mathematics , trigonometry
General Mathematics
1. If $\cot \theta+\cos \theta=a $ and $\cot \theta-\cos \theta=b $ , prove that $\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta=\dfrac{4 a b}{a^{2}-b^{2}}$
2. $\operatorname{cosec} \theta=\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}$
show that $ \dfrac{\sec \theta-\tan \theta}{\sec \theta+\tan \theta}=\dfrac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x}$
3.If $\dfrac{1+\cot \theta}{1+\tan \theta}=\sqrt{3}$ , find $\cos 2\theta=$ ?
4. Prove that $1-\sin \theta=(1+\sin \theta)(\sec \theta-\tan \theta)^{2}$
$\large{\textbf{Solution}}:$
L.H.S.$=1-\sin\theta$
$~=\dfrac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}×(1+\sinθ)$
$~=\dfrac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta} \times \dfrac{1-\sin \theta}{1-\sin \theta} ×(1+\sinθ)$
$~=\dfrac{(1-\sin \theta)^2}{1-\sin ^2 \theta}×(1+\sinθ)$
$~=\left(\dfrac{1-\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2×(1+\sinθ)$
$~=\left(\dfrac{1}{\cos \theta}-\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)^2×(1+\sinθ)$
$~=(\sec \theta-\tan \theta)^2×(1+\sinθ)=$R.H.S.
5. Prove that $\dfrac{1+\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta-\sin \theta}=\dfrac{1+\sin\theta}{\cos\theta}$
$\large{\textbf{Solution}}:$
L.H.S.$=\dfrac{1+\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta-\sin \theta}$
$=\dfrac{\sec \theta+1+\tan \theta}{\sec \theta+1-\tan \theta}$ [ divide by $\cos\theta$ ]
$=\dfrac{\sec \theta+\tan \theta+\left(\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta\right)}{\sec \theta+1-\tan \theta}$
$=\dfrac{(\sec \theta+\tan \theta)(1+\sec \theta-\tan \theta)}{\sec \theta+1-\tan \theta}$
$=\sec \theta+\tan \theta$
$=\dfrac{1}{\cos \theta}+\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$=\dfrac{1+\sin \theta}{\cos \theta}$
$=\dfrac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{\cos \theta(1-\sin \theta)}$
$=\dfrac{1-\sin ^{2} \theta}{\cos \theta(1-\sin \theta)}$
$=\dfrac{\cos ^{2} \theta}{\cos \theta(1-\sin \theta)}$
$=\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}$
Alternating method:
L.H.S.$=\dfrac{1+\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta-\sin \theta}$
$=\dfrac{\{(1+\cos \theta)+\sin \theta\}\{(1+\cos \theta)+\sin \theta\}}{\{(1+\cos \theta)-\sin \theta\}\{(1+\cos \theta)+\sin \theta\}} $
$=\dfrac{\{(1+\cos \theta)+\sin \theta\}^2}{\left\{(1+\cos \theta)^2-\sin ^2 \theta\right\}} $
$=\dfrac{1+\cos ^2 \theta+2 \cos \theta+\sin ^2 \theta+2 \sin \theta(1+\cos \theta)}{1+\cos ^2 \theta+2 \cos \theta-\sin ^2 \theta} $
$=\dfrac{2+2 \cos \theta+2 \sin \theta(1+\cos \theta)}{1+\cos ^2 \theta+2 \cos \theta-\left(1-\cos ^2 \theta\right)} $
$=\dfrac{2(1+\cos \theta)+2 \sin \theta(1+\cos \theta)}{2 \cos ^2 \theta+2 \cos \theta} $
$=\dfrac{2(1+\cos \theta)(1+\sin \theta)}{2 \cos \theta(1+\cos \theta)} $
$=\dfrac{1+\sin \theta}{\cos \theta} $
=R.H.S.
