mathematics, logarithm and logarithmic theory
mathematics, logarithmic formula and applications of them, mcq , creative question and solution,logarithmic theory,graph,domain,range
সাধারণ গণিত
সূত্র-১: প্রমাণ কর যে, $a^{\log_ax}=x$.প্রমাণঃ
মনে করি,$\log_ax=p\cdots \cdots (i)$
বা, $a^p=x$ [এন্টি লগারিদম]
$\therefore a^{\log_ax}=x$ [$(i)$ হতে]
সূত্র-২:
প্রমাণ কর যে, $\log_ab=\log_cb\times \log_ac$
প্রমাণঃ
মনে করি,
$\log_ab=x$
$\Leftrightarrow a^x=b\cdots \cdots (i)$
এবং $\log_cb=y$
$\Leftrightarrow c^y=b\cdots \cdots (ii)$
$(i)$ ও $(ii)$ হতে পাই,
$a^x=c^y$
বা,$\left(a^x\right)^\tfrac{1}{y}=\left(c^y\right)^\tfrac {1}{y}$
বা,$ a^\tfrac{x}{y}=c$
$\Leftrightarrow \log_ac=\dfrac{x}{y}$
বা,$\log_ac=\dfrac{\log_ab}{\log_cb}$
বা,$\log_cb=\dfrac{\log_ab}{\log_ac}\cdots(i)$ [সূত্র]
$\therefore \log_ab=\log_cb\times \log_ac$ [প্রমাণিত]
সূত্র-৩:
প্রমাণ কর যে, $\log_ca=\dfrac{1}{\log_ac}$
প্রমাণঃ
সূত্র $(i)$ হতে, $\log_cb=\dfrac{\log_ab}{\log_ac}$
সূত্রটিতে $b$ এর পরিবর্তে $a$ বসিয়ে পাই,
$\log_ca=\dfrac{\log_aa}{\log_ac}$
$\therefore \log_ca=\dfrac{1}{\log_ac}$
সূত্র-8: প্রমাণ কর যে, $\log _{a}b=\dfrac{1}{\log _{b}a}$
সমাধানঃ
মনে করি, $\log _{a}b=p$
বা, $b=a^p$
বা, $b^{\tfrac{1}{p}}=a$
বা, $\log_ba=\dfrac{1}{p}$
বা, $\log_ba=\dfrac{1}{\log _{a}b}$
বা, $\log _{a}b=\dfrac{1}{\log _{b}a}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
প্রমাণ কর যে $\log_{10}x\approx 0.4343\log_ex$
সমাধানঃ
আমরা জানি,
$\log_ab=\log_cb\times \log_ac$
$a=10,\; b=x$ এবং $c=e$ বসিয়ে পাই,
$\log_{10}x=\log_ex\times\log_{10}e $
বা, $\log_{10}x=\log_{10}e \times \log_ex$
বা, $\log_{10}x\approx 0.4343 \log_ex$
$\therefore \log x\approx 0.4343 \ln x$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
প্রমাণ কর যে $\log_{e}x\approx 2.303\log_{10}x$
অথবা, $\ln x\approx 2.303\log x$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\log_{27}3$ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
$\log_{27}3$
$=\log_{27}\sqrt[3]{27}$
$=\log_{27}27^{1/3}$
$=\dfrac{1}{3}\log_{27}27$
$=\dfrac{1}{3}\cdot 1$
$=\dfrac{1}{3}$ $(Ans.)$
বিকল্প নিয়মঃ
$\log_{27}3$
$=\dfrac{log_{10}3}{\log_{10}27}$
$=\dfrac{\log_{10}3}{\log_{10}3^3}$
$=\dfrac{\log_{10}3}{3\log_{10}3}$
$=\dfrac{1}{3}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\log_{128}\sqrt{2}$ এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ
$\log_{128}\sqrt{2}$
$=\dfrac{log_{10}\sqrt{2}}{\log_{10}128}$
$=\dfrac{\log_{10}2^{1/2}}{\log_{10}2^7}$
$=\dfrac{\dfrac{1}{2}\log_{10}2}{7\log_{10}2}$
$=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{7}$
$=\dfrac{1}{14}$ $(Ans.)$
অনুরূপভাবে সমাধান করঃ
১.$\log_{64}2$
২.$\log_{81}3$
৩.$\log_{49}7$
৪.$\log_{125}\sqrt{5}$
৫.$\log_9\sqrt[3]{3}$
৬.$\log_{32}\sqrt[5]{2}$
৭.$\log_{343}\sqrt[7]{7}$
কোন সংখ্যার বৈজ্ঞানিক আকার
$N=a×10^{n}$ যেখানে , $1\le a<10$ এবং $n\in \mathbb{Z}$.
কোন সংখ্যার সাধারণ লগের পূর্ণক ও অংশক নির্ণয়ঃ
আমরাজানি , কোন সংখ্যার বৈজ্ঞানিক আকার,
$N=a×10^{n}$ যেখানে , $1\le a<10$ এবং $n\in \mathbb{Z}$.
$N>0$ হলে
$\log_{10}N=\log_{10}\left(a×10^{n}\right)$
$=\log_{10}a+\log_{10}10^n$
$=\log_{10}a+n\log_{10}10$
$=\log_{10}a+n$
$=n+\log_{10}a$
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$a=2,\; b=3,\; c=5$
(ক) $a^2bc^3$ এর সাধারণ লগের পূর্ণক ও অংশক নির্ণয় কর ।
(খ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{\log\sqrt{b^3}+b\log a-\log(ac)^\tfrac{b}{a}}{\log(ab)-\log c}=\dfrac{3}{2}$.
