mathematics, algebraic ratio and proportion

Question:

If $a,b,c$ are be continued proportion, prove that 

$(i).\dfrac{a^3-b^3}{a+b+c}=a(a-b)$

$(ii).\dfrac{a^3+b^3}{a-b+c}=a(a+b)$

$(iii).\dfrac{a^3+b^3}{b^3+c^3}=\dfrac{a(a+b)}{c(b+c)}$

$(iv).\dfrac{a^3-b^3}{b^3-c^3}=\dfrac{a(a-b)}{c(b-c)}$

Question:

$\dfrac{x^{3}+3 x}{x^{2}+1}=\dfrac{14}{13} $

Solution:

$\dfrac{x^{3}+3 x}{x^{2}+1}=\dfrac{14}{13} $

$\Rightarrow \dfrac{x^{3}+3 x+3 x^{2}+1}{x^{3}+3 x-3 x^{2}-1}=\dfrac{14+13}{14-13}$

$\Rightarrow \dfrac{(x+1)^{3}}{(x-1)^{3}}=\dfrac{27}{1}$

$\Rightarrow\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^{3}=27$

$\Rightarrow \dfrac{x+1}{x-1}=3$

$\Rightarrow 3x-3=x+1$

$\Rightarrow 2x=4$

$\therefore x=2$

Questions:

1. If $\dfrac{x+y}{3 a-b}=\dfrac{y+z}{3 b-c}=\dfrac{z+x}{3 c-a}$  show that $\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=\dfrac{a x+b y+c z}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ 

2. If $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}$ , show that

$(i)$ $\dfrac{x^{2}-y z}{a^{2}-b c}=\dfrac{y^{2}-z x}{b^{2}-c a}=\dfrac{z^{2}-x y}{c^{2}-a b}$

$(ii)$ $\dfrac{x^3}{a^2}+\dfrac{y^3}{b^2}+\dfrac{z^3}{c^2}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{\left(a+b+c\right)^2}$

3. If $\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}=\dfrac{2 a-3 b+4 c}{x}$ , find the value of $x$.

4. If $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1$ , prove that $\dfrac{a^{2}}{b+c}+\dfrac{b^{2}}{c+a}+\dfrac{c^{2}}{a+b}=0$.

Solution of 4:

Given that ,

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1$

 Multipling by $a+b+c$ on both sides, where  $a+b+c \neq 0$

$\Rightarrow \dfrac{a(a+b+c)}{b+c}+\dfrac{b(a+b+c)}{c+a}+\dfrac{c(a+b+c)}{a+b}=$$(a+b+c)$

$\Rightarrow \dfrac{a^{2}}{b+c}+\dfrac{a(b+c)}{b+c}+\dfrac{b^{2}}{c+a}+\dfrac{b(c+a)}{c+a}+\dfrac{c^{2}}{a+b}$$+\dfrac{c(a+b)}{a+b}=(a+b+c)$

$\Rightarrow \dfrac{a^{2}}{b+c}+a+\dfrac{b^{2}}{c+a}+b+\dfrac{c^{2}}{a+b}+c=$$(a+b+c)$

$\Rightarrow \dfrac{a^{2}}{b+c}+\dfrac{b^{2}}{c+a}+\dfrac{c^{2}}{a+b}=0$   (proved)

সংক্ষিপ্ত প্রশ্নঃ

$(i)$ তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল 64 হলে, প্রথম ও তৃতীয়টির মধ্যসমানুপাতী কত?

$(ii)$ $\mathrm{a}: 2=\mathrm{b}: 5=\mathrm{c}: 8$ হলে $\mathrm{a}$-এর $50 \%=\mathrm{b}$-এর $20 \%=\mathrm{c}-$ এর $\% কত? $

$(iii)$ $(x+2)$ এবং $(x-3)$ এর মধ্য সমানুপাতী $x$ হলে, $x$-এর মান কত ?

  প্রশ্নঃ

$a^2b^2c^2\left(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}\right)=a^3+b^3$ হলে প্রমাণ কর যে. $c^2=ab$.

