mathematics, algebraic expression

mathematics, algebraic expression related problems and solutions of them, formula and applications,higher mathematics , general mathematics,algebra
           সাধারণ গণিত

সূত্রাবলী

1. $(a+b)^2=a^2+2 a b+b^2 $
2. $(a+b)^2=(a-b)^2+4 a b$
3. $(a-b)^2=a^2-2 a b+b^2$
4. $(a-b)^2=(a+b)^2-4 a b$
5.$a^2+b^2=(a+b)^2-2 a b =(a-b)^2+2 a b$
6. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
7. $2\left(a^2+b^2\right)=(a+b)^2+(a-b)^2$
8. $(a+b+c)^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)+2(a b+b c+c a)$
9.$\left(a^2+b^2+c^2\right)=(a+b+c)^2-2(a b+b c+c a)$
10. $2(a b+b c+c a)=(a+b+c)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)$
11. $(a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3$
12. $(a+b)^3=a^3+b^3+3 a b(a+b)$
13. $(a-b)^3=a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3$
14. $(a-b)^3=a^3-b^3-3 a b(a-b)$
15. $a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)$
16. $a^3-b^3=(a-b)^3+3 a b(a-b)$
17. $(a+b+c)^3$$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$
18. $\mathrm{a}^3+\mathrm{b}^3+\mathrm{c}^3-3 \mathrm{abc}$$=(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2-\mathrm{ab}-\mathrm{bc}-\mathrm{ca}\right)$
19. $a^3+b^3+c^3-3 a b c$$=\dfrac{1}{2}(a+b+c)\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}$
20. $4 a b=(a+b)^2-(a-b)^2 $ 
21. $a b=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$
22. $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b$
23. $(x+a)(x-b)=x^2+(a-b) x-a b$
24. $(x-a)(x+b)=x^2+(b-a) x-a b$
25.  $(x-a)(x-b)=x^2-(a+b) x+a b$
26. $(x+p)(x+q)(x+r)$$=x^3+(p+q+r) x^2+(p q+q r+r p) x+p q r$
27. $b c(b-c)+c a(c-a)+a b(a-b)$$=-(b-c)(c-a)(a-b)$
28. $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$$=-(b-c)(c-a)(a-b)$
29. $a\left(b^2-c^2\right)+b\left(c^2-a^2\right)+c\left(a^2-b^2\right)$$=(b-c)(c-a)(a-b)$
30. $a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$$=-(b-c)(c-a)(a-b)(a+b+c)$
31. $b^2 c^2\left(b^2-c^2\right)+c^2 a^2\left(c^2-a^2\right)+a^2 b^2\left(a^2-b^2\right)$$=-(b-c)(c-a)(a-b)(b+c)(c+a)(a+b)$
32. $(a b+b c+c a)(a+b+c)-a b c$$=(a+b)(b+c)(c+a)$
33. $(b+c)(c+a)(a+b)+a b c$$=(a+b+c)(a b+b c+c a)$
মূল বই এর গাণিতিক প্রশ্নঃ

৩৭. একটি মাঠে ধ্রুব একটি মাঠে ধ্রুব হারে ঘাস বৃদ্ধি পায়। $17$ টি গরু দিনে সব ঘাস খেয়ে ফেলতে পারে। তবে $19$টি গরুর লাগে $24$ দিন। একদল গরু $6$ দিন ঘাস খাওয়ার পর $4$টি গরু বিক্রয় করা হলে ঘাস খাওয়া শেষ করতে আরো $2$ দিন লাগলো। দলটিতে শুরুতে কতগুলো গরু ছিল?
সমাধানঃ
মনে করি, মাঠে শুরুতে ঘাস ছিল $p$ ঘনমি ঘাস বৃদ্ধির হার $q$
ঘনমি/দিন প্রতিটি গরুর ঘাস খাওয়ার হার $r$ ঘনমি/দিন ১ম শর্তমতে, $p+30 q=17 r \times 30$ বা, $p+30 q=510$ r.............(i) ২য় শর্তমতে, $p+24 q=19 r \times 24$ বা, $p+24 q=475 r$ $(i)-(ii)$ করে, $6 q=54 r$ বা, $q=9r$ যা $(i)$ নং এ বসিয়ে পাই, $p+30 \times 9 r=510 r$ বা, $p+270 r=510 r$ বা, $p=510 r-270 r$ বা, $p=240 r$ ৩য় শর্তমতে, শুরুতে গরুর সংখ্যা ছিল $x$ ধরে, $p+8 q=6 x r+2 r(x-4)$ বা, $240 r+8 \times 9 r=6 x r+2 x r-8 r$. বা, $240 r+72 r=8 x r-8 r$ বা, $240 r+72 r+8 r=8 x r$ বা, $320r=8 \times xr$ বা, $320=8 x$ বা, $x=\dfrac{320}{8}$ বা, $x=40$. $\therefore$ গরুর সংখ্যা $40$

সমাধানঃ মনে করি,ঘোড়াটি ১ম ভাইকে $t_1$ সময় ধরে নিয়ে যাওয়ার
পর তাকে নামিয়ে $t_2$ সময়ে ২য় ভাইয়ের কাছে পোঁছায় এবং
ঘোড়াটি $t_3$ সময়ে ২য় ভাইকে নিয়ে মেলায় পোঁছায়।
তাহলে,১ম ভাইয়ের অতিক্রান্ত দূরত্ব
$=10t_1+4 t_2+4 t_3=20 \ldots \ldots (i)$. এবং ২য় ভাইয়ের অতিক্রান্ত দূরত্ব
$=4t_1+4t_2+10t_3=20\cdots\cdots(ii)$
এবং ঘোড়ার অতিক্রান্ত দূরত্ব
$=10t_1-10t_2+10t_3=20\cdots\cdots (iii)$
$(i)-(ii)$ করে পাই, $6 t_1-6 t_3=0$ বা, $6 t_1=6 t_3$
বা, $t_1=t_3\cdots\cdots (iv)$
$(iii)-(ii)$ করে পাই, $6 t_1-14 t_2=0$ বা, $6 t_1=14 t_2$ বা, $t_1=\dfrac{7 t_2}{3}$ বা, $t_2=\dfrac{3 t_1}{ 7} \ldots \ldots (v)$
বা, $t_2=\dfrac{3t_1}{7}\cdots\cdots (v)$ $t_1$ ও $t_2$ এর মান $(i)$ নং এ বসিয়ে পাই, $10 t_1+4\cdot\dfrac{ 3 t_1 }{7}+4 t_1=20$ বা, $14 t_1+\dfrac{12 t_1 }{7}=20$ বা, $\left(98 t_1+12 t_1\right) / 7=20$ বা, $110 t_1=20 \times 7$ বা, $110 t_1=140$ বা, $11 t_1=14$ বা, $t_1=14 / 11$




$\large{\textbf{Question-1:}}$

If $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=42$ , prove that $x=\sqrt{11}+\sqrt{10}$.

$\large{\textbf{Question-2:}}$

If $a^{3}=10+3 \sqrt{11}$ , find the value of  $a$ using $(a+b)^{3}$.

$\large{\textbf{Question-3:}}$

If $x^{2}+\dfrac{1}{x}=99\frac{1}{99}$ , find the value of  $x$.

$\large{\textbf{Solution:}}$

$\dfrac{x^{2}+1}{x}=99+\dfrac{1}{99}$
বা, $x^{2}+1=\left(99+\dfrac{1}{99}\right) x$
বা, $x^{2}-99 x-\dfrac{1}{99} x+1=0$
বা, $x^{2}-99 x-\dfrac{1}{99} x+99 \times \dfrac{1}{99}=0$
বা, $x(x-99)-\dfrac{1}{99}(x-99)=0$
বা, $\quad(x-99)\left(x-\dfrac{1}{99}\right)=0$
বা, $x-99=0$  অথবা, $x-\dfrac{1}{99}=0$
$x=99 $ অথবা, $x=\dfrac{1}{99}$

$\large{\textbf{Question-4:}}$

If $a x+b y=8$ , $a y-b x=6$. $a^2+b^2+x^2+y^2=29$.
then find the difference between
$\left(a^2+b^2\right)$ and $\left(x^2+y^2\right)$

$\large{\textbf{Solution:}}$

$(a x+b y)^2=a^2 x^2+2 a b x y+b^2 y^4=64$ $\dfrac{(a y-b x)^2=a^2 y^2-2 a b x y+b^2 x^2=36}{\;\;\;\;\therefore \left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=100}$ $\left(a^2+b^2\right)+\left(x^2+y^2\right)=29$ $\Rightarrow 0,\left(a^2+b^2\right)=p \quad\left(\quad\left(x^2+y^2\right)=q\right.$ (a)xpotanत, $(p+q)^2 \rightarrow(p-q)^2=4 p q$ $(p-q)=\pm \sqrt{841-400}=\pm 21$

$\large{\textbf{Question-5:}}$

If $2x+\frac{1}{x}=4$ , find the value of $2 x^{3}+\dfrac{1}{4 x^{3}}$

$\large{\textbf{Solution:}}$

$ 2 x+\dfrac{1}{x}=4 $

$\Rightarrow 2\left(x+\dfrac{1}{2 x}\right)=4 $

$\Rightarrow x+\dfrac{1}{2 x}=\dfrac{4}{2} $

$\therefore x+\dfrac{1}{2 x}=2$

Given expression:

$ 2 x^{3}+\dfrac{1}{4 x^{3}} $

$=2\left(x^{3}+\dfrac{1}{8 x^{3}}\right) $

$= 2\left\{x^{3}+\left(\dfrac{1}{2 x}\right)^{3}\right\} $

$=2\left\{\left(x+\dfrac{1}{2 x}\right)^{3}-3 \cdot x \cdot \dfrac{1}{2 x}\cdot \left(x+\dfrac{1}{2 x}\right)\right\} $

$= 2\left(2^{3}-\dfrac{3}{2} \times 2\right) $

$=2(8-3)=2 \times 5=10$
$\large{\textbf{Question-6:}}$
If $x-\dfrac{1}{x-2}=6$ হলে $(x-2)^2-\dfrac{1}{(x-2)^2}$
এর মান নির্ণয় কর।



সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$P(x)=18 x^{3}+15 x^{2}+b x+c$ বহুপদীর একটি উৎপাদক $Q(x)=6 x^{2}+7 x+a$
ক. $Q(x)$ বহুপদীর একটি উৎপাদক $(2 x+1)$ হলে, $a$ এর মাन নির্ণয় কর।
খ. $\mathrm{a}=2$ হলে, দেখাও যে, $\mathrm{c}=2 \mathrm{~b}$
গ. $a=-5$ হলে, $\dfrac{x^{3}}{Q(x)}$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন
$9 \cdot \operatorname{cosec} \theta=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$
ক. $\sin ^2 \theta$ এর মাन নির্ণয় কর।
থ. দেখাও যে, $\tan \theta=\sqrt{\frac{1-x}{2 x}}$.
গ. দেখাও যে, $\frac{\sec \theta-\tan \theta}{\sec \theta+\tan \theta}=\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}$.



সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$a+b+c=10$  ,  $a^2+b^2+c^2=38$ এবং $abc=30$
(ক) $ab+bc+ca$ এর মান নির্ণয় কর।
(খ) $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ এবং $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2$ এর মান নির্ণয় কর ।
(গ) প্রমাণ কর যে, $a^3+b^3+c^3=160.$
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$x^2+\dfrac{1}{x^2} =\dfrac{1}{4}$
(ক) $\dfrac{2x^2}{4x^4+x^2+4}$  এর মান নির্ণয় কর।
(খ)  $x+\dfrac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় কর।
(গ) $\left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)^3$ এর মান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
 $a^4+a^2 b^2+b^4=3$ ,$a^2+ab+b^2=3$
  (ক)প্রথম সমীকরণটির বামপক্ষকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
  (খ) $(a-b)^2$  এবং $4ab$ এর মান নির্ণয় কর।
  (গ) $a$ এবং $b$ এর সকল মানসমূহ নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যাঃ
$ x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=18$ হলে প্রমাণ কর যে,$x=\sqrt{5}+2$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=194$হলে প্রমাণ কর যে,$x=7+4\sqrt{3}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$ x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}=4\sqrt{42}$হলে প্রমাণ কর যে,$x=\sqrt{7}+\sqrt{6}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
 $x^{4}+\dfrac{1}{x^{4}}=322$ হলে প্রমাণ কর যে,$x=\sqrt{5}-2$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x^3+\dfrac{8}{x^3}=28\sqrt{5}$
হলে প্রমাণ কর যে, $x=\sqrt{5}\pm\sqrt{3}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$8\left(x^3-\dfrac{1}{x^3}\right)=63$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যাঃ
$p^3-q^3-r^3=3pqr$ হলে প্রমাণ কর যে, $p-q=r$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x+\dfrac{1}{x}=5$ হলে 
(ক) $\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}=$কত?
(খ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{x}{x^{2}+\sqrt{21}x-1}=\dfrac{1}{2\sqrt{21}}$
গাণিতিক সমস্যা:
$x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt{5}$ হলে প্রমাণ কর যে , $\dfrac{x\left( x^{6}-1\right) }{x^{8}-1}=\dfrac{19\sqrt{5}}{180}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$12a^{2}-30a-1=0$ হলে $4a^{2}+\dfrac{1}{36a^{2}}=$ কত?
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x^{2}-7x+1=0$ হলে $ \left( \sqrt{x}\right) ^{3}-\dfrac{1}{\left( \sqrt{x}\right) ^{3}}=$ কত?
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x=\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ হলে
(ক) $x\sqrt{x}+\dfrac{1}{x\sqrt{x}}=$কত? 
(খ) প্রমাণ কর যে,$\dfrac{1}{x^{3}}\left( x^{6}+1\right) =18\sqrt{3}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x-5=2\sqrt{6}$ হলে প্রমাণ কর যে, $x\sqrt{x}-\dfrac{1}{x\sqrt{x}}=22\sqrt[2] {2}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$2x-\dfrac{1}{3x}=4$ হলে $ 3x+\dfrac{1}{2x}$ এবং $ 27x^{3}-\dfrac{1}{8x^{3}}$ এর মান নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x^{2}-4x-1=0$ হলে $ \dfrac{x^{3}+5x}{x^{4}+4x^{2}-5}\times \sqrt[3] {64}$ এর মান নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা:
$a^2+ab+b^2=3$ এবং $a^2+b^2=2$ হলে $a^4+a^2b^2+b^4$ এর মান নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যাঃ
$a^3b+ab^3=3$ এবং $a+b=\sqrt{7}$ হলে $a-b$ এর মান নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যাঃ
$a-b=3m$ এবং $ab=18m^2$ হলে $a+b$ এর মান নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x^4+\dfrac{1}{x^4}=322$ হলে $x-\dfrac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x=\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ এবং $xy=1$ হলে $\dfrac{x^2+3xy+y^2}{x^2-3xy+y^2}$ এর মান নির্ণয় কর।

গাণিতিক সমস্যাঃ
 $x+\dfrac{1}x=4$ হলে $(x-2)^3$ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
 $x+\dfrac{1}{x}=4$
বা, $\dfrac{x^2+1}{x}=4$
বা, $x^2+1=4x$
বা, $x^2-4x+1=0$
বা, $x^2-2⋅x⋅2+2^2-3=0$
বা, $(x-2)^2-3=0$
বা, $(x-2)^2=3$
বা, $x-2=±\sqrt{3}$
বা, $(x-2)^3=(±\sqrt{3})^3$
 $∴(x-2)^3=±3\sqrt{3}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$a^3-b^3=513$ এবং $ab=54$ হলে $a-b$ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
$a^{3}-b^{3}=513$
বা,$ \left( a-b\right) ^{3}-3ab\left( a-b\right) =513$
বা,$ \left( a\cdot b\right) ^{3}-3\cdot 54\left( a-b\right) =513$
বা,$\left( a-b\right) ^{3}-162\left( a-b\right) =513$
বা,$\left( a-b\right) ^{3}+162\left( a-b\right) $$=3^{3}+162\cdot 3$
$\therefore a-b=3$

সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$f(x)=x^2+3x+2 ; g(x)=x^2-x-2$
এবং $h(x)=x^3-x^2-4x+4$
(ক) $f(x)$ এবং $g(x)$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
(খ) $h(x)=0$ এর মূলগুলোর পরমমানের বৃহত্তম মানটি বছরের সংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতম মানটি $4\%$ হার মুনাফায় কোন টাকার চক্রবৃদ্ধি ও সরল মুনাফার পার্থক্য প্রকাশ করলে আসল নির্ণয় কর।
(গ) $f(x)=0 ,g(x)=0$  এবং $h(x)=0$ এর মূলগুলো যথাক্রমে $A,B ,C$ সেটের উপাদান হলে দেখাও যে,$P((A∪B)∩C)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^n$ সূত্রকে সমর্থন করে।

