mathematics, binomial expansion
mathematics, binomial expansion theorems and creative questions ,pascal triangle rule
সূত্রঃ
$\left(ax^p+bx^q\right)^n$ এর বিস্তৃতিতে $(r+1)$ তম পদে $x^m$ বিদ্যমান থাকলে-
$r=\dfrac{np-m}{p-q}$
সূত্রের প্রয়োগঃ
প্রশ্নঃ
$\left(x^4-\dfrac{3}{x^3}\right)^{15}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{-17}$ এর সহগ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
$\left(x^4-\dfrac{3}{x^3}\right)^{15}=\left(x^4-3x^{-3}\right)^{15}$ কে $\left(ax^p+bx^q\right)^n$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $p=4,q=-3,n=15$ এবং $x^{-17}$ এর ক্ষেত্রে $m=-17$
$\therefore r=\dfrac{np-m}{p-q}$
$=\dfrac{15×4-(-17)}{4-(-3)}$
$=\dfrac{60+17}{4+3}$
$=\dfrac{77}{7}$
$=11$
সুতরাং $x^{-17}$ এর সহগ $=\;^{15}C_{_{11}} ×(-3)^{11}$
গাণিতিক সমস্যা-১:
$\left(1+\dfrac{3x}{2}\right)^7\left(1+\dfrac{2}{3x}\right)^7$ এর বিস্তৃতিতে $x$ মুক্ত পদ নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা-২:
$\left(2-\dfrac{x}{2}\right)^6\left(1+\dfrac{x}{4}\right)^5$ এর বিস্তৃতিতে $x^5$ এর সহগ নির্ণয় কর ।
গাণিতিক সমস্যা-৩:
$\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}-2\right)^6$ এর বিস্তৃতিতে চলকমুক্ত পদ ও মধ্য পদ নির্ণয় কর ।
গাণিতিক সমস্যাঃ
সমাধান করঃ
$x!=x^3-x$
সমাধানঃ
$x!=x^3-x$
বা, $x(x-1)(x-2)!=x(x+1)(x-1)$
বা, $x(x-1)\left\{(x-2)!-(x+1)\right\}=0$
হয়, $x=0$ [এই মান দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয় না]
অথবা, $x-1=0$
বা, $x=1$ [ এই মান দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয় না]
অথবা $(x-2)!-(x+1)=0$
বা, $(x-2)(x-3)!-(x-2+3)=0$
বা, $(x-2)(x-3)!-(x-2)-3=0$
বা, $(x-2)\left\{(x-3)!-1\right\}=1×3=3×1$
এখন, $x-2=1$ হলে $(x-3)!-1=3$
বা, $x=3$ , ফলে $(3-3)!-1=3$ সত্য নয়।
অথবা, $x-2=3$ হলে $(x-3)!-1=1$
বা, $x=5$ ফলে $(5-3)!-1=1$ সত্য।
অতএব নির্ণেয় সমাধানঃ $x=5$
$\left(p-\dfrac{x}{2}\right)^6=r-96x+sx^2+\cdots\cdots$ এবং $Q=\left(k-\dfrac{x}{3}\right)^7$
(ক)$Q$ এর বিস্তৃতিতে ষষ্ঠ পদের সহগ নির্ণয় কর ।
(খ) $p, r, s$ এর মান নির্ণয় কর ।
(গ) $Q$ এর বিস্তৃতিতে $k^3$ এর সহগ $560$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর ।
সৃজনশীল প্রশ্ন-২:
$P=\left(a+\dfrac{x}{2}\right)^8 ,Q=\left(2x^2+\dfrac{1}{2x}\right)^9$
(ক) $Q$ কে তিন পদ পর্যন্ত বিস্তার কর।
(খ)$P$ এর বিস্তৃতিতে প্রথম তিনটি পদ যথাক্রমে $b, 512x, cx^2$ হলে $a, b, c $ এর মান নির্ণয় কর ।
(গ) $Q$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ ও $x$ বর্জিত পদ নির্ণয় কর ।
সৃজনশীল প্রশ্ন-৩:
$\left(1+\dfrac{x}{4}\right)^n$ এর বিস্তৃতিতে সপ্তম পদের সহগ নবম পদের সহগের $16$ গুণ।
(ক) চারপদ পর্যন্ত বিস্তৃতি কর।
(খ)$n$ এর মান নির্ণয় কর ।
(গ) মধ্যপদ ও দশম পদের সহগের অনুপাত এবং $x$ বর্জিত পদ নির্ণয় করো
সৃজনশীল প্রশ্ন-8:
$\left(x-\dfrac{1}{2x^2}\right)^{21}$
(ক) দেখাও যে,$0!=1$.
