mathematics, probability

চেষ্টা বা ট্রায়াল:

নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে কোন কাজ একবার মাত্র করা হলে তাকে চেষ্টা বলে।

পরীক্ষা বা পরীক্ষণ:

নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে কোন চেষ্টা বার বার করা হলে তাকে পরীক্ষা বা পরীক্ষণ বলে।

দৈব পরীক্ষা:

যখন কোনো পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল আগে থেকে জানা থাকে কিন্তু কোনো নির্দিষ্ট চেষ্টায় কি ফলাফল আসবে তা নিশ্চিত করে বলা যায় না , তবে তাকে দৈব পরীক্ষা বলে।

যেমন: একটি মুদ্রা নিক্ষেপে $H$ বা $T$ এর যে কোনো একটি উঠবে এটা নিশ্চিত কিন্তু মুদ্রা নিক্ষেপের পূর্বে নি নিশ্চিত করে বলা যায় না কোনটি আসবে।

অনুকূল ফলাফল:

কোনো ঘটনার স্বপক্ষের ফলাফলকে অনুকূল ফলাফল বলে।

যেমন: একটি ছক্কা নিক্ষেপে বিজোড় সংখ্যার অনুকূল ফলাফল $1,3,5$

এক্ষেত্রে অনুকূল ফলাফল সংখ্যা $3$ টি।

ঘটনা:

কোনো পরীক্ষায় প্রাপ্ত অনুকূল ফলাফলের সেট কে ঘটনা বলে।

যেমন: একটি ছক্কা নিক্ষেপে জোড় সংখ্যার অনুকূল ফলাফলর সেট $\left\{2,4,6\right\}$ একটি ঘটনা ।

** ঘটনার মোট উপাদান সংখ্যাই অনুকূল ফলাফল।

নমুনাক্ষেত্র:

কোন দৈব পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফলসমূহের সেট কে নমুনাক্ষেত্র বলে।

যেমন: একটি মুদ্রা নিক্ষেপে নমুনাক্ষেত্র $S=\left\{H,T\right\}$

নমুনাবিন্দু:

নমুনাক্ষেত্রের প্রত্যেকটি উপাদানকে নমুনা বিদু বলে। ।

যেমন: $H$ হলো নমুনাক্ষেত্র $S$ এর একটি নমুনাবিন্দু।

সম্ভাবনা:

কোন ঘটনা ঘটা বা না ঘটার গাণিতিক পরিমাপকে সম্ভাবনা বলে।

অথবা, অনিশ্চয়তার গাণিতিক পরিমাপকে সম্ভাবনা বলে।

অথবা, মোট সম্ভাব্য ফলাফল সাপেক্ষে মোট  অনুকূল ফলাফলকে সম্ভাবনা বলে।

অথবা, মোট অনুকূল ফলাফল এবং মোট সম্ভাব্য ফলাফলের অনুপাতকে সম্ভাবনা বলে।

যেমন: $A$ ঘটনার উপাদান সংখ্যা,$=n(A)$

নমুনাক্ষেত্রের মোট উপাদান সংখ্যা,$=n(S)$

সুতরাং $A$ ঘটনার সম্ভাবনা,$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}$

সমসম্ভাব্য ঘটনা:

কোন পরীক্ষার ঘটনা গুলো ঘটার সম্ভাবনা সমান হলে তাকে সমসম্ভাব্য ঘটনা বলে।

যেমন: একটি মুদ্রা নিক্ষেপে $H$ আসার সম্ভাবনা$=\dfrac{1}{2}$

আবার, $T$ আসার সম্ভাবনা $=\dfrac{1}{2}$

এটি সমসম্ভাব্য ঘটনা।

বর্জনশীল ঘটনা বা বিচ্ছিন্ন ঘটনা:

দুই বা ততোধিক ঘটনার সাধারণবিন্দু না থাকলে তাকে বর্জনশীল বা বিচ্ছিন্ন ঘটনা বলে।

অথবা, 

যেমন:

ছক্কা নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা আসার ঘটনা,$A=\left\{2,4,6\right\}$

বিজোড় সংখ্যা আসার ঘটনা,$B=\left\{1,3,5\right\}$

$A$ ও $B$ ঘটনার মধ্যে কোন সাধারণ বিন্দু বা উপাদান না থাকায় ঘটনা দুটি বর্জনশীল বা বিচ্ছিন্ন ঘটনা।

এখানে নমুনা ক্ষেত্র,$S=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

$A$ ঘটনার উপাদান সংখ্যা,$n(A)=3$

$B$ঘটনার উপাদান সংখ্যা,$n( B)=3$

$S$ এর উপাদান সংখ্যা,$n(S)=6$

$A$ অথবা $B$ ঘটার ক্ষেত্রে,

$A\cup B=\left\{2,4,6\right\}\cup\left\{1,3,5\right\}$

         $=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

$A$ অথবা $B$ ঘটনার উপাদান সংখ্যা,$n(A\cup B)=6$

$A$ এবং $B$ ঘটার ক্ষেত্রে,

$A\cap B=\left\{2,4,6\right\}\cap\left\{1,3,5\right\}$

         $=\left\{\right\}$

$A$ এবং $B$ ঘটনার উপাদান সংখ্যা,$n(A\cap B)=0$

এখানে,

$6=3+3$

বা,$n(A\cup B)=n(A)+n(B)$

বা,$\dfrac{n(A\cup B)}{n(S)}=\dfrac{n(A)}{n(S)}+\dfrac{n(B)}{n(S)}$

বা,$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

অর্থাৎ বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে $A$ অথবা $B$ ঘটার সম্ভাবনা ঘটনা দুটির আলাদা আলাদাভাবে ঘটার সম্ভাবনার যোগফলের সমান।