গাণিতিক সমস্যাঃ
$a=5+2\sqrt{6}$ হলে প্রমাণ কর যে, $ a\sqrt{a}-\dfrac{1}{a\sqrt{a}}=22\sqrt{2}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x\sqrt{x}-\dfrac{1}{x\sqrt{x}}=14 $ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x^{3}-\dfrac{1}{x^{3}}=4$ হলে প্রমাণ কর যে,$ x-\dfrac{1}{x}=1$
গাণিতিক প্রশ্নঃ
$x^{3}+\dfrac{1}{x^{3}}=34\sqrt{5}$ হলে প্রমাণ কর যে $ x=\sqrt{5}\pm 2$ অথবা, $ x= \sqrt{5}+2$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x^{3}-\dfrac{1}{x^{3}}=140\sqrt{2}$ হলে প্রমাণ কর যে, $x=2\sqrt{2}\pm 3.$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\dfrac{x^{6}+1}{x^{3}}=198$ হলে প্রমাণ কর যে, $x=3\pm 2\sqrt{2}$ অথবা,$ \sqrt{x}=\pm \sqrt{2}+1$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x^{3}-\dfrac{1}{x^{3}}=22\sqrt{2}$ হলে প্রমাণ কর যে,$ x=\pm \sqrt{3}+\sqrt{2}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\dfrac{x^{3}-1}{x^{3}}=46\sqrt{5}$ হলে প্রমাণ কর যে, $x=\pm \sqrt{6}+\sqrt{5}$
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$x^3+\dfrac{1}{x^3 }=18\sqrt{3}$ 
(ক) $9a^2+\dfrac{1}{4a^2}-3-6a+\dfrac{1}{a}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
(খ) প্রমাণ কর যে, $x^4-4\sqrt{6} x^2-1=0.$
(গ) প্রমাণ কর যে, $x=\sqrt{3} ±\sqrt{2}$
(ক)সমাধান:
$9a^2+\dfrac{1}{4a^2}-3-6a+\dfrac{1}{a}$ 
বা,$(3a)^2+\left(\dfrac{1}{2a}\right)^2-2\cdot3a\cdot\dfrac{1}{2a}-6a+\dfrac{1}{a}$
বা,$\left(3a-\dfrac{1}{2a}\right)^2-2\left(3a-\dfrac{1}{2a}\right)$
বা,$\left(3a-\dfrac{1}{2a}\right)\left(3a-\dfrac{1}{2a}-2\right)$
(খ)সমাধান:
$x^3+\dfrac{1}{x^3} =18\sqrt{3}$ 
বা, $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=$$(2\sqrt{3})^3-3\cdot2\sqrt{3}$
সুতরাং, $x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt{3}\cdots(i)$
এখন, $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=(2\sqrt{3})^2$
বা,$\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+4\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}=12$
বা,$\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2=12-4$
বা,$x-\dfrac{1}{x}=\sqrt{8}$
$∴x-\dfrac{1}{x}=2\sqrt{2}\cdots(ii)$ 
$(i)$ ও $(ii)$ গুণ করে,
$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(x-\dfrac{1}{x}\right)=2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{2}$ 
বা,$x^2-\dfrac{1}{x^2} =4\sqrt{6}$
বা,$\dfrac{x^4-1}{x^2} =4\sqrt{6}$
বা,$x^4-1=4\sqrt{6}x^2$
$∴x^4-4\sqrt{6}x^2-1=0$ 
(গ)সমাধান:
$x^3+\dfrac{1}{x^3} =18\sqrt{3}   ………(i)$
বা,$\left(x^3+\dfrac{1}{x^3 }\right)^2=(18\sqrt{3})^2$ [উভয় পক্ষে বর্গ করে]
বা,$\left(x^3-\dfrac{1}{x^3}\right )^2+4\cdot x^3\cdot\dfrac{1}{x^3} =972$
বা,$\left(x^3-\dfrac{1}{x^3}\right )^2=972-4$
বা,$x^3-\dfrac{1}{x^3} =±\sqrt{968}$
বা,$x^3-\dfrac{1}{x^3 }=±\sqrt{22^2×2}$
$∴x^3-\dfrac{1}{x^3}=±22\sqrt{2} …….(ii)$
$(i)$ ও $(ii)$ নং সমীকরণ যোগ করে, 
   $x^3+\dfrac{1}{x^3}=18\sqrt{3} $
$\dfrac{x^3-\dfrac{1}{x^3} =±22\sqrt{2}}{2x^3=18\sqrt{3}±22\sqrt{2}}$ 
বা,$x^3=9\sqrt{3}±11\sqrt{2}$
বা,$x^3=\left(\sqrt{3}\right)^3+3\cdot\left(\sqrt{3}\right)^2\cdot\left(±\sqrt{2}\right)$$+3\cdot\sqrt{3}\cdot \left(±\sqrt{2}\right)^2+\left(±\sqrt{2}\right)^3$
বা,$x^3=\left(\sqrt{3}±\sqrt{2}\right)^3$
$∴x=\sqrt{3}±\sqrt{2}$ 
বিকল্প সমাধানঃ
     $x^3+\dfrac{1}{x^3}=18\sqrt{3}$
বা, $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-18\sqrt{3}=0$
বা, $a^3-3a-18\sqrt{3}=0$    $\left[\text{let}\;\; x+\dfrac{1}{x}=a\right]$
বা, $a^3-2\sqrt{3}a^2+2\sqrt{3}a^2-12a+9a-18\sqrt{3}=0$
বা, $a^2\left(a-2\sqrt{3}\right)+2\sqrt{3}a\left(a-2\sqrt{3}\right)+9\left(a-2\sqrt{3}\right)$$=0$
বা, $\left(a-2\sqrt{3}\right)\left(a^2+2\sqrt{3}a+9\right)=0$
হয়, $a-2\sqrt{3}=0$      অথবা, $a^2+2\sqrt{3}a+9=0$
বা, $a=2\sqrt{3}$                      $a$ এর বাস্তব মান নেই।
বা, $x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt{3}\cdots\cdots (i)$
বা, $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=\left(2\sqrt{3}\right)^2$
বা, $\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+4\cdot x\cdot \dfrac{1}{x}=12$
বা, $\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2=12-4$
বা, $x-\dfrac{1}{x}=\sqrt{8}$
$\therefore x-\dfrac{1}{x}=2\sqrt{2}\cdots\cdots (ii)$
$(i)+(ii)\Rightarrow $
$2x=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$
$\therefore x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
বিকল্প সমাধানঃ
      $x^3+\dfrac{1}{x^3}=18\sqrt{3}$
বা, $\dfrac{x^6+1}{x^3}=18\sqrt{3}$
বা, $x^6+1=18\sqrt{3}x^3$
বা, $x^6-18\sqrt{3}x^3+1=0$
বা, $\left(x^3\right)^2-2\cdot x^3\cdot 9\sqrt{3}+\left(9\sqrt{3}\right)^2-\left(9\sqrt{3}\right)^2+1=0$
বা, $\left(x^3-9\sqrt{3}\right)^2-243+1=0$
বা, $\left(x^3-9\sqrt{3}\right)^2=242$
বা, $x^3-9\sqrt{3}=\sqrt{242}$
বা, $x^3=\sqrt{11^2×2}+9\sqrt{3}$
বা, $x^3=11\sqrt{2}+9\sqrt{3}$
বা, $x^3=3\sqrt{3}+9\sqrt{2}+6\sqrt{3}+2\sqrt{2}$
বা, $x^3=\left(\sqrt{3}\right)^3+3\cdot \left(\sqrt{3}\right)^2\cdot \sqrt{2}+3\cdot \sqrt{3}\cdot \left(\sqrt{2}\right)^2$$+\left(\sqrt{2}\right)^3$
বা, $x^3=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^3$
$\therefore x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
বিকল্প সমাধানঃ
     $x^3+\dfrac{1}{x^3}=18\sqrt{3}$
বা, $\dfrac{x^6+1}{x^3}=18\sqrt{3}$
বা, $x^6+1=18\sqrt{3}x^3$
বা, $x^6-18\sqrt{3}x^3+1=0$
বা, $\left(x^3\right)^2-18\sqrt{3}x^3+1=0$
বা, $x^3=\dfrac{-\left(-18\sqrt{3}\right)\pm \sqrt{\left(-18\sqrt{3}\right)^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}$
বা, $x^3=\dfrac{18\sqrt{3}\pm \sqrt{972-4}}{2}$
বা, $x^3=\dfrac{18\sqrt{3}\pm \sqrt{968}}{2}$
বা, $x^3=\dfrac{18\sqrt{3}\pm \sqrt{22^2×2}}{2}$
বা, $x^3=\dfrac{18\sqrt{3}\pm 22\sqrt{2}}{2}$
বা, $x^3=9\sqrt{3}\pm 11\sqrt{2}$
বা, $x^3=\left(\sqrt{3}\pm\sqrt{2}\right)^3$
$\therefore x=\sqrt{3}\pm\sqrt{2}$


গাণিতিক সমস্যাঃ
$x^{3}-\dfrac{1}{x^{3}}=\dfrac{63}{8}$
(ক) প্রমাণ কর যে, $ 2x-\dfrac{2}{x}=3$ 
(খ) $x^{5}+\dfrac{1}{x^{5}}$ এর মান নির্ণয় কর।
(গ) $x$ এর মান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$x^{2}=\dfrac{5x}{2}+\dfrac{1}{6}$
(ক) $ 2x+\dfrac{1}{3x}$ এর মান নির্ণয় কর।
(খ) প্রমাণ কর যে, $9x^{2}-\dfrac{1}{4x^{2}}=\dfrac{15\sqrt{249}}{4}$
(গ) $x$ এর মান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন:
$p^2=5+2\sqrt{6},\;x^3-\dfrac{1}{x^3} =y$
(ক) $\dfrac{1}{p}$ নির্ণয় কর।
(খ) প্রমাণ কর যে,$\dfrac{p^6-1}{p^3} -\sqrt{2}\dfrac{p^4+1}{p^2} =12\sqrt{2}.$
(গ) $y=46\sqrt{5}$ হলে প্রমাণ কর যে, $x=\pm\sqrt{6}+\sqrt{5}$.
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$a^4+a^2 b^2+b^4=8 ,\;a^2+ab+b^2=4$
  (ক)প্রথম সমীকরণটির বামপক্ষকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
  (খ) $(a-b)^2$  এবং $4ab$ এর মান নির্ণয় কর।
  (গ) $a$ ও $b$ এর সকল মানসমূহ নির্ণয় কর।
Creative Question:
 $a+b+c=0$

(a) show that ,$a^3+b^3+c^3=3abc.$

(b) prove that,$\dfrac{(a+b)^2}{3ab}+\dfrac{(b+c)^2}{3bc}+\dfrac{(c+a)^2}{3ca}=1.$

(c) If $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=6$ , $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=?$

(d) prove that 
$\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left.(a-b)^2+(b-c\right)^2+(c-a)^2}=\dfrac{1}{3}$

Solution:

Given $a+b+c=0$.

We have to prove that

$\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}=\dfrac{1}{3}$
Now $a+b+c=0 $

$\Rightarrow(a+b+c)^2=0$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2(a b+b c+ca)=0$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2(a b+b c+c a)$
Now Cousider the expression

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$
$=a^2+b^2-2 a b+b^2+c^2-2 b c+c^2+a^2-2 c a$
$=2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2(a b+b c+c a)$
$=2\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^2+b^2+c^2\right)$
$=3\left(a^2+b^2+c^2\right)$
L.H.S$=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}$

$=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}$

$=\dfrac{1}{3}$

$=$ R.H.S
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
কোনো সংখ্যা $x$ থেকে তার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল $\sqrt{5}$ হয় ।
(ক) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{x}{x^2-x-1}=\dfrac{1}{4}(\sqrt{5}+1)$
(খ) $x^3+\dfrac{1}{x^3}$ এর মান নির্ণয় কর ।
(গ) প্রমাণ কর যে, $x^5+\dfrac{1}{x^5}=123$.
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$x^2-12\sqrt{2}=17$ এবং $y^3+y^{-3}=18\sqrt{3}$       
(ক) $z-\sqrt{5}=2$ হলে   $z-\dfrac{1}{z}$ এর মান নির্ণয় কর।
(খ) প্রমাণ কর যে, $x\sqrt{x}-\dfrac{1}{x\sqrt{x}}=14$
(গ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{y}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
(খ)নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$x^2-12\sqrt{2}=17$
বা,$x^2=17+12\sqrt{2}$
বা,$x^2=\left(2\sqrt{2}\right)^2+2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3+3^2$
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
একটি সংখ্যার বর্গের সাথে তার গুণাত্মক বিপরীতের বর্গের যোগফল $22$.
(ক) সংখ্যা দুটির যোগফল নির্ণয় কর।
(খ) সংখ্যাদুটির ঘনের অন্তর নির্ণয় কর।
(গ) দেখাও যে , সংখ্যাটি $\sqrt{6}+\sqrt{5}$.
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$x\sqrt{x}+\dfrac{1}{x\sqrt{x}}=10\sqrt{2}$ এবং $ a+b+c=0$
(ক) $\dfrac{4}{3}x^{2}-3$ এর উৎপাদক কর।
(খ)প্রমাণ কর যে,$\dfrac{\left( b+c\right) ^{2}}{bc}+\dfrac{\left( c+a\right)^{2} }{ca}+\dfrac{\left( a+b\right)^{2} }{ab}=3$
(গ) $x$ এর ধনাত্মক মান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$x+y=a ,x^2+y^2=b^2  $$,x^3+y^3=c^3$  
  (ক) দেখাও যে ,$ 2xy=a^2-b^2.$
  (খ) প্রমাণ কর যে, $a^3+2c^3=3ab^2.$
  (গ)$ a=2$ এবং $b=2$ হলে এর $x^3-y^3+16(x-y)^2$ এর মান নির্ণয় কর ।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$x^4-x^2+1=0$
(ক)$x^2-\dfrac{1}{x^2}$  এর মান কত?
(খ)দেখাও যে,$\dfrac{x^6+1}{x^3} =0.$
(গ)প্রমাণ কর যে $x^5+\dfrac{1}{x^5} =-\sqrt{3}$
(ঘ)$x$ এর মান নির্ণয় কর।
গাণিতিক প্রশ্নঃ
$f(x)=2x-\dfrac{1}{3x}$ হলে $x$ এর কোন মানের জন্য $f(x)=0.$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x=7-\dfrac{1}{x}$ হলে $\dfrac{x}{x^2+x+1}$ এর মান কত?
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$x^2-2\sqrt{3}x+1=0$
(ক) দেখাও যে $x-\dfrac{1}{x}=2\sqrt{2}$
(খ)$x^4-\dfrac{1}{x^4}$  এর মান নির্ণয় কর।
(গ)$\dfrac{x^6+1}{x^3}$ এর মান নির্ণয় কর।
গাণিতিক প্রশ্নঃ
$x^2-4x-1=0$ হলে $\dfrac{x^3+5x}{x^4+4x^2-5}\times \sqrt[3]{64}.$ এর মান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$3x-\dfrac{1}{2x}=4$ হলে 
(ক)$2x+\dfrac{1}{3x}=$কত?
(খ)$8x^3-\dfrac{1}{27x^3 }= $কত?
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x-5=2\sqrt{6}$ হলে প্রমাণ কর যে,$ \left(\sqrt{x}\right)^3-\dfrac{1}{x\sqrt{x}}=22\sqrt{2}.$
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$x=\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ হলে 
(ক)$x\sqrt{x}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}\right)^3}=$কত?
(খ) প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{x^3}\left(x^6+1\right)=18\sqrt{3}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x^2-7x+1=0$ হলে $\left(\sqrt{x}\right)^3-\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}\right)^3}=$ কত?
গাণিতিক সমস্যাঃ
$12a^2-30a-1=0$ হলে $4a^2+\dfrac{1}{36a^2}$ এর মান কত?
গাণিতিক সমস্যাঃ
$x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt{5}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{x\left(x^6-1\right)}{x^8-1}=\dfrac{1 9\sqrt{5}}{180}$
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$x^3+\dfrac{1}{x^3}=18$
(ক) $\dfrac{32√5 x^3}{x^6+8√5 x^3-1}$ এর মান নির্ণয় কর।
(খ) প্রমাণ কর যে,$\dfrac{x^4+1}{x(x^2+1)} =2\dfrac{1}{3}$
(গ) $x$ এর মান নির্ণয় কর।
 


