x-2)=0$
বা, $(x-2)(x-1)=0$
$\therefore x=2,1$
আবার ধনাত্মক চিহ্নযুক্ত মান পাই,
$x^2+3x+2=0$
বা, $x^2+2x+x+2=0$
বা, $x(x+2) +1(x+2)=0$
বা, $(x+2)(x+1)=0$
$\therefore x=-2,-1$
গাণিতিক প্রশ্ন-১৫:
$a^x=b^y$ এবং $b^x=a^y (ab≠1)$ হলে প্রমাণ কর যে, $a=b.$
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
$a^x=b^y$
বা, $\left(a^x\right)^x=\left(b^y\right)^x$
বা, $a^{x^2}=b^{xy}\cdots\cdots (i)$
এবং $b^x=a^y$
বা, $\left(b^x\right)^y=\left(a^y\right)^y$
বা, $b^{xy}=a^{y^2}\cdots\cdots (ii)$
$(i)$ এবং $(ii)$ নং সমীকরণ হতে পাই,
$a^{x^2}=a^{y^2}$
বা, $x^2=y^2$
$\therefore \pm x=y$
এখন, $x=y$ হলে $a^x=b^y$
বা, $a^x=b^x$
বা, $a=b$ (proved)
অথবা $-x=y$ হলে $a^x=b^y$
বা, $a^x=b^{-x}$
বা, $a=b^{-1}$
বা, $a=\dfrac{1}{b}$
$\therefore ab=1$ যা গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ দেওয়া আছে $ab\ne 1$
Question-16:
If $x^p=y^q=(xy)^{pq}$ , prove that $p+q=1.$
proof:
process-1
Let, $x^p=y^q=(xy)^{pq}=k$
$\therefore x^p=k$
$\Rightarrow x=k^{1/p}$
and $y^q=k$
$\Rightarrow y=k^{1/q}$
and $(xy)^{pq}=k$
$\Rightarrow \left(k^\tfrac{1}{p}\cdot k^\tfrac{1}{q}\right)^{pq}=k$
$\Rightarrow \left(k^{\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}}\right)^{pq}=k$
$\Rightarrow k^{\left(\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}\right)pq}=k$
$\Rightarrow \left(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}\right)pq=1$
$\Rightarrow \dfrac{pq}{p}+\dfrac{pq}{q}=1$
$\therefore q+p=1$
method-2
Given that,
$x^p=y^q=(xy)^{pq}$
$\therefore x^p=(xy)^{pq}$
$\Rightarrow x=(xy)^q\cdots\cdots (i)$
& $y^q=(xy)^{pq}$
$\Rightarrow y=(xy)^p\cdots\cdots (ii)$
$(i)×(ii)\Rightarrow $
$xy=(xy)^q×(xy)^p$
$\Rightarrow (xy)^1=(xy)^{q+p}$
$\therefore 1=p+q$
Question:
Simplify $3^{-2} \times 81^{\tfrac{3}{4}} \div(729)^{-1 / 3}$
solution:
$3^{-2} \times 81^{\tfrac{3}{4}} \div(729)^{-1 / 3}$
$=\dfrac{1}{9} \times\left(3^4\right)^{\tfrac{3}{4}} \div\left\{(9)^3\right\}^{-1 / 3}$
$= \dfrac{1}{9} \times 27 \div(9)^{-1}$
$= \dfrac{1}{9} \times 27 \times 9 \Rightarrow 27$
গাণিতিক প্রশ্ন-১৭:
$a^x=bc \;,\;b^y=ca \;,\;c^z=ab$ হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}=1.$
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
$a^x=bc$
বা, $a×a^x=a×bc$
বা, $a^{1+x}=abc$
$\therefore a=(abc)^{\tfrac{1}{1+x}}$
অনুরূপভাবে, $b=(abc)^{\tfrac{1}{1+y}}$
এবং $c=(abc)^{\tfrac{1}{1+z}}$
গুণ করে পাই,
$abc=(abc)^{\tfrac{1}{1+x}}×(abc)^{\tfrac{1}{1+y}}×(abc)^{\tfrac{1}{1+z}}$
বা, $abc=(abc)^{{\tfrac{1}{1+x}}+{\tfrac{1}{1+y}}+{\tfrac{1}{1+z}}}$
$\therefore \dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}=1$
Alternating Method:
$a^{x}=b c$
$\Rightarrow x=\log _{a} b c $
$b^{y}=c a$
$\Rightarrow y=\log _{b} c a $
$c^{z}=a b $
$\Rightarrow z=\log _{c} a b $
$L.H.S=\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z} $
$=\dfrac{1}{1+\log _{a} b c}+\dfrac{1}{1+\log _{b} ca}+\dfrac{1}{1+\log _{c} a b} $
$=\dfrac{1}{\log _{a} a+\log _{a} b c}+\dfrac{1}{\log _{b} b+\log _{b} c a}+\dfrac{1}{\log _{c} c+\log _{c} a b}$
