mathematics,pythagoras theorem,geometry
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
(ক)প্রমাণ কর যে, $AC^2+BE^2=AB^2+CE^2$.সূত্রঃ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল$=\dfrac{1}{2}\times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা
উপপাদ্যঃ
প্রমাণ কর যে, একই ভূমির উপর ও একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে অবস্থিত সকল ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান।
বিশেষ নির্বচনঃ
একই ভূমি $BC$ এর উপর এবং একই সমান্তরাল রেখাযুগল $PQ$ এবং $RS$ এর মধ্যে অবস্থিত দুটি ত্রিভুজক্ষেত্র যথাক্রমে $\triangle{ABC}$ ও $\triangle{BCD}$ । প্রমাণ করতে হবে যে, $\triangle ABC=\triangle BCD$
অঙ্কনঃ $AE\bot PQ$ এবং $DF\bot PQ$ আঁকি ।
প্রমাণঃ
$PQ\parallel RS$ হওয়ায় এদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব সর্বদা সমান হবে।
সুতরাং $AE=DF=h$ যা ত্রিভুজদুটির উচ্চতা।
উভয় ত্রিভুজের ভূমি $BC=b$;
$\triangle ABC=\dfrac{1}{2}bh\dots\dots(1)$ এবং
$\triangle DBC=\dfrac{1}{2}bh\dots\dots(2)$
$(1)$ এবং $(2)$ হতে পাই,
$\triangle ABC=\triangle BCD$(প্রমাণিত)
উপপাদ্যঃ প্রমাণ কর যে, কোনো ত্রিভুজ এবং সামান্তরিক একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে অবস্থিত হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।
বিশেষ নির্বচনঃ
একই ভূমি $BC$ এর উপর এবং একই সমান্তরাল রেখাযুগল $PQ$ এবং $RS$ এর মধ্যে অবস্থিত $\triangle{ABC}$ ও সামান্তরিকক্ষেত্র $ABCD$ । প্রমাণ করতে হবে যে, $\triangle ABC=\dfrac{1}{2}$সামান্তরিকক্ষেত্র $ABCD$.
অঙ্কনঃ $AE\bot PQ$ এবং $CF\bot R$ আঁকি ।
প্রমাণঃ
$PQ\parallel RS$ হওয়ায় এদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব সর্বদা সমান হবে।
সুতরাং $AE=CF=h$ যা যথাক্রমে $\triangle ABC$ ও $\triangle ACD$ এর উচ্চতা।
$ABCD$ সামান্তরিক হওয়ায় $BC=AD=b$;
$\triangle ABC=\dfrac{1}{2}bh\dots\dots(1)$ এবং
$\triangle DBC=\dfrac{1}{2}bh\dots\dots(2)$
$(1)$ এবং $(2)$ হতে পাই,
$\triangle ABC=\triangle BCD\dots \dots (3)$
এখন,$\triangle ABC+\triangle BCD=$সামান্তরিকক্ষেত্র $ABCD$
বা,$\triangle ABC+\triangle ABC=$সামান্তরিকক্ষেত্র $ABCD$ [$(3)$ হতে]
বা,$2\triangle ABC=$সামান্তরিকক্ষেত্র $ABCD$
$\therefore \triangle ABC=\dfrac{1}{2}$সামান্তরিকক্ষেত্র $ABCD$.(প্রমাণিত)
উপপাদ্যঃ একই ভূমির উপর ও একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে অবস্থিত সকল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল সমান ।
বিশেষ নির্বচনঃ$\therefore$সামান্তরিকক্ষেত্র$ABCD=$সামান্তরিকক্ষেত্র$BCEF$ (প্রমাণিত)
বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ
১.$i.$ তীর্যক রেখার লম্ব অভিক্ষেপ ঐ রেখার সমান,
$ii.$ লম্ব রেখার লম্ব অভিক্ষেপ $ 0$,
$iii.$ সমান্তরাল রেখার লম্ব অভিক্ষেপ ঐ রেখার সমান।
কোনটি সঠিক?