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

$a^2b^2c^2\left(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}\right)=a^3+b^3$ 

বা,$c^2\left(\dfrac{a^2b^2}{a^3}+\dfrac{a^2b^2}{b^3}\right)=a^3+b^3$ 

বা,$c^2\left(\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{a^2}{b}\right)=a^3+b^3$

বা,$c^2\left(\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{a^2}{b}\right)=ab\left(\dfrac{a^3}{ab}+\dfrac{b^3}{ab}\right)$

বা,$c^2\left(\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{a^2}{b}\right)=ab\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\right)$

বা,$c^2=ab$

$\therefore a:c=c:b$

সুতরাং $a,c,b$ ক্রমিক সমানুপাতী।

বিকল্প সমাধানঃ

$a^2b^2c^2\left(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}\right)=a^3+b^3$

বা, $a^2b^2c^2\left(\dfrac{b^3+a^3}{a^3b^3}\right)=a^3+b^3$

বা, $\dfrac{c^2\left(a^3+b^3\right)}{ab}=a^3+b^3$

বা, $c^2\left(a^3+b^3\right)=ab\left(a^3+b^3\right)$

বা, $c^2a^3+c^2b^3=a^4b+ab^4$

বা, $c^2a^3-a^4b+c^2b^3-ab^4=0$

বা, $a^3\left(c^2-ab\right)+b^3\left(c^2-ab\right)=0$

বা, $\left(c^2-ab\right)\left(a^3+b^3\right)=0$

হয়, $c^2-ab=0$           অথবা, $a^3+b^3=0$

বা, $c^2=ab$

সুতরাং $a,c,b$ ক্রমিক সমানুপাতিক।

প্রশ্নঃ

$a^2b^2c^2\left(\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\right)=b^3+c^3$ হলে প্রমাণ কর যে. $a^2=bc$.

প্রশ্নঃ

$\dfrac{a^2}{b+c}=\dfrac{b^2}{c+a}=\dfrac{c^2}{a+b}=1$ হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=1$

প্রশ্নঃ

$a^2b^2c^2\left(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{c^3}\right)=a^3+c^3$ হলে প্রমাণ কর যে. $b^2=ac$

অথবা, প্রমাণ কর যে, $a,b,c $ ক্রমিক সমানুপাতী।

প্রশ্নঃ

$a^2b^2c^2\left(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3$ হলে প্রমাণ কর যে. $b^2=ac$

অথবা, প্রমাণ কর যে, $a,b,c $ ক্রমিক সমানুপাতী।

প্রশ্নঃ

$\dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\dfrac{(a+b)^2}{(b+c)^2}$ হলে প্রমাণ কর যে, $a,b.c$ ক্রমিক সমানুপাতী।

প্রশ্নঃ

 $a,b.c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\dfrac{(a+b)^2}{(b+c)^2}$ 

প্রশ্নঃ

$x(b-c)+y(c-a)+z(a-b)=0$ হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{bz-cy}{b-c}=\dfrac{cx-az}{c-a}=\dfrac{ay--bx}{a-b}$

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

     $x(b-c)+y(c-a)+z(a-b)=0\cdots\cdots (i)$ 

বা, $cx(b-c)+cy(c-a)+cz(a-b)=c×0$ 

বা, $cx(b-c)+c^2y-cay+caz-bcz=0$

বা, $cx(b-c)-abz+abz+c^2y-cay+caz-bcz=0$

বা, $cx(b-c)-abz+caz=cay+bcz-abz-c^2y$

বা, $cx(b-c)-az(b-c)=cy(a-c)-bz(a-c)$

বা, $(b-c)(cx-az)=(a-c)(cy-bz)$

বা, $(b-c)(cx-az)=(c-a)(bz-cy)$

$\therefore \dfrac{cx-az}{c-a}=\dfrac{bz-cy}{b-c}\cdots\cdots (ii)$

অনুরূপভাবে $(i)$ নং কে $a$ দ্বারা গুণ করে,

$\dfrac{cx-az}{c-a}=\dfrac{ay--bx}{a-b}\cdots\cdots (iii)$

$(ii)$ ও $(iii)$ নং সমীকরণ হতে পাই, 

$\dfrac{bz-cy}{b-c}=\dfrac{cx-az}{c-a}=\dfrac{ay--bx}{a-b}$

প্রশ্নঃ

$x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ হলে $\dfrac{\sqrt{1+x}}{1+\sqrt{1+x}}-\dfrac{\sqrt{1-x}}{1-\sqrt{1-x}}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

