mathematics, coordinate geometry

$\therefore AB=d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$

বা $ AB=d=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}$

$\fbox{$AB=d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$}$   [সূত্র]

সরলরেখায় উপরের দিকে ওঠা  হাঁটার তুলনায় যতগুণ তাকে ঐ রেখার ঢাল বলে।

চিত্র-১ হতে, $RB$ সরলরেখায় ওঠার ক্ষেত্রে $AB$ অংশে-

হাঁটা, $AC=x_2-x_1$,

উপরের দিকে ওঠা, $BC=y_2-y_1$

মনে করি,  উপরের দিকে ওঠা হাঁটার তুলনায় $m$(ঢাল)  গুণ। 

অর্থাৎ, উপরের দিকে ওঠা(Rise) $=m×$হাঁটা (Run)।

বা, $m=\dfrac{Rise}{Run}$

বা, $m=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

বা, $m=\tan\theta =\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$\fbox{$m=\tan\theta =\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$}$    [সূত্র]

সুতরাং কোন সরলরেখা $x$ অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তার tangent কে ঐ রেখার ঢাল বলে।

** সমান্তরাল সরলরেখার ঢাল সমান । চিত্রে, $m_{RB}=m_{QE}$ , কারণ এক্ষেত্রে $\theta $ অনুরূপ কোণ।

** সমরেখ বিন্দুসমূহের ক্ষেত্রে তাদের দ্বারা ঐ রেখার খন্ডাংশের ঢাল সমান । চিত্রে, $m_{AP}=m_{PB}$

** দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ঢালের গুণফল $=-1$

অর্থাৎ, $m_1×m_2=-1$

*** কোন সরলরেখার ঢাল যেহেতু $\theta =90°$ এর জন্য অসঙ্গায়িত হয়। তাই চলকের সকল মান গ্রহণযোগ্য। তবে ভিন্ন বিন্দু বললে চলকের যে মানের জন্য দুটি বিন্দু একই হয় , চলকের সেই মান বাদ দিতে হবে।

*** $AP$ রেখাংশের ঢাল, $m_{AP}=\dfrac{y-y_1}{x-x_1}$

১. $7$ একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি  বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(4,5)$ । বৃত্তটির যে জ্যা $(2,3)$ বিন্দুটিতে সমদ্বিখন্ডিত হয় তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।  Ans: $2\sqrt{41}$

২. $A(-2,-5)$ বিন্দুগামী একটি সরলরেখার প্রবণতা $\dfrac{3}{4}$ । সরলরেখার উপরস্থ $B$ বিন্দু হতে $A$ বিন্দুর দূরত্ব $10$ একক হলে $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Ans. $B(6,1)$ অথবা $(-10,-11)$

৩. $A(1,2)$ বিন্দুগামী সরলরেখা $x$ অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন করে। যদি এই সরলরেখার সঙ্গে $x+y=4$ সরলরেখার ছেদবিন্দুর $A$ থেকে দূরত্ব $\dfrac{1}{3} \sqrt{6}$ একক হয়, তরে $\theta$  মান নির্ণয় করো।

 উত্তরঃ $75°$ অথবা $15°$

$A(a\sin\theta,b\cos\theta),B(b\sin\theta,a\cos\theta)$ এর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।   

$AB=\sqrt{\left(a\sin\theta -b\sin\theta\right)^2+\left(b\cos\theta-a\cos\theta\right)^2}$

      $=\sqrt{\left(a -b\right)^2\sin^2\theta+\left(b-a\right)^2\cos^2\theta}$

       $=\sqrt{\left(a -b\right)^2\sin^2\theta+\left(a-b\right)^2\cos^2\theta}$

       $=\sqrt{\left(a -b\right)^2\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)}$

      $=\sqrt{\left(a -b\right)^2}$

      $=|a-b|$

      $=\pm(a- b)$     $(Ans.)$

$A(a\sin\theta,b\cos\theta),B(b\sin\theta,a\cos\theta)$ এর মধ্যবর্তী  দূরত্ব নির্ণয় কর যখন $a\ge b$ অথবা $b\ge a$.    $Ans:\; a-b$ অথবা $b-a$

$A(a\sin\theta,-a\cos\theta),B(-a\cos\theta,a\sin\theta)$ এর মধ্যবর্তী সর্বোচ্চ  দূরত্ব নির্ণয় কর।