$=\dfrac{1}{\log _{a} a b c}+\dfrac{1}{\log _{b} a b c}+\dfrac{1}{\log _{c} a b c}$
$=\log _{a b c} a+\log _{a b c} b+\log _{a b c} c$
$=\log _{a b c} a b c$
$=1 $
$=\text { R.H.S }$
$\therefore \text { L.H.S }=\text { R.H.S (Proved) }$
সৃজনশীল প্রশ্ন-১:
$2^x=3^y=6^{-z}$ হলে
(ক) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0$
(খ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}$
(গ) প্রমাণ কর যে, $xy+yz+zx=0$ অথবা $x=y=z$.
(ক) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
মনে করি, $2^x=3^y=6^{-z}=k$
এখন, $2^x=k$
বা, $2=k^\tfrac{1}{x}$
অনুরূপভাবে, $3=k^\tfrac{1}{y}$
এবং $6=k^\tfrac{-1}{z}$
বা, $2\times 3=k^\tfrac{-1}{z}$
বা, $k^\tfrac{1}{x}\cdot k^\tfrac{1}{y}=k^\tfrac{-1}{z}$
বা, $k^{\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{y}}=k^\tfrac{-1}{z}$
বা $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{-1}{z}$
$\therefore \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0$
(খ) নং প্রশ্নের উত্তর:
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0$
বা,$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=-\dfrac{1}{z}$
বা,$ \left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right) ^{3}=\left( -\dfrac{1}{z}\right) ^{3}$
বা,$ \dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{1}{y^{3}}+3\cdot \dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{y}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right) =-\dfrac{1}{z^3}$
বা,$\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{1}{y^{3}}+3\cdot \dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{1}{y}\left( -\dfrac{1}{z}\right) =-\dfrac{1}{z^{3}}$
বা,$\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{1}{y^{3}}-\dfrac{3}{xyz}=\dfrac{-1}{z^{3}}$
বা,$ \dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{1}{y^{3}}+\dfrac{1}{z^{3}}=\dfrac{3}{xyz}$
(গ)প্রশ্নের সমাধান:
$\left( \dfrac{1}{x}\right) ^{3}+\left( \dfrac{1}{y}\right) ^{3}+\left(
\dfrac{1}{z}\right) ^{3}-3\cdot \dfrac{1}{z}\cdot \dfrac{1}{y}\cdot
\dfrac{1}{z}=0$
বা,$\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right) $$\left\{ \left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right) ^{2}+\left( \dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z}\right) ^{2}+\left( \dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{x}\right) ^{2}\right\} =0$
বা,$\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right) $$\left\{ \left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right) ^{2}+\left( \dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z}\right) ^{2}+\left( \dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{x}\right) ^{2}\right\} =0$
হয়,$\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right) =0$
বা,$\dfrac{yz+zx+xy}{xyz}=0$
$\therefore xy+yz+zx=0$