সুতরাং  'অথবা' থাকলে যোগ ,

            'এবং' থাকলে সম্ভাবনা শূন্য।

অসম্ভব ঘটনা:

যখন কোনো ঘটনা কখনোই ঘটবে না তখন তাকে অসম্ভব ঘটনা বলে।

অথবা, বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে দুটি ঘটনা একসাথে ঘটাকে

অসম্ভব ঘটনা বলে।

যেমন: ছক্কা নিক্ষেপে জোড় এবং বিজোড় সংখ্যা আসার ঘটনা একটি অসম্ভব ঘটনা।

যেমন:$A$ এবং $B$ ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা,

$P(A\cap B)=\dfrac{n(A\cap B)}{n(S)}$

               $=\dfrac{0}{6}$

               $=0$

অর্থাৎ অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা শূন্য।

অবর্জনশীল ঘটনা:

দুই বা ততোধিক ঘটনার সাধারণবিন্দু থাকলে তাকে অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা বলে।

যেমন:

ছক্কা নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা আসার ঘটনা,$A=\left\{2,4,6\right\}$

মৌলিক সংখ্যা আসার ঘটনা,$C=\left\{2,3,5\right\}$

$A$ ও $B$ ঘটনার মধ্যে সাধারণ বিন্দু বা উপাদান থাকায় ঘটনা দুটি অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা।

এখানে নমুনা ক্ষেত্র,$S=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

$A$ ঘটনার উপাদান সংখ্যা,$n(A)=3$

$C$ঘটনার উপাদান সংখ্যা,$n(C)=3$

$S$ এর উপাদান সংখ্যা,$n(S)=6$

$A$ অথবা $C$ ঘটার ক্ষেত্রে,

$A\cup C=\left\{2,4,6\right\}\cup\left\{2,3,5\right\}$

         $=\left\{2,3,4,5,6\right\}$

$A$ অথবা $C$ ঘটনার উপাদান সংখ্যা,$n(A\cup C)=5$

$A$ এবং $C$ ঘটার ক্ষেত্রে,

$A\cap C=\left\{2,4,6\right\}\cap\left\{,3,5\right\}$

         $=\left\{2\right\}$

$A$ এবং $C$ ঘটনার উপাদান সংখ্যা,$n(A\cap C)=1$

এখানে,

$5=3+3-1$

বা,$n(A\cup C)=n(A)+n(C)-n(A\cap C)$

বা,$\dfrac{n(A\cup C)}{n(S)}=\dfrac{n(A)}{n(S)}+\dfrac{n(C)}{n(S)}-\dfrac{n(A\cap C)}{n(S)}$

বা,$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap C)$

অর্থাৎ বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে $A$ অথবা $B$ ঘটার সম্ভাবনা ঘটনা দুটির আলাদা আলাদাভাবে ঘটার সম্ভাবনার যোগফল থেকে ঘটনা দুটির একসাথে ঘটার সম্ভাবনার বিয়োগফলের সমান।

অনিশ্চিত ঘটনা:

যখন কোন ঘটনার সম্ভাবনার মান $0$ থেকে $1$ এর মধ্যে থাকে তখন সে ঘটনাকে অনিশ্চিত ঘটনা বলে।

অর্থাৎ $D$ অনিশ্চিত ঘটনা হবে যদি $0<P(D)<1$হয়।

নিশ্চিত ঘটনা:

যে ঘটনা অবশ্যই ঘটবে তাকে নিশ্চিত ঘটনা বলে।

যেমন: ছক্কা নিক্ষেপে 1থেকে 6 এর মধ্যে যে কোনো সংখ্যা আসার সম্ভাবনা নিশ্চিত ঘটনা। ছক্কা নিক্ষেপ 

$E$ নিশ্চিত ঘটনা হলে $E=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

সুতরাং $n(E)=6$

$E$ ঘটনার সম্ভাবনা,$P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$

                                       $= \dfrac{6}{6}$

                                       $=1$

                                       $=100\%$ 

প্রশ্ন: 

প্রমাণ কর যে , যে কোনো ঘটনা $A$  সম্ভাবনা $P(A)$ হলে $0\le P(A)\le 1$

উত্তর:

$S$ নমুনাক্ষেত্রের একটি ঘটনা $A$ হলে $A\subseteq S$ ,

সুতরাং $0\le n(A)\le n(S)$

      $\Rightarrow \dfrac{0}{n(S)}\le \dfrac{n(A)}{n(S)}\le \dfrac{n(S)}{n(S)}$

      $\Rightarrow 0\le P(A)\le  1$ [ প্রমানিত]

স্বাধীন ঘটনা:

একটি ঘটনার ফলাফল যখন অন্য কোনো ঘটনা দ্বারা প্রভাবিত না হয় তখন তাকে স্বাধীন ঘটনা বলে।

যেমন: একটি মুদ্রা ও ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে মুদ্রা ও ছক্কার ফলাফল পরস্পরকে প্রভাবিত করে না।অর্থাৎ মুদ্রায় $H$ বা$T$ আসা ছক্কায় $1,$বা $2$বা $3$ বা $4$ বা $5$ বা $6$ আসা দ্বারা প্রভাবিত হয় না।এজন্য এটি স্বাধীন ঘটনা।

স্বাধীন ঘটনার গুনের সূত্র:

ছক্কা নিক্ষেপে নমুনাক্ষেত্র ,$S_1=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