সৃজনশীল প্রশ্নঃ
বনভোজনে যাওয়ার জন্য $2400$ টাকায় একটি বাস ভাড়া করা হল এবং শর্ত হলো প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে । $10$ জন যাত্রী না যাওয়ায় মাথাপিছু ভাড়া $8$ (আট) টাকা বৃদ্ধি পেল।
(ক) মাথাপিছু বর্ধিত ভাড়া না আসা যাত্রী সংখ্যার শতকরা কত তা নির্ণয় কর ।
(খ) বাসে কত জন যাত্রী গিয়েছিল নির্ণয় কর ।
(গ) বাস ভাড়ার সমান অর্থ কত বছরের জন্য $5\%$ হারে বিনিয়োগ করলে চক্রবৃদ্ধিমূল $4525.56$ টাকা হবে? 
 (ক)নং প্রশ্নের সমাধান:
মাথাপিছু বর্ধিত ভাড়া,$p=8$ টাকা ।
না আসা যাত্রীসংখ্যা, $q=10$ জন।
$∴\dfrac{p}{q}=\dfrac{8}{10}×100\%=80\% $
অর্থাৎ,$ p=80\%×q$
(খ)নং প্রশ্নের সমাধান:
ধরি,নির্ধারিত যাত্রী সংখ্যা $x$ জন।
মাথাপিছু ভাড়া $y$ টাকা ।
সুতরাং $xy=2400……….(i)$
$10$ জন না যাওয়ায় বাসে যাত্রী সংখ্যা $(x-10)$ জন 
এবং মাথাপিছু ভাড়া $(y+8)$ টাকা ।
সুতরাং $(x-10)(y+8)=2400$
বা,$xy+8x-10y-80=2400$
বা,$2400+8y-10y-80-2400=0$ [$(i)$ নং হতে]
বা,$8x-10y-80=0$
বা,$2(4x-5y-40)=0$
বা,$4x-5×\dfrac{2400}{x}-40=0$
বা,$4x-\dfrac{12000}{x}-40=0$
বা,$\dfrac{4x^2-12000-40x}{x}=0$
বা,$4(x^2-10x-3000)=0$
বা,$x^2-60x+50x-3000=0$
বা,$x(x-60)+50(x-60)=0$
বা,$(x-60)(x+50)=0$
$∴x=60,   x≠-50$ [$∵$জনসংখ্যা ঋণাত্মক হয় না ] 
অতএব বাসে যাত্রী গিয়েছিল $(60-10)$ জন বা $50$ জন
এবং মাথাপিছু ভাড়া $=\dfrac{2400}{50}$ টাকা বা $48$ টাকা
(গ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
আসল,$P=2400$ টাকা।
মুনাফার হার,$r=5\%=0.05$
চক্রবৃদ্ধিমূল $C=4525.56$ টাকা
বছরের সংখ্যা,$n=?$
$C=P\left( 1+r\right) ^{n}$
বা,$4525.56=2400\left( 1+0.05\right) ^{n}$
বা,$\dfrac{4525.56}{2400}=\left(1.05\right)^{n}$
বা,$1.88565=\left( 1.05\right) ^{n}$
বা,$ \log 1.88565=\log \left( 1.05\right)^n$
 বা,$\log 1.88565=n\log 1.05$
বা, $n=\dfrac{\log 1.88565}{\log 1.05}$
$\therefore n=13$ (প্রায়)
উত্তর: $13$ বছর (প্রায়)
অনুরূপ সৃজনশীল প্রশ্নঃ
বনভোজনে যাওয়ার জন্য $5700$ টাকা গাড়ি ভাড়া করা হলো এবং শর্ত হলো প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে কিন্তু পাঁচজন যাত্রী না যাওয়ায় ভাড়া মাথাপিছু $3$ টাকা বৃদ্ধি পেল
(ক) মাথাপিছু বর্ধিত ভাড়া না আসা যাত্রী সংখ্যার শতকরা কত তা নির্ণয় করো।
(খ) বাসে কতজন যাত্রী গিয়েছিল নির্ণয় করো।
(গ)বাস ভাড়ার সমান অর্থ কত বছরের জন্য 10%  হারে বিনিয়োগ করলে চক্রবৃদ্ধি মূল $8345.37$ টাকা হবে?
অনুরূপ সৃজনশীল প্রশ্নঃ
বনভোজনে যাওয়ার জন্য $9000$ টাকায় একটি বাস ভাড়া করা হল এবং শর্ত হলো প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে । $15$ জন যাত্রী না যাওয়ায় মাথাপিছু ভাড়া $30$ টাকা বৃদ্ধি পেল।
(ক) মাথাপিছু বর্ধিত ভাড়া না আসা যাত্রী সংখ্যার শতকরা কত তা নির্ণয় কর ।
(খ) বাসে কত জন যাত্রী গিয়েছিল নির্ণয় কর ।
(গ) বাস ভাড়ার সমান অর্থ কত বছরের জন্য $9\%$ হারে বিনিয়োগ করলে চক্রবৃদ্ধিমূল $5525.56$ টাকা হবে? 
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
 $4\%$ হার মুনাফায় কোন টাকার $2$ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য $2$ টাকা।
(ক) দুই বছরের জন্য সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্যের সূত্র লিখ?
(খ) আসল নির্ণয় করো।
(গ) কত বছর পর ঐ টাকার চক্রবৃদ্ধি মুনাফা $200$ টাকা হবে?
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
একজন মাঝির স্রোতের প্রতিকূলে $d$ কিলোমিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে $t_1$ ঘন্টা সময় লাগে । স্রোতের অনুকূলে ওই পথের দ্বিগুণ দূরত্ব নৌকার বেগ এর দ্বিগুন বেগে যেতে $t_2$ ঘন্টা সময় লাগে।
(ক) নৌকার বেগ এবং স্রোতের বেগকে যথাক্রমে $x$ ও $y$ এর  মাধ্যমে প্রকাশ করে সমীকরণ গঠন করো। 
(খ) $x$ এবং $y$ এর মান নির্ণয় কর।
(গ) $t_1=3 ,t_2=2$ এবং $d=9$  হলে $x$ ও $y$ এর মান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$50$ টাকায় $12$ টি লেবু বিক্রয় করায় $x\%$ ক্ষতি হয়। যেখানে $x\ne 0$.
(ক) একটি লেবুর ক্রয়মূল্য $5$ টাকা হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
(খ) $5x\%$ লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি লেবু বিক্রয় করতে হবে?
(গ) $2x\%$ লাভে বিক্রয়মূল্য $\dfrac{27x}{2}$ টাকা বেশি পাওয়া গেলে দেখাও যে, $x=88\dfrac{8}{9}$?
(ক) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$1$ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য $S=\dfrac{50}{12}$ টাকা
                                        $=\dfrac{25}{6}$ টাকা।
$1$ টি লেবুর ক্রয়মূল্য, $C=5$ টাকা।
ক্ষতির হার,$r=x\%=\dfrac{x}{100}$ 
আমরাজানি,
$S=C(1-r)$
বা, $\dfrac{25}{6}=5\left( 1-\dfrac{x}{100}\right)$
 বা, $\dfrac{25}{6}=5-\dfrac{x}{20}$
বা, $\dfrac{x}{20}=5-\dfrac{25}{6}$
বা, $\dfrac{x}{20}=\dfrac{30-25}{6}$
বা, $\dfrac{x}{20}=\dfrac{5}{6}$
বা, $x=\dfrac{100}{6}=\dfrac{50}{3}=16\dfrac{2}{3}$
(খ) নং প্রশ্নের উত্তরঃ
                               ১ম অংশ
$12$ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ,$S=50$ টাকা এবং 
ধরি,ক্রয়মূল্য,$C=y$ টাকা।
ক্ষতির হার,$r=x\%=\dfrac{x}{100}$
$S=C(1-r)$
বা, $50=y\left( 1-\dfrac{x}{100}\right)$
বা, $50=y\dfrac{100-x}{100}$
বা, $y=\dfrac{5000}{100-x}$
               ২য় অংশঃ
লাভের হার,$ r=5x\%=\dfrac{x}{20}$
সুতরাং $12$ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ,$S=C(1+r)$
                           $=y\left(1+\dfrac{x}{20}\right)$
                           $=\dfrac{5000}{100-x}\cdot  \dfrac{20+x}{20}$
                          $=\dfrac{250(20+x)}{100-x}$ টাকা।
$\dfrac{250(20+x)}{100-x}$ টাকায় বিক্রয় করতে হবে $12$ টি লেবু।
সুতরাং $1$ টাকায় বিক্রয় করতে হবে
 $=\dfrac{12}{\dfrac{250(20+x)}{100-x}}$ টি লেবু
 $=\dfrac{12(100-x)}{250(20+x)}$ টি লেবু
 $=\dfrac{6(100-x)}{125(20+x)}$ টি লেবু। $(Ans.)$
(গ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
লাভের হার,$ r=2x\%=\dfrac{x}{50}$
সুতরাং $12$ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ,$S=C(1+r)$
                           $=y\left(1+\dfrac{x}{50}\right)$
                           $=\dfrac{5000}{100-x}\cdot  \dfrac{50+x}{50}$
                          $=\dfrac{100(50+x)}{100-x}$ টাকা।
প্রশ্নমতে,$\dfrac{100(50+x)}{100-x}-50=\dfrac{27x}{2}$
বা,$\dfrac{5000+100x-5000+50x}{100-x}=\dfrac{27x}{2}$
বা, $\dfrac{150x}{100-x}=\dfrac{27x}{2}$
বা, $\dfrac{50}{100-x}=\dfrac{9}{2}$  $\left[\because x \ne 0\right]$
বা,$100=900-9x$
বা, $9x=900-100$
বা, $9x=800$
$\therefore x=\dfrac{800}{9}=88\dfrac{8}{9}$  $(showed)$

বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ
১. $f(x)=ax+b$ এর $f(x)=0$ হলে 
$i. x=\dfrac{-b}{a}$ যখন $a\in \mathbb Z$
$ii.x=\dfrac{-b}{a}$  যখন $a\ne 0$
$iii.x=\dfrac{-b}{a}$ যখন $a\in \mathbb N$
কোনটি সঠিক?
(ক) $i, ii $       (খ) $i, iii $       (গ) $ii,iii$        (ঘ) $i,ii, iii$
নিচের উদ্দীপকের সাহায্যে ২-৩ নংপ্রশ্নের উত্তর দাওঃ
$2x+\dfrac{1}{3x}=\dfrac{7}{3}$
২.$3x-\dfrac{1}{2x}$ এর মান কত?
(ক) $\dfrac{5}{2}$     (খ) $\dfrac{2}{5}$      (গ) $\dfrac{9}{2}$      (ঘ) $\dfrac{2}{9}$
৩.$x$ এর মান কত?
(ক) $4$        (খ) $3$      ( গ) $2$      (ঘ) $1$
৪.$x+y=4$ এবং $xy=3$ হলে $x^2+y^3=?$
(ক) $8$  (খ) $9$     (গ) $10$    (ঘ) $11$
৫. $x^{2}+1=\sqrt{3}x$ হলে  $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=?$
(ক) $ 3\sqrt{3}$    (খ) $\sqrt{3}$   (গ) $1$   (ঘ) $0$
৬.$x+\dfrac{4}{x}=4$ হলে $x^{2}-\dfrac{1}{x^{3}}$ এর মান কত?
(ক) $ \dfrac{32}{8}$   (খ) $\dfrac{31}{8}$   (গ)  $\dfrac{-31}{8}$    (ঘ) $ \dfrac{-32}{8}$
৩.$A$ একটি কাজ $x$ দিনে করতে পারে, $B$
একটি কাজ $3x$ দিনে করতে পারে।
একই সময়ে $A,B$ এর কত গুণ কাজ করে?
ক) $2$      (খ) $2.5$     (গ) $3$   (ঘ) $4$
১৪.$x^2-x-(m+1)(m+2)$ এর একটি    উৎপাদক নিচের কোনটি?
ক.$x+m+2$     খ.$x+m-1$   গ.$x-m-1$    ঘ.$x-m-2$
৩.$a+b=6$ এবং $a-b=2$ হলে $4ab$ এর মান নিচের কোনটি?
(ক) $32$       (খ) $36$      (গ) $40$    (ঘ) $48$
৪.$\dfrac{x^2+1}{x}+2=0$ হলে $x^9+\dfrac{1}{x^6}$  এর মান কত?
(ক) $2$   (খ) $-2$   (গ) $-1$   (ঘ) $0$
৫.$x^2-√3x+1=0$ হলে-
 $i.x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{3}$
$ii. x^2+\dfrac{1}{x^2} =1$
$iiii.x^3+\dfrac{1}{x^3} =0$
কোনটি সঠিক?
(ক) $i,ii$     (খ) $i,iii$    (গ) $ii,iii$    (ঘ) $i,ii,iii$
৩.$(x+y)^2=\sqrt[3]{27}$ এবং $xy=0$ হলে-
$i.x+y=\sqrt{3}$
$ii.x^3 y+xy^3=0$
$iiii.x^2+y^2=3$
কোনটি সঠিক?
(ক) $i, ii$  (খ) $i, iii$    (গ) $ii,iii$    (ঘ) $i, ii, iii$ 
৪.$2x+\dfrac{2}{x}=3$ হলে $x^2+\dfrac{1}{x^2}$  এর মান-
(ক) $\dfrac{25}{4}$     (খ) $\dfrac{17}{4}$      (গ) $\dfrac{7}{4}$      (ঘ) $\dfrac{1}{4}$
৫.$2x+\dfrac{2}{x}=3$ হলে $x^3+\dfrac{1}{x^3}$  এর মান কত?
(ক) $\dfrac{25}{4}$      (খ) $\dfrac{17}{4}$      (গ) $\dfrac{9}{4}$         (ঘ) $\dfrac{7}{4}$
৬.একটি নৌকার স্রোতের প্রতিকূলে $24$ কিলোমিটার এবং স্রোতের অনুকূলে $28$ কিলোমিটার যেতে মোট $6$ ঘণ্টা সময় লাগে। আবার স্রোতের অনুকূলে $21$ কিলোমিটার এবং স্রোতের প্রতিকূলে $30$ কিলোমিটার যেতে মোট $6$ ঘণ্টা $30$ মিনিট সময় লাগে । স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?
(ক) $10$     (খ) $12$      (গ) $15$     (ঘ) $20$

  উত্তরপত্র:
    ১.(গ)   ২.(ক)   ৩.(ঘ)   8.(গ)    ৫.(গ)   ৬.(খ)
                 মূল বই এর গাণিতিক সমস্যা  ও সমাধানঃ
                                    অনুশীলনী-৩.৫  
৩৫. দাঁড় বেয়ে একটি খালের $A$ বিন্দু থেকে $B$ বিন্দুতে যেয়ে ফিরে আসতে হবে।দাঁড়ের বেগ ধ্রুব হলে স্রোত থাকলে সময় বেশি লাগবে না স্রোত না থাকলে সময় বেশি লাগবে?
সমাধানঃ
মনে করি, নৌকার বেগ $x$ কি.মি./ঘণ্টা
এবং  স্রোতের বেগ $y$ কি.মি./ঘণ্টা।
স্রোত না থাকলে সময়, $t=\dfrac{d}{x}+\dfrac{d}{x}=\dfrac{2d}{x}$
স্রোত থাকলে সময়, $t_1=\dfrac{d}{x+y}+\dfrac{d}{x-y}=\dfrac{2xd}{x^2-y^2}$
$\therefore \dfrac{t}{t_1}=\dfrac{\dfrac{2d}{x}}{\dfrac{2xd}{x^2-y^2}}$
            $=\dfrac{x^2-y^2}{x^2}$
            $=1-\dfrac{x^2}{y^2}$
     $\therefore t=\left(1-\dfrac{x^2}{y^2}\right)t_1$
     $\therefore t_1>t$
                 উচ্চতর গণিত

প্রতিসম রাশিঃ
একাধিক চলক সংবলিত কোনো রাশির চলকগুলোর সকল বিন্যাসের(সাজানোর) জন্য যদি রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে তবে ঐ রাশিকে প্রতিসম রাশি বলে।
যেমনঃ $a$ ও $b$ দুটি চলকের দুটি  বিন্যাস হয়। অর্থাৎ,
$a,b$
$b,a$
কোন রাশি যদি এই দুটি বিন্যাসের জন্য একই হয় তবে রাশিটিকে $a$ ও $b$ চলকের প্রতিসম রাশি বলে।
যেমনঃ $P(a,b)=a^2+b^2$
           $P(b,a)=b^2+a^2$
                        $=a^2+b^2$
যেহেতু $P(a,b)=P(b,a)$,
তাই $P(a,b)$ একটি প্রতিসম রাশি।
আবার,$x,y,z$ তিনটি চলকের ছয়টি বিন্যাস হয়।[সূত্রঃ$3!=3×2×1=6$]
বিন্যাস গুলো নিম্নরূপঃ
$x,y,z$
$x,z,y$
$y,z,x$       (এখানে $x,y,z$ চক্রাকারে স্থান পরিবর্তন করেছে)
$y,x,z$
$z,y,x$
$z,x,y$     (এখানে $x,y,z$ চক্রাকারে স্থান পরিবর্তন করেছে)
এই ছয়টি বিন্যাসের সবগুলোর জন্য যদি কোন বীজগাণিতিক রাশি একই থাকে তবে ঐ রাশিকে তিন চলকের প্রতিসম রাশি বলে। উপরোক্ত বিন্যাসগুলোর মধ্যে দুটি চক্র ক্রমিক (cyclic) বিন্যাস রয়েছে। কেবলমাত্র এই দুটি চক্রক্রমিক বিন্যাসের জন্য কোন রাশি অপরিবর্তিত থাকলে ঐ রাশিকে তিন চলকের চক্র ক্রমিক রাশি বলে। এভাবে তিন বা তার অধিক চলকের চক্র ক্রমিক ও প্রতিসম রাশি রয়েছে।
সেজন্য সকল তিন বা ততোধিক চলকের সকল প্রতিসম রাশি চক্রক্রমিক কিন্তু সকল চক্রক্রমিক রাশি প্রতিসম নয়।কারণ প্রতিসম রাশি হতে হলে চলকের সকল বিন্যাসের জন্য রাশিটিকে অপরিবর্তিত থাকতে হয়। কিন্তু চক্রক্রমিক হতে হলে কেবলমাত্র চলকের চক্রাকার বিন্যাসের জন্য অপরিবর্তিত থাকতে হয়।যেমনঃ
$P(x,y,z)=xy+yz+zx$
$P(x,z,y)=xz+zy+yx=xy+yz+zx$$=P(x,y,z)$
$P(y,z,x)=yz+zx+xy=xy+yz+zx$$=P(x,y,z)$
$P(y,x,z)=yx+xz+zy=xy+yz+zx$$=P(x,y,z)$
$P(z,y,x)=zy+yx+xz=xy+yz+zx$$=P(x,y,z)$
$P(z,x,y)=zx+xy+yz=xy+yz+zx$$=P(x,y,z)$
যেহেতু $x,y,z$ এর ছয়টি বিন্যাসের জন্য একই রাশি পাওয়া যায় ,তাই $P(x,y,z)$ একটি প্রতিসম রাশি 
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করঃ 
$-x^2-4y^2+4xy+12y-6x-9$
সমাধানঃ
কেবলমাত্র $x$ সম্বলিত পদ এবং ধ্রুব পদ নিয়ে পাই,
$-x^2-6x-9\equiv -\left(x^2+6x+9\right)$
                $=-(x+3)^2$
                $=-(x+3)(x+3)$
                $=(-x-3)(x+3)$
কেবলমাত্র $y$ সম্বলিত পদ এবং ধ্রুব পদ নিয়ে পাই,
$-4y^2+12y-9\equiv -\left(4y^2-12y+9\right)$
                            $=-(2y-3)^2$
                            $=-(2y-3)(2y-3)$
                            $=(2y-3)(-2y+3)$
  $-x^2-4y^2+4xy+12y-6x-9$$\equiv (-x+2y-3)(x-2y+3)$