$AB=\sqrt{\left(a\sin\theta+a\cos\theta\right)^2+\left(-a\cos\theta-a\sin\theta\right)^2}$

     $=\sqrt{\left(a\sin\theta+a\cos\theta\right)^2+\left(a\cos\theta+a\sin\theta\right)^2}$

$=\sqrt{2\left(a\sin\theta+a\cos\theta\right)^2}$

$=\sqrt{2a^2\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2}$

$=\sqrt{2a^2\cdot 1^2}$     [$\because \sinθ+\cosθ$ এর সর্বোচ্চ মান $1$]

$=\sqrt{2}|a|$

$=\pm\sqrt{2}a$     $(Ans.)$

$A(-\sin\theta,\cos\theta),B(\cos\theta,-\sin\theta)$ এর মধ্যবর্তী সর্বোচ্চ  দূরত্ব নির্ণয় কর।    $Ans:\; \sqrt{2}$

$A(\sin\theta,-\cos\theta),B(-\cos\theta,\sin\theta)$ এর মধ্যবর্তী দূরত্ব $\sqrt{2}$ একক হলে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর যখন $0\le\theta\le \pi$

$AB=\sqrt{2}$

বা, $\sqrt{2\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2}=\sqrt{2}$

বা, $\left(\sqrt{2\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2}\right)^2=\left(\sqrt{2}\right)^2$

বা, $2\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2=2$

বা, $\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2=1$

বা, $\sin^2\theta +\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta=1$

বা, $1+2\sin\theta\cos\theta=1$

বা, $2\sin\theta\cos\theta=0$

বা, $\sin\theta\cos\theta=0$

হয়, $\sin\theta=0$             

বা, $\sin\theta=\sin 0$         

 $\therefore \theta=0$            

আবার, $\sin\theta=\sin\pi$

          $\therefore \theta=\pi$

অথবা, $\cos\theta=0$

বা,$\cos\theta=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$

 $\therefore \theta=\dfrac{\pi}{2}$

নির্ণয়ে সমাধানঃ $\theta=0,\dfrac{\pi}{2},\pi$

$A(\tan\theta,-\sec\theta),B(-\sec\theta,\tan\theta)$ এর মধ্যবর্তী  দূরত্ব $\sqrt{6}$ একক হলে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর যখন $0 < \theta < 2\pi$      $Ans:\;\dfrac{\pi}{6},\;\dfrac{5\pi}{6}$

$ABCD$সামান্তরিকের চারটি শীর্ষবিন্দু $A(-5,0),\;B(5,0) ,\; C(5,5)$ এবং $D(a,b)$ হলে $a$ এবং $b$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ 

                              ১ম পদ্ধতি

$AC$ কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $P\left(\dfrac{-5+5}{2},\dfrac{0+5}{2}\right)$ বা $P\left(0,\dfrac{5}{2}\right)$

আবার, $BD$ কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $Q\left(\dfrac{5+a}{2},\dfrac{0+b}{2}\right)$ বা $Q\left(\dfrac{5+a}{2},\dfrac{b}{2}\right)$

যেহেতু সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে , তাই $P$ এবং $Q$ এর স্থানাঙ্ক একই। অর্থাৎ

$P\left(0,\dfrac{5}{2}\right)=Q\left(\dfrac{5+a}{2},\dfrac{b}{2}\right)$

সুতরাং $0=\dfrac{5+a}{2}$          এবং $\dfrac{5}{2}=\dfrac{b}{2}$

      বা, $5+a=0$                বা, $b=5$

     $\therefore a=-5$

সুতরাং $D(-5,5)$

                       ২য় পদ্ধতি

$AB$ রেখাংশের ঢাল $m_1=\dfrac{0-0}{5-(-5)}=0$

$CD$ রেখাংশের ঢাল $m_2=\dfrac{b-5}{a-5}=0$

যেহেতু $AB\parallel CD$ ,

তাই$m_1=m_2$

বা, $0=\dfrac{b-5}{a-5}$

বা, $b-5=0$

$\therefore b=5$

আবার,

সুতরাং $D(-5,5)$

অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ

১. $A(1,1),\; B(4,4),\;C(4,8)$ এবং $D(x,y)$ বিন্দুগুলো $ABCD$ সামান্তরিকের চারটি শীর্ষবিন্দু হলে $x$ ও $y$ এর মান নির্ণয় কর।