     $\dfrac{1+x}{1+\sqrt{1+x}}-\dfrac{1-x}{1-\sqrt{1-x}}$

বা, $\dfrac{(1+x)\left(1-\sqrt{1-x}\right)-(1-x)\left(1+\sqrt{1+x}\right)}{\left(1+\sqrt{1+x}\right)\left(1-\sqrt{1-x}\right)}$

প্রশ্নঃ

$\dfrac{8}{x}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{x+4a}{x-4a}+\dfrac{x+4b}{x-4b}=2$

প্রশ্নঃ

 $\dfrac{x+4a}{x-4a}+\dfrac{x+4b}{x-4b}=2$ হলে প্রমাণ কর যে,$\dfrac{8}{x}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ 

প্রশ্নঃ

$x=\dfrac{2nab}{a+b}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{x+na}{x-na}+\dfrac{x+nb}{x-nb}=2$

প্রশ্নঃ

$\dfrac{x+na}{x-na}+\dfrac{x+nb}{x-nb}=2$ হলে প্রমাণ কর যে,$x=\dfrac{2nab}{a+b}$

প্রশ্নঃ 

$3bx^2-4ax+3b=0$ হলে প্রমাণ কর যে, $x=\dfrac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}$

সমাধানঃ 

দেওয়া আছে, 

$3bx^2-4ax+3b=0$

বা,$3bx^2+3b=4ax$

বা,$3b(x^2+1)=2x\cdot 2a$

বা,$\dfrac{x^2+1}{2x}=\dfrac{2a}{3b}$

বা,$\dfrac{x^2+1+2x}{x^2+1-2x}=\dfrac{2a+3b}{2a-3b}$

বা, ,$\dfrac{x^2+2x+1}{x^2-2x+1}=\dfrac{2a+3b}{2a-3b}$

বা,$\dfrac{(x+1)^2}{(x-1)^2}=\dfrac{2a+3b}{2a-3b}$

বা,$\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{\sqrt{2a+3b}}{\sqrt{2a-3b}}$

বা,$\dfrac{x+1+x-1}{x+1-x+1}=\dfrac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}$

বা,$\dfrac{2x}{2}=\dfrac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}$

$\therefore x=\dfrac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}$

প্রশ্নঃ

$\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}=b$ হলে প্রমাণ কর যে, $b^2-\dfrac{2b}{x}+1=0$

প্রশ্নঃ 

$b^2-\dfrac{2b}{x}+1=0$হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}=b$.

সমাধানঃ 

দেওয়া আছে, 

$b^2-\dfrac{2b}{x}+1=0$

বা,$b^2+1=\dfrac{2b}{x}$

বা,$\dfrac{b^2+1}{2b}=\dfrac{1}{x}$

বা,$\dfrac{b^2+1+2b}{b^2+1-2b}=\dfrac{1+x}{1-x}$

বা,$\dfrac{b^2+2b+1}{b^2-2b+1}=\dfrac{1+x}{1-x}$

বা,$\dfrac{(b+1)^2}{(b-1)^2}=\dfrac{1+x}{1-x}$

বা,$\dfrac{b+1}{b-1}=\dfrac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}$ 

বা,$\dfrac{b+1+b-1}{b+1-b+1}=\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$  

 $\therefore b=\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$  

প্রশ্নঃ 

$x=\dfrac{b}{2a} \left(c+\dfrac{1}{c}\right)$ হলে প্রমাণ কর যে $\dfrac{\sqrt{ax+b}+\sqrt{ax-b}}{\sqrt{ax+b}-\sqrt{ax-b}}=c$

সমাধানঃ 

দেওয়া আছে, 

$x=\dfrac{b}{2a} \left(c+\dfrac{1}{c}\right)$

বা,$ax=\dfrac{b}{2} \left(c+\dfrac{1}{c}\right)$

বা, $\dfrac{ax}{b}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{c^2+1}{c}$

বা, $\dfrac{ax}{b}=\dfrac{c^2+1}{2c}$

বা, $\dfrac{ax+b}{ax-b}=\dfrac{c^2+1+2c}{c^2+1-2c}$

বা, $\dfrac{ax+b}{ax-b}=\dfrac{c^2+2c+1}{c^2-2c+1}$

বা, $\dfrac{ax+b}{ax-b}=\dfrac{(c+1)^2}{(c-1)^2}$

বা, $\dfrac{\sqrt{ax+b}}{\sqrt{ax-b}}=\dfrac{c+1}{c-1}$

বা, $\dfrac{\sqrt{ax+b}+\sqrt{ax-b}}{\sqrt{ax+b}-\sqrt{ax-b}}=\dfrac{c+1+c-1}{c+1-c+1}$