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করঃ 
$2x^2-3y^2-xy+4y-x-1$
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করঃ 
$2x^2-xy+5xz-6y^2+11yz-3z^2$
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করঃ 
$2x^2+xy-xz-y^2+2yz-z^2$
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করঃ
$x^2-xz-4y^2-6yz-2z^2$
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করঃ
$3x^2-5xy-8xz+2y^2+6yz+4z^2$
আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর:(প্রকৃত ভগ্নাংশ)
(ক) $\dfrac{5x+4}{x(x+2)}$ 
সমাধান:
প্রথম উৎপাদক কে $0$ করতে প্রথম উৎপাদক বাদে অন্য সব $x$ এর মান শূন্য বসানো হবে।
আবার,২য় উৎপাদক কে $0$ করতে ২য় উৎপাদক বাদে অন্য সব $x$ এর মান $-2$ বসানো হবে।
$\dfrac{5x+4}{x(x+2)} ≡\dfrac{5×0+4}{x(0+2)} +\dfrac{5×-2+4}{-2(x+2)}$
     $=\dfrac{4}{2x}+\dfrac{-6}{-2(x+2)}$
     $=\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x+2}$ $ (Ans.)$
(খ) $\dfrac{x+2}{x^2-7x+12}$
সমাধান:
      $\dfrac{x+2}{x^2-3x-4x+12}$ 
$=\dfrac{x+2}{x(x-3)-4(x-3)}$ 
$=\dfrac{x+2}{(x-3)(x-4)}$  
$∴ \dfrac{x+2}{(x-3)(x-4)}$$ ≡\dfrac{3+2}{(x-3)(3-4)} +\dfrac{4+2}{(4-3)(x-4)}$ 
           $=\dfrac{5}{-(x-3)}+\dfrac{6}{x-4}$  $ (Ans.)$
(গ) $\dfrac{x^2-9x-6}{x(x-2)(x+3)}$ 
সমাধান:
$\dfrac{x^2-9x-6}{x(x-2)(x+3)} $$≡\dfrac{(0-9×0-6}{x(0-2)(0+3)} +\dfrac{2^2-9×2-6}{2(x-2)(2+3)}$$ +\dfrac{(-3)^2-9×-3-6}{-3(-3-2)(x+3)}$ 
        $ =\dfrac{-6}{-6x}+\dfrac{-20}{10(x-2)} +\dfrac{30}{15(x+3)}$ 
        $ =\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{2}{x+3}$
কাজের অঙ্ক: (পৃষ্ঠা-৬০)
(ক)$\dfrac{x^2+x+1}{x^3+x^2-6x}$
সমাধান:
$\dfrac{x^2+x+1}{x^3+x^2-6x)}=\dfrac{x^2+x+1}{x(x^2+x-6)}$  
       $=\dfrac{x^2+x+1}{x(x^2+3x-2x-6)}$
      $=\dfrac{x^2+x+1}{x\left\{x(x+3)-2(x+3)\right\}}$
       $=\dfrac{x^2+x+1}{x(x+3)(x-2)}$
$∴\dfrac{x^2+x+1}{x(x+3)(x-2)} $$≡\dfrac{0+0+1}{x(0+3)(0-2)} +\dfrac{(-3)^2-3+1}{-3(x+3)(-3-2)}$$+\dfrac{2^2+2+1}{2(2+3)(x-2)}$ 
           $=\dfrac{1}{-6x}+\dfrac{7}{15(x+3)} +\dfrac{7}{10(x-2)}$ 
(খ)$\dfrac{x^2}{x^4+x^2-2}$
সমাধান:
$\dfrac{x^2}{x^4+x^2-2}=\dfrac{x^2}{x^4+2x^2-x^2-2}$     
                            $=\dfrac{x^2}{x^2 (x^2+2)-1(x^2+2)}$
              $ =\dfrac{x^2}{(x^2+2)(x^2-1)}$ 
$∴\dfrac{x^2}{(x^2+2)(x^2-1)}$$ ≡\dfrac{-2}{(x^2+2)(-2-1)} +\dfrac{1}{(1+2)(x^2-1)}$
                 $=\dfrac{2}{3(x^2+2)} +\dfrac{1}{3(x^2-1)}$ 
               $ =\dfrac{2}{3(x^2+2)} +\dfrac{1}{3(x+1)(x-1)}$
               $=\dfrac{2}{3(x^2+2)} +\dfrac{1}{3(x+1)(-1-1)} $$+\dfrac{1}{3(1+1)(x-1)}$ 
               $=\dfrac{2}{3(x^2+2)} -\dfrac{1}{6(x+1)} +\dfrac{1}{6(x-1)}$
**অনুরূপভাবে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর:
১.$\dfrac{5x-7}{(x-1)(x-2)}$ 
২.$\dfrac{x+5}{(x-1)(x-2)(x-3)}$ 
অতিরিক্ত অঙ্ক:(সমঘাতের লব ও হরবিশিষ্ট অপ্রকৃত ভগ্নাংশ)
$\dfrac{2x^2+1}{(x-2)(x+1)}$
সমাধানঃ
$\dfrac{2x^2+1}{(x-2)(x+1)}$$ ≡2+\dfrac{2×2^2+1}{(x-2)(2+1)} +\dfrac{2×(-1)^2+1}{(-1-2)(x+1)}$ 
              $=2+\dfrac{9}{3(x-2)} +\dfrac{3}{-3(x+1)}$
               $=2+\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x+1}$ $(Ans.)$

উদাহরণ ২৫: $\dfrac{(x-1)(x-5)}{(x-2)(x-4)}$ 
সমাধান:
$\dfrac{(x-1)(x-5)}{(x-2)(x-4)}$$ ≡1+\dfrac{(2-1)(2-5)}{(x-2)(2-4)} +\dfrac{(4-1)(4-5)}{(4-2)(x-4)}$ 
               $=1+\dfrac{-3}{-2(x-2)}+\dfrac{-3}{2(x-4)}$ 
               $=1+\dfrac{3}{2(x-2)}-\dfrac{3}{2(x-4)}$ 
উদাহরণ ২৬: $\dfrac{2x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}$ 
সমাধান:
$\dfrac{2x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}$$ ≡2+\dfrac{2×1^3}{(x-1)(1-2)(1-3)}+$$\dfrac{2×2^3}{(2-1)(x-2)(2-3)} +                                     \dfrac{2×3^3}{(3-1)(3-2)(x-3)}$  
           $=2+\dfrac{2}{2(x-1)} +\dfrac{16}{-(x-2)}+\dfrac{54}{2(x-3)}$ 
             $=2+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{16}{x-2}+\dfrac{27}{x-3}$
আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করঃ 
১.$\dfrac{x^3+3}{(2x-1)(3x-2)}$
$Ans:\dfrac{7}{36}+\dfrac{x}{6}-\dfrac{25}{4(2x-1)}+\dfrac{89}{9(3x-2)}$
২.$\dfrac{x^4+1}{(x^2+1)(x-1)}$
$Ans: 1+x+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x+1}{x^2+1}$
৩.$\dfrac{x^3+1}{(x+2)(x-1)^2}$
$Ans: 1-\dfrac{7}{9(x+2)}+\dfrac{7}{9(x-1)}+\dfrac{2}{3(x-1)^2}$
৪. $\dfrac{x^3+1}{2x^3+3x^2-5x-6}$
৫. $\dfrac{x^3+27}{x^2-9}$
৬.$\dfrac{1}{x^2\left(x^2-1\right)}$
৭. $\dfrac{2x^3}{x^3+8}$
৮. $\dfrac{x}{\left(x^2-1\right)\left(2x^2+4\right)}$ 
৮. $\dfrac{1}{(x+2)\left(2x^2-8\right)}$ 
৯.$\dfrac{2x^2-3}{(x+2)(x-1)}$
১০. $\dfrac{6x+27}{4x^3-9x}$ উত্তরঃ $-\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{2x-3}+\dfrac{2}{2x+3}$
১১. $\dfrac{x^3-1}{(x^2+1)(2x-1)}$
১২. $\dfrac{2x^2}{x^2-a^2}$
১৩. $\dfrac{1}{x\left(x^3+1\right)}$

গাণিতিক সমস্যাঃ 
নিচের বীজগাণিতিক রাশি গুলো চক্রক্রমিক ও প্রতিসম কি না যাচাই করঃ 
$P(a,b,c)=(a-b)(b-c)+(b-c)(c-a)$$+(c-a)(a-b)$
সৃজনশীল প্রশ্নঃ 
$P(x)=x^3-4x^2-3x-2$ এবং $Q(x)=x^3-x^2+4x-4$
(ক) $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ এর মাত্রা নির্ধারণ কর।
(খ) দেখাও যে, $P(x)$ ও $Q(x)$ এর সাধারণ উৎপাদক বিদ্যমান।
(গ) $\dfrac{Q(x)}{P(x)}$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
গাণিতিক সমস্যাঃ 
$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}=\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}$ হলে প্রমাণ কর যে $x=y=z$.
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে, 
$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\cdots \cdots (i)$
আমরা জানি, 
$P=\left(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{z}\right)^2+\left(\dfrac{y}{z}-\dfrac{z}{x}\right)^2+\left(\dfrac{z}{x}-\dfrac{x}{y}\right)^2$
$=2\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{x^2}{y^2}\right)-2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)$
$=2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{y}\right)-2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)$    [$(i)$হতে]
$=0$
$\therefore P=0$
অর্থাৎ,$\left(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{z}\right)^2+\left(\dfrac{y}{z}-\dfrac{z}{x}\right)^2+\left(\dfrac{z}{x}-\dfrac{x}{y}\right)^2=0$
কয়েকটি রাশির বর্গের সমষ্টি শূণ্য হলে রাশি গুলো আলাদাভাবে শূণ্য হয়।
সুতরাং $\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{z}=0$
বা, $\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}\cdots \cdots (ii)$
এবং   $\dfrac{y}{z}-\dfrac{z}{x}=0$
বা,$\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}\cdots \cdots (iii)$ 
$(ii)$ ও $(iii)$ হতে পাই, 
$\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}$
ধরি,$\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}=k$
সুতরাং,$\dfrac{x}{y}=k$
বা,$x=yk\cdots \cdots (iv)$
এবং $y=zk\cdots \cdots (v)$
এবং $z=xk\cdots \cdots (vi)$
$(iv)+(v)+(vi)\Rightarrow$
$x+y+z=k(x+y+z)$
$\therefore k=1$
$(iv)\Rightarrow x=y$
$(v)\Rightarrow y=z$
$\therefore x=y=z$
অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ
$a^{-6}+b^{-6}+c^{-6}=\dfrac{3}{a^2b^2c^2}$ হলে প্রমাণ কর যে, $(ab+bc+ca)^2=2abc(a+b+c)$ অথবা, $a=b=c$

                     সৃজনশীল প্রশ্ন-১:
$P(x)=ax^5+bx^4+cx^3+cx^2+bx+a$ এর একটি উৎপাদক $x-r$,যেখানে সহগগুলো পূর্ণ সংখ্যা ।
(ক)প্রমাণ কর যে,$rx-1 ,P(x)$ এর একটি উৎপাদক।
(খ)প্রমাণ কর যে,$r,a$ এর একটি উৎপাদক ।
(গ) $r=\dfrac{p}{q}$  ,($p,q$ সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা) হলে দেখাও যে,$p$ এবং $q$ উভয়ই $a$ এর উৎপাদক ।
(ঘ)$r=1$ হলে দেখাও যে উদ্দীপকের তথ্য সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি $a+b+c=0$ হয়।
(ঙ) $x+r,P(x)$ এর আরো একটি উৎপাদক হলে $r^2$
কে $a,b,c$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
                      সৃজনশীল প্রশ্নোত্তর-২:
 $P(a,b,c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ 
    (ক) দেখাও যে, $P(a,b,c)$ প্রতিসম এবং চক্র ক্রমিক রাশি।                                               
    (খ) $P(a,b,c)=0$ হলে প্রমাণ কর যে, $(a+b+c)^n=a^n+b^n+c^n$  অথবা,$\dfrac{1}{(a+b+c)^n}=\dfrac{1}{a^n+b^n+c^n}$
     যেখানে $n$ বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।                                                                            
    (গ) $\dfrac{2}{P(x,1,x)}$কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর । 
                           (ক)নং প্রশ্নের উত্তরঃ    
দেওয়া আছে,
$P(a,b,c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$.
     $P(b,a,c)=(b+a+c)(ba+ac+cb)-bac$
                       $=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$
                       $=P(a,b,c)$              
$∴ P(a,b,c)$ একটি প্রতিসম রাশি।
                           (খ)নং প্রশ্নের উত্তরঃ
     $P(a,b,c)=0$ 
বা,$(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=0$
বা,$a^2 b+abc+ca^2+ab^2+b^2 c$$+abc+abc+      bc^2+c^2 a-abc=0$
বা,$a^2 b+abc+ca^2+ab^2+b^2 c+abc$$+bc^2+    c^2 a=0$
বা,$a^2 b+abc+ca^2+c^2 a+ab^2+b^2 c$$+abc+ bc^2=0$
বা, $ab(a+c)+ca(a+c)+b^2 (a+c)+bc(a+c)$$=0$
বা,$(a+c)(ab+ca+b^2+bc)=0$
বা,$(a+c){a(b+c)+b(b+c)}=0$
বা,$(a+c)(b+c)(a+b)=0$
$\therefore a+c=0 ,b+c=0,a+b=0$
বা,$a=-c,b=-c,a=-b$
$L.H.S=(a+b+c)^n$
         $=(0+c)^n$
         $=c^n$
$R.H.S=a^n+b^n+c^n$
          $=(-b)^n+b^n+c^n$
          $=-b^n+b^n+c^n$       [যেহেতু $n$ বিজোড়]
          $=c^n$
$\therefore L.H.S=R.H.S$    (প্রমাণিত)
অনুরূপভাবে 'অথবা' অংশ প্রমাণ কর।
                    সৃজনশীল প্রশ্ন-৩:
$f(x)=5x^2+x^3-6x$
(ক) $f(x)$ উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।                            