অথবা,$\left\{ \left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right) ^{2}+\left( \dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z}\right) ^{2}+\left( \dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{x}\right) ^{2}\right\} =0$
বা,$ \left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right) ^{2}+\left( \dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z}\right) ^{2}+\left( \dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{x}\right) ^{2} =0$
কয়েকটি রাশির বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে রাশি গুলো আলাদাভাবে শূণ্য হয়।
$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=0$
বা,$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}$
$\therefore x=y$
অনুরূপ সৃজনশীল (উপরের নিয়মে সমাধান কর):
$a^x=b^y=c^z$ এবং $abc=1$
(ক) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}$
(খ) প্রমাণ কর যে, $ xy+ yz + zx = 0 $ অথবা $x=y=z$
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$a^x=b^y=c^z$ এবং $a\ne b\ne c$
(ক) $b=z$ এবং $c=y$ হলে প্রমাণ কর যে,$\left(\dfrac{y}{z}\right)^{\tfrac{y}{z}}=y^{\tfrac{y}{z}-1}$
(খ) $a,b,c$ গুণোত্তর ধারাভূক্ত হলে প্রমাণ কর যে,$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{y}$
(গ) $a,c,b$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমাণ কর যে,$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{z}$
(ঘ) $ab$ , $c$ এর গুণাত্মক বিপরীত হলে প্রমাণ কর যে $x=y=z$ অথবা $xy+yz+zx=0$
সূত্রঃ
১.$x^n=a$ হলে $a$ এর $n$ তম মূল, $x=\sqrt[n]{a}=a^\tfrac{1}{n}$ যেখানে $a\in \mathbb{R}$ এবং $n\in \mathbb{N}$
যেমনঃ $x^1=4$ হলে $4$ এর প্রথম মূল $x=\sqrt[1]{4}=4$
অর্থাৎ যেকোনো সংখ্যার প্রথম মূল ঐ সংখ্যা হয়।
$x^2=4$ হলে $4$ এর ২য় মূল $|x|=\sqrt[2]{4}$
বা, $\pm x=\sqrt{4}$
$\therefore x=\pm 2$
অর্থাৎ জোড় তম মূলে দুটি মান হয়। ধনাত্মক মূলটি মূখ্যমূল।
$x^n=0$ হলে $0$ এর n তম মূল $x=\sqrt[n]{0}=0^{\tfrac{1}{n}}=0$
অর্থাৎ $0$ এর যেকোনো তম মূল $=0$.
২.$\left(a^r\right)^s=a^{rs}$ যেখানে, $a>0$ এবং $r,s\in \mathbb{Q}$.
৩.$(ab)^r=a^rb^r$ যেখানে $r\in \mathbb{Q}$ এবং $a>0,b>0$.
গাণিতিক সমস্যাঃ
প্রমাণ কর যে, $\left(a^\tfrac{m}{n}\right)^p=a^\tfrac{mp}{n}$, যেখানে $m,p\in \mathbb{Z}$ এবং $n\in \mathbb{N}$ এবং $a>0$.অথবা $m\ne 0$ এবং $p\ne 0$.
প্রমাণঃ
১ম পদ্ধতি
$L.H.S=\left(a^\tfrac{m}{n}\right)^p$
$=\left(a^r\right)^p$ [ধরি,$\tfrac{m}{n}=r$ যেখানে $r\in \mathbb{Q}$]
$=a^{rp}$ [$\because a>0$] [সূত্র-২]
$=a^{\tfrac{m}{n}\cdot p}$
$=a^\tfrac{mp}{n}$
$=R.H.S$
$\therefore L.H.S=R.H.S$
২য় পদ্ধতি
মনে করি,
$a^\tfrac {m}{n}=x$
বা,$\left(a^m\right)^\tfrac {1}{n}=x$ [সূত্র -১]
বা,$a^m=x^n$
বা,$\left(a^m\right)^p=\left(x^n\right)^p$ [পূর্ণ সাংখ্যিক $(p)$ ঘাতে উন্নীত করে]
বা,$a^{mp}=x^{np}$
বা,$a^{mp}=\left(x^p\right)^n$
বা,$\left(a^{mp}\right)^\tfrac{1}{n}=x^p$
বা,$a^\tfrac{mp}{n}=x^p$
বা,$a^\tfrac{mp}{n}=\left(a^\tfrac{m}{n}\right)^p$ [$x$ এর মান বসিয়ে]
$\therefore \left(a^\tfrac{m}{n}\right)^p=a^\tfrac{mp}{n}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
প্রমাণ কর যে, $\left(a^\tfrac{1}{m}\right)^\tfrac{1}{n}=a^\tfrac{1}{mn}$, যেখানে $m,n\in \mathbb{Z}$ এবং $m\ne 0$ এবং $n\ne 0$ এবং $a>0$.