(খ) রাশিটির বিস্তৃতিতে $x$ মুক্তপদ এবং মধ্যপদ নির্ণয় কর।
(গ) রাশিটির বিস্তৃতিতে সপ্তমপদ অষ্টম পদের সমান হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-৫:
$\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}-2\right)^n$
(ক) তিনপদ পর্যন্ত বিস্তার কর।
(খ) রাশিটির বিস্তৃতিতে সপ্তম পদের সহগ নবম পদের সহগের $\dfrac{4}{13}$ গুণ হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর।
(গ) প্রাপ্ত $n$ এর মানের সাহায্যে ধ্রুবপদ এবং মধ্যপদ নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-৬:
$\left(2x-\dfrac{k}{x^3}\right)^n$
(ক)$n=4$ হলে প্যাসকেলের ত্রিভুজ বিধির সাহায্যে রাশিটির বিস্তার কর।
(খ)$n=12$ হলে রাশিটির বিস্তৃতিতে $x$ মুক্ত পদ নির্ণয় কর।
(গ)$n=10$ এর জন্য রাশিটির বিস্তৃতিতে পঞ্চম এবং ষষ্ঠ পদের সহগ সমান হলে $k$ এর মান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-৭:
$\left(2x^2+\dfrac{p}{x^3}\right)^{10}$
(ক)রাশিটির চতুর্থপদ পর্যন্ত বিস্তার কর।
(খ) রাশিটির বিস্তৃতিতে $x^5$ এবং $x^15$ এর সহগ দুটি পরস্পর সমান হলে $p$ এর মান নির্ণয় কর ।
(গ)রাশিটির বিস্তৃতিতে ধ্রুব পদ মধ্যপদের সহগের কতগুণ।
সৃজনশীল প্রশ্ন-৮:
$\left(a+kx\right)^n$
(ক)$a=1$ এবং $n=5$ হলে প্যাসকেলের ত্রিভুজ বিধির সাহায্যে বিস্তার কর।
(খ)$n=7$ এর জন্য রাশিটির বিস্তৃতিতে পঞ্চম এবং ষষ্ঠ পদের সহগ সমান হলে $\dfrac{k^2+a^2}{k^2-a^2}$ এর মান নির্ণয় কর।
(গ)$k=3$ এর জন্য রাশিটির বিস্তৃতিতে প্রথম তিনটি পদ যথাক্রমে $b,\dfrac{21}{2}bx,\dfrac{189}{4}bx^2$ হলে $b,n,a$ এর মান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-৯:
$\left(k-\dfrac{x}{3}\right)^7$
(ক)রাশিটির তিনপদ পর্যন্ত বিস্তার কর।
(খ)রাশিটির বিস্তৃতিতে $k$ এর সহগ $7$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
(গ)$x$ এর প্রাপ্ত মানের সাহায্যে যে দ্বিপদী রাশি পাওয়া যায় তার বিস্তৃতি থেকে $(1.01)^7$ এর আসন্ন মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-১০:
$P=\left(a+3x\right)^n$ এবং $Q=\left(2x^2+\dfrac{b}{x^3}\right)^{10}$
(ক) $\mathrm{\;^nC_{_4}\times 2=\;^nC_{_5}}$ হলে $n$ এর মান কত?