(খ) $f(x)$ কে আদর্শ আকারে প্রকাশ করে মাত্রা , মুখ্য পদ , মুখ্য সহগ ও ধ্রূব পদ নির্ণয় কর।                              
(গ) $\dfrac{42}{xf(x)}$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। 
                    সৃজনশীল প্রশ্ন-৪:
$P(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz$
  (ক) দেখাও যে, $P(x,y,z)$ প্রতিসম এবং চক্রক্রমিক বহুপদী।                   
  (খ) $P(x,y,z)$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।                                        
 (গ) $\dfrac{x^3-x^2}{P(x,x,1)}$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
                     সৃজনশীল প্রশ্ন-৫:
 $x ,y,z $ এর একটি বহুপদী, $F(x,y,x)=x^3+y^3+z^3-3xyz.$
(ক) দেখাও যে , $F(x,y,z)$ হলো একটি চক্র-ক্রমিক রাশি ।
(খ) $F(x,y,z)$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর এবং যদি 
$F(x,y,z)=0 ,x+y=z≠0$ হয় ,
 তবে দেখাও যে , $x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx$ ।
(গ) যদি $x=b-c+a,y=c+a-b$ এবং $z=a+b-c$ 
হয় , তবে দেখাও যে , $F(a,b,c):F(x,y,z)=1:4$ ।
(ঘ) প্রমাণ কর যে, $F(x,y,z)=\dfrac{1}{2}(x+y+z)$$\left\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \right\}$
(ঙ) $F(x,y,z)=-xyz$ এবং $x^2+y^2+z^2=0$ হলে প্রমাণ কর যে, $(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3$
                   সৃজনশীল প্রশ্ন-৬:
 $P(a,b,c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)$ এবং $Q=a^{-3}+b^{-3}+c^{-3}-3a^{-1} b^{-1} c^{-1}$ ।
(ক) $P(a,b,c)$ চক্র-ক্রমিক ও প্রতিসম রাশি কিনা তা কারণসহ উল্লেখ কর ।
(খ) $Q=0$ হলে , প্রমান কর যে , $a=b=c$ অথবা $ab+bc+ca=0$ ।
(গ) $P(a,b,c)=abc$ হলে দেখাও যে  , $\dfrac{1}{(a+b+c)^7}=\dfrac{1}{a^7} +\dfrac{1}{b^7} +\dfrac{1}{c^7}$  ।
                 সৃজনশীল প্রশ্ন-৭:
$P(x)=18x^3+bx^2-x-2$ এবং $Q(x)=4x^4+12x^3+7x^2-3x-2$ ।
(ক) $\dfrac{Q(x)}{P(x)}$  ভাগফলটির মাত্রা নির্ণয় কর ।
(খ) $3x+2,P(x)$ এর একটি উৎপাদক হলে b এর মান নির্ণয় কর ।
(গ)  $\dfrac{8x^2-2}{Q(x)}$  কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর ।
                  সৃজনশীল প্রশ্ন-৮:
চলক $x$ এর দুইটি বহুপদী $P(x)=7x^2-3x+4x^4-a+12x^3$ এবং $Q(x)=6x^3+x^2-9x+26$
(ক) $P(x)$ কে আদর্শরূপে লিখে এর মুখ্য সহগ নির্ণয় কর ।
(খ) $P(x)$ এর একটি উৎপাদক $(x+2)$ হলে $a$ এর মান নির্ণয় কর ।
(গ) দেখাও যে , $P(x)$ এবং $Q(x)$ এর একটি সাধারণ উৎপাদক বিদ্যামান ।
                   সৃজনশীল প্রশ্ন-৯:
$f(x)=x^4-2x^3-x^2-4x-6$ 
(ক) $f(x)$ কে $x-1$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
(খ) $f(x)$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষন করো।
(গ) $\dfrac{x}{f(x)}$  কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
                 সৃজনশীল প্রশ্ন-১০:
$y=64x^3-56x^2+14x-1$ 
(ক) $y$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষন কর।
(খ) $\dfrac{x^2+1}{y}$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
(গ) $y=0$ এর মূলগুলো অধঃক্রম অনুসারে যে ধারাভুক্ত তার নবম পদ এবং অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করো।
                সৃজনশীল প্রশ্ন-১১:
$P(x,y,z)=\dfrac{1}{x^3} +\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}-\dfrac{3}{xyz}$ 
(ক) দেখাও যে, $P(x,y,z)$ একটি চক্র-ক্রমিক ও প্রতিসম রাশি।
(খ) $P(x,y,z)=0$ এবং $xy+yz+zx≠0$ হলে প্রমাণ কর যে, $x=y=z$.
(গ) $P\left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}\right)=0$ এবং $a+b+c≠0$ হলে প্রমাণ কর যে, $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca.$
                  সৃজনশীল প্রশ্ন-১২:
 $P(x)=-x^2+15x+10x^3+9$ এবং $Q(x)=x^3+x^2-6x$
    (ক) $P(x)$ কে $x$ চলকের আদর্শরূপে লিখে এর মুখ্যসহগ  নির্ণয় কর।
    (খ) $P(x)$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
    (ঘ) $\dfrac{x^2+x-1}{Q(x)}$  কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
                        সৃজনশীল প্রশ্ন-১৩:
$F(x)=x^4+3x^3+4x^2+6x+4$ একটি বহুপদী।
    (ক) $F(x)$ কে $(2x+1)$ দ্বরা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা নির্ণয় কর।
    (খ) $F(x)=0$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
    (গ) $\dfrac{x}{F(x)}$  কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
                          সৃজনশীল প্রশ্ন-১৪:
 $f(a)=a^3+5a^2+6a+8$ এবং $P(x)=\dfrac{x+3}{x^2+8x+15}$
    (ক) $f(-2)$ এর মান নির্ণয়কর।
    (খ) $P(x)$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
    (গ) যদি $f(a)$ কে $(x-a)$ এবং $(y-a)$ দ্বারা ভাগ করলে একই ভাগশেষ থাকে  তবে প্রমাণ কর যে $x^2+y^2+xy+5x+5y+6=0$ যেখানে $x≠y.$
                           সৃজনশীল প্রশ্ন-১৫:
 $f(y)=\dfrac{y^3-2y^2+1}{y^2-2y-3}$
    (ক) $f\left(\dfrac{-1}{3}\right)$ নির্ণয় কর।
    (খ) $f(y)=0$ হলে $y$ এর মান নির্ণয় কর।
   (গ) $f(y)$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
                      সৃজনশীল প্রশ্ন-১৬:
   চলক $x$ এর তিনটি বহুপদী $P(x)=18x^3+15x^2-x+k$,
    $N(x)=x^2-4x-7 \;, $$D(x)=x^3-x^2-10x-8$ এবং
        $P(x)$ এর একটি উৎপাদক $(3x+2)$
    (ক) $D(x)$ কে উৎপাদক বিশ্লেষন কর।
    (খ) $P(x)$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষন কর।
    (গ) $\dfrac{N(x)}{D(x)}$  কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
                   সৃজনশীল প্রশ্ন-১৭:
 $F(x)=x^3-x^2-10x-8$ , $f(x)=x^3+2x^2-1$ এবং  $P(x)=x^2+2x-3$
    (ক) $f(x)$ কে $x+1$ দ্বারা ভাগ করে  ভাগশেষ নির্ণয় কর।
    (খ) $F(x)$ বহুপদকে উৎপাদকে বিশ্লেষন কর।
    (গ) $\dfrac{f(x)}{P(x)}$  রাশিকে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
                     সৃজনশীল প্রশ্ন-১৮:
$P(x,y,z)=3x^2-5xy-8xz+2y^2+6yz+4z^2$
(ক) $y$ চলকের আদর্শ আকারে প্রকাশ করে মুখ্যসহগ ও ধ্রুবপদ নির্ণয় কর।
(খ) $P(x,y,z)$ কে $z$ চলকের আদর্শ আকারে প্রকাশ করে তাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
(গ) $\dfrac{x}{P(x^2,-1,x)}$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

Creative Question:

$a+b+c=0$

(a) show that
$\dfrac{a^{2}}{2 a^{2}+b c}+\dfrac{b^{2}}{2 b^{2}+c a}+\dfrac{c^{2}}{2 c^{2}+a b}=1$

(b) prove that,
$\dfrac{1}{2a^2+bc}+\dfrac{1}{2b^2+ca}+\dfrac{1}{2c^2+ab}=0$

Solution:
$\dfrac{a^{2}}{2 b^{2}+c a} $

$=\dfrac{a^{2}}{b^{2}+b^{2}+c a}$
$=\dfrac{a^{2}}{b^{2}+b \times b+c a}$
$=\dfrac{a^{2}}{b^{2}+b(-c-a)+c a}$
$=\dfrac{a^{2}}{b^{2}-b c-a b+c a}$

$= \dfrac{a^{2}}{b(b-c)-a(b-c)} $

$= \dfrac{a^{2}}{(b-c)(b-a)} $

$=\dfrac{a^{2}}{-(a-b)(b-c)}$

similarly

$\dfrac{b^2}{2 b^2+c a}=\dfrac{b^2}{-(a-b)(b-c)}$
$\dfrac{c^2}{2 c^2+a b}=\dfrac{c^2}{-(c-a)(b-c)}$
L.H.S$=\dfrac{a^2}{2 a^2+b c}+\dfrac{b^2}{2 b^2+c a}+\dfrac{c^2}{2 c^2+a b}$
$=\dfrac{a^2}{-(a-b)(c-a)}+\dfrac{b^2}{-(a-b)(b-c)}$
$+\dfrac{c^2}{-(c-a)(b-c)}$
$=\dfrac{a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)}{-(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=\dfrac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{-(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=1 $

similarly solve (b)
                
                 বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ
                                মডেল টেষ্ট-১
  পূর্ণমাণ-২৫                               সময়-২৫ মিনিট                                
১.যদি $5x^3+11x^2+3x-4$ কে $(x+1)$ দ্বারা ভাগ করা হয় , তাহলে ভাগশেষ কত ?
(ক) $-1$            (খ) $0$                   (গ) $1$                   (ঘ) $2$
নিচের তথ্যের আলোকে $২-৩$ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
$\dfrac{5x+2}{(x+2)(3x-2)}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{3x-2}$
২. $A$ এর মান কত ?
(ক) $-2$          (খ) $-1$         (গ) $1$            (ঘ) $2$
৩. $B=$ কত ?
(ক) $-2$        (খ) $-1$           (গ) $1$            (ঘ) $2$
৪. $x^3+y^3+z^3-3xyz$ রাশিটির জন্য-
$i.$ একটি উৎপাদক $x+y+z$
$ii.$ রাশিটি প্রতিসম 
$iii.$ রাশিটির চক্র-ক্রমিক
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i ,ii$       (খ)$ii,iii$         (গ) $i,iii$          (ঘ) $i,ii,iii$
৫. $x^6+2x^5-3x^4-7$ বহুপদীর মুখ্য সহগ কত?
(ক) $-7$        (খ) $1$               (গ) $2$            (ঘ) $-3$
৬. $f(x)=2x^3+6x^2-6x+a$ যদি $(x-1)$ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে $a$ এর মান কত ?
(ক) $-2$                  (খ) $-1$
(গ) $1$                    (ঘ) $2$
৭.$\dfrac{8x^2+2x^3+3x}{4x}$ এর মুখ্য সহগ কত ?
(ক) $\dfrac{1}{2}$               (খ) $\dfrac{3}{4}$                (গ) $2$              (ঘ) $8$
৮. নিচের কোনটি চক্র-ক্রমিক কিন্তু প্রতিসম নয় ?
(ক) $x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx$
(খ) $x^2+y^2-z^2$
(গ) $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}$
(ঘ) $\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}$
৯.বহুপদী $P(x)=2x^2-9x+6$ কে $(x-4)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
(ক) $4$             (খ) $2$            (গ) $-2$             (ঘ) $-1$
১০. $P(x)=5x^2+6x^2-ax+6$ কে $(x-2)$ দ্বারা ভাগ করলে যদি ভাগশেষ $6$ হয় তাহলে , $a$ এর মান কত ?
(ক) $30$           (খ) $32$           (গ) $35$              (ঘ) $36$
১১.$\dfrac{5x+2}{(x+2)(3x-1)}$  এর আংশিক ভগ্নাংশ প্রকাশিত রূপ কোনটি ?
(ক) $\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{2}{3x-2}$                    (খ) $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}$
(গ) $\dfrac{5x}{x-1}-\dfrac{7}{x-2}$                     (ঘ) $\dfrac{5}{x-1}-\dfrac{7}{x-2}$
১২.$P(x)$ বহুপদীর একটি উৎপাদক যদি $(rx+a)$ হয় তবে কোনটি সঠিক ?
(ক) $P(ra)=0$                    (খ) $P(-ra)=0$
(গ) $P\left(\dfrac{a}{r}\right)=0$                (ঘ) $P\left(\dfrac{-a}{r}\right)=0$
১৩. $a$  এর কোন মানের জন্য $(2x+1)$ রাশিটি $2x^3-5x^2-ax-2$ রাশির একটি উৎপাদক ?
(ক) $-6$           (খ) $-5$           (গ) $7$                 (ঘ) $9$
১৪.কোনটি $x$ চলকের বহুপদী ?
(ক) $4x^4-5x^3 y^2+7$       (খ) $5x^3+\dfrac{3}{x}+8$
(গ) $\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{x^2}+9$              (ঘ) $4x^{-4}-2x^2+12$
১৫.নিচের কোনটি বহুপদী নয় ?
(ক) $ax^2+bx+c$                  (খ) $0$
(গ) $a$                                     (ঘ) $\dfrac{6}{x}+2x$
১৬.$15x^2+24x^3-3x^4+2x+6$ বহুপদীর মূখ্য সহগ কত ?
(ক) $-3$         (খ) $4$                  (গ) $6$                   (ঘ) $15$
১৭. $P(x)=36x^2-8x+5$ কে $(x-1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
(ক) $49$                (খ) $41$                  (গ) $33$                    (ঘ) $23$
১৮. $P(x)=x^2+y^2-2xy$ হলে $P(1 ,-2)$ এর মান কত ?
(ক) $9$             (খ) $1$                (গ) $-1$                 (ঘ) $-9$
১৯.শূন্য বহুপদীর মাত্রা কোনটি ?
(ক) $0$                  (খ) $1$                   (গ) যেকোন সংখ্যা                  (ঘ) অসংজ্ঞায়িত 

২০. $4x^3-3x^2+2a+6$ বহুপদীর একটি উৎপাদক $(x+2)$ হলে $a$ এর মান কত ?
(ক) $-19$                  (খ) $7$                  (গ) $13$                       (ঘ) $19$
২১. $a^3-a^2-10a-8$ বহুপদীর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি ?
(ক) $a+1$                           (খ) $a-1$
(গ) $a-2$                            (ঘ) $a+4$
২২.নিচের কোনটি সমমাত্রিক বহুপদী ?
(ক) $ax^2+2xy+cy$            (খ) $ax^2+2bxy+c^2$
(গ) $ax^2+2bxy+cy^2$      (ঘ) $a^2 x+2abxy+c^2 y^2$
২৩.নিচের কোনটি চক্র ক্রমিক রাশি ?
(ক) $a^2-b^2+c^2$             (খ) $a^2 b+ab^2+b^2 c$
(গ) $xy+yz-zx$                    (ঘ) $x^2 y+y^2 z+z^2 x$
২৪.নিচের কোনটি $x,y$ ও $z$ চলকের প্রতিসম রাশি ?
(ক) $x^2+y^2+z^2$                                             (খ) $2x^2+5xy+6y^2$
(গ) $x^2 (y-z)+y^2 (z-x)+z^2 (x-y)$       (ঘ) $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}$
২৫.কোন রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্র ক্রমিক ?
(ক) $x^2-y^2+z^2$                 (খ) $2a^2-5bc-c^2$
(গ) $x-y-z$                        (ঘ) $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}$
            