সমাধানঃ
$L.H.S=\left(a^\tfrac{1}{m}\right)^\tfrac{1}{n}$
$=\left(a^r\right)^s$ [ধরি,$\tfrac{1}{m}=r$ এবং $\tfrac{1}{n}=s$ যেখানে $r,s\in \mathbb{Q}$]
$=a^{rs}$ [$\because a>0$] [সূত্র-২]
$=a^{\tfrac{1}{m}\cdot \tfrac{1}{n}}$
$=a^\tfrac{1}{mn}$
$=R.H.S$
$\therefore L.H.S=R.H.S$
গাণিতিক সমস্যাঃ
প্রমাণ কর যে, $\left(a\cdot b\right)^\tfrac{m}{n}=a^\tfrac {m}{n}\cdot b^\tfrac {m}{n}$ যেখানে $m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N},a>0,b>0$.
সমাধানঃ
$L.H.S=\left(a\cdot b\right)^\tfrac{m}{n}$
$=\left(a\cdot b\right)^r$ [ধরি, $\tfrac{m}{n}=r$ যেখানে, $r\in \mathbb{Q}$]
$=a^r\cdot b^r$ [$\because a>0,b>0$][সূত্র-৩]
$=a^\tfrac{m}{n}\cdot b^\tfrac{m}{n}$
$=R.H.S$
$\therefore L.H.S=R.H.S$
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$p=x^a,q=x^b,r=x^c$ এবং $a+b+c=0$
(ক) $p^{-1}\cdot q^{-1}\cdot r^{-1}$ এর মান নির্ণয় কর ।
(খ) $\left(\dfrac{p}{q}\right)^{a^2+b^2+ab}\cdot \left(\dfrac{q}{r}\right)^{c^2+b^2+bc}\cdot \left(\dfrac{r}{p}\right)^{a^2+c^2+ac}$ এর মান নির্ণয় কর ।
(গ) প্রমাণ কর যে, $\left(\dfrac{p}{q^{-1}}\right)^{a^2+b^2-ab}\cdot \left(\dfrac{q}{r^{-1}}\right)^{c^2+b^2-bc}\cdot \left(\dfrac{r}{p^{-1}}\right)^{a^2+c^2-ac}$$=x^{6abc}$.
(ঘ) $\left(\dfrac{p}{q}\right)^{a+b}\cdot \left(\dfrac{q}{r}\right)^{b+c}\cdot \left(\dfrac{r}{p}\right)^{a+c}$ এর মান নির্ণয় কর ।
(ঙ) $\left(\dfrac{p}{q^{-1}}\right)^{a-b}\cdot \left(\dfrac{q}{r^{-1}}\right)^{b-c}\cdot \left(\dfrac{r}{p^{-1}}\right)^{c-a}$ এর মান নির্ণয় কর ।
(চ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{1+p+q^{-1}}+\dfrac{1}{1+q+r^{-1}}+\dfrac{1}{1+r+p^{-1}}=1$.
(ছ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{1+p^{-1}q+p^{-1}r}+\dfrac{1}{1+q^{-1}p+q^{-1}r}$$+\dfrac{1}{1+r^{-1}p+r^{-1}q}=1$.
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$p^2+2=3^{\tfrac{2}{3}}+3^{\tfrac{-2}{3}}$
(ক) $p$ এর মান নির্ণয় কর যখন $p\in \mathbb{R}$
(খ) প্রমাণ কর যে, $p^6+6p^4+9p^2=7\dfrac{1}{9}$ অতঃপর $3p^3+9p=8$ যখন $p\ge 0$.
