mathematics, vector

8.$\vec{BE}$ কে $\vec{AB}$ এবং $\vec{AC}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

৫.$\vec{BE}$ কে $\vec{AB}$ এবং $\vec{BC}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

৬.$\vec{BE}$ কে $\vec{BC}$ এবং $\vec{AC}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর

৭.$\vec{CF}$ কে $\vec{AB}$ এবং $\vec{AC}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

৮.$\vec{CF}$ কে $\vec{AB}$ এবং $\vec{BC}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

৯.$\vec{CF}$ কে $\vec{BC}$ এবং $\vec{AC}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

১০.প্রমাণ কর যে,$\vec{AD} +\vec{BE}+\vec{CF} ⃗=\underline{O}$

১১.$\vec{AD}$ কে $\vec{BC}$  ও $\vec{BE}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।   

১২. $\vec{AD}$ কে $\vec{BC}$ ও $\vec{CF}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

১৩. $\vec{BE}$ কে $\vec{AC}$  ও $\vec{BE}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

১৪. $\vec{BE}$ কে $\vec{AC}$ ও $\vec{AD}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

১৫. $\vec{CF}$ কে $\vec{AB}$  ও $\vec{BE}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

১৬. $\vec{CF}$ কে $\vec{AB}$  ও $\vec{AD}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

১৭. $\vec{AG}$ কে $\vec{AB}$   ও $\vec{AE}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

১৮. $\vec{AG}$ কে $\vec{AB}$  ও $\vec{AC}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

১৯. $\vec{AG}$ কে $\vec{AC}$   ও $\vec{AF}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

 ২০.$\vec{BG}$ কে $\vec{AB}$  ও $\vec{BD}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

২১. $\vec{BG}$ কে $\vec{AB}$  ও $\vec{BC}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

২২. $\vec{BG}$ কে $\vec{BC}$  ও $\vec{FB}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

২৩. $\vec{CG}$ কে $\vec{AC}$   ও $\vec{DC}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

২৪. $\vec{CG}$ কে $\vec{AC}$  ও $\vec{BC}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

২৫. $\vec{CG}$ কে $\vec{BC}$  ও $\vec{EC}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

(ক)অবস্থান ভেক্টর ও ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি লিখ।

(খ)$\vec{AC},\vec{BC},\vec{AD},\vec{CF}$ কে  $\vec{AB}$ এবং $\vec{BE}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর এবং প্রমাণ কর যে   

 $\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF}=\underline{O}$ 

(গ)$BF$ এবং $CE$ মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $P$ ও $Q$ হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে 

$FE ∥PQ ∥BC$ এবং $PQ=\dfrac{1}{2}(FE+BC)$

                              (ক)নং প্রশ্নের উত্তর :

প্রসংগ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে অন্য কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ের জন্য যে ভেক্টর ব্যবহার করা হয় তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে। 

ত্রিভুজের দুটি বাহু একই ক্রমে দুটি ভেক্টরকে প্রকাশ করলে তৃতীয় বাহু বিপরীত ক্রমে তাদের লব্ধি প্রকাশ করে।

$\vec{AB}+\vec{BE}=\dfrac{1}{2}\vec{AC}$ 

বা,$\vec{AC}=2\left(\vec{AB}+\vec{BE}\right)$

আবার  $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$

বা, $\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}$

         $=2\left(\vec{AB}+\vec{BE}\right)-\vec{AB}$

         $=\vec{AB}+2\vec{BE}$ 

এবং $\vec{AB}+\dfrac{1}{2}\vec{BC}=\vec{AD}$

বা, $\vec{AD}=\vec{AB}+\dfrac{1}{2}\left(\vec{AB}+2\vec{BE}\right)$

           $=\dfrac{3}{2}\vec{AB}+\vec{BE}$

আবার,  $\vec{AC}+\vec{CF}=\dfrac{1}{2}\vec{AB}$

বা,$\vec{CF}=\dfrac{1}{2}\vec{AB}-\vec{AC}$

বা,$\vec{CF}=\dfrac{1}{2}\vec{AB}-2\left(\vec{AB}+\vec{BE}\right)$

$=-\dfrac{3}{2}\vec{AB}-2\vec{BE}$

এখন ,

বামপক্ষ$=\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF}$

$=\dfrac{3}{2}\vec{AB}+\vec{BE} -\dfrac{3}{2} \vec{AB}-2\vec{BE}$

$=\underline{O}$ 

$=$ডানপক্ষ.

(ক)$\vec{BE}$ কে $\vec{BA}$ ও $\vec{BC}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।                                                        

(খ)ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে ,$DE ∥ BC$ এবং $DE=\dfrac{1}{2}BC$.    

 (গ) ত্রিভুজটিকে অতিভুজ বাদে বৃহত্তর বাহুর চারদিকে ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার  ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।     

            চিত্র-১ নং এর G ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র।

(ক) $\vec{AG}$ কে $\vec{AF}$ এবং $\vec{AC}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।                                               

(খ) ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে $FE\parallel BC$ এবং $BC=2FE$.                           

(গ)প্রমাণ কর যে $\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF} =\underline{O}$

                       বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ

১. যেকোন ভেক্টর $\underline{u},\underline{v},\underline{w}$ হলে কোনবিধি অনুসারে  $\underline{u}+(\underline{v}+\underline{w})=(\underline{u}+\underline{v})+\underline{w}$ সত্য?

  (ক) বিনিময়      (খ) সংযোগ     (গ) বন্টন      (ঘ) বর্জন 

২.$\vec{AB}+\vec{BA}$হচ্ছে 

  $i.$ বিন্দু ভেক্টর 

  $ii.$ একক ভেক্টর 

 $ iii. $ শূণ্য ভেক্টর 

  কোনটি সঠিক?

(ক) $i ,ii$     (খ) $i,iii$    (গ) $ii,iii$     (ঘ) $i,ii,iii$

৩. $i.$ শূণ্য ভেক্টরের দিক নেই

 $ii.$ একক ভেক্টরের মান এক

$iii.$সমান্তরাল ভেক্টরের ধারকরেখা ভিন্ন।

কোনটি সঠিক ?  

 (ক) $i ,ii$     (খ) $i,iii$    (গ) $ii,iii$     (ঘ) $i,ii,iii$     

8.

চিত্রানুসারে,

  (ক)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AC}$

(খ)$ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

(গ)$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

(ঘ) $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CA}$