6. If$(\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta)(\sec \theta-\cos \theta)(\tan \theta+\cot \theta)-\tan \theta=0,$
find the value of $\dfrac{2 \cos \theta+\sin \theta}{5 \cos \theta-\sin \theta}$
$\large{\textbf{Calculation}}:$
$(\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta)(\sec \theta-\cos \theta)(\tan \theta+\cot \theta)=\tan \theta $
$\Rightarrow {\left(\dfrac{1}{\sin \theta}-\sin \theta\right)\left(\dfrac{1}{\cos \theta}-\cos \theta\right)\left(\dfrac{\sin \theta}{ \cos \theta}+\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)=\tan \theta} $
$\Rightarrow {\left(\dfrac{1-\sin ^2 \theta}{\sin \theta}\right)\left(\dfrac{1-\cos ^2 \theta}{\cos \theta}\right)\left(\dfrac{\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta}\right)=\tan \theta} $
$\Rightarrow \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=\tan \theta$
$\Rightarrow \tan \theta=1$
$\Rightarrow \theta=45^{\circ}$
Now
$\dfrac{2 \cos \theta+\sin \theta}{5 \cos \theta-\sin \theta}$
$=\dfrac{2×\dfrac{1}{\sqrt{2 }}+\dfrac{1}{\sqrt{ 2}}}{5×\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}} $
$=\dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{2 }}}{\dfrac{4}{\sqrt{2}}}$
$=\dfrac{3}{ 4}$
$\therefore$ The required value of the required equation is $3 / 4$
7. prove that $\sin \theta(1+\tan \theta)+\cos \theta(1+\cot \theta)=\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta$
$\large{\textbf{proof}}:$
L.H.S. $=\sin \theta(1+\tan \theta)+\cos \theta(1+\cot \theta)$
$=\sin \theta+\sin \theta \times \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}+\cos \theta+\cos \theta \times \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}$
$=\dfrac{\cos \theta \sin ^2 \theta+\sin ^3 \theta+\cos ^2 \theta \sin \theta+\cos ^3 \theta}{\cos \theta \sin \theta}$
$=\dfrac{\left(\sin ^3 \theta+\cos ^3 \theta\right)+\left(\cos \theta \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta \sin \theta\right)}{\cos \theta \sin \theta}$
$=\dfrac{(\sin \theta+\cos \theta)\left(\sin ^2 \theta-\sin \theta \cos \theta+\cos ^2 \theta\right)\\+\sin \theta \cos \theta(\sin \theta+\cos \theta)}{\cos \theta \sin \theta}$
$=\dfrac{(\sin \theta+\cos \theta)\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta-\sin \theta \cos \theta+\sin \theta \cos \theta\right)}{\cos \theta \sin \theta}$
$=\dfrac{(\sin \theta+\cos \theta)(1)}{\cos \theta \sin \theta}$
$=\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta \sin \theta}+\dfrac{\cos \theta}{\cos \theta \sin \theta}$
$=\dfrac{1}{\cos \theta}+\dfrac{1}{\sin \theta}$
$=\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta$
$=$ R.H.S.
8. Prove that
$(1+\tan \theta+\cot \theta)(\sin \theta-\cos \theta)=$$\dfrac{\sec \theta}{\operatorname{cosec ^2}\theta}-\dfrac{\operatorname{cosec} \theta}{\sec ^2 \theta}$
$\large{\textbf{Solution}}:$
L.H.S.
$=(1+\tan \theta+\cot \theta)(\sin \theta-\cos \theta)$
$=\sin \theta+\tan \theta \sin \theta+\cot \theta \sin \theta-\cos \theta-\tan \theta \cos \theta$
$-\cot \theta \cos \theta $
$=\sin \theta+\tan \theta \sin \theta+\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \sin \theta$
$-\cos \theta-\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \cos \theta-\cot \theta \cos \theta $
$=\sin \theta+\tan \theta \sin \theta+\cos \theta-\cos \theta-\sin \theta-\cot \theta \cos \theta $
$=\tan \theta \sin \theta-\cot \theta \cos \theta $
$=\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \dfrac{1}{\operatorname{cosec} \theta}$
$-\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \dfrac{1}{\sec \theta} $
$=\dfrac{1}{\operatorname{cosec} \theta} \times \dfrac{1}{\operatorname{cosec} \theta} \times \sec \theta$
$-\dfrac{1}{\sec \theta} \times \dfrac{1}{\sec \theta} \times \operatorname{cosec} \theta $
$=\dfrac{\sec \theta}{\operatorname{cosec ^2}\theta}-\dfrac{\operatorname{cosec} \theta}{\sec ^2 \theta} $
$=$ R.H.S.
