mathematics, circle

(খ)প্রমাণ কর যে, $AC>BC$.

(গ) প্রমাণ কর যে, $AE=BE$.

(ঘ) প্রমাণ কর যে, $OF\bot BC$.

(ঙ)প্রমাণ কর যে, $OE>OF$

(চ) $OE=\left( \dfrac{x}{2}+2 \right)$ সে.মি. হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর ।

(ছ)বৃত্তটির পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

(জ) $\triangle ABC$ দ্বারা বৃত্তের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

(ঝ) $\triangle BOC$ ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

(ঞ)$BC$ জ্যা দ্বারা ছিন্ন চাপের অন্তর্গত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

$ABC$ ত্রিভুজের $AB=4$ সে.মি. , $BC=5$ সে.মি. , $AC=6$ সে.মি. এবং $\angle B$ ও $\angle C $ এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় ও বহিঃদ্বিখন্ডকদ্বয় যথাক্রমে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে ।অপর একটি $\triangle DEF$ এর সাথে $\triangle PBC$ এর $BC=EF $ এবং $\angle P+\angle D=180^\circ$.

(ক) প্রমাণ কর যে, $P,B,Q,C$ সমবৃত্ত।

(খ) বৃত্তটির কেন্দ্র $O$ এবং $PQ, BC $ কে $E$ বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ কর যে , $\angle POB+\angle COQ=2\angle PEB$.

(গ) প্রমাণ কর যে.$\triangle DEF$ ও $\triangle PBC$ এর পরিবৃত্তদ্বয় সমান।

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি $BC=4$ সে.মি. এবং অতিভুজ ও অপর বাহুর অন্তর $2$সে.মি. ।

(ক) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর।

(খ) $\angle B$ ও $\angle C $ এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় ও বহিঃদ্বিখন্ডকদ্বয় যথাক্রমে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে মিলিত হলে প্রমাণ কর যে, $PBQC$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ 

(গ) $PBQC$ বৃত্তের বহিস্থ $T$ বিন্দু হতে $TP$ এবং $TQ$ দুটি স্পর্শক আঁক যেন $\angle PTQ=75^\circ $ হয়।

সৃজনশীল প্রশঃ

$O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ এবং $CD$ জ্যা দুটি বৃত্তের অভ্যন্তরে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে। 

(ক) উপচাপ ও অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণের সীমা উল্লেখ কর ।

(খ) প্রমাণ কর যে, $\angle AEC=\dfrac{1}{2}(\angle AOC +\angle BOD)$

(গ) প্রমাণ কর যে , $ACBD$ চতুর্ভুজটির $\angle CAD+\angle CBD=180^\circ$.

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

$O$ কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ ও $CD$ দুটি জ্যা এবং$OE\bot AB$ ও $OF\bot CD$.

 (ক) তথ্যগুলোর চিত্র আঁক।

(খ)$OE=OF$ হলে প্রমাণ করো যে , $AB=CD$.

(গ)$OE<OF$ হলে প্রমাণ কর যে ,$AB>CD$.

সৃজনশীল প্রশ্নঃ 

$ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিস্থ  $\angle ADE$.

(ক)$AC$, $\angle BAD$ এর সমদ্বিখন্ডক হলে প্রমাণ কর যে, $BC=CD$.

(খ)প্রমাণ কর যে, $\angle B+\angle D=180^\circ$

(গ)প্রমাণ কর যে, $\angle B$ ও $\angle ADC$এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বৃত্তের উপরে মিলিত হয়।

গাণিতিক প্রশ্নঃ

$10\;\mathrm{cm}$ ব্যাসার্ধের দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করেছে। তাদের সাধারণ জ্যা এর দৈর্ঘ্য $12\;\mathrm{cm}$ হলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব কত?