(গ) প্রমাণ কর যে, $\log\dfrac{a^3b^3}{c^3}+\log\dfrac{a^3b^3c^3}{d^3}+\log\dfrac{c^3d^3}{a^3}$$=3(1+2\log b)$
বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ
১. $0.00001$ এর সাধারণ লগের
$i. $ পূর্ণক মূলদ সংখ্যা ।
$ii.$ অংশক মূলদ সংখ্যা ।
$iii. $ অংশক অমূলদ সংখ্যা ।
কোনটি সঠিক?
(ক) $i,ii$ (খ) $i, iii $ (গ) $ii,iii$ (ঘ) $i, ii, iii $
২.$\log _{2}x^{3}\times -\log _{x}64$
উত্তরপত্রঃ
১.(ক)
Higher Mathematics
Formala-5: prove that, $x^{\log_ay}= y^{\log_ax}$.
proof:
Let,
$\log_ay=p$
$\Leftrightarrow a^p=y$
or, $\left(a^p\right)^q=y^q$
or, $a^{pq}=y^q\cdots \cdots (i)$
& $\log_ax=q$
or, $a^q=x$
or, $\left(a^q\right)^p=x^p$
or, $a^{pq}=x^p\cdots \cdots (ii)$
From $(i)$ & $(ii)$ we get,
$x^p=y^q$
$\therefore x^{\log_ay}= y^{\log_ax}$. $\left[\text{put}~p~\text{and}~q\right]$
Question-1:
Find the value of $3^{\log_94}$.
Solution:
we know,
$x^{\log_ay}= y^{\log_ax}$.
$\therefore 3^{\log_94}=4^{\log_93}$
$=4^{\log_9\sqrt{9}}$
$=4^{\log_99^{\tfrac{1}{2}}}$
$=4^{\tfrac{1}{2}\log_99}$
$=4^{\tfrac{1}{2}\cdot 1}$
$=\sqrt{4}$
$=2$
Similar problems:
1.Find the value of $2^{\log_827}$ । $Ans:\; 3$
2 .Solve $3^{\log_{\sqrt{3}}x} +y^{\log_yx} =\log_{2\sqrt{2}}8$ Ans:$1$
3. Solve $\sqrt{e} ^{\ln{y}}-a^{\log_a y}+\log_{27}3=\ln 1$
Ans: $\dfrac{5\pm \sqrt{21}}{6}$
Question:
If $\log_{\sqrt{8}}b=3\dfrac{1}{3}$ ,what is the value of $b$?
Solution:
$\log_{\sqrt{8}}b=3\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \log_{\sqrt{8}}b=\dfrac{10}{3}$
$\Rightarrow \left(\sqrt{8}\right)^{\tfrac{10}{3}}=b$
$\Rightarrow b=\left(2^3\right)^{\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{10}{3}}$
$\Rightarrow b=2^{3\cdot \tfrac{5}{3}}$
$\therefore b=2^5=32$ $(Ans.)$
Similar problem:
If $\log_{\sqrt[3]{16}}y=5\dfrac{1}{4}$, $y=?$ $Ans:\; 128$
Creative question:
$a=(b c)^{1 / p}, b=(c a)^{1 / q}, c=(a b)^{\tfrac{1}{r}}$ and $x=p+1, y=q+1, z=r+1$
(a) prove that $\dfrac{1}{p+1}+\dfrac{1}{q+1}+\dfrac{1}{r+1}=1$
(b) prove that $p+q+r=pqr-2$
(c) prove that $\dfrac{2 x y+3 y z+4 z x}{x y z}=3$ where $b=c$.
(a) Solution:
$a =(b c)^{1 / p} $
$\Rightarrow \log _{a} a =\log _{a}(b c)^{1 / p} $
$\Rightarrow 1=\dfrac{1}{p} \log _{a}(b c)$
$\Rightarrow p=\log _{a}(b c)$
$\text { similarly, } q=\log _{b}(c a)~ \text{and}~ r=\log _{c}(a b) $
L . H .S $=\dfrac{1}{p+1}+\dfrac{1}{q+1}+\dfrac{1}{r+1} $
$=\dfrac{1}{\log _{a}(b c)+\log _{a} a}+\dfrac{1}{\log _{b}(c a)+\log _{b} b}$$+\dfrac{1}{ \log _{c}(a b)+\log _{c} c}$
$=\dfrac{1}{\log _{a} a b c}+\dfrac{1}{\log _{b} a b c}+\dfrac{1}{\log _{c} a b c} $
$=\log _{a b c}a+\log _{a b c}b+\log _{a b c} c$
$=\log _{a b c} a b c$
$=1$
(b) Solution:
$p=\log_abc$
$\Rightarrow 1+p=1+\log_abc$
$\Rightarrow 1+p=\log_aa+\log_abc$
$\Rightarrow 1+p=\log_aabc$
$\Rightarrow a^{1+p}=abc$
$\Rightarrow \left(a^{1+p}\right)^\tfrac{1}{1+p}=(abc)^\tfrac{1}{1+p}$
$\therefore a=(abc)^\tfrac{1}{1+p}$
Similarly, $b=(abc)^\tfrac{1}{1+q}$
& $c=(abc)^\tfrac{1}{1+r}$
Multipling the above equations ,
$abc=(abc)^\tfrac{1}{1+p}\cdot (abc)^\tfrac{1}{1+q}\cdot (abc)^\tfrac{1}{1+r}$
$\Rightarrow (abc)^1=(abc)^{\tfrac{1}{1+p}+\tfrac{1}{1+q}+\tfrac{1}{1+r}}$
$\Rightarrow 1=\dfrac{1}{1+p}+\dfrac{1}{1+q}+\dfrac{1}{1+r}$
$\Rightarrow 1=\dfrac{(1+q)(1+r)+(1+p)(1+r)+(1+p)(1+q)}{(1+p)(1+q)(1+r)}$
$\Rightarrow (1+p)(1+q)(1+r)=(1+q)(1+r)$$+(1+p)(1+r)+(1+p)(1+q)$
$\Rightarrow 1+p+q+r+pq+qr+rp+pqr=$$pq+qr+rp+2p+2q+2r+3$
$\Rightarrow pqr=2p+2q+2r-p-q-r+3-1$
বা, $pqr-2=p+q+r$
$\therefore p+q+r=pqr-2$
(c) Solution:
$x=p +1$
$\Rightarrow x=\log_abc+\log_aa$
$\Rightarrow x=\log_aabc$
Similarly $y=\log_babc$
& $z=\log_cabc$
L.H.S$=\dfrac{2 x y+3 y z+4 z x}{x y z}$
$=\dfrac{2 x y}{x y z}+\dfrac{3 y z}{x y z}+\dfrac{4 z x}{x y z}$
$=\dfrac{2}{z}+\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{y}$
$=\dfrac{2}{\log _{c} a b c}+\dfrac{3}{\log _{a} a bc}+\dfrac{4}{\log _{b} a b c}$
$=2 \log _{a b c}c+3 \log _{a b c}a+4 \log _{a b c}b$
$=\log _{a b c} c^{2}+\log _{a b c} a^{3}+\log _{a b c} b^{4}$
$=\log_{abc}c^2a^3b^4$
$=\log_{ac\cdot c}c^2a^3c^4$
$=\log_{ac^2}a^3c^6$
$=\log_{ac^2}\left(ac^2\right)^3$
$=3\log_{ac^2}ac^2$
$=3$
$=$ R.H.S.