(খ) $P=c+\dfrac{21}{2}cx +\dfrac{189}{4}cx^2+\cdots \cdots $ হলে $a,c, n $ এর মান নির্ণয় কর।
(গ) $Q$ এর বিস্তৃতিতে $x^{10}$ এবং $x^{-20}$ এর সহগ পরস্পর সমান হলে $b$ এর মান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-১১:
$y=f(x)=x^n,n\in \mathbb{N}$
(ক) $f(3+\dfrac{x}{3})$ এর বিস্তৃতিতে $x^7$ এবং $x^8$ এর সহগ সমান হলে $m$ এর মান নির্ণয় কর ।
(খ) $f(b+2x)$ এর বিস্তৃতিতে প্রথম তিনটি পদ যথাক্রমে $a,\dfrac{10}{3}ax, \dfrac{40}{9}ax^2$ হলে $a,b,m$ এর মান নির্ণয় কর ।
(গ) দেখাও যে, $f((x+\dfrac{1}{2x})^2)$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ $=\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot\ldots\ldots \cdots (2n-1)}{n!}$
(ঘ) $f((x+\dfrac{1}{2x})^2)$ এর বিস্তৃতিতে $x^6$ এবং $x^8$ এর সহগ পরস্পর সমান হলে $n=$কত?
সৃজনশীল প্রশ্ন-১২:
$\left(\sqrt{x}-\dfrac{k}{\sqrt{x}}\right)^{10} ; k\in \mathbb{R}$
(ক) তিন পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি কর।
(খ) $k$ এর কোন মানের জন্য $x$ বর্জিত পদ $8064$ হবে?
(গ) যদি অষ্টম পদ $240$ হয় তবে তবে $k$ এর প্রাপ্ত মানের সাহায্যে $x$ এর মান নির্ণয় কর ।
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৩:
$y=f(x)=(1+x)^n$
(ক) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
(খ) $f(\dfrac{x}{4})$ এর বিস্তৃতিতে ষষ্ঠ পদের সহগ সপ্তম পদের সহগের দ্বিগুণ হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর।
(গ) $y$ এর বিস্তৃতিতে ষষ্ঠ, সপ্তম, অষ্টম ও নবম পদ যথাক্রমে $a,b,c,d$ হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{b^2-ac}{c^2-bd}=\dfrac{4a}{3c}$.
(ঘ) $a,b,c,d$ যথাক্রমে $r+1, r+2, r+3, r+4$ ক্রমিক পদের সহগ হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{c+d}=\dfrac{2b}{b+c}$
(ঙ) $n$ এর মান কত হলে $x$ , $x^2$ এবং $x^3$ এর সহগ সমান্তর ধারাভুক্ত হবে? উত্তরঃ $n=7$
(চ) $n$ এর মান কত হলে $x$ ,$x^2$ এবং $x^3$ এর সহগ গুণোত্তর ধারাভুক্ত হবে? যেখানে $n∈Z$. উত্তরঃ $n=-1$.