বা, $\dfrac{\sqrt{ax+b}+\sqrt{ax-b}}{\sqrt{ax+b}-\sqrt{ax-b}}=\dfrac{2c}{2}$

 $\therefore \dfrac{\sqrt{ax+b}+\sqrt{ax-b}}{\sqrt{ax+b}-\sqrt{ax-b}}=c$

প্রশ্নঃ 

$x^3-3mx^2+3x-m=0$ হলে প্রমাণ কর যে $x=\dfrac{\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}}{\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m-1}}$

সমাধানঃ 

দেওয়া আছে, 

$x^3-3mx^2+3x-m=0$ 

বা,$x^3+3x=3mx^2+m$

বা,$x^3+3x=m(3x^2+1)$

বা, $\dfrac{x^3+3x}{3x^2+1}=m$

বা,$\dfrac{x^3+3x+3x^2+1}{x^3+3x-3x^2-1}=\dfrac{m+1}{m-1}$

বা,$\dfrac{(x+1)^3}{(x-1)^3}=\dfrac{m+1}{m-1}$

বা,$\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{\sqrt[3]{m+1}}{\sqrt[3]{m-1}}$

বা,$\dfrac{x+1+x-1}{x+1-x+1}=\dfrac{\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}}{\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m-1}}$

বা,$\dfrac{2x}{2}=\dfrac{\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}}{\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m-1}}$

$\therefore x=\dfrac{\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}}{\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m-1}}$

      সৃজনশীল প্রশ্নঃ 

$\dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}$

(ক)প্রমাণ কর যে, প্রতিটি অনুপাতের মান শূণ্য ।

(খ)$x+y+z=0$ হলে প্রমাণ কর যে, $x^3+y^3+z^3=0$

(গ)$x+y+z=0$ হলে প্রমাণ কর যে, $x^3+y^2+z=0$

(ঘ)$x+y+z=a+b+c$ হলে প্রমাণ কর যে, $x^3+y^3+z^3=a^3+b^3+c^3$

(ঙ)$x+y+z=a+b+c$ হলে প্রমাণ কর যে, $x^3+y^2+z=a^3+b^2+c$

(চ)(ঘ)$x+y+z=a+b+c$ হলে প্রমাণ কর যে, $x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2$

(ছ)প্রমাণ কর যে,$\dfrac{x^3}{a^2}+\dfrac{y^3}{b^2}+\dfrac{z^3}{c^2}=\dfrac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2}$

(জ)প্রমাণ কর যে,$\dfrac{x^3}{a^2}-\dfrac{y^3}{b^2}-\dfrac{z^3}{c^2}=\dfrac{(x-y-z)^3}{(a-b-c)^2}$

(ঝ)প্রমাণ কর যে,$\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}=\dfrac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$

(ঞ)প্রমাণ কর যে,$\dfrac{x^2}{a}-\dfrac{y^2}{b}-\dfrac{z^2}{c}=\dfrac{(x-y-z)^2}{a-b-c}$

(ক) নং প্রশ্নের সমাধানঃ 

মনে করি,

$\dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}=k$

$\therefore \dfrac{bz-cy}{a}=k$

বা,$ak=bz-cy$

বা,$a^2k=abz-cay \cdots \cdots (i)$

অনুরূপভাবে, $b^2k=bcx-abz \cdots \cdots (ii)$

এবং $c^2k=cay-bcx \cdots \cdots (iii)$

$(i)+(ii)+(iii) \Rightarrow$

$k(a^2+b^2+c^2)=0$

$\therefore k=0$   $[\because a^2+b^2+c^2 \ne 0]$

সুতরাং প্রতিটি অনুপাতের মান শূণ্য ।

বিকল্প নিয়মঃ

$\dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}$

বা, $\dfrac{abz-cay}{a^2}=\dfrac{bcx-abz}{b^2}=\dfrac{cay-bcx}{c^2}$

বা, $\dfrac{abz-cay}{a^2}=\dfrac{bcx-abz}{b^2}=\dfrac{cay-bcx}{c^2}=$$\dfrac{abz-cay+bcx-abz+cay-bcx}{a^2+b^2+c^2}$