গাণিতিক সমস্যাঃ
সমাধান করঃ
$\log_{10}\left[98-\sqrt{x^2-12x+36}\right]=2$
সমাধানঃ
$\log_{10}\left[98-\sqrt{x^2-12x+36}\right]=2\cdots\cdots(i)$
বা, $98-\sqrt{x^2-12x+36}=10^2$
বা, $98-\sqrt{x^2-12x+36}=100$
বা, $-\sqrt{x^2-12x+36}=100-98$
বা, $\sqrt{x^2-12x+36}=-2$ [বর্গমূল ফল ঋণাত্মক হয় না ,তাই সমীকরণটির সমাধান নেই]
বা, $\left(\sqrt{x^2-12x+36}\right)^2=(-2)^2$
বা, $x^2-12x+36=4$
বা, $x^2-12x+32=0$
বা, $x^2-8x-4x+32=0$
বা, $x(x-8)-4(x-8)=0$
বা, $(x-8)(x-4)=0$
হয়, $x-8=0$ অথবা, $x-4=0$
বা, $x=8$ বা, $x=4$
শুদ্ধি পরীক্ষাঃ
$x=8$ হলে $(i)$ নং হতে,
$\log_{10}\left[98-\sqrt{8^2-12\cdot 8+36}\right]=2$
বা, $\log_{10}\left[98-\sqrt{64-96+36}\right]=2$
বা, $\log_{10}\left[98-\sqrt{100-96}\right]=2$
বা, $\log_{10}\left[98-\sqrt{4}\right]=2$
বা, $\log_{10}\left[98-2\right]=2$
বা, $\log_{10}96=2$
বা, $1.98$ (প্রায়) $=2$ , যা অসম্ভব।
সুতরাং $x\ne 8$
আবার,
$x=4$ হলে $(i)$ নং হতে,
$\log_{10}\left[98-\sqrt{4^2-12\cdot 4+36}\right]=2$
বা, $\log_{10}\left[98-\sqrt{16-48+36}\right]=2$
বা, $\log_{10}\left[98-\sqrt{52-48}\right]=2$
বা, $\log_{10}\left[98-\sqrt{4}\right]=2$
বা, $\log_{10}\left[98-2\right]=2$
বা, $\log_{10}96=2$
বা, $1.98$ (প্রায়) $=2$ , যা অসম্ভব।
সুতরাং $x\ne 4$
প্রদত্ত সমীকরণটির কোনো সমাধান নেই।
বিকল্প নিয়মঃ
$\log_{10}\left[98-\sqrt{x^2-12x+36}\right]=2\cdots\cdots(i)$
বা, $98-\sqrt{\left(x-6\right)^2}=10^2$
বা, $98-\left\{\pm (x-6)\right\}=100$
বা, $\mp (x-6)=100-98$
বা, $\mp (x-6)=-2$
ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই, $x=8$
ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই, $x=4$
$x$ এর উভয় মানের জন্য প্রদত্ত সমীকরণটি সিদ্ধ হয় না। তাই সমীকরণটির সমাধান নেই।
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
সমাধান করঃ
১. $\log_{10}\left[98+\sqrt{x^2-12x+36}\right]=2$ $Ans: 8,4$
২. $\log_{10}\left[97+\sqrt{x^2-14x+49}\right]=2$ $Ans: 10,4$
৩. $\log_{10}\left[96-\sqrt{x^2+10x+25}\right]=2$ Ans: বাস্তব কোনো সমাধান নেই।
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\dfrac{\log_k(5+2x)}{\log_k{(2x)}}=2$ হলে প্রমাণ কর যে, $x=\dfrac{1+ \sqrt{21}}{4}$.
সমাধানঃ
$\dfrac{\log_k(5+2x)}{\log_k{(2x)}}=2$
বা, $2\log _{k}\left( 2x\right) =\log _{k}\left( 5+2x\right) $
বা, $ \log _{k}\left( 2x\right)^2 =\log _{k}\left( 5+2x\right)$
বা, $4x^2=5+2x$
বা, $4x^2-2x-5=0$ কে $ax^2+bx+c=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $a=4$ , $b=-2\;,\; c=-5$.