9. Prove that
$\dfrac{\sin \theta }{\sec \theta+\tan \theta-1}+\dfrac{\cos \theta }{\operatorname{cosec} \theta+\cot \theta-1}=1 $
$\large{\textbf{Solution}}:$
L H S $=\dfrac{\sin \theta}{(\sec \theta+\tan \theta-1)}+\dfrac{\cos \theta}{(\operatorname{cosec} \theta+\cot \theta-1)} $
$=\dfrac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin \theta-\cos \theta}+\dfrac{\cos \theta \sin \theta}{1+\cos \theta-\sin \theta} $
$=\sin \theta \cos \theta\left[\dfrac{1}{1+(\sin \theta-\cos \theta)}+\dfrac{1}{1-(\sin \theta-\cos \theta)}\right] $
$=\sin \theta \cos \theta\left[\dfrac{1-(\sin \theta-\cos \theta)+1+(\sin \theta-\cos \theta)}{\{1+(\sin \theta-\cos \theta)\}\{1-(\sin \theta-\cos \theta)\}}\right] $
$=\sin \theta \cos \theta\left[\dfrac{1-\sin \theta+\cos \theta+1+\sin \theta-\cos \theta}{1-(\sin \theta-\cos \theta)^2}\right].$
$=\dfrac{2 \sin \theta \cos \theta}{1-\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta-2 \sin \theta \cos \theta\right)} $
$=\dfrac{2 \sin \theta \cos \theta}{2 \sin \theta \cos \theta}$
$=1$
$=$ RHS
$\text { Hence, } \mathrm{L.H.S}=\mathrm{R.H.S}$
10. $\text{Prove that}$
$\dfrac{(1+\cot \theta+\tan \theta)(\sin \theta-\cos \theta)}{\sec ^3 \theta-\operatorname{cosec}^3 \theta}=\sin ^2 \theta \cos ^2 \theta$
$\large{\textbf{Solution}}:$
$\text{L.H.S}=\dfrac{\left(1+\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}+\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)(\sin \theta-\cos \theta)}{\dfrac{1}{\cos ^3 \theta}-\dfrac{1}{\sin ^3 \theta}}$
$=\dfrac{\dfrac{\left(\sin \theta \cos \theta+\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)(\sin \theta-\cos \theta)}{\sin \theta \cos \theta}}{\dfrac{\sin ^3 \theta-\cos ^3 \theta}{\sin ^3 \theta \cos ^3 \theta}}$
$=\dfrac{\left(\sin ^3 \theta-\cos ^3 \theta\right) \times \sin ^3 \theta \cos ^3 \theta}{\sin \theta \cos\theta \left(\sin ^3 \theta-\cos ^3 \theta\right)}$
$=\sin ^2 \theta \cos ^2 \theta$
$=\;\text{R.H.S.}$
11.$\text{Prove that}$
$\dfrac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\dfrac{\cot \theta}{1-\tan \theta}=1+\operatorname{cosec} \theta \sec \theta$
$\large{\textbf{Solution}}:$
$\text{L.H.S}$ $= \dfrac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\dfrac{\cot \theta}{1-\tan \theta} $
$ =\dfrac{\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1-\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}}+\dfrac{\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}}{1-\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}} $
$ =\dfrac{\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\dfrac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta}}+\dfrac{\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\dfrac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta}} $
$ =\dfrac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)}-\dfrac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta(\sin \theta-\cos \theta)} $
$ =\dfrac{\sin ^{3} \theta-\cos ^{3} \theta}{\sin \theta \cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)} $
