mathematics, ratio,similarity and symmetry
mathematics, ratio,similarity and symmetry related geometric problems and solutions of them.
সাধারণ গণিত
সৃজনশীল প্রশ্ন-১:
(ক) $P$ ভরকেন্দ্র হলে প্রমাণ কর যে, $EF=\dfrac{1}{6} AC$.
(খ) $AD,\angle{BAC}$ এর সমদ্বিখন্ডক হলে প্রমাণ কর যে ,$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}$.
(গ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{\triangle{ADE}}{\triangle{APE}}=\dfrac{DE^2}{PF^2}$.
সৃজনশীল প্রশ্ন-২:
(ক) $D ,\;AB$ এর মধ্যবিন্দু হলে $ABC$ ত্রিভুজটি কি ধরণের হবে?
(খ) জ্যামিতিকভাবে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{b+c}{b}=\dfrac{d}{e}$.
(গ) প্রমাণ কর যে, $a^2 b^2 c^2 \left(\dfrac{1}{a^3} +\dfrac{1}{b^3} +\dfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3$.
বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ
নিচের চিত্রটির সাহায্যে ১-৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
১.$\angle B=\angle C=45^\circ$ হলে ত্রিভুজটির
প্রতিফলন প্রতিসমতার মাত্রা কত?
(ক) $0$ (খ) $1$ (গ) $2$ (ঘ) $3$
২.$AP=3$ সে.মি.,$PD=2$ সে.মি.এবং $DE=4$ সে.মি. হলে $PF=$ কত সে.মি.?
(ক) $\dfrac{5}{12}$ (খ) $\dfrac{12}{5}$ (গ) $\dfrac{8}{5}$ (ঘ) $6$
৩.$AP=3$ সে.মি.,$PD=2$ সে.মি.এবং $AC=14$ সে.মি. হলে $AF$ কত সে.মি.?
(ক) $\dfrac{21}{5}$ (খ) $\dfrac{5}{21}$ (গ) $\dfrac{11}{5}$ (ঘ) $\dfrac{5}{11}$
৪.$EF=1.5$ সে.মি. হলে $AC=$ কত সে.মি.?
(ক) $8$ (খ) $9$ (গ) $10$ (ঘ) $11$
নিচের চিত্রটির সাহায্যে ৫-৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
৫. $AD=2$ সে.মি. হলে $BC=$ কত সে.মি.?
(ক) $\sqrt{3}$ (খ) $\sqrt{5}$ (গ) $2\sqrt{3}$ (ঘ) $2\sqrt{5}$
৬. $BC=4$ সে.মি. $\triangle{ADE}$ এর ক্ষেত্রফল কত বর্গসে.মি.?
(ক) (খ) (গ) (ঘ)
৭.$AB=BC$ হলে $\triangle{BDE}$ এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.
(ক) (খ) (গ) (ঘ)
নিচের চিত্রের সাহায্যে ৮-৯ নং প্রশ্নেরউত্তর দাওঃ
চিত্রে $DE\parallel BC$
৮. $x$ এর মান কত সে.মি.?
চিত্রে $AC=25$ সে.মি. $AE=16$ সে.মি.
৩. $AB$ এর লম্ব অভিক্ষেপ –
(ক) $5$ (খ) $4.5$ (গ) $4$ (ঘ) $3.5$
৯. $y$ এর মান কত সে.মি.?
(ক) $\dfrac{4}{3}$ (খ) $\dfrac{8}{3}$
(গ) $\dfrac{3}{4}$ (ঘ) $\dfrac{3}{8}$
নিচের চিত্রের সাহায্যে ১০-১১ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
১০.$BD=7$ সে.মি. হলে $AD=$ কত সে.মি.?
(ক) $\dfrac{110}{9}$ (খ) $\dfrac{111}{9}$ (গ) $\dfrac{112}{9}$ (ঘ) $\dfrac{113}{9}$
১১.$BC=15$ সে.মি. হলে $DE=$ কত সে.মি.?
(ক) $\dfrac{41}{5}$ (খ) $\dfrac{42}{5}$ (গ) $\dfrac{44}{5}$ (ঘ) $\dfrac{48}{5}$
১২. 
চিত্রটির ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা –
চিত্রটির ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা –
(ক) অসংখ্য (খ) $1$ (গ) $2$ (ঘ) $4$
১৩. $i.$ ক্ষেত্রফল সমান হলে দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হয়।
$ii.$ সর্বসম হলে ২টি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হয়।
$iii.$ সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হয়।
কোনটি সঠিক?
(ক) $i$ (খ) $ii$ (গ) $iii$ (ঘ) $i,ii,iii$
নিচের চিত্রটির সাহায্যে ১৪-১৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
১৪. $x$ এর মান কত?
(ক) $4.75$ (খ) $5.25$ (গ) $3.75$ (ঘ) $6.25$
১৫.$y$ এর মান কত?
(ক) $4.75$ (খ) $5.25$ (গ) $3.75$ (ঘ) $6.25$
১৬. $z$ এর মান কত?