$\therefore x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$ =\dfrac{-\left( -2\right) \pm \sqrt{\left( -2\right) ^{2}-4\cdot 4\cdot \left( -5\right) }}{2\cdot 4}$
$ =\dfrac{2\pm \sqrt{4+80}}{8}$
$=\dfrac{2\pm \sqrt{84}}{8}$
$=\dfrac{2\pm 2\sqrt{21}}{8}$
$=\dfrac{1\pm \sqrt{21}}{4}$
$\therefore x=\dfrac{1+ \sqrt{21}}{4}$ [ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম নেই]
অনুরুপ গাণিতিক সমস্যাঃ
১. $\dfrac{\log_k(1+x)}{\log_k{x}}=2$ হলে প্রমাণ কর যে, $x=\dfrac{1+ \sqrt{5}}{2}$.
২. $\dfrac{\log_k(1-x)}{\log_k{x}}=2$ হলে প্রমাণ কর যে, $x=\dfrac{-1+ \sqrt{5}}{2}$.
৩. $\dfrac{\log_k(3-4x)}{\log_k{(2x)}}=2$ হলে , $x=?$ Ans: $x$ এর বাস্তব মান নেই।
৪. $\dfrac{\log_k(3+x)^5}{5\log_kx}=2$ হলে প্রমাণ কর যে, $x$ এর মান একটি অমূলদ সংখ্যা ।
গাণিতিক সমস্যাঃ
$a,\;b,\;c$ পরপর তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যা হলে প্রমাণ কর যে, $\log_k(1+ac)=2\log_{k}b$.
সমাধানঃ
যেহেতু $a,\;b,\;c$ পরপর তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যা। তাই
$a=b-1$ এবং $c=b+1$
$\therefore ac=(b-1)(b+1)$
বা, $ac=b^2-1$
বা, $1+ac=b^2$
বা, $\log_{k}(1+ac)=\log_{k}b^2$
বা, $\log_{k}(1+ac)=2\log_{k}b$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
১. $a,\;b,\;c$ গুণোত্তর ধারাভূক্ত হলে প্রমাণ কর যে, $\log_ka+\log_{k}c=2\log_{k}b$.
২. $a$ ও $b$ পরস্পর গুনাত্বক বিপরীত হলে প্রমাণ কর যে, $\log_ka+\log_{k}b=0$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$p=2\log_8A$ , $q=2\log_2(2A)$ এবং $q-p=4$ হলে $A$ , $p$ এবং $q$ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
$p=2\log_8A$
বা, $p=\log_8A^2$
বা, $A^2=8^p\cdots\cdots(i)$
এবং $q=2\log_2(2A)$
বা, $q=\log_{2}(2A)^2$
বা, $q=\log_2(4A^2)$
বা, $4A^2=2^q$
বা, $4\cdot 8^p=2^q$ [$(i)$ হতে]
বা, $2^2\cdot 2^{3p}=2^q$
বা, $2^{2+3p}=2^q$
বা, $2+3p=q$
বা, $q=2+3p\cdots\cdots(ii)$
এবং $q-p=4$
বা, $2+3p-p=4$ [$(ii)$ হতে পাই]
বা, $2p=4-2$
বা, $2p=2$
বা, $p=1$
$p$ এর মান $(ii)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
$q=2+3\cdot 1$
$=5$
$p$ এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
$A^2=8^1$
বা, $|A|=\sqrt{8}$
বা, $\pm A=\sqrt{2^2\cdot 2}$
$\therefore A=2\sqrt{2}$ [$\because$ ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম নেই]
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
$x=2\log_3a$ , $y=2\log_9(3a)$ এবং $x-y=3$ হলে $a$ , $x$ এবং $y$ এর মান নির্ণয় কর।
$Ans:\; x=8,\;y=5,\; a=81$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=18$ হলে প্রমাণ কর যে, $\log_k(\tfrac{a-b}{4})=\log_k\sqrt{ab}$
সমাধানঃ
বা, $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=18$
বা, $\dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab}=18$
বা, $a^{2}+b^{2}=18ab$
বা, $\left( a-b\right) ^{2}+2ab=18ab$
বা, $\left( a-b\right) ^{2}=18ab-2ab$
বা, $\left( a-b\right) ^{2}=16ab$
বা, $\dfrac{\left( a-b\right) ^{2}}{16}=ab$
বা, $\left( \dfrac{a-b}{4}\right) ^{2}=ab$
বা, $\dfrac{a-b}{4}=\sqrt{ab}$
বা, $\log _{k}\left( \dfrac{a-b}{4}\right) =\log _{k}\sqrt{ab}$
বা, $ \log _{k}\left( \dfrac{a-b}{4}\right) =\log _{k}\left( ab\right)^{\tfrac{1}{2}}$
বা, $\log _{k}\left( \dfrac{a-b}{4}\right) =\dfrac{1}{2}\log _{k}\left( ab\right) $
বা, $\log _{k}\left( \dfrac{a-b}{4}\right)=\dfrac{1}{2}\left( \log _{k}a+\log_{k}b\right)$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=23$ হলে প্রমাণ কর যে, $\log_k(\tfrac{a+b}{5})=\log_k\sqrt{ab}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\log_k(\tfrac{a-b}{6})=\log_k\sqrt{ab}$ হলে প্রমাণ কর যে,$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=38$
সমাধানঃ
$\log_k(\tfrac{a-b}{6})=\log_k\sqrt{ab}$
বা, $\left( \dfrac{a-b}{6}\right) =\sqrt{ab}$
বা, $\left( \dfrac{a-b}{6}\right)^{2}=ab$
বা, $\left( a-b\right)^{2}=36ab$
বা, $a^2-ab+b^{2}=36ab$