$ =\dfrac{(\sin \theta-\cos \theta)\left(\sin ^{2} \theta+\sin \theta \cos \theta+\cos ^{2} \theta\right)}{\sin \theta \cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)} $
$ =\dfrac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} $
$ =\dfrac{1+\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} $
$=\dfrac{1}{\sin \theta \cos \theta}+\dfrac{\sin \theta \cos \theta}{\sin\theta } $
$=\operatorname{cosec} \theta \sec \theta+1$
$=\text{ R.H.S.}$
$\therefore \text { L.H.S }=\text { R.H.S (proved) }$
12. $\text{Prove that}$ $(\sin A+\operatorname{cosec} A)^2+(\cos A+\sec A)^2$
$=7+\tan ^2A+\cot ^2 A$
$\large{\textbf{solution}}:$
$\mathrm{L.H.S}=(\sin A+\operatorname{cosec} A)^2+(\cos A+\sec A)^2$
$=\left(\sin A+\dfrac{1}{\sin A}\right)^2+\left(\cos A+\dfrac{1}{\cos A}\right)$
$=\left(\dfrac{\sin ^2 A+1}{\sin A}\right)^2+\left(\dfrac{\cos ^2 A+1}{\cos A}\right)^2 $
$=\dfrac{\left(\sin ^2 A+1\right)^2}{\sin ^2 A}+\dfrac{\left(\cos ^2 A+1\right)^2}{\cos ^2 A} $
$=\dfrac{\cos ^2 A\left(\sin ^2 A+1\right)^2+\sin ^2 A\left(\cos ^2 A+1\right)^2}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$
$=\dfrac{\cos ^2 A\left(\sin ^4 A+1+2 \sin ^2 A\right)\\+\sin ^2 A\left(\cos ^4 A+1+2 \cos ^2 A\right)}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$
$=\dfrac{\cos^2 A\sin^4A+\cos^2A+2\sin^2A\cos^2A\\+\sin^2A\cos^4A+\sin^2A+2\sin^2A\cos^2A}{\sin^2A\cos^2A}$
$=\dfrac{\sin^2A\cos^2A\left(\sin^2A\\+\cos^2A\right)+1+4\sin^2A\cos^2A}{\sin^2A\cos^2A}$
$= \dfrac{\sin ^2 A \cos ^2 A+1+4 \sin ^2 A \cos ^2 A}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$
$=\dfrac{5 \sin ^2 A \cos ^2 A+1}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$
$=\dfrac{5 \sin ^2 A \cos ^2 A}{\sin ^2 A \cos ^2 A}+\dfrac{1}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$
$=5+\dfrac{1}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$
$=5+\dfrac{\sin ^2 A+\cos ^2 A}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$
$=5+\dfrac{\sin ^2 A}{\sin ^2 A \cos ^2 A}+\dfrac{\cos ^2 A}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$
$=5+\dfrac{1}{\cos ^2 A}+\dfrac{1}{\sin ^2 A}$
$=5+\sec ^2 A+\operatorname{cosec}^2 A$
$=5+\left(1+\tan ^2 A\right)+\left(1+\cot ^2 A\right)$
$=7+\tan ^2A+\cot ^2A$
13. $(\operatorname{cosec} A-\sin A)(\sec A-\cos A)=\dfrac{1}{\tan A+\cot A}$
$\large{\textbf{Solution}}:$
$\mathrm{L.H.S.}=(\operatorname{cosec} A-\sin A)(\sec A-\cos A)$
$=\left(\dfrac{1}{\sin A}-\sin A\right)\left(\dfrac{1}{\cos A}-\cos A\right)$
$=\left(\dfrac{1-\sin ^2 A}{\sin A}\right)\left(\dfrac{1-\cos ^2 A}{\cos A}\right) $
$=\dfrac{\cos ^2 A}{\sin A}\left(\dfrac{\sin ^2 A}{\cos A}\right)=\dfrac{\sin A \cos A}{1} $
$=\dfrac{\sin A \cos A}{\sin ^2 A+\cos ^2 A} \quad\left[\because 1=\sin ^2 A+\cos ^2 A\right] $
$=\dfrac{1}{\dfrac{\sin ^2 A+\cos ^2 A}{\sin A \cos A}}$
$=\dfrac{1}{\dfrac{\sin ^2 A+\cos ^2 A}{\sin A \cos A}}$
$=\dfrac{1}{\dfrac{\sin ^2 A}{\sin A \cos A}+\dfrac{\cos ^2 A}{\sin A \cos A}}$
$=\dfrac{1}{\dfrac{\sin A}{\cos A}+\dfrac{\cos A}{\sin A}}$
$=\dfrac{1}{\tan A+\cot A}$
$=R.H.S$
14. Show that $\dfrac{\cos ^2 \theta }{1-\tan \theta}+\dfrac{\sin ^3 \theta }{\sin \theta-\cos \theta}=\sin\theta+\cos\theta$