মুদ্রা নিক্ষেপে নমুনাক্ষেত্র,$S_2=\left\{H,T\right\}$

ছক্কায় জোড় সংখ্যা আসার ঘটনা,$A={2,4,6}$

মুদ্রায় $H$ আসার ঘটনা,$B=\left\{H\right\}$

সুতরাং $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S_1)}$

                    $=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

এবং $P(B)=\dfrac{n(B)}{n(S_2)}$

                $=\dfrac{1}{2}$

$\therefore P(A)P(B)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}$

                             $=\dfrac{1}{4}\cdots(i)$

এখন,

ছক্কায় জোড় সংখ্যা এবং মুদ্রায় $H$ আসার নমুনাক্ষেত্র 

$S=S_1\times S_2$

   $=\left\{(1,H),(1,T),(2,H),(2,T),(3,H),(3,T),(4,H),(4,T),(5,H),(5,T),(6,H),(6,T)\right\}$ 

$\therefore n(S)=12$

$S$ নমুনাক্ষেত্র থেকে ছক্কায় জোড় সংখ্যা আসার ঘটনা,

$A=\left\{(2,H),(2,T),(4,H),(4,T),(6,H),(6,T)\right\}$

এবং মুদ্রায় $H$ আসার ঘটনা ,$B=\left\{(2,H),(4,H),(6,H)\right\}$

এক্ষেত্রে $A\cap B=\left\{(2,H),(4,H),(6,H)\right\}$

$n(A\cap B)=3$

এবং $n(S)=12$

$\therefore P(A\cap B)=\dfrac{n(A\cap B)}{n(S)}$

বা,$P(A\cap B)=\dfrac{3}{12}$

বা,$P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}$

$\therefore P(A\cap B)=P(A)P(B)$  [$(i)$ হতে]

  সৃজনশীল প্রশ্ন-১: 

একটি পাত্রে$ 6$ টি লাল, $4$ টি সাদা বল আছে। দৈবভাব দুটি বল তুলে নিলে-

(ক) বল দুটি ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(খ) বল দুটির একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

(গ)ন্যূনতম একটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

সৃজনশীল প্রশ্ন-২: 

একটি ছক্কা ও দুটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো ।

(ক) দেখাও যে , $A$ ঘটনার ক্ষেত্রে $0\le P(A)\le 1$.

(খ) ঘটনাটির probability tree তৈরি করে নমুনা ক্ষেত্র লিখ ।

(ঘ) ছক্কায় জোড়  অথবা মৌলিক সংখ্যা এবং মুদ্রায় বড়জোর একটি $T$ আসার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

(ঙ) $P$( বিজোড় সংখ্যা ও $2H$)$=$ কত?

(চ)  $P$( মৌলিক সংখ্যা ও $2T$)$=$ কত?

গাণিতিক সমস্যা-৩: 

একটি পাত্রে একই আকৃতির দুটি সাদা ও তিনটি কালো মার্বেল আছে।পরপর দুটি মার্বেল তুলে নিলে বল দুটির ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

সৃজনশীল প্রশ্ন-৪: 

$60$ থেকে $80$ পর্যন্ত ক্রমিক নম্বর দেওয়া টিকেট হতে একটি টিকেট তোলা হলো ।

(ক) সংখ্যাটির মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

(খ) সংখ্যাটির মৌলিক নয় কিন্তু $6$ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

(গ) বিজোড় অথবা $5$ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

সৃজনশীল প্রশ্ন-৫:

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হল।

(ক) দৈব ঘটনা ও নমুনাক্ষেত্র বলতে কি বোঝ ?               

(খ) জোড় সংখ্য ওঠার সম্ভাবনা এবং মৌলিক সংখ্যা সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা নির্ণয় কর ।    (গ) জোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা এবং বিজোড় সংখ্যা ও  ছয় এর গুণনীয়ক ওঠার সম্ভাবনা নির্ণয় কর । 

সৃজনশীল প্রশ্ন-৬:

লটারির জন্য টিকেট গুলোকে $2$ থেকে $20$ পর্যন্ত সংখ্যায়িত করা হল। দৈবভাবে একটি টিকেট তুলে নেয়া হলো।

(ক) দেখাও যে সম্ভাবনার সর্বনিম্ন মান $0$ এবং সর্বোচ্চ মান $1$ .                                (খ)টিকেটটির $5$ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা এবং $6$ এর গুণনীয়ক হওয়ার সম্ভাবনা কত?                                

(গ) টিকেটটির মৌলিক ও জোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা এবং মৌলিক অথবা বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

 সৃজনশীল প্রশ্ন-৭:              

একটি ছক্কা ও দুটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো ।

(ক) দৈব ঘটনা এবং নমুনাক্ষেত্র বলতে কি বোঝ?

(খ) ঘটনাটির $probability\; Tree$ অঙ্কন করে নমুনাক্ষেত্র লিখ ।

(গ) নমুনাক্ষেত্র হতে $(i)$ জোড় সংখ্যা ও কমপক্ষে ১টি হেড $(ii)$ মৌলিক সংখ্যা ও বড়জোর ১টি টেল   পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সৃজনশীল প্রশ্ন-৮:

দুটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো ।

(ক) যদি ছক্কাটিকে একবার নিক্ষেপ করা হতো তবে বিজোড় অথবা $3$ এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত?