বা, $a^{2}+b^{2}=38ab$
বা, $\dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab}=38$
বা, $\dfrac{a^{2}}{ab}+\dfrac{b^2}{ab}=38$ $\therefore \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=38$
অনুরুপ গাণিতিক সমস্যাঃ
$\log_k(\tfrac{a-b}{3})=\log_k\sqrt{ab}$ হলে প্রমাণ কর যে,$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=7$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$xy^{a-1}=p , \;xy^{b-1}=q , \;xy^{c-1}=r$ এবং $a+b+c=3$ হলে প্রমাণ কর যে, $\log_xp+\log_xq+\log_xr=3$
সমাধানঃ
$L.H.S=\log_xp+\log_xq+\log_xr$
$=\log_xpqr$
$=\log_x\left(xy^{a-1}\cdot xy^{b-1}\cdot xy^{c-1}\right)$
$=\log_x\left(x^3y^{a+b+c-3}\right)$
$=\log_x\left(x^3y^{3-3}\right)$
$=\log_x\left(x^3y^0\right)$
$=\log_xx^3$
$=3\log_xx$
$=3$
$=R.H.S$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
১. $xy^{a-1}=p ,\; xy^{b-1}=q ,\; xy^{c-1}=r$ হলে প্রমাণ কর যে, $(b-c)\log_kp+(c-a)\log_kq+(a-b)\log_kr=0$
২. $xy^{a-2}=p , \;xy^{b-2}=q , \;xy^{c-2}=r$ এবং $a+b+c=6$ হলে প্রমাণ কর যে, $\log_xp+\log_xq+\log_xr=3$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\log_xy=6$ এবং $\log_{14x}8y=3$ হয় তবে $x$ ও $y$ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
$\log_xy=6$
বা, $y=x^6\cdots\cdots(i)$
এবং $\log_{14x}8y=3$
বা, $8y=(14x)^3$
বা, $8x^6=2744x^3$ [$(i)$ নং হতে]
বা, $8x^3=2744$ [$\because x\ne 0$]
বা, $x^3=343$
বা, $x^3=7^3$
বা, $x=7$
$x$ এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
$y=7^6$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
$\log_{4b}a=2$ এবং $\log_b7a=4$ হলে $a$ ও $b$ এর মান নির্ণয় কর। $Ans:\; b=4\sqrt{7}$ এবং $a=1792$
গাণিতিক সমস্যাঃ
প্রমাণ কর যে, $\log_{\sqrt[3] {x}}{y}\log _{\sqrt[3] {y}}z\log_{\sqrt[3] {z}}{x}=27$
সমাধানঃ
$L.H.S=\log_{\sqrt[3] {x}}{y}\log _{\sqrt[3] {y}}z\log_{\sqrt[3] {z}}{x}$
$=\log_{\sqrt[3] {x}}{\sqrt[3] {y}^{3}}\log_{\sqrt[3] {y}}{\sqrt{z}^{3}}\log_ {\sqrt[3] {z}}{\sqrt[3] {x}^{3}}$
$=3\log_{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3] {y}}\cdot 3\log_{\sqrt[3] {y}}{\sqrt[3] {z}}\cdot 3\log_{\sqrt[3] {z}}{\sqrt[3] {x}}$
$=27\left(\log _{\sqrt[3] {x}}{\sqrt[3]{y}}\log_{\sqrt[3] {y}}{\sqrt[3] {z}}\right)\log _{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3] {x}}$
$=27\log_{\sqrt[3] {x}}{\sqrt[3] {z}}\log _{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3] {x}}$
$=27\log_{\sqrt[3] {x}}{\sqrt[3] {x}}$
$=27$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
প্রমাণ কর যে, $\log_{\sqrt{a}}b\log_{\sqrt{b}}c\log_{\sqrt{c}}a=8$
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$x=1+\log_a(bc),\;y=1+log_b(ca)$ এবং $z=1+\log_c(ab)$
(ক) সমাধান করঃ $\log_6t=\ln t^t$
(খ) প্রমাণ কর যে, $\log _{abc}a^{x}b^{y}c^{z}=3$.
(গ) প্রমাণ কর যে, $xyz=xy+yz+zx$
অথবা, প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$
(ঘ) প্রমাণ কর যে, $ a^{x-3}b^{y-3}c^{z-3}=1$
(ক) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
(খ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$L.H.S=\log _{abc}a^{x}b^{y}c^{z}$
$=\log _{abc}{\left( a^{\log _{a}abc}b^{\log _{b}abc}c^{\log _{c}abc}\right) }$
$=\log_{abc}(abc\cdot abc\cdot abc)$ [সূত্র-১]
$=\log_{abc}(a^3b^3c^3)$
$=\log_{abc}(abc)^3$
$=3\cdot 1$
$=3$
(গ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$x=1+\log _{a}\left( bc\right) $
বা, $x=\log _{a}a+\log _{a}\left( bc\right) $
বা, $x=\log _{a}\left( abc\right) $
বা, $a^{x}=abc$
বা, $a=\left( abc\right) ^{\tfrac{1}{x}}\cdots(i)$
অনুরূপভাবে, $b=\left( abc\right) ^{\tfrac{1}{y}}\cdots(ii)$
এবং $c=\left( abc\right) ^{\tfrac{1}{z}}\cdots(iii)$
$(i)$ , $(ii)$ ও $(iii)$ নং গুণ করে পাই,
$abc=\left( abc\right) ^{\tfrac{1}{x}}\cdot \left( abc\right) ^{\tfrac{1}{y}}\cdot \left( abc\right) ^{\tfrac{1}{x}}$