বা,$\dfrac{abz-cay}{a^2}=\dfrac{bcx-abz}{b^2}=\dfrac{cay-bcx}{c^2}=$$\dfrac{0}{a^2+b^2+c^2}$ 

বা, $\dfrac{abz-cay}{a^2}=\dfrac{bcx-abz}{b^2}=\dfrac{cay-bcx}{c^2}=0$

$\therefore \dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}=0$

সুতরাং প্রতিটি অনুপাতের মান শূণ্য ।

(খ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

যেহেতু প্রতিটি অনুপাতের মান শূণ্য, 

সুতরাং, $\dfrac{bz-cy}{a}=0$

          বা, $bz-cy=0$

          বা,$bz=cy$

        $\therefore \dfrac{z}{c}=\dfrac{y}{b} \cdots \cdots (i)$ 

এবং $\dfrac{cx-az}{b}=0$

বা, $cx-az=0$

বা, $cx=az$

$\therefore \dfrac{x}{a}=\dfrac{z}{c} \cdots \cdots \cdots (ii)$ 

$(i)$ ও $(ii)$ হতে পাই, 

$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}$

বা,$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}$ 

বা,$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{0}{a+b+c}$    [$\therefore x+y+z=0$]

বা,$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=0$ 

 $\therefore x=y=z=0$

$L.H.S=x^3+y^3+z^3$

          $=0+0+0$

          $=0$

          $=R.H.S$

$\therefore L.H.S=R.H.S$ (প্রমাণিত)

 (ঘ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ 

'(খ)' নং হতে প্রাপ্ত ,

$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}$

বা,$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}$ 

বা,$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}$ 

বা,$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=1$ 

$\therefore \dfrac{x}{a}=1$

বা, $x=a$

অনুরূপভাবে, $y=b$ এবং $z=c$

$L.H.S=x^3+y^3+z^3$

          $=a^3+b^3+c^3$

          $=R.H.S$

 $\therefore L.H.S=R.H.S$ (প্রমাণিত)

(ছ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ 

'(খ)' নং হতে প্রাপ্ত ,

$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}$

মনে করি,

$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=k$

$\therefore \dfrac{x}{a}=k$

                   বা, $x=ak$

 অনুরূপভাবে  $y=bk$

              এবং $z=ck$

$L.H.S=\dfrac{x^3}{a^2}+\dfrac{y^3}{b^2}+\dfrac{z^3}{c^2}$

     $=\dfrac{(ak)^3}{a^2}+\dfrac{(bk)^3}{b^2}+\dfrac{(ck)^3}{c^2}$

    $=\dfrac{a^3k^3}{a^2}+\dfrac{b^3k^3}{b^2}+\dfrac{c^3k^3}{c^2}$

    $=ak^3+bk^3+ck^3$

    $=k^3(a+b+c)$

$R.H.S=\dfrac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2}$

         $=\dfrac{(ak+bk+ck)^3}{(a+b+c)^2}$

         $=\dfrac{\{k(a+b+c)\}^3}{(a+b+c)^2}$

         $=\dfrac{k^3(a+b+c)^3}{(a+b+c)^2}$

         $=k^3(a+b+c)$

$\therefore L.H.S=R.H.S$

সৃজনশীল প্রশ্নঃ 

$\dfrac{a+b-c}{a+b}=\dfrac{b+c-a}{b+c}=\dfrac{c+a-b}{c+a}$

(ক) $3.5:5.6$ কে $1:a$ অনুপাতে প্রকাশ কর।

(খ) $a+b+c\ne 0$ প্রমাণ কর যে $a=b=c$.

(গ) প্রমাণ কর যে প্রতিটি অনুপাতের মান $-1$ অথবা $\dfrac{1}{2}$.

প্রশ্নঃ 

দুটি বর্গের পরিসীমা যথাক্রমে $a$ মিটার ও $b$ মিটার হলে এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর ।

প্রশ্নঃ 

দুটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $a$ মিটার ও $b$ মিটার হলে এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর ।

দ্বিগুণানুপাতঃ

কোন অনুপাতের পূর্বরাশি ও উত্তর রাশিকে বর্গ করে যে অনুপাত পাওয়া যায় তাকে দ্বিগুণানুপাত বলে ।