$A(3,4)\;,\;B(6,-1)\;,\;C(k,3)$ এর ক্ষেত্রে $AC\bot BC$ হলে প্রমাণ কর যে, $k=2,7$

সংকেতঃ পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে।

দেখাও যে, $(\pm 4,0)$ বিন্দু থেকে $\mathrm{3xcos\theta+5ysin\theta=15}$ রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্যের গুণফল $\theta$ মুক্ত।

$A\left(a^2,bc\right),\; B\left(b^2,ac\right),\; C\left(c^2,ab\right)$ বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে প্রমাণ কর যে, $a+b+c=0$ অথবা $a=b=c.$

সমাধানঃ

$m_{AB}=\dfrac{ac-bc}{b^2-a^2}$

$m_{BC}=\dfrac{ab-ac}{c^2-b^2}$

যেহেতু বিন্দু তিনটি সমরেখ।

তাই $m_{AB}=m_{BC}$

বা, $\dfrac{ac-bc}{b^2-a^2}=\dfrac{ab-ac}{c^2-b^2}$

বা, $\dfrac{c(a-b)}{-\left(a^2-b^2\right)}-\dfrac{a(b-c)}{-\left(b^2-c^2\right)}=0$

বা,  $\dfrac{c(a-b)}{-(a+b)(a-b)}+\dfrac{a(b-c)}{(b+c)(b-c)}=0$

বা, $\dfrac{a(b-c)}{(b+c)(b-c)}-\dfrac{c(a-b)}{(a+b)(a-b)}=0$

বা, $\dfrac{a(b-c)(a+b)(a-b)-c(a-b)(b+c)(b-c)}{(a+b)(a-b)(b+c)(b-c)}=0$

বা, $(a-b)(b-c)\left\{a(a+b)-c(b+c)\right\}=0$

বা, $(a-b)(b-c)\left(a^2+ab-bc-c^2\right)=0$

বা, $(a-b)(b-c)\left(a^2-c^2+ab-bc\right)=0$

বা, $(a-b)(b-c)\left\{(a+c)(a-c)+b(a-c)\right\}=0$

বা, $(a-b)(b-c)(a-c)(a+c+b)=0$

হয় $a-b=0$ অথবা $b-c=0$ অথবা $a-c=0$ অথবা $a+b+c=0$

বা $a=b$ অথবা $b=c$ অথবা $a=c$ অথবা $a+b+c=0$

বা $a=b=c$ অথবা $a+b+c=0$

$2x-y-4=0$ এবং $3x=6y+5$ সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।( ট্রাপিজিয়ামের সাহায্যে )। উত্তরঃ $\dfrac{17\sqrt{5}}{15}$

$P(x,y)$ বিন্দু থেকে $x$- অক্ষের দূরত্ব এবং $Q(3,2)$ বিন্দুর দূরত্ব সমান ।

(ক) মূলবিন্দু থেকে $(a\cos\theta ,a\sin\theta)$ বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর ।

 (খ)$x$ এবং $y$ এর সম্পর্ক স্থাপন কর।

(গ) প্রাপ্ত সম্পর্কের লেখচিত্র অঙ্কন করে সম্পর্কটি ফাংশন কি না তা নির্ধারণ কর।

(ঘ) লেখচিত্রের শীর্ষ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।

$A(2,4) , B(2,5), C(2+\sqrt{3},5)$

(ক) $(ab^2,2ab)$ এবং $\left(\dfrac{a}{b^2},\dfrac{-2a}{b}\right)$ বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।

(খ) দেখাও যে, $\triangle{ABC}$ সমবাহু ।

(গ) $\triangle{ABC}$ দ্বারা গঠিত সুষম চতুস্তলকের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।

$P(t,t) , Q(-t,-t), R(t\sqrt{3},-t\sqrt{3})$

(ক) $(a\cos\theta , -a\sin\theta)$ এবং $(b\cos\theta ,-b\sin\theta)$ বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।

(খ) দেখাও যে, $\triangle{PQR}$ সমবাহু।

(গ)$\triangle{PQR}$ দ্বারা গঠিত সুষম চতুস্তলকের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।

$A(t,3t)\;,\;B\left(t^2,2t\right)\;,\;C(t-2,t)$ এবং $D(1,1)$ বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের $\angle{BAC}=\angle{ACD}$।

(ক) $t$ এর মান নির্ণয় কর। Ans: $-1,2$

(খ) $AB$ সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। যখন $t<0$.