বা, $abc=\left( abc\right)^{\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{y}+\tfrac{1}{z}}$
বা, $1=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$
বা, $1=\dfrac{yz+zx+xy}{xyz}$
$\therefore xyz=xy+yz+zx$ (প্রমাণিত)
অথবা অংশের সমাধানঃ
$L.H.S.=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$
$=\dfrac{1}{1+\log _{a}\left( bc\right) }+\dfrac{1}{1+\log_ {b}\left(ca\right)}+\dfrac{1}{1+\log _{c}\left( ab\right) }$
$= \dfrac{1}{\log _{a}a+\log _{a}\left( bc\right) }+\dfrac{1}{\log _{b}b+\log _{b}\left( ca\right) }$$+\dfrac{1}{\log _{c}c+\log _{c}\left( ab\right) }$
$=\dfrac{1}{\log _{a}\left( abc\right) }+\dfrac{1}{\log _{b}\left( abc\right) }+\dfrac{1}{\log _{c}\left( abc\right) }$
$=\log_{abc}a+\log _{abc}b+\log _{abc}c$ [ সূত্র-৪]
$=\log _{abc}abc$
$=1$
$=R\cdot H\cdot S.$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$a^{3-x}b^{5x}=a^{5+x}b^{3x}$ হলে $x$ কে $a$ ও $b$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
$a^{3-x}b^{5x}=a^{5+x}b^{3x}$
বা, $\dfrac{b^{5x}}{b^{3x}}=\dfrac{a^{5+x}}{a^{3-x}}$
বা, $b^{5x-3x}=a^{5+x-3+x}$
বা, $b^{2x}=a^{2+2x}$
বা, $b^{2x}=a^2\cdot a^{2x}$
বা, $\dfrac{b^{2x}}{a^{2x}}=a^2$
বা, $\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2x}=a^2$
বা, $\log_{k}{\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2x}}=\log_k{a^2}$
বা, $2x\log_{k}{\left(\dfrac{b}{a}\right)}=2\log_ka$
বা, $x\log_{k}{\left(\dfrac{b}{a}\right)}=\log_ka$
$\therefore x=\dfrac{\log_ka}{\log_{k}{\left(\dfrac{b}{a}\right)}}$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
$x^{2y-1}y^{2x}=y^{3x-1}x^{3+2y}$ হলে $y$ কে $x$ এর ফাংশনরুপে প্রকাশ কর। $Ans:\; y=e^{\tfrac{4\ln x}{1-x}}$
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$\dfrac{a-b}{\log _{k}c}=\dfrac{b-c}{\log _{k}a}=\dfrac{c-a}{\log _{k}b}=p$
(ক) প্রমাণ কর যে, $(ac)^b=a^ac^c$.
(খ) প্রমাণ কর যে, $a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b}=1.$
(গ) প্রমাণ কর যে, $a^{b^2+bc+c^2}b^{c^2+ca+a^2}c^{a^2+ab+b^2}=1.$
(ঘ) প্রমাণ কর যে, $a^ab^bc^c=1.$
(ক) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
উদ্দীপক হতে,
$\dfrac{a-b}{\log _{k}c}=\dfrac{b-c}{\log _{k}a}$
বা, $(a-b)\log_ka=(b-c)\log_kc$
বা, $\log_ka^{a-b}=\log_kc^{b-c}$
বা, $a^{a-b}=c^{b-c}$
বা, $\dfrac{a^a}{a^b}=\dfrac{c^b}{c^c}$
বা, $a^bc^b=a^ac^c$
$\therefore (ac)^b=a^ac^c$ (প্রমাণিত)
(খ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$\dfrac{a-b}{\log _{k}c}=\dfrac{b-c}{\log _{k}a}=\dfrac{c-a}{\log _{k}b}=p$
$\therefore \dfrac{a-b}{\log _{k}c}=p$
বা, $p\log_kc=a-b$
বা, $\log_kc=\dfrac{a-b}{p}$
বা, $(a+b)\log_kc=\dfrac{(a+b)(a-b)}{p}$
বা, $\log_kc^{a+b}=\dfrac{a^2-b^2}{p}\cdots\cdots (i)$
অনুরূপভাবে ,$\log_ka^{b+c}=\dfrac{b^2-c^2}{p}\cdots\cdots (ii)$
এবং $\log_kb^{c+a}=\dfrac{c^2-a^2}{p}\cdots\cdots (iii)$
$(i)$ , $(ii)$ ও $(iii)$ নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
$\log_kc^{a+b}+\log_ka^{b+c}+\log_kb^{c+a}=\dfrac{a^2-b^2}{p}$$+\dfrac{b^2-c^2}{p}+\dfrac{c^2-a^2}{p}$
বা, $\log_kc^{a+b}a^{b+c}b^{c+a}=\dfrac{a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2}{p}$
বা, $\log_kc^{a+b}a^{b+c}b^{c+a}=0$
বা, $\log_kc^{a+b}a^{b+c}b^{c+a}=\log_k1$
$\therefore c^{a+b}a^{b+c}b^{c+a}=1$ (প্রমাণিত)
(গ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$\dfrac{a-b}{\log _{k}c}=\dfrac{b-c}{\log _{k}a}=\dfrac{c-a}{\log _{k}b}=p$
$\therefore \dfrac{a-b}{\log _{k}c}=p$
বা, $p\log_kc=a-b$
বা, $\log_kc=\dfrac{a-b}{p}$
বা, $(a^2+ab+b^2)\log_kc=\dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{p}$
বা, $\log_kc^{a^2+ab+b^2}=\dfrac{a^3-b^3}{p}\cdots\cdots (i)$
অনুরূপভাবে ,$\log_ka^{b^2+bc+c^2}=\dfrac{b^3-c^3}{p}\cdots\cdots (ii)$