যেমনঃ $4:5$ এর দ্বিগুণানুপাত $16:25$

দ্বিভাজিত অনুপাতঃ

যে অনুপাতের পূর্বরাশি ও উত্তর রাশিকে বর্গমূল করে যে অনুপাত পাওয়া যায় তাকে দ্বিভাজিত অনুপাত বলে ।

যেমনঃ $9:25$ দ্বিভাজিত অনুপাত $3:5$

সৃজনশীল প্রশ্নঃ 

একটি ল্যাম্পপোস্ট $(AB)$ থেকে $p$ মিটার দূরে দাঁড়ানো $r$ মিটার উচ্চতার একব্যক্তি $(PQ)$ এর ছাঁয়ার দৈর্ঘ্য $s$ মিটার। যেখানে $s=QM$ এবং  $AB=h$ মিটার ।

(ক) চিত্রটি আঁক ।

(খ) প্রমাণ কর যে, $\triangle MAB:\triangle MPQ= AB^2:PQ^2$ 

(গ) $p$ কে $h,r$ ও $s$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

     সৃজনশীল প্রশ্নঃ

একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল $432$ বর্গমিটার এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য $30$ মি.। ঐ জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সাথে অপর একটি জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে $3:4$ এবং $2:5$.

(ক)প্রদত্ত জমির ক্ষেত্রফল কত হেক্টর?

(খ) ২য় জমির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

(গ) ১ম জমির দৈর্ঘ্য ও ২য় জমির প্রস্থ নির্ণয় কর।

(ঘ)২য় জমির কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

(খ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ 

মনে করি, 

১ম জমির দৈর্ঘ্য $l_1$ এবং প্রস্থ $b_1$;

২য় জমির দৈর্ঘ্য $l_2$ এবং প্রস্থ $b_2$;

১ম জমির ক্ষেত্রফল, $A_1=432$ বর্গমিটার।

২য় জমির ক্ষেত্রফল, $A_2=x$ বর্গমিটার 

দেওয়া আছে, $l_1:l_2=3:4$ 

              বা, $\dfrac{l_1}{l_2}=\dfrac{3}{4}$

              এবং $b_1:b_2=2:5$

               বা, $\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{2}{5}$

এখন, $\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{l_1 b_1}{l_2 b_2}$

বা, $\dfrac{432}{x}=\dfrac{l_1}{l_2}\cdot \dfrac{b_1}{b_2}$

বা,$\dfrac{432}{x}=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{2}{5}$ 

বা,$\dfrac{432}{x}=\dfrac{6}{20}$

বা, $6x=432×20$

বা, $x=\dfrac{432×20}{6}$

বা, $x=72×20$

$\therefore x=1440$

সুতরাং ২য় জমির ক্ষেত্রফল $1440$  বর্গমিটার ।

           সৃজনশীল প্রশ্নঃ

জেমি ও সিমি একই ব্যাংক থেকে $10\%$ হার সরল মুনাফায় আলাদা আলাদা পরিমাণ অর্থ ঋণ নেয়। জেমি $2$ বছর পর মুনাফা-আসলে যত টাকা শোধ করে $3$ বছরে সিমি মুনাফা-আসলে তত টাকা শোধ করে ।

(ক) প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে সমীকরণ গঠন কর।

(খ) তাদের ঋণের অনুপাত নির্ণয় কর ।

(গ) মোট ঋণের পরিমাণ $25000$ টাকা হলে চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় কে কত টাকা বেশি পরিশোধ করবে?

সৃজনশীল প্রশ্নঃ 

$x=\dfrac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}$এবং $y=\dfrac{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}$

(ক)প্রমাণ কর যে, $y,x$ এর গুণাত্মক বিপরীত ।

(খ) প্রমাণ কর যে, $3by^2-4ay+3b=0$

(গ)$4x^2+4y^2+5xy$ এর মান নির্ণয় কর ।

(ঘ)$3x^2-3y^2+5xy$ এর মান $a$ ও $b$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

সৃজনশীল প্রশ্নঃ 

$a^2-\dfrac{2a}{x}+1=0$ এবং $\left(\dfrac{p+q}{q+r}\right)^2=\dfrac{p^2+q^2}{q^2+r^2}$

(ক) $x=\dfrac{1}{2}$ হলে $a^2-\dfrac{1}{a^2}=$কত?