(গ) $p=a-1$ হলে প্রমাণ কর যে, $a^3-3a^2+6a=6\dfrac{2}{3}$ যখন $a\ge 1$
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$f(x)=x^\tfrac{2}{3}+x^\tfrac{-2}{3}$
(ক) $f(2)=a$ হলে প্রমাণ কর যে,$a^3-3a=4\dfrac{1}{4}$.
(খ) $f(2)=a+2$ হলে প্রমাণ কর যে, $4a^3+24a^2+36a-9=0$.
(গ) $f(3)=a^2-2$ হলে প্রমাণ কর যে, $a^3-3a=3\dfrac{1}{3}$ যখন $a\ge 0$.
গাণিতিক সমস্যাঃসরল করঃ $\dfrac{2^{2-x}-2\cdot 2^{x-1}}{2^{x-1}-1}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
সমাধান করঃ $\dfrac{\left(2x^{-1}\sqrt[3]{x^2}\right)^{-6}-1}{\left(8x^{-1}\right)^{-1}+1}=0$
উত্তরঃ
$x=8$
গাণিতিক সমস্যাঃ
সমাধান করঃ $5^{\tfrac{x}{2}-1}=4^{x-2}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$2^{3x-1}=8^{2-x}$ হলে $x=$কত?
গাণিতিক সমস্যাঃ
$2^{3x-1}=27^{x-\tfrac{1}{3}}$ হলে $x=$কত?
গাণিতিক সমস্যাঃ
সরল করঃ $\dfrac{\left(64^{2/3}\right)^{\tfrac{3}{4}}-\sqrt[2]{x^6}}{\sqrt[1]{2}-x}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
সরল করঃ $\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot \sqrt[3]{x}\right)^{-3}\cdot \left(\sqrt[4]{x^3}\right)^{\tfrac{-2}{3}}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$9^{2y-3}=a^{4y-6}$ হলে $y=$কত?
$Ans: \dfrac{3}{2}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x^2-2=2^{2/3}+2^{-2/3}$ হলে প্রমাণ কর যে, $2x^3-6x-5=0$ যেখানে $x\ge 0$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x=2^{2/3}-2^{1/3}$ হলে প্রমাণ কর যে, $x^3+6x-2=0$
গাণিতিক সমস্যাঃ
সমাধান কর
$\sqrt{x \sqrt[5]{x}}-\sqrt[5]{x\sqrt{x}}=56$
উত্তরঃ $1024$
7. $p^{3}+q^{3}+r^{3}=1$ হলে প্রমাণ কর যে :
$\left(\dfrac{x^{p}}{x^{-q}}\right)^{p^{2}-p q+q^{2}} \times\left(\dfrac{x^{q}}{x^{-r}}\right)^{q^{2}-q r+r^{2}} \times\left(\dfrac{x^{r}}{x^{-p}}\right)^{r^{2}-r p+p^{2}}=x^{2}$
8. $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x y+y z+z x)$, হলে প্রমাণ কর যে:
$\left(\dfrac{a^{x}}{a^{y}}\right)^{x-y} \times\left(\dfrac{a^{y}}{a^{z}}\right)^{y-z} \times\left(\dfrac{a^{z}}{a^{x}}\right)^{z-x}=1$
9. যদি $a+b+c=0$ হয় তবে $x^{(b-1)(c-1)} \times x^{(c-1)(a-1)} \times x^{(a-1)(b-1)}=1$ এর সমাধান কর।
10. যদি $g+h+f=0$ হয় তবে প্রমাণ কর যে :