(খ) সম্ভাব্য ঘটনার $probability\; tree$ অঙ্কন করে নমুনাক্ষেত্রটি লিখ ।

(গ)উদ্দীপক অনুসারে ছক্কায় $3$ অথবা $6$ এবং মুদ্রায় কমপক্ষে একটি $H$ আসার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

সৃজনশীল প্রশ্ন-৯:

একটি ঝুড়িতে $8$ টি লাল, $10$ টি সাদা ও $7$ টি কালো মার্বেল আছে ।দৈবভাবে একটি মার্বেল তুলে নেওয়া হলো।

 (ক) মার্বেলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।          

 (খ) প্রতিস্থাপন না করে পরপর চারটি মার্বেল তুলে নেওয়া হলে সবগুলো লাল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

 (গ) প্রতিস্থাপন করে পরপর দুটি মার্বেল তুলে নেওয়া হলে মার্বেল দুটির একটি সাদা ও একটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর। 

সৃজনশীল প্রশ্ন-১০:

দুটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো।

(ক) দৈব ঘটনা ও অনিশ্চিত ঘটনা কাকে বলে?

(খ)সম্ভাব্য ঘটনার $probability\; tree$ তৈরি করে নমুনাক্ষেত্রটি লিখ এবং $P$(বড়জোড় $1T$) নির্ণয় কর।

(গ) নমুনাক্ষেত্র হতে ন্যুনতম $1H$ এবং $6$ এর গুণনীয়ক পাওয়ার সম্ভাবনা এবং মুদ্রায় বিপরীত ফলাফল অথবা ছক্কায় তিনটি উৎপাদক বিশিষ্ট সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

গাণিতিক সমস্যা-১:

তিনটি মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষার নমূনাক্ষেত্রটি লিখ। নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে সম্ভাবনা নির্ণয় করঃ

$i.$ কোনো টেল নয় $ii.$ এটি টেল $ii.$ কমপক্ষে একটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

গাণিতিক সমস্যা-২:

দুইটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে এবার নিক্ষেপ করা হলো। নমুনাক্ষেত্রটি লিখ এবং নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

$i.$ প্রাপ্ত সংখ্যামূহের ব্যবধান $4$ বা তার বেশি।

$ii.$ প্রাপ্ত সংখ্যায়ের যোগফল $7$ অথবা $6$.

$iii.$ প্রাপ্ত সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল বড়জোর $3$.

গাণিতিক সমস্যা-৩:

একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো। নমুনা ক্ষেত্রটি লিখ এবং নিম্নলিখিত ঘটনাগুলির সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

$i$. মুদ্রায় হেড ও ছক্কায় জোড় সংখ্যা। 

$ii$. মুদ্রায় টেল ও ছক্কায় $3$ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা

গাণিতিক সমস্যা-৪:

দুইটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্রটি লিখ। প্রাপ্ত নমুনাক্ষেত্র হতে সম্ভাবনা বের কর।

$i.$ দুইটি মাথা ও জোড় সংখ্যা।  

$ii.$ মুদ্রায় একই পিঠ ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা।

$iii.$ মুদ্রায় বিপরীত পিঠ ও ছক্কায় জোড় সংখ্যা।

$iv.$ মুদ্রায় যে কোনাে পিঠ ও ছক্কায় জোড় সংখ্যা।

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

দুইটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে শূন্যে একবার নিক্ষেপ করা হলো-

(ক) ছক্কা দুটির নমুনাক্ষেত্র লিখে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা কয়টি তা নির্ণয় কর ।

(খ) নমুনা ক্ষেত্রর প্রাপ্ত সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল $6$   অথবা  $7$ পাবার সম্ভাবনা কত ?

(গ) প্রপ্ত সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল বড়জোর 3 পাবার সম্বাব্যতা নির্ণয় কর ।

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো ।

(ক) তথ্যটির নমুনা ক্ষেত্র লিখ ।

(খ) মুদ্রায়া টেল $(T)$ এবং ছক্কায় $3$ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার সম্ভব্যতা নির্ণয় কর ।

(গ) মুদ্রা হতে হেড পাবার ঘটনা ও ছক্কা হতে জোড় সংখ্যা পাওয়া ঘটনা কী স্বাধীন ?

সৃজনশীল প্রশ্ন-৫:

একটি বক্সে $5$ টি সবুজ, $6$ টি লাল ও $4$ টি কালো বল আছে । বাক্সটি হতে $3$ টি বল দৈবভাবে নেওয়া হলো । 

(ক) $2$ টি লাল বল হবার সম্বাবনা কত ?

(খ) সবগুলো বল ভিন্ন রংঙের হওয়া সম্ভব্যতা নির্ণয় কর ।

(গ) কমপক্ষে $2$ টি বল সবুজ হওয়ার সম্ভব্যতা নির্ণয় কর ।

সৃজনশীল প্রশ্ন-৬:

একটি পাত্রে $4$ টি লাল ও $5$ টি কালো বল আছে । অন্য একটি পাত্রে $3$ টি লাল ও $4$ টি কালো বল রয়েছে । প্রতিটি পাত্র থেকে $1$ টি বল দৈবভাবে তোলা হলো । বল দুইটি-

(ক) সাদা হবার সম্ভাবনা কত ?

(খ) ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভব্যতা কত ?

(গ) একই রঙের হবার সম্ভব্যতা কত ?       