(গ) $C$ হতে $AD$ রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। যখন $t>0$.

(ঘ) $AB$ এবং $BC$ রেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের মান ষাটমূলক পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

$x$- অক্ষ ও $(-5,-7)$ বিন্দু থেকে $(4,a)$ বিন্দুটির দূরত্ব সমান হলে $a$ এর মান নির্ণয় কর । 

$y$- অক্ষ ও $(7,2)$ বিন্দু থেকে $(k,5)$ বিন্দুটির দূরত্ব সমান হলে $k$ এর মান নির্ণয় কর । 

$(a,-a)$ এবং $(b,-b)$ এর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর যখন $a<b$.

$\left(\mathrm{cosec^2\dfrac{4\pi}{5}},e^{\ln 2}\right)$ এবং $\left(\mathrm{sec^3\dfrac{5\pi}{3},log_{27}\sqrt{3}}\right)$ বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।

$\left(\cos\dfrac{5\pi}{3},\sin\dfrac{7\pi}{4}\right)$ এবং$\left(\tan\dfrac{4\pi}{3},\cot\dfrac{7\pi}{3}\right)$ এর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর ।

$\left(\log _{3}4,\ln{e}\right)$ এবং $\left(\log10,\log_e10\right)$ বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।

$(a,b) , (b,c) , (0,0)$ বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে প্রমাণ কর যে, $a,b,c$ ক্রমিক সমানুপাতী ।

$(b,c)$ বিন্দুটি $(a+b,b-a)$ এবং $(a-b,a+b)$ বিন্দুদ্বয় সমদূরবর্তী হলে প্রমাণ কর যে $a,b,c$ গুণোত্তর ধারাভূক্ত ।

$A(t+3,5), B(6,t-3),C(2,5),$$D(t-1,t+1)$ বিন্দু চারটি $ABCD$ আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু হলে t এর মান নির্ণয় করে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

$t=6$

$A(a,b),\;B(b,a),\;C\left(\dfrac{1}{a},\dfrac {1}{b}\right)$

(ক) $AB$ নির্ণয় কর ।

(খ) $AB$ রেখার সমীকরণ এবং রেখাটি $-OX$ অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর ।

(গ) $\triangle{ABC}=0$ এবং $a\ne \pm b$ হলে দেখাও যে ,$a$ ও $b$ পরস্পরের গুণাত্মক বিপরীত ।

$A(p,3p),\; B(p^2,2p),\; C(p-2,p),\;D(1,1)$ 

(ক) $AB$ রেখাংশের ঢাল $\dfrac{1}{2}$ হলে $p=$কত?

(খ) $ABCD$ সামান্তরিক হলে $p$ এর মান নির্ণয় কর ।

(গ) $AC\bot BD$ হলে $p$ এর মান নির্ণয় কর ।

$ABCD$ আয়তক্ষেত্রের শীর্ষ বিন্দু যথাক্রমে $A(t-1,t-2),B(-1-t,t+2),$ $C(t+5,8-t) ,$$D(t+7,4-t)$

(ক) $t$ এর মান নির্ণয় করে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

(খ) $AB$ রেখাংশের ঢাল $-2$ হলে $t=$ কত?

(গ) $AB=2BC$ হলে $t$ এর সম্ভাব্য মানসমূহ নির্ণয় কর ।

(ঙ) আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল $28$ বর্গ একক হলে $t$ এর মান নির্ণয় কর ।

$A(a,b)$ এবং $B(b,a)$ বিন্দু দুটি যে রেখা উপর অবস্থিত সেই রেখাটি $x$-অক্ষের ঋণাত্মক দিকের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে?

$A(a,b)=A(x_1,y_1)$ এবং $B(b,a)=B(x_2,y_2)$.

$AB$ রেখার ঢাল, $m=\tan\theta =\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$

                       বা,$\tan\theta =\dfrac{b-a}{a-b}$

                       বা,$\tan\theta=\dfrac{-(a-b)}{a-b}$

                       বা,$\tan\theta=-1$

                       বা,$\tan\theta=-\tan{45^\circ}$

                       বা,$\tan\theta=\tan(180^\circ-45^\circ)$

                      বা,$\theta=135^\circ$

সুতরাং সরলরেখাটি $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $135^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে। অতএব $x$-অক্ষের ঋণাত্মক দিকের সাথে $(180^\circ-135^\circ)=45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।

১.$A(3,-1)$ এবং $B(4,-5)$ বিন্দু দুটি যে রেখা উপর অবস্থিত সেই রেখাটি $x$-অক্ষের ঋণাত্মক দিকের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে?