$\dfrac{1}{1+m^{g}+m^{-h}}+\dfrac{1}{1+m^{h}+m^{-f}}+\dfrac{1}{1+m^{f}+m^{-g}}=1$
সরল করঃ
১. $\left(a^{n^{2}}\right)^{-1 / 2}\left(a^{2 n}\right)^{2}$
২. $\left(x^{n-1}\right)^{2}\left(x^{3-n}\right)^{-3}$
৩. $\dfrac{\left(x^{2} y \sqrt{-x}\right)}{\left(-x^{2}\right)^{2} y^{1 / 3}}$
৪. $\dfrac{\left(b^{-1 / 3}\left(\sqrt[3]{a^{-2}}\right)^{-1}\right)^{3}}{\sqrt[3]{b}}$
সমাধান করঃ
$(i)$ $2^{2^{x}}=16^{2^{3 x}}$
$(ii)$ $4^{x}-3 \cdot 2^{x+2}+2^{5}=0$
$(iii)$ $3^{x}+3^{y}=4 \; ; \; 3^{-x}+3^{-y}=\frac{4}{3}$
$(iv)$ $\cdot 8^{x} \cdot 4^{y}=128\; ;\; 9^{x+y}=27^{x y}$
$(v)$ $5^{x}+3^{y}=14\; ;\; 5^{x-1}+3^{y-1}=4$
$(vi)$ $2^{x} \cdot 6^{y}=24\; ; \;2^{2 x} \cdot 3^{y}=48$
$(vii)$ $a^{x}=x^{y}\; ; \; a^{y}=x^{x}$
$(viii)$ $5^{13-2 x}+2^{x-2}=2^{x+2}+5^{11-2 x}$
বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ
১.$\sqrt[n]{a}=\sqrt[nk]{a^k}$ এর ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?
(ক)$a\in \mathbb{R}$এবং $n,k\in \mathbb{Z}$ (খ)$a\in \mathbb{R}^+$এবং $n,k\in \mathbb{Z}$
(গ)$a\ge 0$ এবং $n,k\in \mathbb{N}$ (ঘ)$a>0,n\in \mathbb{N},k\in \mathbb{Z}$
২.$\sqrt[n]{\mid a \mid}$ এর ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?
(ক)$n\in \mathbb{Z},a\in \mathbb{R}$ (খ)$n\in \mathbb{N},a\in \mathbb{R}$
(গ)$n\in \mathbb{Z},a>0$ (ঘ) $a,n\in \mathbb{Z},n\ne0$
৩.$i.a^x=n$ হলে $a$ হলো $n$ এর $x$ তম মূল ।
$ii.0$ এর শূণ্যতম মূল $0$.
$iii.\sqrt{a^2}\ge 0$
কোনটি সঠিক?
(ক) $i,ii$ (খ)$i,iii$ (গ)$ii,iii$ (ঘ)$i, ii,iii$
৪.$x^2=-n$ যেখানে $n<0$;হলে $x$ এর মান সম্পর্কে কোনটি সঠিক?
(ক)বাস্তব (খ) অবাস্তব (গ)$x\le 0$ (ঘ)সর্বদাই অমূলদ ।
৫.$a^x=b^0$ হলে কোনটি সঠিক?
(ক)$a\ne 1,b\in \mathbb{R}$ (খ)$a>0,a\ne 1$ হলে $x\ne 0$
(গ)$a,b>0;x=0$ (ঘ)$a,b>0,a\ne 1$হলে $x=0$
৬.$\sqrt{x+5} +5=3$হলে $x$ এর মান কত?
(ক)$-1$ (খ)$-2$ (গ)$9$ (ঘ)অবাস্তব
৭.$3^{x-2}=3a^{x-3}$হলে $x$ এর মান কত?
(ক)$3$ (খ)$-3$ (গ)$-2$ (ঘ)$2$
৮.$\sqrt{(a-2)^2}=-2$ হলে $x$ এর মান কত?
(ক)$0,4$ (খ)$0,-4$ (গ)$0$ (ঘ)$a\notin \mathbb{R}$
৯.$\left[1-\left\{1-\left(1-1\right)^{-1}\right\}^{-1}\right]^{-1}$ এর মান কত?
(ক)$0$ (খ)$-2$ (গ)$2$ (ঘ)অসঙ্গায়িত
১০.$27^{x^2}=81^{xy}$ হলে $\dfrac{y}{x}$ এর মান কোনটি?