এবং $\log_kb^{c^2+ca+a^2}=\dfrac{c^3-a^3}{p}\cdots\cdots (iii)$
$(i)$ , $(ii)$ ও $(iii)$ নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
$\log_kc^{a^2+ab+b^2}+\log_ka^{b^2+bc+c^2}+\log_kb^{c^2+ca+a^2}=$$\dfrac{a^3-b^3}{p}+\dfrac{b^3-c^3}{p}+\dfrac{c^3-a^3}{p}$
বা, $\log_kc^{a^2+ab+b^2}a^{b^2+bc+c^2}b^{c^2+ca+a^2}=$$\dfrac{a^3-b^3+b^3-c^3+c^3-a^3}{p}$
বা, $\log_kc^{a^2+ab+b^2}a^{b^2+bc+c^2}b^{c^2+ca+a^2}=0$
বা, $\log_kc^{a^2+ab+b^2}a^{b^2+bc+c^2}b^{c^2+ca+a^2}=\log_k1$
$\therefore c^{a^2+ab+b^2}a^{b^2+bc+c^2}b^{c^2+ca+a^2}=1$ (প্রমাণিত)
(ঘ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$\dfrac{a-b}{\log _{k}c}=\dfrac{b-c}{\log _{k}a}=\dfrac{c-a}{\log _{k}b}=p$
$\therefore \dfrac{a-b}{\log _{k}c}=p$
বা, $\log_{k}c=\dfrac{a-b}{p}$
বা, $c\log_{k}c=\dfrac{ca-bc}{p}$
$\therefore \log_{k}c^c=\dfrac{ca-bc}{p}\cdots\cdots(i)$
অনুরূপভাবে, $\log_{k}b^b=\dfrac{bc-ab}{p}\cdots\cdots(ii)$
এবং $\log_{k}a^a=\dfrac{ab-ca}{p}\cdots\cdots(iii)$
$(i)$ , $(ii)$ ও $(iii)$ নং যোগ করে পাই,
$\log_{k}a^a+\log_{k}b^b+\log_{k}a^a=$$\dfrac{ca-bc+bc-ab+ab-ca}{p}$
বা, $\log_{k}a^ab^bc^c=0$
বা, $\log_{k}a^ab^bc^c=\log_k1$
$\therefore a^ab^bc^c=1$
অনুরূপ সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$\dfrac{\log _{k}c}{a-b}=\dfrac{\log _{k}a}{b-c}=\dfrac{\log _{k}b}{c-a}=p$
(ক) প্রমাণ কর যে, $(ab)^c=a^ab^b$.
(খ) প্রমাণ কর যে, $a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b}=1.$
(গ) প্রমাণ কর যে, $a^{b^2+bc+c^2}b^{c^2+ca+a^2}c^{a^2+ab+b^2}=1.$
(ঘ) প্রমাণ কর যে, $a^ab^bc^c=1.$
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$\mathrm{a}=3.3^{\mathrm{l}}, \mathrm{b}=9.3^{\mathrm{m}}, \mathrm{c}=27.3^{\mathrm{n}}$ এবং $\log a+\log b+\log c=2 \log 27$
ক. $l+\mathrm{m}+\mathrm{n}$ এর মান নির্ণয় কর।
খ.যদি $x=1+\log _{3} b c, y=2+\log _{3} c a$ এবং $z=3+\log _{3} a b$ হয় তবে দেখাও যে, $\mathrm{x}+l=\mathrm{y}+\mathrm{m}=\mathrm{z}+\mathrm{n}$
গ. দেখাও যে, $\dfrac{1}{2^{m}+2^{-n}+1}+\frac{1}{2^{n}+2^{-l}+1}+\frac{1}{2^{l}+2^{-m}+1}=18$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\dfrac{ab\log_{k}(ab)}{a+b}=\dfrac{bc\log_k(bc)}{b+c}=\dfrac{ca\log_{k}(ca)}{c+a}$ হলে প্রমাণ কর যে, $a^a=b^b=c^c$
সমাধানঃ
মনেকরি,
$\dfrac{ab\log_{k}(ab)}{a+b}=\dfrac{bc\log_k(bc)}{b+c}=\dfrac{ca\log_{k}(ca)}{c+a}=p$
$\dfrac{ab\log_{k}(ab)}{a+b}=p$
বা, $ab\log_k(ab)=p(a+b)$
বা, $\log_k(ab)=\dfrac{p(a+b)}{ab}$
বা, $\log_{k}(ab)=p\left(\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}\right)$
$\therefore \log_{k}(ab)=p\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\right)\cdots\cdots(i)$
অনুরূপভাবে, $\log_{k}(bc)=p\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\cdots\cdots(ii)$
এবং $\log_{k}(ca)=p\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\cdots\cdots(iii)$
$(i)+(ii)+(iii)$ করে পাই,
$\log_{k}(ab)+\log_{k}(bc)+\log_{k}(ca)=p\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)$
বা, $\log_{k}(ab\cdot bc\cdot ca)=2p\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)$
বা, $\log_{k}\left(a^2b^2c^2\right)=2p\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)$
বা, $\log_{k}(abc)^2=2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)$
বা, $2\log_{k}(abc)=2p\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)$
$\therefore \log_{k}(abc)=p\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\cdots\cdots(iv)$
$(iv)-(i)$ করে পাই,
$ \log_{k}(abc)-\log_{k}(ab)=p\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}\right)$
বা, $\log_k\left(\dfrac{abc}{ab}\right)=\dfrac{p}{c}$
বা, $\log_{k}c=\dfrac{p}{c}$
বা, $c\log_{k}c=p$
$\therefore \log_{k}c^c=p$
অনুরূপভাবে, $\log_kb^b=p$
এবং $\log_{k}a^a=p$
সুতরাং $\log_{k}a^a=\log_kb^b=\log_{k}c^c$
বা, $a^a=b^b=c^c$ (প্রমাণিত)