$\large{\textbf{Solution}}:$
$\text{L.H.S}$ $=\dfrac{\cos ^2 \theta }{1-\tan \theta}+\dfrac{\sin ^3 \theta }{\sin \theta-\cos \theta}$
$=\dfrac{\cos ^2 \theta}{1-\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}}+\dfrac{\sin ^3 \theta}{\sin \theta-\cos \theta}$
$=\dfrac{\cos ^3 \theta}{\cos \theta-\sin \theta}+\dfrac{\sin ^3 \theta}{\sin \theta-\cos \theta}$
$=\dfrac{\sin ^3 \theta}{\sin \theta-\cos \theta}-\dfrac{\cos ^3 \theta}{\sin \theta-\cos ^2}$
$=\dfrac{\sin ^3\theta-\cos ^3 \theta}{\sin \theta-\cos \theta}$
$=\dfrac{(\sin \theta-\cos \theta)\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta+\sin \theta \cos \theta\right)}{\sin \theta-\cos\theta}$
$=\dfrac{1+\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta \cos\theta}$
$=\sin\theta+\cos\theta$
$=$ R.H.S. $\left[\because a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+b^2+a b\right)\right]$
15. If $m=\dfrac{\cos A}{\cos B}$ and $n=\dfrac{\cos A }{ \sin B}$ , prove that
$\left(m^2+n^2\right) \cos ^2 B=n^2$
Solution:
Given, $m=\dfrac{\cos A}{\cos B}$ and $n=\dfrac{\cos A }{ \sin B}$ $\text { L.H.S }=\left(m^2+n^2\right) \cos ^2 B $ $=\left(\dfrac{\cos ^2 A}{\cos ^2 B}+\dfrac{\cos ^2 A}{\sin ^2 B}\right) \cos ^2 B $ $=\left(\dfrac{\cos ^2 A \sin ^2 B+\cos ^2 A \cos ^2 B}{\cos ^2 B \sin ^2 B}\right) \cos ^2 B $ $=\dfrac{\cos ^2 A\left(\sin ^2 B+\cos ^2 B\right)}{\cos ^2 B \sin^2B} \cos ^2 B $ $=\dfrac{\cos ^2 A}{\sin ^2 B}$
$=\left(\dfrac{\cos A}{\sin B}\right)^2 $ $=n^2 $ $=\text { R.H.S. }$
16. $\cos\theta =\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$
(a)prove that $\cos 2\theta=\dfrac{1}{2}\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)$
(b) prove that $\cos 3\theta=\dfrac{1}{2}\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)$
Solution of (a)
\begin{aligned}
\cos \theta &=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right) \\
\cos 2 \theta &=2 \cos ^2 \theta-1 \\
&=2 \cdot \frac{1}{4}\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\right)-1 \\
&=\frac{1}{2}\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)-1 \\
&=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2 x^2}+1-1 \\
&=\frac{1}{2}\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)
\end{aligned}
(b) $\cos 3\theta$
\begin{aligned}
&=4 \cos ^3 \theta-3 \cos \theta \\
&=4\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2 x}\right)^3-3\left(\frac{x}{2}+\frac{11}{2 x}\right) \\
&=4\left\{\frac{x^3}{8}+\frac{1}{8 x^3}+3 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2 x}\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2 x}\right)\right\}-\frac{9 x}{2}-\frac{3}{2 x} \\
&=\frac{x^3}{2}+\frac{1}{2 x^3}+\frac{3 x}{2}+\frac{3}{2 x}-\frac{3 x}{2}-\frac{3}{2 x} \\
&=\frac{1}{2}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)=R H \cdot S
\end{aligned}
$\large{\textbf{Creative Question-1}}:$
$a=\sinθ ,b=\cosθ$ এবং $b-ab=ma ,b+ab=an$
(ক) $b-a=\sqrt{2} a$ হলে প্রমাণ কর যে,$a+b=\sqrt{2}b.$
(খ) প্রমাণ কর যে,$(m-n)^2=\dfrac{16mn}{(m+n)^2}$
(গ) প্রমাণ কর যে, $\sinθ=\dfrac{n-m}{n+m}$.
(ঘ) $b-a=\sqrt{2}a$ হলে প্রমাণ কর যে,$\mathrm{cosecθ=2\sqrt{2}cosθ}$.