$\mathrm{(i)}$ পরীক্ষণ:  নির্দিষ্ট শর্ত সাপেক্ষে অভীষ্ট ফল লাভের উদ্দেশ্যে কোন কাজ বারবার করা হলে তাকে পরীক্ষণ $\mathrm{(Experiment)}$ বলা হয় ।

যেমন : ছক্কা পাওয়ার জন্য বারবার গুটি নিক্ষেপ করা ।

$\mathrm{(ii)}$ নমুনা ক্ষেত্র : কোন পরীক্ষায় প্রপ্ত সম্ভাব্য সকল ফলাফল গুলোর সেটকে নমুনা ক্ষেত্র বলে । নমুনা ক্ষেত্রের প্রত্যেকটি ফলাফলকে নমুনাবিন্দু বলে ।

$\mathrm{(iv)}$ ঘটনা : কোন পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট নমুনা ক্ষেত্রের কোন একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের অনুকূল ফলাফলের সেটকে ঘটনা বা $\mathrm{Event}$ বলে ।

$\mathrm{(v)}$ নিশ্চিত ঘটনা : কোন নমুনাক্ষেত্রর সকলবিন্দুই যদি একটি ঘটনার অনুকূলে ঘটে তবে  ঐ ঘটনাকে নিশ্চিত ঘটনা বলে ।

$\mathrm{P}$ (নিশ্চিত ঘটনা ) $\mathrm{=\dfrac{n(A)}{n(S)}=1}$ যেহেতু $\mathrm{n(A)=n(S)}$

যেমন : ছক্কা নিক্ষেপ করলে উপরের পিঠে $1$ থেকে $6$ যে কোন সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা একটি নিশ্চিত ঘটনা ।

$\mathrm{(vi)}$ অসম্ভব ঘটনা: একটি ছক্কা নিক্ষেপে $\mathrm{7}$ পাওয়া একটি অনিশ্চিত ঘটনা । $\mathrm{P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{0}{n(S)}=0}$ 

$\mathrm{(vii)}$ পূরক ঘটনা $\mathrm{(complementary Event )}$: কোন ঘটনা ঘটা বা না ঘটা পরস্পরের পূরক ।                                                $\mathrm {A\cup \bar A=S}$

$\mathrm{P(A)+P(\bar A)=1}$ কোন ঘটনা ঘটা বা না ঘটার সম্ভবনার যোগফল $\mathrm{=1}$

$S=${$1,2,3,4,5,6$}

$A=${$2,4,6,$}

$\bar A=${$1,3,5,$}

$\mathrm{(vii)}$ স্বাধীন বা অনির্ভরশীল : দুটি ঘটনা কে স্বাধীন বলা হবে যদি একটির ফলাফল অপরটির ফলাফল প্রভাবিত না করে। দুটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে একটির $\mathrm{6}$পাওয়ার সাথে অন্যটির $\mathrm{6}$ নির্ভরশীল নয় ।

 বর্জনশীল ঘটনা : $\mathrm{( muktually  Exclusive  Events)}:$ যদি কতগুলো ঘটনা এমন হয় যে ,এদের যে কোন একটি ঘটনা ঘটলে বাকিগুলো ঘটবে না তবে তাকে পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা বলে।

$A=\left\{1,3,5\right\}$ , $B=\left\{2,4,6\right\}$

$\mathrm{A}$ ও $\mathrm{B}$  বর্জনশীল হলে $\mathrm{A\cup B=\emptyset}$

$\mathrm{P(A\cup B)}= P(A)+P(B)$

অবর্জনশীল ঘটনা : $\mathrm{(Not mutually  Exclusive Events)}$

যদি দুই বা ততোধিক ঘটনার সাধারন বিন্দু থাক তবে ঐ ঘটনাকে অবর্জনশীল ঘটনা বলে ।

$A=${$2,4,6,$}$B=${$3,6,$}$A\cap$ B={$6$}

$P$($A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

১. একটি ছক্কা  একবার নিক্ষেপ পরীক্ষায় নমুনা ক্ষেত্রটি লিখ এবং নিচের সম্ভবনা গুলো নির্নয় কর । 

ক. $\mathrm{(i)}$ উপরের পিঠে $\mathrm{6}$ আসার সম্ভাবনা । $\mathrm{Ans:\dfrac {1}{6}}$

$\mathrm{(ii)}$ উপরের পিঠে $\mathrm{2}$ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা । $\mathrm{Ans:\dfrac{1}{2}}$

$\mathrm{(ii)}$ উপরের পিঠে যে কোন সংখ্যা । 

$\mathrm {P(1}$ বা ,  $2$ বা, $3$ বা , $4$বা ,$5$ বা,$6$ বা,$)$  $=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}$

                      $\mathrm{=\dfrac{6}{6}}$

                      $\mathrm{=1}$

$\mathrm{(iv)}$ উপরের পিঠে $\mathrm{2}$ এবং $\mathrm{3}$ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা । $\mathrm{\dfrac{2}{3}}$

$\mathrm{(v)}$ উপরের পিঠে $\mathrm{2}$ এবং $\mathrm{3}$ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা । $\mathrm{\dfrac{1}{2}}$ 

$\mathrm{(vi)}$ উপরের পিঠে বিজোর সংখ্যা । $\mathrm{\dfrac{1}{2}}$

$\mathrm{(vii)}$ উপরের পিঠে জোর সংখ্যা । $\mathrm{\dfrac{1}{2}}$ 

২/  দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের নমুনা ক্ষেত্রটি তৈরি কর । দুইটি ছক্কায়

$\mathrm{(i)}$ $\mathrm{6}$ উঠার সম্ভাবতা $\mathrm{\dfrac{1}{36}}$

$\mathrm{(ii)}$ $\mathrm{2}$ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা । $\mathrm{\dfrac{1}{4}}$ 

$(iii)$ $\mathrm{3}$ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা । $\mathrm{{1}{9}}$ 

$\mathrm{(iv)}$ $\mathrm{2}$ এবং $\mathrm{3}$ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা । $\mathrm{{1}{36}}$

$\mathrm{(v)}$ $\mathrm{2}$ অথবা $\mathrm{3}$ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা । $\mathrm{\dfrac{16}{36}}$ 