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৪:
$\left(\dfrac{x^4}{y^3}+\dfrac{y^2}{2x}\right)^{10}$
(ক) রাশিটির তিন পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর।
(খ) $y$ বর্জিত পদ নির্ণয় কর ।
(গ) $x$ বর্জিত পদ ও মধ্যপদ সমান হলে $y$ কে $x$ এর ফাংশন রুপে প্রকাশ করে ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর ।
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৫:
$\left(2x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)^8$ দ্বিপদী রাশি।
(ক) চারপদ পর্যন্ত বিস্তৃতি কর।
(খ) বিস্তৃতিতে $x$ বর্জিত পদ ও মধ্যপদের মান নির্ণয় কর।
(গ) বিস্তৃতিটির সাহায্যে $(-99.98)^8$ এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৬:
$y=\left(x^p+\dfrac{1}{x^2p}\right)^{3n}$
(ক) $n=2$ হলে রাশিটির ৩য় পদ পর্যন্ত বিস্তার কর।
(খ) $y=x^18+9x^12+36x^6+⋯⋯$ হলে $p$ ও $n$ এর মান বের কর।
(গ) দেখাও যে, রাশিটির বিস্তৃতিতে সর্বদাই $x$ বর্জিত পদ থাকবে এবং $n=4$ এর জন্য তা নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৭:
$\left(1+\dfrac{x}{4}\right)^n$
(ক) রাশিটিকে দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে চার পদ পর্যন্ত বিস্তার কর।
(খ) রাশিটির বিস্তুতিতে তৃতীয় পদের সহগ চতুর্থ পদের সহগের দ্বিগুন হলে $n$ এর মান নির্ণয় করে মধ্যপদ নির্ণয় কর।
(গ) $n$ প্রাপ্ত মানের জন্য বিস্তৃতিটির সাহায্যে $(1.0025)^n$ এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বের কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৮:
$\left(2x^2+\dfrac{p}{x^3}\right)^{10}$ একটি দ্বিপদী রাশি।
(ক) রাশিটির ৩য় পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি কর।
(খ) রাশিটির বিস্তৃতিতে $x^5$ এবং $x^{15}$ এর সহগ দুটি পরস্পর সমান হলে $p$ এর মান কত?
(গ) রাশিটির বিস্তৃতিতে $x$ বর্জিত পদের মান বের কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৯:
$(a+kx)^n$ একটি দ্বিপদী রাশি।
(ক) $a=1$ এবং $n=5$ হলে রাশিটির বিস্তৃতি কর।
(খ) $n=7$ এর জন্য রাশিটির ৫ম ও ৬ষ্ট পদের সহগ সমান হলে $\dfrac{k^2+a^2}{k^2-a^2}$ এর মান বের কর।
(গ) $k=3$ এর জন্য রাশিটির প্রথম তিনটি পদ যথাক্রমে $b,\dfrac{21}{2}bx,\dfrac{189}{4}bx^2$ হলে $a,b,n$ এর মান বের কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-২০:
$\left(k-\dfrac{x}{3}\right)^7;(xϵN)$ একটি দ্বিপদী রাশি। এর বিস্তৃতিতে $k$ এর সহগ $7$
(ক) রাশিটিকে বিস্তার কর।
(খ) $x$ এর মান নির্ণয় কর।
(গ) $x$ প্রাপ্ত মানের জন্য রাশিটির বিস্তৃতিতে সহগ গুলোর যোগফল নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা
$\left(x^2+\dfrac{1}{x^2} -2\right)^4$ এর বিস্তৃতিতে $x$ বির্জিত পদ নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা
$(x+y)^n$ এর বিস্তৃতিতে সাধারন পদটি লিখ।
গাণিতিক সমস্যা
$^nC_x=\;^nC_y$ হলে $x,y$ ও $n$ এর সম্পর্ক সমীকরন লিখ।
গাণিতিক সমস্যা
$^nC_n=\;^nC_0 =$ কত?
গাণিতিক সমস্যাঃ
সমাধান করঃ
$x!=x^3-x$
$Ans:\; 5$
বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ
১.$\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\right)^{10}$এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কত?
(ক) $10$ (খ) $11$ (গ) $20$ (ঘ) $21$
২.$(a+x)^{30}$ এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ কত?
(ক) $^{30}C_r ax$ (খ) $^{30}C_r a^{30}x^r$
(গ) $^{30}C_r a^r x^a$ (ঘ)$^{30}C_r a^{30-r}x^r$
৩.$(1+x)^{m+n}$ এর বিস্তৃতিতে $x^m$ এর সহগ কত?
(ক) $\dfrac{(m+n)!}{m!n!}$ (খ) $\dfrac{(m!+n!}{m!n!}$
(গ) $\dfrac{m!n!}{(m+n)!}$ (ঘ)$\dfrac{m!n!}{m!+n!}$
৪.$\left(y-\dfrac{1}{2y}\right)^{16}$ এর চলকমুক্ত পদ কত তম পদ?