(ঙ) $a^2+a^4=1$ হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{a^4}{b^4} -\dfrac{a^2}{b^2} =1.$
(চ) $b^2+b^4=1$ হলে প্রমাণ কর যে ,$\left(\dfrac{b}{a}\right)^4-\left(\dfrac{b}{a}\right)^2=1.$
(ছ) $b-a=\sqrt{2} a$ হলে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{sin^2\theta=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}}$
(জ) $a+b=\sqrt{2}b$ হলে প্রমাণ কর যে $\theta=22.5^\circ.$
(ঝ) $a+b=\sqrt{2}b$ হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{3-4a^2}{b}=2\sqrt{2}b$
(ঘ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
$b-a=\sqrt{2}a$
বা, $\mathrm{cosθ-sinθ=\sqrt{2}sinθ}$
বা, $\mathrm{cos\theta -\sqrt{2}sin\theta =sin\theta}$
বা,$\left(\mathrm{\cos\theta -\sqrt{2}sin\theta}\right)^2 =\sin^2\theta$
বা, $\mathrm{cos^2\theta -2\sqrt{2}cos\theta sin\theta +2sin^2\theta=sin^2\theta}$
বা, $\mathrm{cos^2\theta +sin^2\theta -2\sqrt{2}cos\theta sin\theta=sin^2\theta-sin^2\theta}$
বা, $\mathrm{1-2\sqrt{2}cos\theta sin\theta=0}$
বা, $\mathrm{1=2\sqrt{2}cos\theta sin\theta}$
বা, $\mathrm{\dfrac{1}{sin\theta}=2\sqrt{2}cos\theta}$
$\therefore \mathrm{cosec\theta=2\sqrt{2}cos\theta}$
বিকল্প সমাধানঃ
(ক) দেওয়া আছে,
$b-a=\sqrt{2}a$
বা, $\mathrm{cosθ-sinθ=\sqrt{2}sinθ}$
বা, $\mathrm{cosθ=\sqrt{2}sinθ+sinθ}$
বা, $\mathrm{cosθ=\left(\sqrt{2}+1\right)sinθ}$
বা, $\mathrm{\left(\sqrt{2}-1\right)cosθ=\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)sinθ}$
বা, $\mathrm{\sqrt{2}cosθ-cosθ=\left\{\left(\sqrt{2}\right)^2-1^2\right\}sinθ}$
বা, $\mathrm{\sqrt{2}cosθ=sinθ+cosθ}$
$\mathrm{∴sinθ+cosθ=\sqrt{2}cosθ}$
(খ) $\mathrm{cosθ-sinθ=\sqrt{2}sinθ}$
বা, $\mathrm{\left(cosθ-sinθ\right)^2=\left(\sqrt{2}sinθ\right)^2}$
বা, $\mathrm{cos^2θ-2cosθsinθ+sin^2θ=2sin^2θ}$
বা, $\mathrm{1-2sinθcosθ=2sin^2θ}$
বা, $\mathrm{1=2 sin^2θ+2sinθcosθ}$
বা, $\mathrm{1=2sinθ\cdot \left(sinθ+cosθ\right)}$
বা, $\mathrm{1=2sinθ\cdot\sqrt{2}cosθ}$ [‘ক’ হতে]
বা, $\mathrm{1=2\cdot\dfrac{1}{cosecθ}\cdot \sqrt{2}cosθ}$
$\mathrm{∴cosecθ=2\sqrt{2}cosθ}$
(ঝ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
$a+b=\sqrt{2}b$
বা, $a=\sqrt{2}b-b$
বা, $a=\left(\sqrt{2}-1\right)b$
বা, $a^2=\left(\sqrt{2}-1\right)^2b^2$
বা, $a^2=\left\{\left(\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{2}+1\right\}b^2$
বা, $a^2=\left(2-2\sqrt{2}+1\right)b^2$
বা, $\sin ^2 \theta=\left(3-2\sqrt{2}\right)\cos ^2\theta $
বা, $\sin ^2 \theta=3\cos ^2\theta -2\sqrt{2}\cos ^2\theta $
বা, $2\sqrt{2}\cos ^2\theta=3\left(1-\sin ^2\theta \right)-\sin ^2\theta$
বা, $2\sqrt{2}\cos ^2\theta=3-3\sin ^2\theta -\sin ^2\theta$
বা, $2\sqrt{2}\cos ^2\theta=3-4\sin ^2\theta $
বা, $2\sqrt{2}q^2=3-4p^2$
বা, $3-4a^2=2\sqrt{2}b^2$
$\therefore \dfrac{3-4a^2}{b}=2\sqrt{2}b$
সৃজনশীল প্রশ্ন-২:
$\mathrm{tanA+sinA=m\; ,\;tanA-sinA=n}$
(ক) প্রমাণ কর যে, $\mathrm{cos(90°-B)=sinB}$
(খ) প্রমাণ কর যে , $\dfrac{16mn}{(m-n)^2 }=(m+n)^2$
অথবা, প্রমাণ কর যে, $\dfrac{(m+n)^2 (m-n)^2}{16mn}=1.$
অথবা,প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{16}\left(n^4-2m^2 n^2+m^4 \right)=mn$
Or, Prove that $m^4+n^4=2mn(8+mn)$
(গ) সমাধান কর : $\dfrac{m}{n}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$
(ঘ)প্রমাণ কর যে, $\mathrm{secA=\sqrt{mn}cosec^2A}$.