                                মডেল টেষ্ট-২
পূর্ণমান-২৫                                           সময়-২৫ মিনিট
২৬.$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে নিচের কোনটি পাওয়া যাবে ?
(ক) $(a-b)(b-c)(c-a)$         (খ) $2(a-b)(b-c)(c-a)$
(গ) $3(a-b)(b-c)(c-a)$       (ঘ) $-3(a-b)(b-c)(c-a)$
২৭.কোনটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ?
(ক) $\dfrac{x+5}{(x-1)(x+2)}$         (খ) $\dfrac{x-1}{(x-2)(x+5)}$ 
(গ) $\dfrac{x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}$         (ঘ) $\dfrac{x^3}{x^4+x^2+1}$
২৮. $\dfrac{x}{x^2-9}$ এর আংশিক ভগ্নাংশ কোনটি ?
(ক) $\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x-3}$            
(খ) $\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x-3}$
(গ) $\dfrac{1}{2(x+3)} +\dfrac{1}{2(x-3)}$      
(ঘ) $\dfrac{1}{2(x+3)}-\dfrac{1}{2(x-3)}$
২৯..যদি $\dfrac{2x+1}{x(x-1)} ≡\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}$ হয় , তবে $A$ ও $B$ এর মান কত ?
(ক) $-1$ ও $3$                    (খ) $3$ ও $-1$ 
(গ) $2$ ও $1$                       (ঘ) $-1$  ও $2$
৩০. $\dfrac{x-3}{(x-1)(x-2)} ≡\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{-1}{x-2}$ হলে , $B$ এর মান কত ?
(ক) $-1$          (খ) $-2$         (গ) $1$           (ঘ) $2$
৩১. $y$ চলকের বহুপদী $3x^2 y^4-5xy^7+2x^5 y^3-8$ এর-
$i.$ মাত্রা $6$
$ii.$ মূখ্য সহগ $-5x$
$iii.$ ধ্রুবপদ $-8$
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i ,ii$        (খ) $ii,iii$           (গ) $i,iii$           (ঘ) $i,ii,iii$
৩২. $P(x)=\dfrac{2x^3+5x^2}{x^2+3}$ হলে $–$
$i.$ বহুপদীটির মাত্রা $1$
$ii.$ বহুপদীটির মূখ্য সহগ $2$
$iii.$ $P(-1)=\dfrac{3}{4}$
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i ,ii$       (খ) $ii,iii$           (গ) $i,iii$           (ঘ) $i,ii,iii$
৩৩. $P(x)=x^2-5x+4$ হলে –
$i.$ $P(4)=0$
$ii.$ $(x-4),P(x)$ এর একটি উৎপাদক 
$iii.$ $(x-4)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $2$
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i ,ii$       (খ) $ii,iii$         (গ) $i,iii$           (ঘ) $i,ii,iii$
৩৪. বীজগাণিতিক রাশি –
$i.$ $x^2 y+yz^2+xyz$ একটি সমমাত্রিক বহুপদী
$ii.$ $6x^2+5xy+2y^2$ একটি প্রতিসম রাশি 
$iii.$ $z^2 x+x^2 y+yz^2$ একটি চক্র ক্রমিক রাশি 
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i ,ii$        (খ) $ii,iii$           (গ) $i,iii$           (ঘ) $i,ii,iii$
৩৫. $P(x,y,z)=(x+y)(y+z)(z+x)+xyz$ হলে –
$i.$ $P(x,y,z)$ চক্র ক্রমিক রাশি 
$ii.$ $P(x,y,z)$ প্রতিসম রাশি
$iii.$ $P(-2,1,2)=-4$
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i ,ii$        (খ) $ii,iii$         (গ) $i,iii$           (ঘ) $i,ii,iii$
৩৬. $x^3+y^3+z^3-3xyz$ এর মান –
$i.$ $(x+y+z)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)$
$ii.$ $(x+y+z)\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)$
$iii.$ $\dfrac{1}{2} (x+y+z)\left\{(x-y)^(2 )+(y-z)^2+(z-x)^2\right\}$
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i ,ii$        (খ) $ii,iii$           (গ) $i,iii$           (ঘ) $i,ii,iii$
নিচের তথ্যের আলোকে ৩৭-৩৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাও-
 $P(x)=x^5+8x^2+16x+9$
৩৭. বহুপদীটিতে –
$i.$ পদসংখ্যা $4$
$ii.$ মাত্রা $5$
$iii.$ $x^5$ এর সহগ
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i ,ii$       (খ) $ii,iii$        (গ) $i,iii$         (ঘ) $i,ii,iii$
৩৮. $P(x)$ এর একটি  উৎপাদক কোনটি ?
(ক) $x-1$                 (খ) $x+1$
(গ) $x-2$                  (ঘ) $x+2$
৩৯. $3x+2$, $P(x)$ বহুপদীর একটি উৎপাদক হলে , $P\left(\dfrac{-2}{3}\right)$ এর মান কত ?
(ক) $\dfrac{-1}{2}$                            (খ) $0$
(গ) $\dfrac{1}{2}$                               (ঘ) $1$
নিচের তথ্যের আলোকে ৪০-৪১ নং প্রশ্নের উত্তর দাও-
 $P (x)=2x^4-6x^3+5x-2$
৪০. $P(2)=$ কত ?
(ক) $-92$               (খ) $-8$
(গ) $8$                    (ঘ) $92$
৪১. $p(x)$ কে $2x+1$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
(ক) $-29$                       (খ) $\dfrac{-29}{8}$
(গ) $\dfrac{29}{8}$                           (ঘ) $29$
নিচের তথ্যের আলোকে ৪২-৪৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাও-
 $(P+3)$, $P^3+2P^2-5P-6$ বহুপদীর একটি উৎপাদক ।
৪২. বহুপদীটির মুখ্য সহগ কোনটি ?
(ক) $-P$                           (খ) $2$
(গ) $1$                              (ঘ)  $-6$
৪৩. বহুপদীটির অন্য উৎপাদকগুলো কী কী ?
(ক) $(P+1),(P-2)$                  (খ) $(P+1),(P+2)$
(গ) $(p-1),(P-2)$                   (ঘ) $(P-1),(P+2)$
৪৪. $P(x)=5x^3-3x^4-7x^2-5$ একটি $x$ চলকের বহুপদীর জন্য –
$i.$বহুপদীর মাত্রা $=3$
$ii.$ মূখ্য সহগ $=-3$
$iii.$ বহুপদীটিতে পদ সংখ্যা $=4$
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i ,ii$        (খ) $ii,iii$           (গ) $i,iii$           (ঘ) $i,ii,iii$
৪৫. $\dfrac{x^3}{x^2-9}$ ভগ্নাংশটির সমান নিচের কোনটি ?
(ক) $x+\dfrac{9}{x^2-9}$                 
(খ) $x+\dfrac{x}{x^2-9}$
(গ) $x+\dfrac{9x}{x^2-9}$                    
(ঘ) $x-\dfrac{9x}{x^2-9}$
৪৬. $x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx$ রাশিটি –
$i.$ চক্র ক্রমিক
$ii.$ প্রতিসম 
$iii.$ সমমাত্রিক বহুপদী
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i ,ii$       (খ) $ii,iii$          (গ) $i,iii$          (ঘ) $i,ii,iii$
৪৭.  নিচের কোনটি প্রতিসম রাশি ?
(ক) $xy-yz+zx$                  (খ) $xy+yz-zx$
(গ) $xy+yz+zx$                  (ঘ) $-xy+yz+zx$
৪৮. $x^3+2x^2+2x+a$  এর একটি উৎপাদক $(x+1)$ হলে , $a$ এর মান কত ?
(ক) $-5$                             (খ) $-1$
(গ) $1$                               (ঘ) $5$
নিচের তথ্যের আলোকে $৪৯-৫০$ নং প্রশ্নের উত্তর দাও-
 $P(x)=2x^3-5x^2+6x-3$
৪৯. $P(x)$ কে $(x+1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
(ক) $-120$                     (খ) $-30$
(গ) $-24$                       (ঘ) $-16$
৫০. $P(x)$ এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি ?
(ক) $x-3$                     (খ) $x+1$
(গ) $x-2$                     (ঘ) $x-1$
৫১.$x+y+z=0$ হলে , $x^3+y^3+x^3$ এর মান কত ?
(ক) $0$                      (খ) $(x-y)(y-z)(z-x)$
(গ) $3xyz$                (ঘ) $xyz$
৫২.নিচের কোনটি প্রতিসম ?
(ক) $a^2+b+c$                   (খ) $2a^2-5bc-c^2$
(গ) $x^2-y^2+z^2$            (ঘ) $xy+yz+zx$
৫৩.$P(x,y,z)=x^2 (y-z)+y^2 (z-x)+z^2 (x-y)$ রাশিটি-
$i.$ চক্র ক্রমিক
$ii.$ প্রতিসম 
$iii.$ সমমাত্রিক 
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)$i ,ii$        (খ) $ii,iii$           (গ) $i,iii$           (ঘ) $i,ii,iii$
৫৪.যদি $\dfrac{(3x+1)}{x(x+1)}=\dfrac{A}{x}+$\dfrac{B}{x+1}$ হয় , তবে $A$ ও $B$ এর মান যথাক্রমে হবে /
(ক) $1$ ও $2$                    (খ) $3$ ও $-1$
(গ) $2$ ও $1$                    (ঘ) $-1$ ও $2$
৫৫.$x^6+3x^5+2x^4-5$ বহুপদীর মূখ্য সহগ কোনটি ?
(ক) $-5$               (খ) $1$                   (গ) $3$                     (ঘ) $6$
৫৬.$P(x,y)=x^2+y^2-2xy$ হলে , $P(1,-2)$ এর মান কত ?
(ক) $9$                   (খ) $1$               (গ) $-1$              (ঘ) $-9$
৫৭. $x^3+2x^2+2x+a$ এর একটি উৎপাদক $(x+1)$ হলে , $a$ এর মান কত ?
(ক) $-5$                 (খ) $-1$                (গ) $1$                    (ঘ) $-9$
৫৮. $x^4+x^3+7x^2-a$ বহুপদীর একটি উৎপাদক $(x-2)$ হলে , $a$ এর মান কত ?
(ক) $44$                      (খ) $48$                   (গ) $50$                    (ঘ) $52$
৫৯.$a+b+c=0$ হলে , $a^3+b^3+c^3$ এর মান কত ?
(ক) $0$                      (খ) $(a-b)(b-c)(c-a)$
(গ) $3abc$                (ঘ) $abc$
                                                                                সেট-৪
নিচের তথ্যের ভিত্তিতে $১-৩$ নং প্রশ্নের উত্তর দাও-
বহুপদী $x^3+2x^2-ax-6$ এর একটি উৎপাদক $(x+3)$ ।
১. বহুপদীর মূখ্য সহগ কত ?
(ক) $-6$                     (খ) $1$           (গ) $2$                        (ঘ) $3$
২. $a$ এর মান কত ?
(ক) $13$                               (খ) $5$
(গ) $-5$                                 (ঘ) $-1$
৩. বহুপদীটির অপর উৎপাদকগুলো কী কী ?
(ক) $(x+1),(x-2)$                    (খ) $(x+1),(x+2)$
(গ) $(x-1),(x+2)$                    (ঘ) $(x-1),(x-2)$
৪. নিচের কোনটি চক্র-ক্রমিক রাশি ?
(ক) $a^2-b^2+c$                  (খ) $a^2 b+ab^2+b^2 c$
(গ) $xy+yz-zx$                     (ঘ) $x^2 y+y^2 z+x^2+x$
৫.$ A=\{x:x^2-4=0\},B=\{x:x^2-x-6=0\}$ হলে , $A∩B=$ কত ?
(ক) $\{-2,-3,2\}$                     (খ) $\{-2\}$
(গ) $\{-3\}$                              (ঘ) $\{2\}$
৬. $2x^3+x^2+ax+18$ বহুপদীর একটি উৎপাদক $(x+2)$ হলে , $a$ এর মান কত ?
(ক) $-15$                           (খ) $-3$
(গ) $3$                                (ঘ) $15$
৭. $P(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz$ হলে ,  $P(1,1,-2)$ এর মান কত ?
(ক) $0$                              (খ) $2$
(গ) $4$                             (ঘ) $16$
৮. x^3+y^3+z^3-3xyz এর  মান –
i.(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
ii.(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)
iii.1/2 (x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 }
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii           (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
৯.কোনটি সমমাত্রিক রাশি ?
(ক) p^3+p^2 q+q^4                      (খ) p^2+pq+q^2
(গ) p^3+3pq+q^3                     (ঘ) p^3+pq^2+3q^2
১০.x^2+y^2+z^2+xy+yx+zx রাশিটি-
i.চক্র-ক্রমিক
ii.প্রতিসম 
iii.সমমাত্রিক বহুপদী
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii           (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১১.P(x)=3x^3+2x^2-7x+8 হলে , p(1/2) এর মান কত ?
(ক) 21/8                              (খ) 43/8
(গ) 53/8                              (ঘ) 63/8
১২. x^3/(x^2-9) ভগ্নাংশটির মান কত ?
(ক)x+9/(x^2-9)                        (খ) x+x/(x^2-9)
(গ) x+9x/(x^2-9)                      (ঘ) x+1/(x^2-9)
১৩. P(x)=5x^3+6x^2-ax+6 কে x-2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 6 হলে , a এর মান কত ?
(ক) 35                         (খ) 32
(গ) 30                         (ঘ) 36
১৪. P(x)=36x^2-8x+5 কে (x-1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
(ক) 49                            (খ) 41
(গ) 33                            (ঘ) 23
১৫.y^5-3y^6+5y^4-7 রাশিটি y- চলকের একটি বহুপদী যার –
i.মাত্রা 6
ii.মূখ্যপদ 3y^6
iii.ধ্রুবপদ -7
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii           (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৬. বহুপদী P(x)=2x^2-9x+6 কে (x-4) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
(ক) 4                      (খ) 2                    (গ) 1                           (ঘ) -2
১৭.f(x)=x^2-7x+12 হলে , x এর কোন মানের জন্য f(x)=0 হবে ?
(ক)-3 ,-4                         (খ) -3 ,4
(গ) 3 ,4                            (ঘ) 3 ,-4
নিচের তথ্যের ভিত্তিতে ১৮-২০ নং প্রশ্নের উত্তর দাও-
 P(x)=2x^3-5x^2+6x-3
১৮.P(x) কে (x-3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
(ক) -120               (খ) -30                (গ) -24                   (ঘ) 24
২৯.P(x) এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি ?
(ক) x-3                 (খ) x+1                  (গ) x-2                  (ঘ) x-1
২০.কোনটি x চলকের বহুপদী ?
(ক) 4x^4-5x^3 y^2+7                     (খ) 5x^3+3/x+8
(গ) 1/3 x^3+2/x^2 +9                            (ঘ) 4x^(-4)-2x^2+12
                        
                                                               সেট-৫

১. P(x)=3x^3+2x^2-7x+8 হলে , P(-2) এর মান কত ?
(ক) -22                           (খ) -10 
(গ) 6                                (ঘ)10
২.যদি f(x)=2x^3+6x^2-6x+a , x-1 দ্বারা বিভাজ্য, তবে a এর মান কত ?
(ক) -2                             (খ) -1
(গ) 1                                (ঘ) 2
৩.P(x)=18x^3+15x^2-x-2 বহুপদীর একটি উৎপাদক –
(ক) 2x-1                             (খ) 3x-1
(গ) 3x+1                             (ঘ) 3x-2
 ৪.যদি a+b+c=0 হয়, তবে-
i.a^3+b^3+c^3=3abc
ii.1/a=1/b=1/c
iii.(a+b)^3+3abc=-c^1
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii           (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
5.একটি প্রতীক একাধিক সদস্যবিশিষ্ট কোনো সংখ্যা সেটের যেকোনো অনির্ধারিত সদস্য নির্দেশ করে , তবে প্রতীকটিকে কী বলা হয় ?
(ক) ধ্রুবক                 (খ)চলক                    (গ) ডোমেন                      (ঘ) মূখ্য পদ
৬. কোনো বহুপদীতে উল্লিখিত পদসমূহের গরিষ্ট অর্থাৎ সবচেয়ে বড় মাত্রাকে কী বলা হয় ?
(ক) মুখ্যপদ              (খ) বহুপদীর মাত্রা                 (গ) ধ্রুবক                     (ঘ) চলক
৭.যদি P(x) ধনাত্নক মাত্রার বহুপদী হয় এবং a কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা হয় তবে P(x)-কে (x-a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
(ক) P(a)                 (খ) a                      (গ) 1/a                     (ঘ) P(1/a)
8.যদি P(x)=x^2-5x+6 হয় , তবে P(x) কে (x-4) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
(ক) 4                (খ) 2                       (গ) 3                      (ঘ) x+2
9.যদি P(x) এর মাত্রা ধনাত্নক হয় এবং a≠0 হয় , তবে P(x) কে (ax+b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
(ক) P(a)                    (খ) P(-b/a)
(গ) P(b/a)                   (ঘ) P(-a/b)
10.Cx^p পদে C কে x^p এর কী বলা হয় ?
(ক) সহগ                       (খ) মাত্রা 
(গ) বেজ                       (ঘ) ধ্রুবপদ
১১.a^3+b^3+c^3-3abc এর জন্য নিচের কোনটি সঠিক ?
(ক) (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
(খ) (a-b-c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
(গ) (a+b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)
(ঘ) (a+b+c)(a^2+b^2+c^2+3abc
12.যদি a+b+c=0 হয় তবে a^3+b^3+c^3=?
(ক) 3ab                       (খ) 3abc
(গ) abc                       (ঘ) 3
13.চলকবর্জিত পদকে কী বলা হয় ?
(ক) ধ্রুবক                 (খ) ধ্রুব পদ                      (গ) চলক                      (ঘ) মুখ্য পদ
14. দুটি বহুপদী P(x) ও Q(x) সকল x এর জন্য সমান হলে , তাদের সমতাকে কী বলে ?
(ক) মৃখ্য পদ                 (খ) অভেদ                   (গ) বহুপদী অভিন্ন                   (ঘ) মুখ্য সহগ