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
১. $\dfrac{a+b}{ab\log_{k}(ab)}=\dfrac{b+c}{bc\log_k(bc)}=\dfrac{c+a}{ca\log_{k}(ca)}=p$ হলে প্রমাণ কর যে, $a^a=b^b=c^c$
২. $\dfrac{ab\log_{k}(ab)}{a-b}=\dfrac{bc\log_k(bc)}{b-c}=\dfrac{ca\log_{k}(ca)}{c-a}$ হলে প্রমাণ কর যে, $abc=1.$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\dfrac{x(y+z-x)}{\log_{k}x}=\dfrac{y(z+x-y)}{\log_{k}y}=\dfrac{z(x+y-z)}{\log_{k}z}$ হলে প্রমাণ কর যে, $x^yy^x=y^zz^y=z^xx^z$
সমাধানঃ
মনে করি,
$\dfrac{x(y+z-x)}{\log_{k}x}=\dfrac{y(z+x-y)}{\log_{k}y}=\dfrac{z(x+y-z)}{\log_{k}z}=p$
$\therefore \dfrac{x(y+z-x)}{\log_{k}x}=p$
বা, $p\log_{k}x=x(y+z-x)$
বা, $\log_{k}x=\dfrac{x(y+z-x)}{p}\cdots\cdots(i)$
$(i)$ নং এর উভয়পক্ষকে $y$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$y\log_kx=\dfrac{xy(y+z-x)}{p}$
$\log_kx^y=\dfrac{xy(y+z-x)}{p}\cdots\cdots(ii)$
$(i)$ নং এর উভয়পক্ষকে $z$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$z\log_kx=\dfrac{xz(y+z-x)}{p}$
$\log_kx^z=\dfrac{xz(y+z-x)}{p}\cdots\cdots(iii)$
অনুরূপভাবে,
$\log_ky^z=\dfrac{yz(z+x-y)}{p}\cdots\cdots(iv)$ ,
$\log_ky^x=\dfrac{xy(z+x-y)}{p}\cdots\cdots(v)$
এবং $\log_{k}z^x=\dfrac{zx(x+y-z)}{p}\cdots\cdots(vi)$,
$\log_{k}z^y=\dfrac{yz(x+y-z)}{p}\cdots\cdots(vii)$
$(ii)$ ও $(v)$ যোগ করে পাই,
$\log_kx^y+\log_ky^x=\dfrac{xy(y+z-x+z+x-y)}{p}$
বা, $\log_{k}\left(x^yy^x\right)=\dfrac{2xyz}{p}$
অনুরূপভাবে, $(iv)$ ও $(vii)$ যোগ করে পাই,
$\log_{k}\left(y^zz^y\right)=\dfrac{2xyz}{p}$
এবং $(iii)$ ও $(vi)$ যোগ করে পাই,
$\log_{k}\left(z^xx^z\right)=\dfrac{2xyz}{p}$
অতএব $\log_{k}\left(x^yy^x\right)=\log_{k}\left(y^zz^y\right)=\log_{k}\left(z^xx^z\right)$
$\therefore x^yy^x=y^zz^y=z^xx^z$
অনুরুপ গাণিতিক সমস্যাঃ
১. $\dfrac{x(x-y-z)}{\log_{k}x}=\dfrac{y(y-z-x)}{\log_{k}y}=\dfrac{z(z-x-y)}{\log_{k}z}$ হলে প্রমাণ কর যে, $x^yy^x=y^zz^y=z^xx^z$
২. $\dfrac{\log_{k}x}{x(y+z-x)}=\dfrac{\log_{k}y}{y(z+x-y)}=\dfrac{\log_{k}z}{z(x+y-z)}$ হলে প্রমাণ কর যে, $x^yy^x=y^zz^y=z^xx^z$
গাণিতিক সমস্যা-১:
সমাধান করঃ $\log_6(x-3) + \log_6(x+2) =\log_33$
সমাধানঃ
$\log_6(x − 3) + \log_6(x + 2) = \log_33$
বা, $\log_6(x− 3)(x+ 2) = 1$
বা,$(x-3)(x + 2) = 6^1$
বা,$x^2- x - 6 = 6$
বা,$x^2-x – 12 = 0$
বা,$(x– 4)(x + 3) = 0$
$\therefore x=4$ $x$ ঋণাত্মক হতে পারে না।
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\mathrm{antilog 2.5}$ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
$\mathrm{antilog 2.5=10^{2.5}= 100 \times \sqrt{ 10 } = 316.227766}$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
১. $\mathrm{antilog 3.2}$ এর মান নির্ণয় কর।
২. $e$ এর সাপেক্ষে $\mathrm{antilog 4.5}$ এর মান নির্ণয় কর।
৩. $\pi$ এর সাপেক্ষে $\mathrm{antilog 0.5}$ এর মান নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\log _xy=\log_yx$ হলে প্রমাণ কর যে, $x=y$ অথবা $xy=1$.
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
$\log_xy=\log_yx$
বা, $\log_xy=\dfrac{1}{\log_xy}$
বা, $\left(\log_xy\right)^2=1$
বা, $\log_xy=\pm 1$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\log _{3}(x) =\log _{\frac{1}{3}}(x)+8$
সমাধানঃ
$\begin{aligned} \log _{3}(x) &=\log _{\frac{1}{3}}(x)+8 \\ \Rightarrow \log _{3}(x) &=\dfrac{\log _{3}(x)}{\log _{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)}+8 \\ \Rightarrow\log _{3}(x) &=\dfrac{\log _{3}(x)}{-\log _{3}(3)}+8 \\ \Rightarrow \log _{3}(x) &=\dfrac{\log _{3}(x)}{-1}+8 \\ \Rightarrow \log _{3}(x) &=-\log _{3}(x)+8 \\ \Rightarrow 2 \log _{3}(x) &=8 \\ \Rightarrow\log _{3}(x) &=4 \\ \therefore x &=4 \end{aligned}$
বহুনির্বাচনী প্রশ্ন
১. $3$ এর $2$ ভিত্তিক লগারিদম এর মান প্রায় কত?
(ক) $0.6309$ (খ) $0.4771$ (গ) $0.301$ (ঘ) $1.585$
উত্তরপত্রঃ
১. (ঘ)
abdus sattar
Simple Blogger
Enter Comment
comment url