$\mathrm{(vi)}$ জোড় সংখ্যা । 

$\mathrm{(vii)}$ বিজোড় সংখ্যা । 

৩. একটি ছক্কা ও দুটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করলে নমুনা ক্ষেত্রটি তৈরি কর এবং নিম্নোক্ত সম্ভাব্যতা গুলো নির্ণয় কর ।

$\mathrm{(i)}$ ছক্কায় $\mathrm{4}$ উঠার সম্ভাব্যতা 

$\mathrm{(ii)}$ ছক্কায় $\mathrm{3}$ এবং মুদ্রায় কমপক্ষে $\mathrm{1}$ টি $\mathrm{T}$

$\mathrm{(iii)}$ ছক্কায় $\mathrm{2}$ এবং $\mathrm{3}$ দ্বারা বিভাজ্য এবং মুদ্রায় বড়জোর ( সর্বোচ্চ ) $\mathrm{2}$ টি $\mathrm{T}$

$\mathrm{(iv)}$ ছক্কায় $\mathrm{2}$ অথবা $\mathrm{3}$ দ্বারা বিভাজ্য এবং মুদ্রায় কেবল দুটি $\mathrm{H}$ আসার সম্ভাবনা ।

৪. একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করলে প্রাপ্ত নমুনা ক্ষেত্রটি লিখ

(ক) $\mathrm{3}$ টি $\mathrm{Head}$ (খ) $\mathrm{2}$ টি $\mathrm{Head}$ (গ) কমপক্ষে $\mathrm{2}$ টি $\mathrm{Head}$ (ঘ) বড়জোড় $\mathrm{2}$ টি $\mathrm{Head}$ (ঙ) $\mathrm{0}$ টি $\mathrm{Head}$ আসার সম্ভাবনা কত ?

৫. $\mathrm{10}$ থেকে $\mathrm{30}$ পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোন একটি কে ইচ্ছেমত নিলে সেই সংখ্যাটি মৌলিক অথবা $\mathrm{5}$ এর গুনিতক হবার সম্ভবনা কত ?

                    বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ

                     মডেল টেস্ট-১

পূর্ণমান-২৫                               সময়-২৫ মিনিট

১. একটি সুষম মুদ্রা এবং একটি সুষম ছক্কা একত্রে নিক্ষেপে মুদ্রায় হেড এবং ছক্কায়  মৌলিক ও জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

(ক)$\dfrac{1}{12}$       (খ)$\dfrac{1}{2}$       (গ)$\dfrac{1}{3}$          (ঘ) $\dfrac{1}{4}$

২. পরিপূরক ঘটনার মোট সম্ভাবনা($P$) কত?

(ক) $0$         (খ) $1$         (গ) $0.5$         (ঘ) $0\le P\le 1$

৩.কোনটি পরিপূরক ঘটনার সম্ভাবনা প্রকাশ করে ?

(ক) $\dfrac{5}{8} ,\dfrac{3}{8}$      (খ)  $\dfrac{5}{7} ,\dfrac{3}{7}$       (গ)  $\dfrac{3}{5} ,\dfrac{1}{5}$       (ঘ)  $\dfrac{2}{3} ,\dfrac{1}{3}$ 

৪. মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপে ন্যূনতম একটি $T$ আসার সম্ভাবনা কত?

(ক) $\dfrac{5}{8}$      (খ) $\dfrac{7}{8}$       (গ) $\dfrac{1}{8}$       (ঘ) $\dfrac{3}{8}$

৫.অনিশ্চিত ঘটনা $(A)$ এর ক্ষেত্রে- 

(ক) $0\le P(A)\le 1$      (খ)  $0< P(A)\le 1$ 

 (গ)  $0\le P(A)<1$         (ঘ)  $0< P(A)< 1$

৬. $2$ থেকে $40$ পর্যন্ত সংখ্যায়িত টিকেট হতে $1$ টি টিকেট দৈব চয়নে বাছাই করলে টিকেটের নম্বর মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(ক) $\dfrac{1}{3}$   (খ) $\dfrac{13}{38}$    (গ) $\dfrac{12}{39}$     (ঘ) $\dfrac{4}{13}$

৭.একটি মুদ্রা দুইবার নিক্ষেপ করলে উভয় ক্ষেত্রে $T$ আসার সম্ভাবনা কত?

(ক) $25\%$     (খ) $50\%$     (গ) $75\%$    (ঘ) $100\%$

নিচের উদ্দীপকের আলোকে ৮-৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

দুটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো ।

৮. মুদ্রায় একই পিঠ ও ছক্কায় জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

(ক) $\dfrac{1}{2}$     (খ)$\dfrac{1}{3}$      (গ) $\dfrac{1}{4}$      (ঘ) $\dfrac{1}{6}$

৯. দুটি $T$ এবং বিজোড় এবং বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

(ক) $\dfrac{1}{6}$     (খ) $\dfrac{1}{8}$    (গ) $\dfrac{1}{10}$    (ঘ) $\dfrac{1}{24}$ 

১০.সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান কত?

   (ক) $\dfrac{1}{2}$            (খ) $1$           (গ) $0$            (ঘ)$ -1$

১১. দুটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা নিক্ষেপে নমুনাবিন্দুর সংখ্যা কত?

    (ক)$12$       (খ) $18$           (গ) $36$         (ঘ) $72$ 

১২.একটি ছক্কা $n$ বার নিক্ষেপে সম্ভাব্য ফলাফল-

(ক) $2^n$     (খ)  $3^n$     (গ) $5^n$     (ঘ) $6^n$

১৩.একটি ছক্কা নিক্ষেপে $2$ উঠার সম্ভাবনা কত?