২.$A(1,\sqrt{3})$ এবং $B(\sqrt{3},3)$ বিন্দু দুটি যে রেখা উপর অবস্থিত সেই রেখাটি $x$-অক্ষের ঋণাত্মক দিকের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে?

$P(2,3),\;Q(3,-5)$ এবং $R(x,2x)$ বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।

$PQ$ রেখার ঢাল, $m_1=\dfrac{3-(-5)}{2-1}$

                         বা,$m_1=\dfrac{3+5}{1}$

                         $\therefore m_1=8$

$PR$ রেখার ঢাল, $m_2=\dfrac{x-2}{2x-3}$

 যেহেতু বিন্দু তিনটি সমরেখ, 

তাই, $m_1=m_2$

বা,$8=\dfrac{x-2}{2x-3}$

বা,$16x-24=x-2$

বা,$16x-x=24-2$

বা,$15x=22$

$\therefore x=\dfrac{22}{15}$  $(Ans.)$

$A(x,2x)$ বিন্দু হতে $x-$অক্ষের দূরত্ব এবং $B(3,2)$ বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।

$A(a,0)$ এবং $B(3a,2a)$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং রেখাটি $C(a,a^2)$ বিন্দুগামী হলে $x-$ অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে ষাটমূলক পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।

উত্তরঃ $71°33^\prime 54.18^{\prime \prime}$  

$y-2x+2=0$ এবং $y-3x+5=0$ রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু এবং মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

দেখাও যে $2x-y-21=0,\; x-2y+15=0,$$\; x-y-2=0$ রেখাত্রয় সমবিন্দু ।

একটি বর্গের কর্ণের শীর্ষ $y=x+3,\;y=-x+3$ সরলরেখার ছেদবিন্দু এবং $y=x-3,\;y=-x-3$ সরলরেখার ছেদবিন্দুতে অবস্থিত হলে বর্গটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

একটি বৃত্তের কেন্দ্র $(5,6)$ এবং ব্যাসার্ধ $13$ একক হলে ঐ বৃত্তের যে জ্যা এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(3,2)$ তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। 

$S=\left\{(x,y): x^2+y^2=36\right\}$

(ক) $(a,-a)$ এবং $(-a,a)$ বিন্দু দুটির সংযোগ রেখা $x-$ অক্ষের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে।

(খ) $S$ অন্বয়ের লেখচিত্র অঙ্কন করে দেখাও যে অন্বয়টি

ফাংশন নয়।

(গ) $S$ অন্বয়ের লেখচিত্র যে বক্ররেখা প্রকাশ করে তার যে জ্যা এর মধ্যবিন্দু $(3,3)$ তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

$A(6,3),\;B(-2,5),\;C(9,6)$ বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের শীর্ষ $B$ হতে $AC$ এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

১. $𝐴(𝑐, 0)$ এবং $𝐵(−𝑐, 0)$ বিন্দুদুটির হতে $𝑎𝑦 \sin 𝜃 + 𝑏𝑥 \cos 𝜃 = 𝑎𝑏$ সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $𝑝_1$ এবং $𝑝_2$.

(ক) $𝐴𝐵$ সরলরেখার সমীকরণ হতে ঢাল নির্ণয় কর।

(খ) উদ্দীপকের সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

(গ) প্রমাণ কর যে $𝑝_1 × 𝑝_2$ সর্বদাই $𝜃$ মুক্ত। যখন $a^2-b^2=c^2$

২.$4𝑥 + 3𝑦 = 𝑐$ এবং $12𝑥 − 5𝑦 = 2(𝑐 + 3)$

(ক) ২য় সরলরেখার $𝑦 −$ ছেদক এবং $+𝑥$ অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ নির্ণয় কর।

(খ) ২য় সরলরেখা অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল  16 বর্গ একক হলে $𝑐$ এর মান নির্ণয় কর।

(গ) মূল বিন্দু হতে রেখাদুটি সমদূরবর্তী হলে $𝑐$ এর মান নির্ণয় কর। উত্তরঃ 𝑐 = 10

১.একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি শীর্ষ বিন্দু যথাক্রমে $(0,5), (-5,0)$ হলে অপর শীর্ষবিন্দু-

(ক) $(0,1)$         (খ) $(1,0)$          (গ) $(0,0)$        (ঘ) $(5,5)$

২.$(-2,-1),(3,-1),(3,2)$ এবং $(a,b)$ বিন্দুগুলো একটি আয়তের চারটি শীর্ষবিন্দু হলে $a$ ও $b$ এর মান কত?