(ক) $i, ii$ (খ) $i, iii $ (গ) $ii,iii$ (ঘ) $i, ii, iii $
২.$\triangle{ABC}$ এর
$i. AB^2=AC^2+BC^2$ যখন $\angle C=90^\circ $
$ii. AB^2>AC^2+BC^2$ যখন $\angle C=130^\circ $
$iii. AB^2<AC^2+BC^2$ যখন $\angle C=30^\circ $
কোনটি সঠিক?
(ক) $i, ii$ (খ) $i, iii $ (গ) $ii,iii$ (ঘ) $i, ii, iii $
৩. সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা $\sqrt{3}$ সেন্টিমিটার হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেন্টিমিটার?
(ক) $2$ (খ) $2.5$ (গ) $3$ (ঘ) $4$
৪.$\triangle {ABC}$ এর
$i. \;\angle{A}=$ সমকোণ হলে $AB^2=BC^2+AC^2$.
$ii. \;\angle{A}=$ স্থূলকোণ হলে $BC^2>BC^2+AC^2$.
$iii. \;\angle{A}=$ সূক্ষ্মকোণ হলে $BC^2<AC^2+AB^2$.
কোনটি সঠিক?
(ক) $i, ii$ (খ) $i, iii $ (গ) $ii,iii$ (ঘ) $i, ii, iii $
৫.কোন ত্রিভুজের নববিন্দু বৃত্তের ক্ষেত্রফল $100\pi$বর্গ সেন্টিমিটার হলে তার পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার।
(ক) $10$ (খ) $20$ (গ) $200\pi$ (ঘ) $400\pi$
৬. কোন তীর্যক রেখার দৈর্ঘ্য$ 5$ সেন্টিমিটার এবং ভূমি হতে শীর্ষের উচ্চতা $3 $সেন্টিমিটার হলে তীর্যক রেখার লম্ব অভিক্ষেপ এর দৈর্ঘ্য কত সেন্টিমিটার?
(ক) $0$ (খ) $3$ (গ) $4$ (ঘ) $5$.
৭. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের লম্ব অভিক্ষেপ সর্বোচ্চ কয়টি হতে পারে?
(ক) $1$ (খ) $2$ (গ) $3$ (ঘ) অসংখ্য
উত্তরপত্রঃ
১.(গ) ২.(ঘ) ৩.(ক) ৪.(গ) ৫.(ঘ)
উচ্চতর গণিত
সৃজনশীল প্রশ্ন-১:
$∆ABC$ এর $AD$ , $BE$, $CF$ মধ্যমা তিনটি পরস্পরকে $G$ বিন্দুতে ছেদ করে।
(ক) প্রমাণ কর যে , $AD=3GD$.
(খ) প্রমাণ কর যে ,$AB^2+AC^2=2\left(AD^2+BD^2\right).$
(গ) প্রমাণ কর যে ,$AB^2+AC^2+BC^2=12\left(GD^2+GE^2+GF^2\right)$
সৃজনশীল প্রশ্ন-২:
চিত্রে $G$ ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র ।
(ক) $AG$ ও $GD$ এর অনুপাত এবং $BC$ এর উপর $AD$ ও $AC$ এর লম্ব অভিক্ষেপ লিখ।
(খ) প্রমাণ কর যে , $AB^2=AD^2+3BD^2$
(গ) প্রমাণ কর যে, $2AB^2=3\left(GA^2+GB^2+GC^2\right)$
সৃজনশীল প্রশ্ন-৩:
$3.5$ সে.মি. ব্যাসার্ধের $PQ$ ব্যাসের একটি অর্ধবৃত্তের $PR$ ও $QS$ জ্যা দুটি বৃত্তের অভ্যন্তরে পরস্পরকে $T$ ছেদ করে ।
(ক) $PT=2.5$ সে.মি. $QT=3.1$ সে.মি. $RT=1.2$ সে.মি.হলে $ST$ এর মান নির্ণয় কর।
(খ) $SM⟂PQ$ হলে প্রমাণ কর যে $PM.QM=SM^2$.
(গ)প্রমাণ কর যে,$PQ=\sqrt{PR.PT+QS.QT}$
(ঘ)প্রমাণ কর যে $PR.QS=PS.QR+SR.PQ$
Enter Comment
comment url