৯.নিচের কোনটি অভেদ চিহ্ন ?
(ক)≠                   (খ) ≡                   (গ) ≈                        (ঘ) ≅
৩৫. যদি P(x) ধনাত্মক মাত্রার বহুপদী হয় এবং a কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা হয় তবে P(x)-কে (x-a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
(ক) P(a)                                 (খ) a                        (গ) 1/a                          (ঘ) P(1/a)
                                          ২য় অংশ
43. যদি a+b+c=0 হয় তবে a^3+b^3+c^3= কত ?
(ক) 3ab                (খ) 3abc            (গ) abc                 (ঘ) 3
44. একটি বহুপদীকে হর এবং একটি বহুপদীকে লব নিয়ে গঠিত ভগ্নাংশকে কী বলে ?
(ক) মূলদ ভগ্নাংশ                      (খ) প্রকৃত ভগ্নাংশ 
(গ) আংশিক ভগ্নাংশ                  (ঘ) অপ্রকৃত ভগ্নাংশ
৪৫. যদি কোনো ভগ্নাংশকে একাধিক ভগ্নাংশের যোগফলরূপে প্রকাশ করা হয়, তাবে শেষাক্ত ভগ্নাংশগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত ভগ্নাংশের কি বলা হয় ?
(ক) আংশিক ভগ্নাংশ                              (খ) মূলদ ভগ্নাংশ                             (গ) প্রকৃত ভগ্নাংম                           (ঘ) অপ্রকৃত ভগ্নাংশ
৪৬. বহুপদীতে মুখ্যপদের সহগকে কী বলা হয় ?
(ক) মুখ্য সহগ                             (খ) ধ্রুবপদ                                (গ) সহগ                        (ঘ) ধ্রুবক
৪৭.      i. বহুপদীর গরিষ্ঠ মাত্রাযুক্ত পদকে মুখ্যপদ বলা হয়    
          ii. বহুপদীতে পদসমূহের গরিষ্ঠ মাত্রাকে বহুপদীর মাত্রা বলা হয় 
          iii. এক মাত্রাযুক্ত পদকে ধ্রুবপদ বলা হয় 
 নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii           (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
৪৮. Cx^p y^q এর পদে-
i. C হলো x^p y^q এর সহগ
ii. P+q হচ্ছে পদের মাত্রা
iii. P-q হচ্ছে পদের মাত্রা
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
৪৯. i. চলকবর্জিত পদটিকে ধ্রুবপদ বলে 
     ii. X^3 y, এখানে x ও y চলকে মাত্রা 4
     iii. চলকের গরিষ্ঠ মাত্রাযুক্ত পদকে মুখ্যপদ বলে 
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
নিচের তথ্যের আলোকে ৫০ ও ৫১ নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
৫০. X এর পরিবর্তে 0 হলে P(0) = কত ?
(ক) 4                                  (খ) 8                             (গ) 6                        (ঘ) 5
51. বহুপদীটির ধ্রুবপদ কত ?
(ক) 3                              (খ) 2                                (গ)  7                              (ঘ) 8
 (X-1)^3 y+(y+1)^2 একটি রাশি ।
নিচের তথ্যের আলোকে ৫২-54 নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
৫২. x চলকের বহুপদীর আদর্শ আকার নিচের কোনটি ?
       (ক) x^3-y-3x^2 y+3xy+y^2+y+1
       (খ) 3xy+3x^2 y+3xy+y^2
       (গ) 3x^3 y-3x^2 y+6xy+y^2+y+1
       (ঘ) 3x^2 y-3xy^2+4xy+y^2-y+1
৫৩. উক্ত রাশিটি x চলকের বহুপদী হলে এর মাত্রা ও মুখ্য সহগ কত ?
      (ক) 3 ও x                       (খ) 2 ও y                        (গ) 3 ও y                       (ঘ) 3 ও (y^2+3y+1)
৫৪. উপরের রাশিটি x ও y চলকের বহুপদী হলে এর মাত্রা কত?
(ক) 1             (খ) 2                 (গ) 3                  (ঘ) 4
৫৫. যদি কোনো ভগ্নাংশের লবের মাত্রা হরের মাত্রার চেয়ে ছোট হয় তাকে কোন ভগ্নাংশ বলে ?
     (ক) প্রকৃত                        (খ) অপ্রকৃত                         (গ) আংশিক                         (ঘ) অমূলদ
৫৬. যদি কোনো ভগ্নাংশের লবের মাত্রা হরের মাত্রার চেয়ে বড় হয় তাকে কোন ভগ্নাংশ  বলে ?
     (ক) প্রকৃত                        (খ) অপ্রকৃত                         (গ) আংশিক                         (ঘ) অমূলদ
৫৭. 9X/(X-3)(X+3)  ভগ্নাংশটি কী ধরনের ?
      (ক) প্রকৃত ভগ্নাংশ             (খ) অপ্রকৃত ভগ্নাংশ               (গ) মিশ্র ভগ্নাংশ             (ঘ) জটিল ভগ্নাংশ
৫৮. ax^3+bx^2+cx+d রাশিটিতে চলকের প্রেক্ষিতে a,b,c,d কে কী বলে ?
      (ক) চলক                    (খ) ডোমেন                  (গ) বীজগানিতিক রাশি                  (ঘ) ধ্রুবক
৫৯. x^2+2x^2+2x+1 এর উৎপাদক কোনটি ?
      (ক) (x-1)(x^2+x+1)                     (খ) (x+1)(x^2-x+1)
      (খ) (x+1)(x^2+x+1)                     (গ) (x-1)(x^2-x+1)
60.  যদি (x-5)/((x+3)(x-1))≡A/(x+3)+B/(x-1) হয় তবে A এর সঠিক মান কত ?
      (ক) -3                  (খ) -1              (গ) 1                (ঘ) 2
৬১. বহুপদী বিশেষ ধরনের-
      (ক) বীজগাণিতিক সমীকরণ                       (খ) বীজগাণিতিক রাশি
      (গ) বীজগাণিতিক অসমতা                         (ঘ) বীজগাণিতিক প্রতিক
৬২. বীজগাণিতিক রাশিকে কয় ভাগে ভাগ করা যায় ?
      (ক) ২ ভাগে               (খ) ৩ ভাগে              (গ) ৪ ভাগে            (ঘ) ৫ ভাগে 
৬৩. কোনো বহুপদীর গরিষ্ঠ মাত্রাযুক্ত পদটিকে কী বলে ?
     (ক) মাত্রা                 (খ) মুখ্যপদ                 (গ) মুখ্য সহগ                (ঘ) ঘাত ও মাত্রা 
৬৪. বহুপদী P(x)=36x^2-8x+5 কে (2x-1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
      (ক) P(1/2)             (খ) 10               (গ) 16               (ঘ) 20
৬৫. যদি P(x) ধনাত্মক মাত্রর বহুপদী হয়, তবে P(x) কে 2x-1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
       (ক) P(1)              (খ) P(-1)            (গ) P(1/2)                (ঘ) P((-1)/2)
৬৬. 2x^2-3x+1 এর উৎপাদক কত ?
      (ক) (2x+1)(x+1)                    (খ) (2x-1)(x-1)
       (গ) (x+1)(2x-1)                    (ঘ) (x-1)(2x+1)
৬৭. a^3-7a-6 এর উৎপাদক কোনটি ?
     (ক) (a-1)(a-2)(a-3)           (খ) (a-1)(a+2)(a-3)
     (গ) (a+1)(a+2)(a-3)            (ঘ) (a-1)(a-2)(a-3)
৬৮. x^3+4x^2+72 এর একটি উৎপাদক কোনটি ?
     (ক) x+2         (খ) x+3          (গ) x+6           (ঘ) x+4
৬৯. নিচের কোনটি সমমাত্রিক বহুপদী ?
     (ক) 2x+xy+y^2               (খ) x^2+x+y^2
     (গ) x^2+y^2+y                   (ঘ) x^2+xy+y^2
৭০. কোনটি 2x^4-5x^3-5x+2  এর একটি উৎপাদক ?
     (ক) x+1      (খ) x-1       (গ) x+2        (ঘ) x-2
৭১. x^4-x^2-12 এর উৎপাদক কত ?
(ক) (x+2)^2 (a^2-3)             (খ) (a-2)^2 (a^2-3)
(গ) (a+2)(a^2+3)                (ঘ) (a+2)(a-2)(a^2+3)
৭২. a^2/(a-b)(a-c) +b^2/(b-c)(b-a) +c^2/(c-a)(c-b) = কত ?
     (ক) 1        (খ) -1        (গ) 0        (ঘ) a+b+c
৭৩. F(x,y)=8x^3+y^3-4x^2+7xy+2y-5 হলে, F(1,0)= কত ?
     (ক) 8        (খ) -4         (গ) 7        (ঘ) -1
৭৪. F(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz হলে F(1,1,-2)= কত ?
     (ক) 1          (খ) -1           (গ) 0          (ঘ) 3
৭৫. Px^2+qx+r রাশিতে চলক কোনটি ?
     (ক) p          (খ) q          (গ) r         (ঘ) x
৭৬. F(x)=px^3+qx+r কে r-m দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
      (ক) Pm^3+qm+r         
       (খ) Px^2+qmx+r
      (গ) Pm^2+qm+r
       (ঘ) Px^2+mx+r
৭৭. F(x)=5x^3+6x^2-ax+6 কে x-2 দ্বারা ভাগ করলে a এর মান কত ?
     (ক) 5         (খ) 6        (গ) 35        (ঘ) -6
৭৮. F(x)=x^4+3x^3+5x^2+8x+5 এর একটি উৎপাদক কোনটি ?
     (ক) x-1       (খ) x-5        (গ) x+5       (ঘ)  x+1
৭৯. নিচের কোনটি x চলকের ঘাত শূন্য ?
     (ক) 4x^2       (খ) 4x        (গ) 3/(4 )        (ঘ) 2
৮০. যদি P(x)=32x^4-16x^2+8x+7 হয়-
      i. P(0)=7
      ii. P(1)=31
      iii. P(-1)=15
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
৮১. i.P(x) কে (x-a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ P(a) হবে 
      ii.P(x)=x^3-8x^2+6x+60 কে (x+2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 
     iii. যদি P(x) বহুপদীর একটি উৎপাদক x-a হয়, তবে P(a)=0
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
৮২. i. x^3+2x^2-5x-6 এর একটি উৎপাদক (x-1)
      ii. a^3-a^2-10_a-8 এর একটি উৎপাদক (a+1)
      iii. 2a^3-3a^2+3a-1 এর একটি উৎপাদক (2a-1)
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
৮৩. a=2,b=3 ও c=2 হলে-
       i. ax^2+bx+c একটি বীজগাণিতিক রাশি
       ii. ax^2+bcxy+cy^2 প্রতিসম রাশি 
       iii. ax^2+by^2+cz^2 চক্র-ক্রমিক রাশি
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
৮৪. P(x)=x^2-x-2 হলে-
     i. (x+1) রাশিটির একটি উৎপাদক 
     ii. x=2 এর জন্য রাশিটির মান শূন্য 
     iii. একে (x-4) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 10 হয়
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
 নিচের তথ্যের আলোকে ৮৫-৮৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
 
  (5x+2)/(    (x+2)(3x-2)         )≡A/(x+2)+B/(3x-2)
৮৫.   x=  কত হলে, A=1 হবে ?
      (ক) -2      (খ) 2/3      (গ) 3/2        (ঘ) 2
৮৬. আংশিক ভগ্নাংশটি কত হবে ?
      (ক) 2/(x+2)+1/(3x-2)           (খ) 1/(3x-2)+3/(x+2)    
      (গ) 1/(x+2)+2/(3x-2)            (ঘ) 1/(x+2)-2/(3x-2)
৮৭. x=2/3 হলে  B= কত ?
     (ক) -3        (খ)-2       (গ) 2        (ঘ) 3
৮৮. 2(1+2x)(1-2x) বহুপদীর চলকের সহগ কত ?
      (ক) -8        (খ) 2       (গ) 4       (ঘ) 8
৮৯. 5y×3y+2y÷3x-4 রাশিটিতে কয়টি পদ আছে ?
      (ক) 5        (খ) 4         (গ)3          (ঘ) 2
90. x^2 (3-2x-x^3 ) বহুপদীর মুখ্য সহগের মান কত ?
      (ক) -3         (খ) -1        (গ) 1         (ঘ) 3
৯১. 3÷x^3×x^4+x^6×2÷x^5+x^2 বহুপদীর মাত্রা কত ?
     (ক) 2          (খ) 3        (গ) 4          (ঘ) 6
৯২. 2(1+2x)(1-2x) বহুপদীর চলকের মুখ্য  সহগ কত ?
      (ক) -8       (খ) 2       (গ) 4        (ঘ) 8
৯৩. x^2-x^7×2÷x^6-2 বহুপদীর মুখ্য পদ কত ?
     (ক) x^3        (খ) -x^7       (গ) x^6       (ঘ) -x
৯৪. 9x-2=bx+a তুলনা করলে a এর মান কত ?
     (ক) -9         (খ) -2        (গ) 2         (ঘ) 9
৯৫. Q(y)=x^2-5y+6 বহুপদীর y এর কোন মানের জন্য Q(y)=2 হবে ?
      (ক) 2        (খ) 4        (গ) 5         (ঘ) 6
৯৬. A(x)=x^3-4x^2+4x-4 হয়, তবে (x-3) দ্বারা A(x) কে ভাগ করলে ভাগশেষ  কত হবে ?
     (ক) 2        (খ) 1          (গ) 0        (ঘ) -1
৯৭. 18x^3+15x^2-x-2 বহুপদীর ধ্রুব পদের উৎপাদক সেট নিচের কোনটি ?
      (ক) {-┤2,├ 2}     (গ) {-┤ ├ 2}      (গ) {1,-1,2-├ 2}┤       (ঘ) {1,-├ 1}┤
৯৮. নিচের কোনটি সমমাত্রিক বহুপদী?
     (ক) 2x+xy+y^2          (খ) x^2+x+y^2
     (গ) x^2+y^2+y              (ঘ) x^2+xy+y^2
৯৯. Q(x)=ax^2+2bx+c বহুপদীর একটি উৎপাদক (x-1) হলে নিচের কোনটি সঠিক ?
      (ক) a^2+2b+c=0       (খ) a+b+c=0
      (গ) 2a+b=c=0          (ঘ) a+2b+c=0
১০০. P(x)=2x^2-7x+5 হলে P(2)= কত ?
       (ক) -2     (খ) -1     (গ) 1      (ঘ) 4
১০১. x^3/(x^2-9)  ভগ্নাংশটির সমান নিচের কোনটি ?
      (ক) x+9/(x^2-9)         (খ) x+x/(x^2-9)      (গ) x+9x/(x^2-9)      (ঘ) x+1/(x^2-9)
১০২. 9x/((x+3)(x-3)) ভগ্নাংশটি কী ধরনের ভগ্নাংশ ?
     (ক) প্রকৃত       (খ) অপ্রকৃত     (গ) মিশ্র       (ঘ) আংশিক
১০৩. a(b^2-c^2  )+b(c^2-a^2 )+c(a^2-b^2 ) এর উৎপাদক বিশ্লেষিত রূপ নিচের কোনটি ?
       (ক) (a+b)(b+c)(c+a)      (খ) (a-b)(b-c)(c-a)  
      (গ) –(a+b)(b+c)(c+a)       (ঘ) 2abc(a^2-b^2-c^2 )
১০৪. 5x^2 y+6y^2 z+12z^2 x-8xyz রাশিটি x,y,z চলকের কত মাত্রার সমমাত্রিক বহুপদী ?
      (ক) 1       (খ) 2      (গ) 3    (ঘ) 4
১০৫. x^4-5x^3+7x^2-a বহুপদীর একটি উৎপাদক (x-2) হলে, a=?
      (ক) 6      (খ) 4       (গ) 3       (ঘ) -4
১০৬. 4x^5+6x^4+3x^3-x^2+x+3 বহুপদটিতে ধ্রুবক কোনটি ?
       (ক) 5         (খ) 4        (গ) 2         (ঘ) 3
১০৭. bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)  এর উৎপাদক বিশ্লেষিত রূপ নিচের কোনটি ?
       (ক) (a+b)(b+c)(c+a)       (খ) (a-b)(b-c)(c-a)
       (খ) -(a-b)(b-c)(c-a)     (ঘ) (a+b+c)(b-c)(c-a)
১০৮. P(a,b,c)=a^3+b^3+c^3-3abc হলে, P(0,1,2) এর মান কত ?
       (ক) 18         (খ) 9         (গ) 12        (ঘ) 3
১০৯. P(x)=3x^3-4x^2+4x-3 হলে P(1)= কত হবে ?
       (ক) 1        (খ) -1        (গ) 3        (ঘ) 0
110. P(x)=2x^3-3x^2+2x-1 উৎপাদকটির মুখ্য সহগ কত ?
       (ক) 2         (খ) 3        (গ) -1       (ঘ) 4
১১১. P(x)=6x^2-2x+3 কে (x-1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
       (ক) 5        (খ) -1         (গ) 7        (ঘ) 3
১১২. P(y)=y^3-8x^2+6y+60 বহুপদটিকে y+2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
       (ক) 6       (খ) 8       (গ) 72       (ঘ) 12
১১৩. যদি x-1,x^4-4x^3+6x^2-a এর একটি উৎপাদক হয়, তবে a এর মান কত ?
       (ক) 3        (খ) 4       (গ) -3       (ঘ) 1
১১৪. x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx একটি রাশি হলে, এর চক্র-ক্রমিক রাশি কত হবে ?
       (ক) x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx        (খ) y^2+z^2-x^2-xy+zx+yz
       (গ) x^2-y^2-z^2-xy-yz-zx         (ঘ) z^2+y^2+x^2+zx+yx+yz
১১৫. (4x^3+2x^2+1)/(2x^3+3) রাশিটির মুখ্য সহগ কত ?
      (ক) 4      (খ) 2      (গ)-2       (ঘ) 3
১১৬. (x^2+2) ও (x+1) এর গুনফল কত ?
       (ক) (x^4+x^3+2x+2       (খ) (x^2+x+2)
       (গ) x^3+x^2+3x+2          (ঘ) x^3+x^2+2x+2
১১৭. x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx রাশিটি কি ধরনের ?
      (ক) একমাত্রিক          (খ) একমাত্রিক প্রতিসম
      (গ) সমমাত্রিক প্রতিসম    (ঘ) সমমাত্রিক 
১১৮.  x^4-5x^3+7x^2-a বহুপদীর এবটি উৎপাদক (x-2) হলে a= কত ?
         (ক)  6          (খ) 4         (গ) 3          (ঘ) -4
১১৯. P(x)=4x^4-12x^3+7x^2+3x-2 এর একটি উৎপাদক (2x+1) হলে P(-1/2)= কত ?
       (ক) 0       (খ) 1/2       (গ) 4         (ঘ) 12
১২০. নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ?
      (ক) (a+1)/(a^2+1)        (খ) (a^2+1)/(a+1)        (গ) a^2/(a+1)       (ঘ) (a^3+1)/(a^2+1)
১২১. y^3-8y^2+6y+60 বহুপদীকে y+2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
       (ক) 6       (খ) 8       (গ) 75        (ঘ) 112
১২২. দুইটি বহুপদী P(x) ও Q(x) সকল x এর জন্য সমান হলে, এদের সমতাকে কি বলা হয় ?
       (ক) ভেদ        (খ) অভেদ       (গ) উৎপাদক       (ঘ) প্রতিসম
১২৩. P(x)=ax^3+bx+c;P(x) কে x-m দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে নিচের কোনটি ?
       (ক) ax+b+c      (খ) ax^2+bx+c       (গ) bx+c      (ঘ) am^3+bm+c
১২৪. P(x)=5x^2+6x^2-ax+6 কে (x-2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 6 হয় তবে a= কত ?
       (ক) 2        (খ) 32        (গ) 12         (ঘ) 20
১২৫. 1/(x^2 (x^2+1)^2 ) এর আংশিক ভগ্নাংশ নিচের কোনটি ?
      (ক) 1/x+1/x^2 -1/(x^2+1)       (খ) 1/x^2 -1/(x^2+1)-〖1/((x^2+1) )〗^2
      (গ) 1/x-1/x^2 -1/(x^2+1)        (ঘ) 1/x^2 +1/(x^2+1)-〖1/((x^2+1) )〗^2
১২৬. x^2+y^2+z^2 একটি-
       (ক) প্রতিসম রাশি
       (খ) সমমাত্রিক বহুপদী
       (গ) চক্র-ক্রমিক রাশি
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১২৭. y×y+2y×2-5÷5 রাশিটিতে- 
      (ক) পদ সংখ্যা 3
      (খ) ধ্রুবকের মান-1
      (গ) y এর সহগ 4
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১২৮. x^5×x^2+x^5÷x^2 বহুপদীর-
     i. মাত্রা 7
     ii. x^3 এর সহগ 1
     iii. ধ্রুবপদ নেই
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১২৯. 2×x^5÷x^2-3x^2+x^3×2×x বহুপদীর-
      i. মুখ্য পদের সহগ 2
      ii. মুখ্য পদ 2x^4
      iii. মাত্রা 3
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৩০. 7x^2-5x+6=ax^2+cx+b এ সহগগুলো সমীকৃত করলে-
       i. b=6
       ii. c=-5
       iii. a=7
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৩১. 3x^5-6x^4+3x^3+x-8 রাশিটি x চলকের একটি বহুপদী যার-
      i. মাত্রা 4
      ii. মুখ্য পদ 3x^5
      iii. মুখ্য সহগ 3
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৩২. 3x^3+2x^2-7x+8 রাশিটিতে-
       i. মাত্রা 3
       ii. ধ্রুবক x
       iii. P(O)=8
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৩৩. (x^2+2) কে (x+1) দ্বারা গুণ করলে-
       i. গুণফল x^3+x^2+2x+2
       ii. মুখ্য সহগ 3
       iii. P(1)=6
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৩৪. 1/(a-b)(a-c) +(a^2+a+1)/(a-b)(a-c)  হলে-
     i. প্রথম ভগ্নাংশটি মূলদ
     ii. দ্বিতীয় ভগ্নাংশটি মূলদ
     iii. সরলমান(2a^2-ab+bc-ca+a+1)/((a-b)(a-c))
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৩৫. দুইটি বহুপদী P(x) ও Q(x) সকল x এরজন্য সমান হলে-
      i. এদের সমতাকে অভেদ বলা হয় 
      ii. তা বোঝাতে অনেক সময় P(x)≅Q(x) লেখা হয় ।
      iii. তা বোঝাতে অনেক সময় P(x)=Q(x) লেখা হয় ।
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
নিচের তথ্যের আলোকে ১৩৬-১৩৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
 P(x)=x^2+3x+2
136. রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ নিচের কোনটি ?
       (ক) (x+3)(x+4)        (খ) (x+1)(x+2)
       (গ) (x-1)(x-2)         (ঘ) (x+3)(x-2)
১৩৭. রাশিটির মুখ্য মাত্রা কত ?
       (ক) 2         (খ) 1       (গ) 3      (ঘ) 4 
১৩৮. x=-1 হলে P(x)=?
       (ক) 1       (খ) 2           (গ) 3        (ঘ) 0
নিচের তথ্যের আলোকে ১৩৯-১৪০ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
P(x)=32x^4-16x^2+8x+7 একটি বীজগাণিতিক রাশি।
১৩৯. P(1) এর মান কত ?
        (ক) 63      (খ) 47       (গ) 31       (ঘ) 1
১৪০. P(x) কে 2x-1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগ শেষ কত হবে ?
      (ক) 9       (খ) 11       (গ) 13        (ঘ) 19
১৪১. দ্বিচলক বহুপদী 8x^2+y^3-2xy এর মাত্রা কত ?
      (ক) 8     (খ) 3      (গ) 2        (ঘ) -2
নিচের তথ্যোর আলোকে ১৩৯ ও ১৪০ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: 
 P(x)=32x^4-16x^2+8x+7 একটি বীজগাণীতিক রাশি।
১৪২. P(x)=3x^3+2x^2-7x+8 হলে, P(0) এর মান কত ?
       (ক)  8     (খ) 3      (গ) 2        (ঘ) -2
১৪৩. যদি P(x)=3x^3-4x^2+4x-3 হয়, তবে P(x) কে (x-2) দ্বারা ভাগ করলে ভঅগশেষ কত হবে ?
       (ক) P(1)       (খ) P(2)       (গ) P(3)       (ঘ) P(4)
১৪৪. P(x)=x^3-6x^2+11x-6 হলে, P(x) এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি ?
      (ক) (x+3)        (খ) (x+2)
      (গ) (x+1)         (ঘ) (x-1)
১৪৫. প্রতিসম রাশি নিচের কোনটি ? 
      (ক) 2x^2+3xy+y^2      (খ) 2x^2+2xy+2y^2
      (গ) x^2+3xy+2y^2       (ঘ) 4x^2+xy+3y^2
১৪৬. x^2 y+y^2 z+z^2 x বহুপদী চক্র -ক্রমিক রাশি নিচের কোনটি ?
       (ক) y^2 z-z^2 x+x^2 y   (খ) y^2 z+z^2 x-x^2 y
       (গ) -y^2 x+z^2 x+x^2 y (ঘ) y^2 z+z^2 x+x^2 y
147. x^2 (y-z)+y^2 (z-x)+z^2 (x-y) রাশিটির চক্র-ক্রমিক রাশি নিচের কোনটি ?
       (ক) x^2 (y-z)+z^2 (z-x)+y^2 (y-z)
       (খ) y^2 (x-z)+x^2 (z-y) z^2 (y-x)
       (গ) z^2 (x-y)+y^2 (z-x)+x^2 (y-z)
       (ঘ) x^2 (y+z)+y^2 (z+x)+z^2 (x+y)
148. bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b) কে উৎপাদক বিশ্লেষণ করলে নিচের কোনটি পাওয়া যাবে ?
       (ক) (a-b)(b-c)(c-a)     (খ) (a+b)(b+c)(c+a)
        (গ) –(a-b)(b-c)(c-a)   (ঘ) –(a+b)(b+c)(c+a)
149. P(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz হলে, P(1,1-1)= কত ?
      (ক) 0     (খ) 4      (গ) -1      (ঘ) 2
1৫০. a এর কোন মানের জন্য x^4-5x^2+7x^2-a বহুপদী একটি উৎপাদক x -2.
        (ক) 1      (খ) 2      (গ)  3      (ঘ) 4
১৫১. 2xy+y=3 সমীকরনটির সঠিক স্থানাঙ্ক কোণগুলো ?
      (ক) (1,-1),(2,-1)       (খ) (1,1),(2,-1)
      (গ) (1,1),(-2,-1)         (ঘ) (-1,1),(2,-1)
1৫২. y=x^2-x+6 হলে, স্বাধীন চলক কোনটি ?
       (ক) y     (খ) x     (গ) x^2-x     (ঘ) 6-x
153. কোনো বহুপদীতে গরিষ্ঠ মাত্রাযুক্ত পদটিকে কি বলে ?
       (ক) গেৌণপদ    (খ) মুখ্য সহগ     (গ) মুখ্যপদ     (ঘ) ধ্রুবপদ
১৫৪. নিচের কোনটি x চলকের ঘাত শূন্য ?
      (ক) 7x^2     (খ) 2      (গ) 3x/x     (ঘ) 4x
১৫৫. Variable শব্দটির অর্থ কি ?
       (ক) সচল      (খ) অচল     (গ) চলরাশি     (ঘ) চলমান
১৫৬. তিন চলকের বহুপদী নিচের কোনটি ?
       (ক) x+y+1           (খ) 2+y+z
       (গ) 3+x+z            (ঘ) 4x+2y+3z
157. x^2+y^2+z^2 একটি-
       i. প্রতিসম রাশি
       ii. সমমাত্রিক রাশি
       iii. চক্র-ক্রমিক রাশি
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৫৮. Y×Y×2Y×2-5+5 রাশিটিতে-
       i. পদ সংখ্যা 3
       ii. ধ্রুবকের মান -1
       iii. y এর সহগ 4
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
1৫৯. x^2 (y-z)+y^2 (z-x)+z^2 (x-y) রাশিটি-
       i. চক্র-ক্রমিক
       ii. প্রতিসম 
        iii. সমমাত্রিক
 নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৬০. P(x)=x^2-x-2 হলে,
       i. (x+1) রাশিটির একটি উৎপাদক 
       ii. x=2 এর জন্য রাশিটির মান শূন্য
       iii. একে (x-4) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 10
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
নিচের তথ্যের আলোকে ১৬১ ও ১৬২ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
P(x)=32x^4-16x^2+8x+7 একটি বীজগাণিতিক রাশি।
১৬১. P(1) এর মান কত ?
       (ক) 63        (খ) 47        (গ) 31        (ঘ) 1
১৬২. P(x) কে 2x-1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?
       (ক) 9        (খ) 11       (গ) 13          (ঘ) 19
নিচের তথ্যের আলোকে 163-165 নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
(5x-7)/(x-1)(x-2) =A/(x-1)+B/(x-2);A ও B মূলদ।
১৬৩. A= কত?
        (ক) 1     (খ) 2       (গ) 3       (ঘ) 4
164. B = কত ?
       (ক) 1     (খ) 2       (গ) 3       (ঘ) 4
১৬৫. আংশিক ভগ্নাংশটি কত হবে ?
       (ক) 2/(x-1)+3/(x-2)             (খ) 2/(x+1)+3/(x+2)
       