গাণিতিক প্রশ্ন:

$16$ সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে

$17$ সেমি. দূরত্বে অবস্থিত বহিঃস্থ একটি

বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তের স্পার্শকের দৈর্ঘ্য হিসাব কর।

সমাধানঃ

कर्य करिय- $15.2$ 1) $\therefore O A \perp P A \quad O A=\frac{16}{2} \mathrm{cmA}=8 \mathrm{cmis}$ $O P=17 \mathrm{Chir}$ $$ \begin{aligned} P A^2 &=O P^2-O A^2 \\ &=\left(17^2-8^2\right) 5 . \text { (ma } \\ &=(289-64) \\ &=225 \\ \therefore P A & \sqrt{225 \mathrm{~cm}}=15 \text { लीखr } \end{aligned} $$ $\therefore$ PA ज्ञात्रव Cuर्जु 15 लभs

 $\therefore O A \perp P A $  $O A=\dfrac{16}{2} \mathrm{cm}=8 \mathrm{cm}$ এবং $O P=17 \mathrm{cm}$

$P A^2 =O P^2-O A^2 $

      $=17^2-8^2$

       $=289-64$

        $=225$

$\therefore P A = \sqrt{225} \mathrm{~cm}=15 \text {~ cm}$

গাণিতিক প্রশ্ন-২:

$O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ $A$ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক যথাক্রমে $PA$ এবং $PB$ । $\angle{PAQ}=60°$ হলে $\angle{APQ}$ কত ?

সমাধানঃ

$\therefore \quad \triangle A P Q$ এর $\angle A P Q=\angle A Q P$.

এখন, $\angle A P Q+\angle A Q P+\angle P A Q=180^{\circ}$

or, $\angle A P Q+\angle A P Q+60^{\circ}=180^{\circ}$

or, $\quad 2 \angle A P Q=180^{\circ}-60^{\circ}$

or, $\quad \angle A P Q=\left(\frac{60}{2}\right)^{\circ}=60^{\circ}$

$\therefore \quad \angle A P Q=60^{\circ}$.

গাণিতিক প্রশ্ন-৩:

कर्य करिय- $15.2$ 1) $\therefore O A \perp P A \quad O A=\frac{16}{2} \mathrm{cmA}=8 \mathrm{cmis}$ $O P=17 \mathrm{Chir}$ $$ \begin{aligned} P A^2 &=O P^2-O A^2 \\ &=\left(17^2-8^2\right) 5 . \text { (ma } \\ &=(289-64) \\ &=225 \\ \therefore P A & \sqrt{225 \mathrm{~cm}}=15 \text { लीखr } \end{aligned} $$ $\therefore$ PA ज्ञात्रव Cuर्जु 15 लभs

कर्य करिय- $15.2$ 1) $\therefore O A \perp P A \quad O A=\frac{16}{2} \mathrm{cmA}=8 \mathrm{cmis}$ $O P=17 \mathrm{Chir}$ $$ \begin{aligned} P A^2 &=O P^2-O A^2 \\ &=\left(17^2-8^2\right) 5 . \text { (ma } \\ &=(289-64) \\ &=225 \\ \therefore P A & \sqrt{225 \mathrm{~cm}}=15 \text { लीखr } \end{aligned} $$ $\therefore$ PA ज्ञात्रव Cuर्जु 15 लभs

$O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক $AP$ ও $AQ$ বৃত্তকে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে স্পর্শ করে । $PR$ একটি ব্যাস হলে প্রমাণ কর যে, $OA\parallel RQ$

সমাধানঃ

প্রমাণ করতে হবে যে, $O A \| R Q$

$\because O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ $A$ থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক $AP$

$\therefore \angle O R Q=\angle O Q R \longrightarrow \angle O Q Q(\angle O Q)$

$\triangle O R Q$ Q $O E: र E P O Q=\angle O R Q+\angle O Q R$

or, $\angle P O A+\angle Q O A=\angle O R Q+\angle O R Q[$ ar 2 bror

or, $\angle P O A+\angle P O A=2 \angle O R Q \quad I$ (1) bror mे

\&, $2 \angle P O A=2 \angle O R Q$

$\therefore \angle P O A=\angle O R Q$

4. প্রমাণ করি যে, একটি বৃত্তের পরিলিখিত কোনো চতুর্ভুজের যে-কোনো দুটি বিপরীত বাহুর দ্রারা

উৎপন কেন্দ্রস্থ সম্মুখ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক। 5. প্রমাণ করি যে, বৃত্তের পরিলিখিত সামাস্তরিক সা|্রই রম্বস। অধ্কিত স্পর্শকের উপর

$\mathrm{O}$ একটি বিন্দু এবং OD ও OE যথাক্ে A ও B কেল্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে

D ও $\mathrm{E}$ বিन্দুতে স্পর্শ করেছে।

$\angle \mathrm{COD}=56^{\circ}, \angle \mathrm{COE}=40^{\circ}, $

$\angle \mathrm{ACD}=\mathrm{x}^{\circ}$ এবং

$\angle \mathrm{BCE}=\mathrm{y}^{\circ}$ रनে প্রমাণ করি যে

$\mathrm{OD}=\mathrm{OC}=\mathrm{OE}$ এবং $\mathrm{x}-\mathrm{y}=8$ 218

                বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ

১. একটি ত্রিভুজের $30^\circ $ কোণের বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য $5$ সে.মি. হলে ঐ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সে.মি.?