(ক) $\dfrac{1}{6}$     (খ) $\dfrac{1}{3}$    (গ) $\dfrac{2}{3}$      (ঘ) $\dfrac{1}{2}$

১৪. $x$ সংখ্যকবার ছক্কা নিক্ষেপে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা $216$ হলে $x$ এর মান কত?

   (ক) $2$          (খ) $3$         (গ) $4$           (ঘ) $5$

১৫.একটি মুদ্রা নিক্ষেপে হেড ও টেল আসার সম্ভাবনা-

$i.$ শূন্য

$ii.$ $ 1$

$iii. $ বিচ্ছিন্ন ঘটনা।

কোনটি সঠিক?

(ক)$i ,ii$       (খ) $i ,iii$      (গ) $ii ,iii$      (ঘ) $i ,ii,iii$ 

১৬. $i.$ অনুকূল ফলাফল হলো ঘটনার নমুনাবিন্দু।

$ii.$ ঘটনা হলো অনুকূল ফলাফল।

$iii.$ দুটি ঘটনা একসাথে ঘটলে সম্ভাবনার গুণ সূত্র প্রযোজ্য।

কোনটি সঠিক?

(ক)$i ,ii$       (খ) $i ,iii$      (গ) $ii ,iii$      (ঘ) $i ,ii,iii$ 

১৭.দুটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একসাথে দুইবার নিক্ষেপ করলে নমুনাবিন্দুর সংখ্যা কত?

(ক) $48$   (খ) $570$   (গ) $576$   (ঘ) $72$

১৮.মুদ্রা নিক্ষেপে সর্বোচ্চ আপেক্ষিক গণসংখ্যা কত?

(ক) $0$   (খ) $1$   (গ) $0.999$    (ঘ) $0.5$

১৯.একটি ছক্কা নিক্ষেপের ঘটনায় প্রাপ্ত সংখ্যাটি জোড় কিন্তু মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(ক) $\dfrac{1}{3}$     (খ) $\dfrac{2}{3}$   (গ) $\dfrac{5}{6}$    (ঘ) $\dfrac{2}{9}$

২০. একটি থলেতে $5$ টি সাদা, $4$ টি কালো এবং $3$ টি লাল মার্বেল আছে।থলে থেকে একটি মার্বেল তুলে নিলে মার্বেলটির সাদা কিন্তু লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

(ক) $\dfrac{7}{12}$     (খ) $\dfrac{3}{4}$    (গ) $\dfrac{5}{9}$    (ঘ) $\dfrac{2}{3}$

২১. $A$  ও  $B$ দু’টি বর্জনশীল ঘটনা হলে কোনটি সঠিক ?

(ক) $A∩B=∅$        (খ) $A∩B≠∅$       (গ) $A∪B=∅$        (ঘ) $A∪B≠∅$

২২. একটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে $3$ পড়ার সম্ভাবনা নিচের কোনটি ?

(ক) $12$              (খ) $16$                   (গ) $17$             ঘ) $18$    

২৩. নমুনাক্ষেত্রের উপসেটকে কী বলা হয় ?

(ক) চেষ্ট        (খ) পরীক্ষা            (গ) নমুনা         (ঘ) ঘটনা 

২৪. একটি মুদ্রা দুইবার নিক্ষপ করা হলে উভয়ক্ষেত্রে টেল আসার সম্ভবনা  নিচের কোনটি ?

(ক) $0.25$           (খ) $0.5$          (গ) $0.75$             (ঘ) $1$    

২৫. ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষায়, $A=\left\{2,4,6\right\}$ এবং $B=\left\{1,3,5\right\}$ হলে-

$i.$ $A$ ও $B$ বর্জনশীল             $ii.$ $A$ ও $B$ স্বধীন            $iii.$ $A$ জোড় সংখ্যা পড়ার ঘটনা 

নিচের কোনটি সঠিক ? 

(ক) $i$ ও$ ii $          (খ) $i $ও $iii$        (গ) $ii $ ও $iii$                (ঘ) $i,ii$ ও $iii$  

                      মডেল টেস্ট-২

পূর্ণমান-২৫                               সময়-২৫ মিনিট

১. $A=\left\{2,4\right\}$  ও $B=\left\{1,4\right\}$ হলে-

$i.$  $A$ ও $B$ অবর্জনশীল     $ii. P(A∪B)=P(A)+P(B)$     $iii.$ $n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)$

নিচের কোনটি সঠিক ?

(ক) $i$ ও $ii$       (খ) $i$ ও $iii$     (গ) $ii$ ও $iii$        ঘ. $i,\;ii$ ও $iii$ 

একটি পাত্রে $5$ টি লাল ,$4$ টি সাদা ও $2$ টি কালো বল থেকে $3$ টি বল দৈবভাবে নেয়া হলো । 

উপরের  উদ্দীকের আলোকে $(২-৩)$ নং প্রশ্নের উত্তর দাও :

২. বলগুলো একই রঙের হবার সম্ভবনা কত ?

(ক) $\dfrac{10}{165}$            (খ) $\dfrac{12}{165}$            (গ) $\dfrac{14}{165}$           (ঘ) $\dfrac{16}{165}$  

৩. বড়জোড় $২$ টি বল কালো হবার সম্ভবনা কত ?

(ক) $0$             (খ) $\dfrac{1}{2}$               (গ) $\dfrac{1}{3}$            (ঘ) $1$ 

দুইটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো ।

উপরের তথ্যের আলোকে $(৪-৫)$ নং প্রশ্নের উত্তর দাও : 

৪. মুদ্রায় একই পিঠ ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা কত ?

(ক) $\dfrac{1}{2}$            (খ) $\dfrac{1}{3}$            (গ) $\dfrac{1}{4}$              (ঘ) $\dfrac{1}{6}$  

৫. দুইটি মাথা ও বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত ?