(ক)$\dfrac{4}{3}$ (খ)$\dfrac{3}{4}$ (গ)$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (ঘ)$\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
১১.$i. \sqrt[1]{4}=2$
$ii.\sqrt[2]{4}=2$
$iii.\sqrt{4}=2$
কোনটি সঠিক?
(ক) $i,ii$ (খ)$i,iii$ (গ)$ii,iii$ (ঘ)$i, ii,iii$
১২.$8^{2/3}$ এর মান কত?
(ক)$2$ (খ)$4$ (গ)$6$ (ঘ)$2^{\tfrac{2}{9}}$
১৩.$a^x=a^y$ হলে $x=y$ কোন শর্তে?
(ক) $a>0 $এবং$ a\ne 1$ (খ)$a<0$এবং $a=1$
(গ)$a>0$এবং $a=1$ (ঘ)$a>0$
১৪.$\left\{\left(x^{-2}+y^{-2}\right)^{-1}\right\}^{-1}$এর সরলফল কোনটি ?
(ক)$\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}$ (খ)$\dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}$
(গ)$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}$
(ঘ)$x^2+y^2$
১৫.$a^0=1$ এর ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?
(ক)$a\in \mathbb{R}$ (খ)$a\in \mathbb{R} , a\ne 1$
(গ)$a\in \mathbb{R} , a\ne 0$ (ঘ)$a\in \mathbb{R}^+$
১৬.কোনটি সঠিক?
(ক) $\sqrt{-25}=-5$ (খ)$\sqrt{9}=\pm 3$
(গ) $\sqrt[7]{a^7}=|a|$ (ঘ)$\sqrt[5]{-243}$
১৭.নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $\sqrt[4]{x^4}=x$ (খ)$\sqrt{x^4}=x^2$
(গ) $-4^{1/2}=$অবাস্তব (ঘ) $|a|=a$
১৮.$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ এর ক্ষেত্রে-
$i. a\in \mathbb{R}; m,n\in \mathbb{N}$
$ii. a\in \mathbb{R};a\ne 0; m,n\in \mathbb{Z}$
$iii. a\in \mathbb{R}^+; m,n\in \mathbb{Q}$
কোনটি সঠিক?
(ক) $i,ii$ (খ)$i,iii$ (গ)$ii,iii$ (ঘ)$i, ii,iii$
১৯.$\left(a^m\right)^n=a^{mn}$ এর ক্ষেত্রে-
$i. a\in \mathbb{R}; m,n\in \mathbb{N}$
$ii. a\in \mathbb{R};a\ne 0; m,n\in \mathbb{Z}$
$iii. a>0; m,n\in \mathbb{Q}$
কোনটি সঠিক?
(ক) $i,ii$ (খ)$i,iii$ (গ)$ii,iii$ (ঘ)$i, ii,iii$
২০.$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ এর ক্ষেত্রে -
$i. a,b\in \mathbb{R}; n\in \mathbb{N}$
$ii. a,b\in \mathbb{R};a\ne 0,b\ne 0; m,n\in \mathbb{Z}$
$iii. a>0,b>0; n\in \mathbb{Q}$
(ক) $i,ii$ (খ)$i,iii$ (গ)$ii,iii$ (ঘ)$i, ii,iii$
২১.$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}$ এর ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?
(ক) $n\in \mathbb{N},m\in \mathbb{Z}$ (খ) $n\in \mathbb{Z},m\in \mathbb{N}$ (গ) $n\in \mathbb{N},m\in \mathbb{Z},m\ne 0$ (ঘ) $m,n\in \mathbb{Z}$
উত্তরপত্রঃ
১.(গ) ২.(খ) ৩.(খ) ৪.(ক) ৫.(ঘ) ৬.(ঘ) ৭.(ক) ৮.(ঘ) ৯.(ঘ) ১০.(খ) ১১.(গ) ১২.(খ) ১৩.(ক) ১৪.(খ) ১৫.(গ)
১৬.(ঘ) ১৭.(খ) ১৮.(গ) ১৯.(ঘ) ২০.(ঘ) ২১.(গ)
abdus sattar
Simple Blogger
Enter Comment
comment url