(ক) $2,-2$      (খ) $-2,2$     (গ) $-2,-2$      (ঘ) $2,2$

৩. $(x,y),(4,-3),(5,4),(-2,5)$ বিন্দু গুলো একটি বর্গের চারটি শীর্ষ হলে $x$ ও $y$ এর মান-

(ক) $-3,-2$    (খ) $-3,2$    (গ) $3,-2$      (ঘ) $3,2$

৪.$(6,1),(p,q),(12,1),(8,3)$ বিন্দুগুলো একটি সামান্তরিকের শীর্ষ বিন্দু হলে $p,q$ এর মান কত?

(ক) $-10,-1$    (খ) $-10,1$   (গ) $10,-1$    (ঘ) $10,1$

৫.$2x+3y=5$ এবং $3x-2y=3$ রেখাদুটির ছেদবিন্দুতে উৎপন্ন কোণ কত ডিগ্রী?

(ক) $0^\circ$      (খ) $90^\circ$        (গ) $60^\circ$          (ঘ) $30^\circ$

৬.$2x+3y=5$ এবং $3x-2y=7$ রেখাদুটির ছেদবিন্দুতে উৎপন্ন কোণ কত ডিগ্রী?

(ক) $0^\circ$      (খ) $90^\circ$        (গ) $60^\circ$          (ঘ) $30^\circ$

৭.$x=5$ এবং $x+2=0$ রেখাদুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত একক?

(ক) $3$     (খ) $5$     (গ) $7$      (ঘ) $9$

৮. $y-5=0$ এবং $y=6$ রেখাদুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত একক?

(ক) $1$    (খ) $4$      (গ) $8$      (ঘ) $11$

৯. $x-4=0$ এবং $y=3$ রেখাদুটির ছেদবিন্দু হতে মূলবিন্দুর দূরত্ব কত একক?

(ক) $\sqrt{13}$   (খ) $5$      (গ) $3$       (ঘ) $1$

১০. $A(3,-2) , B(4,6)$ এবং  $C(5,7)$ বিন্দু গুলো দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র কোনটি?

(ক) $\left(\dfrac{11}{3},4\right)$    (খ) $\left(-4,\dfrac{11}{3}\right)$    

(গ) $\left(4,-\dfrac{11}{3}\right)$   (ঘ)  $\left(4,\dfrac{11}{3}\right)$

১১.$(4,6),(5,7)$ বিন্দু দুটির সংযোগ রেখাংশের  মধ্যবিন্দুর সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ -

(ক) $9x-13y=0$               (খ) $13x+9y=0$        

(গ) $9x+13y=0$               (ঘ) $13x-9y=0$

১২. $y+\sqrt{3}x=5$ রেখাটি $x$-অক্ষের ঋণাত্মক দিকের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে?

(ক) $30^\circ$       (খ) $120^\circ$      (গ) $60^\circ$      (ঘ) $150^\circ$

১৩.মূলবিন্দুগামী সরলরেখা-

$i.x=0$

$ii.y=3$

$iii. 2y-3x=0$

কোনটি সঠিক?

(ক) $i, ii $      (খ) $i,iii$      (গ) $ii,iii $      (ঘ) $i, ii, iii $

১৪. $A(a,0)$ এবং $B(0,b)$ বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

(ক) $\pm \sqrt{a^2+b^2}$     (খ) $ \sqrt{a^2+b^2}$

(গ) $-\sqrt{a^2+b^2}$       (ঘ) $ \sqrt{a^2+b^2}$

(ক) $0$   (খ) $\tfrac {-2}{3}$   (গ) $\infty $    (ঘ) $\tfrac {2}{3}$ 

১.(গ) ২.(খ) ৩.(ক) ৪.(গ) ৫.(খ)  ৬.(ক) ৭.(গ)  ৮.(ক)  ৯.(খ)  ১০.(ঘ)  ১১.(ঘ)  ১২.(গ) ১৩.(খ)  ১৪.(খ)  ১৫.(ক)  ১৬.(ক)

                                       $borna$