(ক) $3.5$     (খ) $4$        (গ) $4.5$        (ঘ) $5$

২.$i. $ সমবাহু ত্রিভুজের লম্ববিন্দু,পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র একই বিন্দু ,

$ii.$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের লম্ববিন্দু পরিকেন্দ্র ভরকেন্দ্র সমান বাহু সংলগ্ন মধ্যমার উপর অবস্থান করে।

$iii.$ বিষমবাহু ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র, লম্ববিন্দু ও পরিকেন্দ্র সমরেখ ।

(ক) $i, ii$       (খ) $i, iii $     (গ) $ii,iii$      (ঘ) $i, ii, iii $

৩. বৃত্তস্থ $ABCD$ চতুর্ভুজের $AB=2$ সেন্টিমিটার, $BC=3$ সেন্টিমিটার $CD=4$ সেন্টিমিটার $AD= 5$ সেন্টিমিটার এবং একটি কর্ণ $AC=4 $সেন্টিমিটার হলে অপর কর্ণ কত সেন্টিমিটার?

(ক) $2.75$     (খ) $3.75$      (গ) $4.75$      (ঘ) $5.75$ 

৪. $\triangle ABC$ এর $\angle A$ এর সমদ্বিখন্ডক $BC$ কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে এবং পরিবৃত্তকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে যেখানে $AB=AC=7$ সে.মি.এবং $BD=CD=3$ সে.মি.। তাহলে $AD=$কত সে.মি.?

(ক) $10\sqrt{2}$       (খ) $5\sqrt{2}$         (গ) $2\sqrt{10}$       (ঘ) $2\sqrt{5}$

৫.নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধ $5$ সে.মি. হলে পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সে.মি.?

(ক) $10$       (খ) $5$        (গ) $2.5$    (ঘ) $25\pi$ 

৬. পরিকেন্দ্র হতে কোনো বাহুর দূরত্ব $5$ সে.মি.হলে লম্ববিন্দু হতে হতে ঐ বাহুর বিপরীত শীর্ষের দূরত্ব কত সে.মি.?

(ক) $10$       (খ) $5$        (গ) $2.5$    (ঘ) $\sqrt{5}$ 

৭. সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $3\sqrt{3}$  সেন্টিমিটার হলে তার পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সেন্টিমিটার?

(ক) $2\pi$     (খ) $9$      (গ) $27$      (ঘ) $3$

৮. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ $3$ সেন্টিমিটার এবং সমান সমান বাহু সংলগ্ন শীর্ষ হতে অঙ্কিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটার হলে সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেন্টিমিটার?

(ক) $3\sqrt{2}$      (খ) $2\sqrt{3}$     (গ) $6$    (ঘ) $3$

৯.সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-

(ক) অপর দুই বাহুর সমষ্টি        (খ) পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 

(গ) পরিবৃত্তের ব্যাস                  (ঘ) বহিঃবৃত্তের ব্যাস

১০. সমকেন্দ্রিক দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

(ক) $0$     (খ) $1$     (গ) $2$     (ঘ) অসংখ্য 

১১. সমকেন্দ্রিক দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

(ক) $0$     (খ) $1$     (গ) $2$     (ঘ) অসংখ্য 

                               উত্তরপত্রঃ

  ১. (ঘ)  ২.(ঘ) ৩. (ঘ)  ৪.(গ) ৫.(গ)  ৬.(ক) ৭.(ঘ) ৮.(খ) ৯.(গ) ১০.(ক) ১১.(ঘ)

                       উচ্চতর গণিত

                           বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ

১. $5$ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস কত সে.মি. ?

(ক) $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$       (খ) $\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$     (গ) $\dfrac{5\sqrt{2}}{3}$       (ঘ) $\dfrac{10\sqrt{2}}{3}$

                           উত্তরপত্রঃ

১. (খ)