       (গ) 2/(x-1)+3/(x+2)              (ঘ) 2/(x+1)+3/(x-2)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৬৬ ও ১৬৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
5x^2-4x^4 y^4-2 একটি বহুপদী।
১৬৬. বহুপদীটির মাত্রা কত ?
       (ক) 2        (খ) 3        (গ) 4        (ঘ) 8
১৬৭. বহুপদীটির মুখ্য সহগ কত ?
       (ক) 3       (খ) 2      (গ) -4      (ঘ) -1
নিচের তথ্যের আলোকে ১৬৮ ও ১৭০ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:  
x^2+4x^2+x-a রাশির একটি উৎপাদক (x-1)
1৬৮. a এর মান কত ?
        (ক) 2      (খ) 4      (গ) 6       (ঘ) 8
১৬৯. বহুপদীর মুখ্য সহগ হলো-
       (ক) 1      (খ) -1      (গ) 2       (ঘ) 4
১৭০ . বহুপদীর অন্যান্য উৎপাদক হলো-
       i. x+1
       ii. x+2
       iii. x+3
  নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
171. P(x)=x^2-5x+6 কে x-4 দ্বারা ভাগ করলে-
       i. ভাগশেষ 2
       ii. ভাগশেষ P(-4) এর সমান
       iii. ভাগশেষ P(4) এর সমান
  নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৭২. দুইটি বহুপদী P(x) ও Q(x) সকল x এর জন্য সমান হলে-
       i. এদের সমতাকে অভেদ বলে
       ii. P(x)≅Q(x) লেখা যায়
       iii. এক্ষেত্রে P(x) ও Q(x) বহুপদী দুইটি ভিন্ন হতে পারে
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৭৩. i. যদি a+b+c=0 হয়, তবে a^2+b^2+c^2=3abc.
       ii. P(x,y,z)=x/y+y/Z+Z/x রাশিটি চক্র-ক্রমিক
       iii. 1/(1+x)+2/(1+x^2 )+4/(x^4-1) এর সরল মান 1/(x-1)
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
1৭৪. i. তিনটি চলকের প্রত্যেক প্রতিসম রাশি চক্র-ক্রমিক 
       ii. প্রত্যেক চক্র-ক্রমিক রাশি, প্রতিসম নয়
       iii. প্রত্যেক প্রতিসম রাশি চক্র-ক্রমিক
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৭৫. x^2 (y-z)+y^2 (z-x)+z^2 (x-y) রাশিটি-
       i. বীজগাণিতিক
       ii. চক্র-ক্রমিক
       iii. প্রতিসম
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৭৬. a=2,b=3 ও c=2 হলে-
       i. ax^2+bx+c একটি বীজগাণিতিক রাশি 
       ii. ax^2+bcxy+cy^2 প্রতিসম রাশি
       iii. ax^2+by^2+cz^2 চক্র-ক্রমিক রাশি
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৭৭. i. x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx
       ii. x^2 (y-z)+y^2 (z-x)+z(x-y)
       iii. x/y+y/Z+Z/x
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৭৮. i. x^2-y^2+z^2 রাশিটি চক্র-ক্রমিক রাশি
       ii. x^2 y+y^2 z+z^2 x রাশিটি x,y,z, চলকের একটি চক্র-ক্রমিক রাশি
       iii. বর্ণনার সুবিধার্থে x,y,z চলকের রাশিকে F(x,y,z) আকারের প্রতিক দ্বারা সূচিত করা হয়
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৭৯. i. যদি P(x) বহুপদীর x-6 একটি উৎপাদক হয়, তবে P(6)=1
       ii. যদি P(x) ঘনাত্মক মাত্রার বহুপদী হয় এবং a≠0 হয়, তবে P(x) কে ax+b দ্বারা ভাগ করলে  ভাগশেষ P((-b)/a)  হবে
       iii. ঘনাত্মক মাত্রার যেকোনো বহুপদী x-1 একটি উৎপাদক হবে যদিও কেবল যদি বহুপদীটির সহগসমূহের সমষ্টি 0 হয়
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৮০. i. P(x) কে (x-a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ P(a) হবে
        ii. P(x)=x^3-8x^2+6x+60 কে (x+2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে 8।
        iii. যদি P(x) বহুপদীর একটি উৎপাদক x-a হয়, তবে P(a)=0
 নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৮১. i. x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx
       ii. x^2 (y-z)+y^2 (z-x)+z(x-y)
       iii. x/y+y/Z+Z/x
উপরের কোনটি প্রতিসম রাশি ?
(ক) i       (খ) ii     (গ) iii      (ঘ) i, ii, iii
182. i. 5x+9ay একটি বীজগাণিতিক রাশি
        ii. 13x-14y^2+a+8 একটি পার্টিগাণিতিক রাশি
        iii. বহুপদী বিশেষ ধরনের বীজগাণিতিক রাশি
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৮৩. i. ধনাত্মক মাত্রার যেকোনো বহুপদীর x-1 একটি উৎপাদক হবে যদি ও কেবল বহুপদীটির সহগসমূহের সমষ্টি শূন্য হয় 
        ii. p(x)=x^3-6x^2+11x-6 এর ঊৎপাদকে বিশ্লেষণ হলে (x-1)(x-2)(x-3).
        iii.p(x)=ax^3+bx^2+cx+d বহূপদীর (x-1) একটি উৎপাদক হলে a=b=c=d
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
১৮৪. i. বহুপদীতে গরিষ্ঠ মাত্রাযুক্ত পদকে মুখ্যপদ বলা হয়
       ii. বহুপদীতে পদসমূহের গরিষ্ঠ মাত্রাকে বহুপদীর মাত্রা বলা হয়
       iii. এক মাত্রাযুক্ত পদকে ধ্রুবপদ বলা হয়
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক)i ,ii        (খ) ii,iii      (গ) i,iii           (ঘ) i,ii,iii
P(x)=x^3-6x^2+11x-6 
উপরের তথ্যের ভিত্তিতে ১৮৫-১৮৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
১৮৫. প্রদত্ত বহুপদীর ধ্রুবপদ কত ?
       (ক) 1         (খ) 3        (গ) 6          (ঘ) -6
১৮৬. x=1 হলে P(x)= কত?
       (ক) 0        (খ) 1        (গ) -1        (ঘ) 24
১৮৭. প্রদত্ত বহুপদীর উৎপাদক বিশ্লেষিত রূপ নিচের কোনটি ? 
(ক)(x-1)(x-2)            (খ)(x+1)(x+2)
 (গ) (x-1)(x-2)(x-3)     (ঘ) (x-1)(x+2)(x+3)
P(x)=2/(1+x^2 )+4/(1+x^4 )+8/(1+x^8 )+16/(x^16-1) 
উপরের তথ্যের ভিত্তিতে ১৮৮ ও ১৮৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
১৮৮.P(x) এর ৩য় ও ৪র্থ পদের সমষ্টি কত ? 
        (ক) 2/(x^2-1)             (খ) 4/(x^4-1)            (গ) 8/(x^8-1)              (ঘ) 16/(x^16-1)  
১৮৯. $\dfrac{1}{1+x}+P(x)$ এর সরলমান কোনটি ?
      (ক) $\dfrac{1}{x+1}$       (খ) $\dfrac{1}{x-1}      (গ) $\dfrac{2}{x+2}$  (ঘ) $\dfrac{2}{x-2}$
১. $f(x)=0x^3$ বহুপদীর মাত্রা কত?
(ক) $0$      (খ) $1$       (গ) $2$      (ঘ) অসঙ্গায়িত
২.$P(x)=xyz$ বহুপদীর মাত্রা-
(ক) এক            (খ) দুই            (গ) তিন       (ঘ) অসঙ্গায়িত
৩.$ i. P(x)=0$ হলো অসঙ্গায়িত মাত্রার বহুপদী ।
$ii. P(x)=3y^2$ হলো দুই মাত্রার বহুপদী ।
$iii. P(x)=5$ হলো শূণ্য মাত্রার বহুপদী ।
কোনটি সঠিক?
(ক) $i ,ii$   (খ) $i,iii$   (গ) $ii,iii$   (ঘ) $i, ii ,iii$
৪. $f(x,y)=xyz^2$  বহুপদীর মাত্রা কত?
    (ক) $1$       (খ) $2$        (গ) $3$            (ঘ) $4$
৫.$\dfrac{1}{(x^2-2)(x^2-3)}$ এর আংশিক ভগ্নাংশ কোনটি?
(ক) $\dfrac{1}{x^2-3}+\dfrac{1}{x^2-2}$  
(খ) $\dfrac{1}{x^2-2} -\dfrac{1}{x^2-3}$  
(গ) $\dfrac{1}{x^2-3}-\dfrac{1}{x^2-2}$ 
(ঘ) $\dfrac{x-1}{x^2-2} -\dfrac{2x}{x^2-3}$
৬.$P(a)=a^2 x^2-1$ এর একটি উৎপাদক $a+1$ হলে $x$ এর মান কত?
 (ক) $2$      (খ) $1$     (গ) $±2$      (ঘ) $±1$
৭.$P(x)=xy^2+x^2 y$ এর 
  $i.$মাত্রা $3$
  $ii.$মুখ্য সহগ $y$
  $iii.$ মুখ্যপদ $x^2 y$
  কোনটি সঠিক?
  (ক) $i ,ii$     (খ) $i,iii$     (গ) $ii,iii$        (ঘ) $i,ii,iii$
৮.শূণ্য($0$) বহুপদীর মাত্রা –
  (ক) $0$          (খ) $1$                  (গ) $2$               (ঘ) অসঙ্গায়িত        
উত্তরপত্রঃ 
  ১.(ঘ)



abdus sattar

abdus sattar

Simple Blogger

পরবর্তী পোস্ট পূর্ববর্তী পোস্ট
NO COMMENT
Add Comment

Enter Comment

comment url