(ক) $\dfrac{1}{6}$            (খ) $\dfrac{1}{8}$             (গ) $\dfrac{1}{10}$             (ঘ) $\dfrac{1}{36}$ 

৬. দুইটি ছক্কা একই সঙ্গে নিক্ষেপ করলে প্রাপ্ত বিন্দুর সমষ্টি $7$ হওয়ার সম্ভবনা কত ?

(ক) $\dfrac{1}{6}$       (খ) $\dfrac{1}{36}$          (গ) $\dfrac{5}{36}$          (ঘ)$\dfrac{7}{36}$   

৭. $30$ থেকে $40$ পর্যন্ত  সংখ্যা হতে যেকোন একটিকে ইচ্ছামতো নিলে সেই সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুনিতিক হওয়ার সম্ভাবনা-

(ক) $\dfrac{5}{11}$               (খ) $\dfrac{6}{11}$             (গ) $\dfrac{1}{3}$           (ঘ) $\dfrac{3}{5}$  

৮. $2$    থেকে $40$  পর্যন্ত সংখ্যা হতে যেকোনো একটি পূর্ণসংখ্যা দৈবচয়নে নির্বাচন করলে সংখ্যাটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত ?

(ক) $\dfrac{1}{3}$               (খ) $\dfrac{11}{38}$            (গ) $\dfrac{11}{39}$            (ঘ) $\dfrac{4}{13}$ 

৯. একটি বাক্সে $10$ টি নীল ও $15$ টি লাল মার্বেল আছে । একটি বালক যেমন খুশি টেনে প্রতিবার একটি করে পরপর দুইটি মার্বেল উঠালে দুইটি একই রঙের মার্বেল হওয়ার সম্ভাবনা কত ?

(ক) $\dfrac{1}{2}$            (খ)  $\dfrac{1}{11}$               (গ) $\dfrac{10}{99}$              (ঘ) $\dfrac{4}{33}$    

১০.একটি সষম মুদ্রা এবং একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে । একই সাথে মুদ্রাটির মাথা ও ছক্কাটির জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা -

(ক) $\dfrac{1}{3}$            (খ) $\dfrac{2}{15}$         (গ) $\dfrac{1}{10}$      (ঘ) $\dfrac{3}{10}$

১১. $1$ থেকে $520$ পর্যন্ত  সংখ্যাগুলি থেকে দৈবচযনে একটি সংখ্যা চয়ন করা হলে সংখ্যাটি অযুগ্ম ঘনসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা –

(ক) $\dfrac{1}{65}$                (খ) $\dfrac{2}{65}$         (গ) $\dfrac{1}{64}$       (ঘ) $\dfrac{11}{30}$ 

১২. একটি মুদ্রা পরপর তিনবার টস করা হলে পর্যায়ক্রমে হেড এবং টেল পাবার সম্ভাবনা-

(ক) $\dfrac{1}{4}$          (খ) $\dfrac{1}{4}$           (গ) $\dfrac{1}{8}$       (ঘ) কোনটিই নয় 

১৩. $100$ থেকে শুরু করে $999$ পর্যন্ত সংখ্যাগুলি মধ্য থেকে একটি পূর্ণসংখ্যা নেওয়া হলো । সংখ্যাটির সবগুলি অঙ্ক বিজোড় হওয়ার সম্ভবনা কত ?

(ক) $\dfrac{25}{120}$            (খ) $\dfrac{5}{36}$        (গ) $\dfrac{5}{120}$           (ঘ) $\dfrac{25}{36}$ 

১৪.প্রান্তিক সংখ্যাদ্বয়কে অন্তর্ভূক্ত না করে $10$ থেকে $30$ পর্যন্ত সংখ্যাসেটর যে কোন একটিকে নিলে সেই সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা কত ?

(ক) $\dfrac{6}{21}$           (খ) $\dfrac{9}{19}$             (গ) $\dfrac{11}{21}$              (ঘ) $\dfrac{3}{7}$   

১৫. কোন একটি অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা কত ?

(ক) $0$             (খ) $1$             (গ) $\dfrac{1}{2}$             (ঘ) $\dfrac{1}{3}$ 

১৬. $50$ হতে $70$ সংখ্যাগুলি থেকে দৈবচয়ন পদ্ধতিতে একটি সংখ্যা নেয়া হল । সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত ?

(ক) $\dfrac{4}{21}$             (খ) $\dfrac{3}{21}$            (গ) $\dfrac{5}{21}$               (ঘ) $\dfrac{16}{21}$     

                       উত্তরপত্রঃ 

                     মডেল টেস্ট-১

১. (ক)  ২. (খ)  ৩. (ঘ)   ৪. (খ)    ৫. (ঘ) ৬.(গ) ৭.(ক)  ৮.(গ)  ৯.(খ)  ১০.(খ)  ১১.(ঘ)  ১২.(ঘ)  ১৩.(ক)  ১৪.(খ)  ১৫.(খ)     ১৬.(খ)  ১৭.(গ)  ১৮.(ঘ)  ১৯.(ক)   ২০.(গ) ২১.(ক) ২২. (খ) ২৩.(ঘ) ২৪. (ক) ২৫.(খ) 

                   মডেল টেস্ট-২

১. (খ) ২.(গ) ৩. (ঘ) ৪. (গ) ৫. (খ) ৬. (ক) ৭. (ক) ৮. (ঘ) ৯. (ক) ১০. (গ) ১১.(ঘ) ১২. (ক) ১৩.(খ) ১৪. (খ) ১৫. (ক) ১৬. (ক)