(ক) $4.75$ (খ) $5.25$ (গ) $3.75$ (ঘ) $6.25$
উত্তরপত্রঃ
১. (খ) ২.(খ) ৩.(ক) ৪.(খ) ৫.(ঘ) ৮.(ক) ৯.(খ) ১০.(গ) ১১.(ঘ) ১২.(গ) ১৩. (খ) ১৪.(ঘ) ১৫.(গ) ১৬.(গ)
গাণিতিক সমস্যা-১:
$5$ সে.মি. রেখাংশকে $3:1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত কর।
সমাধানঃ
অঙ্কনের বিবরণঃ
$AB$ রেখাংশ$=5$ সে.মি.। $A$ বিন্দুতে যেকোনো $∠BAX$ আঁকি। $AX$ হতে যেকোনো পরিমাপ $x$ এর সমান করে অনুপাতদ্বয়ের যোগফল অর্থাৎ $3+1=4$ খন্ডাংশে বিভক্ত করি যা $E$ পর্যন্ত বিস্তৃত। $B,E$ যোগ করি। $A$ হতে $3$ খন্ডাংশ পরে $D$ বিন্দু দিয়ে $∠BEX=∠XDY$ আঁকি যা $AB$ কে $C$ বিন্দুতে ছেদ করে। যেখানে $CA:CB=3:1.$
প্রমাণঃ
যেহেতু $ΔABE$ এর $DC∥BC$.
সুতরাং $AC:BC=AD:DE=3x:x=3:1$.
বিকল্পঃ
অনুপাতের প্রথম মানের সমান সংখ্যক ঘর $A$ হতে $X$ বরাবর $D$ পর্যন্ত। অর্থাৎ $AD=3x$ এবং অনুপাতের ২য় মানের সমান সংখ্যক ঘর $B$ হতে $Y$ এর দিকে $E$ পর্যন্ত।অর্থাৎ $AE=x$.
যেনো $AD:BE=3x:x=3:1$ হয়।
প্রমাণঃ
$ΔADC$ এবং $ΔBEC$ সদৃশকোণী, তাই সদৃশ।
সুতরাং $AC:BC=AD:BE=3x:x=3:1$
$∴AC:BC=3:1$
অনুরূপ প্রশ্নঃ
(ক) $7$ সে.মি. রেখাংশকে $1:3$ অনুপাতে বিভক্ত কর।
(খ) $8$ সে.মি. রেখাংশকে $5:2$ অনুপাতে বিভক্ত কর।
গাণিতিক সমস্যা-২:
4 সে.মি. রেখাংশকে 2:3 অনুপাতে বহিঃবিভক্ত কর।
সমাধানঃ
অঙ্কনের বিবরণঃ
$AB$ রেখাংশ$=4$ সে.মি.। $B$ বিন্দুতে যেকোনো $∠PBX$ আঁকি। $BX$ হতে যেকোনো পরিমাপ $x$ এর সমান করে অনুপাতদ্বয়ের বৃহত্তম মান $3$ খন্ডাংশে বিভক্ত করি যা $E$ পর্যন্ত বিস্তৃত। $B$ হতে $E$ এর দিকে $3x-2x=x$ একক দূরে $D$ বিন্দু। $D,A$ যোগ করি। $E$ বিন্দুতে $∠ADX=∠XEY$ আঁকি যা $BA$ এর বর্ধিতাংশকে $C$ বিন্দুতে ছেদ করে। যেখানে $CA:CB=2:3.$
প্রমাণঃ
যেহেতু $ΔBEC$ এর $AD∥EC$.
সুতরাং $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{DE}{BD}=\dfrac{2x}{x}$
বা, $\dfrac{AC}{AC+AB}=\dfrac{DE}{DE+BD}=\dfrac{2x}{2x+x}$
বা, $\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{2x}{3x}=\dfrac{2}{3}$
বা, $AC:BC=2:3$
অনুরুপ প্রশ্নঃ
(ক) $6$ সে.মি. রেখাংশকে $3:2$ অনুপাতে বহিঃবিভক্ত কর।
(খ) $8$ সে.মি. রেখাংশকে $3:5$ অনুপাতে বহিঃবিভক্ত কর।
উচ্চতর গণিত
সৃজনশীল প্রশ্ন-১:
(ক)প্রমাণ কর ,$ AM.CM=BM.DM. $
(খ)প্রমাণ কর যে, $ME^2=AE.BE. $
(গ) প্রমাণ কর যে, $DF=CF. $
বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ
১.ভূমির সমান্তরাল $AB$ সরলরেখার লম্ব অভিক্ষেপ $CD$ হলে
(ক) $CD=0$ (খ) $AB=CD$
(গ) $AB>CD$ (ঘ) $AB<CD $
২.$∆ABC$ এর মধ্যমা $AD$ এবং ভরকেন্দ্র G হলে কোনটি সঠিক?
(ক) $GD:AG=2:1$ (খ) $AG:AD=3:2$
(গ) $AD:GD=1:3$ (ঘ) $AG:AD=2:3$
নিচের চিত্রটির সহায়তায় ৩ -৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
৩. $AB$ এর লম্ব অভিক্ষেপ –
(ক) $AD$ (খ)$AC$ (গ) $BC$ (ঘ) $0$
৪.$AC$ এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
(ক) $52$ (খ) $13√2$ (গ) $2√13$ (ঘ) $5√2$
৫.$∆ABC$ এর মধ্যমা তিনটির বর্গের সমষ্টি কত বর্গ সে.মি.?
(ক) $70$ (খ) $74$ (গ) $78$ (ঘ) $82$
৬.বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বাহু গুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $2$ সে.মি. , $3$ সে.মি., $4$ সে.মি., ও $5$ সে.মি., হলে কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের গুণফল কত সে.মি .?
(ক) $26$ (খ) $23$ (গ) $22$ (ঘ) $21$
৭.$∆ABC$ এর মধ্যমা $AD$ এবং ভরকেন্দ্র $G$ হলে কোনটি সঠিক?
(ক)$GD:AG=2:1$ (খ)$AG:AD=3:2$
(গ)$AD:GD=1:3$ (ঘ) $AG:AD=2:3$
abdus sattar
Simple Blogger
Enter Comment
comment url