(খ) প্রমাণ কর যে, $p,q,r$ ক্রমিক সমানুপাতী ।

(গ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{(1+x)^{\tfrac{1}{2}}+(1-x)^{\tfrac{1}{2}}}{(1+x)^{\tfrac{1}{2}}-(1-x)^{\tfrac{1}{2}}}=a$.

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

$a^2-\dfrac{2a}{x}+1=0$ এবং $\dfrac{(p+q)^2}{(q+r)^2}=\dfrac{p^2+q^2}{q^2+r^2}$

(ক) $x=\dfrac{1}{2}$ হলে $a^2-\dfrac{1}{a^2} =$ কত?

(খ) প্রমাণ কর যে, $p,q,r$  ক্রমিক সমানুপাতী ।

(গ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{(1+x)^{\tfrac{1}{2}}+(1-x)^{\tfrac{1}{2}}}{(1+x)^{\tfrac{1}{2}}-(1-x)^{\tfrac{1}{2}}}=a$

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত $9:11:13$ এবং এর অর্ধপরিসীমা $66$ মিটার ।

(ক) ত্রিভুজটির আনুপাতিক চিত্র আঁক ।

(খ) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ও বৃহত্তর বাহুর  উপর অঙ্কিত উচ্চতা নির্ণয় কর ।

(গ)ত্রিভুজটির বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহু বাহু দ্বারা আবদ্ধ আয়তক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য $10\%$ হ্রাস করলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস পাবে?

গাণিতিক সমস্যাঃ

 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{3}{4}$ হলে $a:c=$ কত?

গাণিতিক সমস্যাঃ

$4:3∷x:5$ হলে $x=$ কত?

গাণিতিক সমস্যাঃ

$m^2 x-2mna+n^2 x=0$ হলে $\sqrt{\dfrac{a-x}{a+x}}=?$

গাণিতিক সমস্যাঃ

$\dfrac{3m+2n}{m-n}=6$ হলে $m:n=?$

গাণিতিক সমস্যাঃ

$a+c+e=9$ এবং $b+d+f=6$ হলে $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=?$

গাণিতিক সমস্যাঃ

$3,4,2$ এর চতুর্থ সমানুপাতী কত?

গাণিতিক সমস্যাঃ

একটি মিশ্রণে পানি ও সিরাপের অনুপাত $3:5$ হলে মিশ্রণে শতকরা কত ভাগ সিরাপ আছে।

গাণিতিক সমস্যাঃ

একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত $a:b=b:c$ কে মেনে চলে এবংবৃহত্তম কোণ ক্ষুদ্রতম কোণের $9$ গুণ হলে কোণগুলোর মান কত?

গাণিতিক সমস্যাঃ

$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{b+c}{c}=\dfrac{c+a}{a}=9$ হলে $a:b=b:c=c:a=?$

গাণিতিক সমস্যাঃ

$4a:3=3b:4$ হলে $3a:4b=?$

গাণিতিক সমস্যাঃ

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $20\%$ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

গাণিতিক সমস্যাঃ

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত $5:8:12$ এবং পরিসীমা $50$ সে.মি. হলে বৃহত্তম কোণের মান কত ডিগ্রী ?

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল $588$ বর্গমিটার । জমিটির কর্ণের দৈর্ঘ্য  $35$ মিটার।ঐ জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সাথে অপর জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে  $3:4$ এবং $2:3.$

(ক) অপর জমিটির ক্ষেত্রফল কত?

(খ) তাদের কর্ণের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত?

(গ) ছোট জমিটিকে বড় জমিটির ঠিক মাঝখানে অঙ্কন করলে যে ফাঁকা অংশ থাকে তার ক্ষেত্রফলের সাথে ঐ জমি দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর।

(ঘ) জমিটির দুটি দৈর্ঘ্যকে স্পর্শ করে অঙ্কিত বৃত্তের একটি জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য জ্যাক এর অর্ধেকের চেয়ে $2$ মিটার কম । জ্যা এবং লম্বের দৈর্ঘ্যের অনুপাত নির্ণয় কর।

                  বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ

১.কোনো বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য $1\%$ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি হবে-

(ক) $2.01\%$       (খ) $1.99\%$        (গ) $10\%$       (ঘ)$1\%$

২.$3x:4y=2:3$ হলে $4x:3y=$কত?

(ক) $3:2$    (খ) $8:9$       (গ) $32:18 $      (ঘ) $32:27$

উত্তরপত্র:

১.(ক)   ২.(ঘ)