(ক) $7$ (খ) $8$ (গ) $9$ (ঘ) $10$
৫. $\left(\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{1}{3x}\right)^9$ এর বিস্তৃতিতে $x$ বর্জিত পদ-
(ক) $\dfrac{242}{3^8}$ (খ) $\dfrac{-224}{3^8}$ (গ) $\dfrac{224}{3^8}$ (ঘ) $\dfrac{-242}{3^8}$
৬.$(1+ax)^8$ এর বিস্তৃতিতে $x^3$ এবং $x^4$ এর সহগ পরস্পর সমান হলে $a$ এর মান কত?
(ক) $\dfrac{5}{4}$ (খ) $\dfrac{4}{5}$ (গ) $\dfrac{16}{5}$ (ঘ) $\dfrac{5}{16}$
৭.$(1+3x)^{10}$ এর বিস্তৃতিতে পঞ্চম পদ ও ষষ্ঠ পদ সমান হলে $x$ এর মান কোনটি?
(ক) $\dfrac{2}{5}$ (খ) $\dfrac{1}{3}$ (গ) $\dfrac{8}{25}$ (ঘ) $\dfrac{5}{18}$
৮. $\left(x^3+\dfrac{1}{x}+2x\right)^n$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ কত তম পদ?
(ক) $2n$ (খ) $2n+1$ (গ) $n$ (ঘ) $n+1$
৯.$^nC_0$ এর মান-
$i.0!$
$ii.$$^nC_n$
$iii.$$^nC_1$
কোনটি সঠিক?
(ক) $i,ii$ (খ) $i,iii$ (গ) $ii,iii$ (ঘ) $i,ii,iii$
১০.$(1-x)^n$ এর বিস্তৃতিতে-
$i.$ প্যাসকেলের ত্রিভুজ বিধি প্রযোজ্য ।
$ii.$সবগুলো পদের সহগের সমষ্টি শূণ্য ।
$iii.$জোড় তম পদগুলোর সহগের সমষ্টির পরমমান =বিজোড় তম পদগুলোর সহগের সমষ্টি ।
কোনটি সঠিক?
(ক) $i,ii$ (খ) $i,iii$ (গ) $ii,iii$ (ঘ) $i,ii,iii$
নিচের উদ্দীপকের সাহায্যে ১১-১৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
$(1-2x+x^2)^5$ একটি দ্বিপদী রাশি ।
১১.রাশিটির বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা-
(ক) $5$ (খ) $7$ (গ) $9$ (ঘ) $11$
১২. $x$ বর্জিত পদের মান কত?
(ক) $1$ (খ) $3$ (গ) $-1$ (ঘ) $-3$
১৩. ধ্রুবপদসহ সবগুলো পদের সহগের যোগফল কত?
(ক) $10$ (খ) $-10$ (গ) $5$ (ঘ) $0$
১৪. $i.^nC_a=^nC_b$ হলে $n-a=b$.
$ii.0!=0$
$iii.1!=1$
কোনটি সঠিক?
(ক) $i, ii$ (খ) $i, iii$ (গ) $ii,iii$ (ঘ) $i, ii, iii $
১৫. $\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{3}{x^2}\right)^{10}$ এর বিস্তৃতিতে $x^4$ এর সহগ কত?
(ক) $\dfrac{405}{256}$ (খ) $\dfrac{405}{16}$ (গ) $\dfrac{450}{263}$ (ঘ) $\dfrac{504}{263}$
১৬. $f(x)=x^2$ এর ক্ষেত্রে $f((a-b)^3)$ এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কত?
(ক) $3$ (খ) $5$ (গ) $6$ (ঘ) $7$
abdus sattar
Simple Blogger
Good Job Sir💛
Sir, Where can I find the answers? 😢
You are a fool...😠
Thanks