(ঙ)প্রমাণ কর যে, $\mathrm{secA-cosA=\dfrac{4mn}{m^2-n^2}}$
অথবা, $\mathrm{secA-\dfrac{1}{secA}=\dfrac{4mn}{m^2-n^2}}$
অথবা, $\mathrm{tan^2A=\dfrac{4mn}{m^2-n^2 }\cdot secA}$
(চ)প্রমাণ কর যে, $\mathrm{m+n=2secA\cdot sinA}$
সৃজনশীল প্রশ্ন-৩:
$\mathrm{cotA-cosA=a\; ,\;cotA+cosA=b}$
(ক) প্রমাণ কর যে, $\mathrm{cosecA=\dfrac{b+a}{b-a}}$
(খ) প্রমাণ কর যে, $16ab=\left(a^2-b^2 \right)^2$.
(গ) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ হলে সমাধান করে $A$ এর মান বের কর।
(ঘ) প্রমাণ কর যে, $\mathrm{cotA=\dfrac{2\sqrt{ab}}{b-a}}$
সৃজনশীল প্রশ্ন-৪:
সৃজনশীল প্রশ্ন-১০:
$\mathrm{secA+tanA}=\dfrac{1}{x}.$
(ক) $\mathrm{tanA-secA}$ কে $x$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
(খ) দেখাও যে, $\mathrm{sinA}=\dfrac{1-x^2}{1+x^2 }$
(গ) উদ্দীপকের সাহায্যে প্রমাণ কর যে,
$\mathrm{sec^2A+cosec^2A=sec^2A⋅cosec^2 A}$
সৃজনশীল প্রশ্ন-১১:
$\sec A -\tan A =x$
(ক) $\cos{A}=$ কত?
(খ) $\mathrm{cosecA}$ কে $x$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
(গ) $x=\dfrac{2}{5}$ হলে প্রমাণ কর যে,$\sin A=\dfrac{21}{29}$
(ঘ) প্রমাণ কর যে, $x=\sqrt{\dfrac{1-\sin A}{1+\sin A}}$
সৃজনশীল প্রশ্ন-১২:
$\tan A+\sin A=a$ এবং $a^2-b^2=4\sqrt{ab}$
(ক) $a-b=1$ হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$
(খ) প্রমাণ কর যে, $\tan A-\sin A=b$
(গ) প্রমাণ কর যে, $\tan A=\pm \dfrac{2\sqrt{ab}}{a-b}$.
(ক) নং প্রশ্নের সমাধান:
$a^2-b^2=4\sqrt{ab}$
বা, $(a+b)(a-b)=4\sqrt{ab}$
বা, $a+b=4\sqrt{ab}$ $[\because a-b=1]$
বা, $\dfrac{a+b}{2\sqrt{ab}}=2$
বা, $\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}}=\dfrac{2+1}{2-1}$
বা, $\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}=3$
বা, $\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\sqrt{3}$
বা, $\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$
বা, $\dfrac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$
বা, $\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2=\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right)^2$
বা, $\dfrac{a}{b}=\dfrac{3+2\sqrt{3}+1}{3-2\sqrt{3}+1}$
বা, $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$
(খ) নং প্রশ্নের সমাধান:
$a^2-b^2=4\sqrt{ab}$
বা, $\left(\tan A+\sin A\right)^2-b^2-4\sqrt{ab}=0$
বা, $\left(\tan A-\sin A\right)^2$$+4\tan A\sin A-b^2-4\sqrt{ab}=0$
বা, $\left(\tan A-\sin A\right)^2$$-b^2+4\sqrt{\tan ^2 A\sin ^2 A}-4\sqrt{ab}=0$
বা, $\left(\tan A-\sin A\right)^2$$-b^2+4\sqrt{\tan ^2 A\left(1-\cos ^2 A\right)}-4\sqrt{ab}=0$
বা, $\left(\tan A-\sin A\right)^2$$-b^2+4\sqrt{\left(\tan ^2 A-\tan ^2 A\cos ^2 A\right)}-4\sqrt{ab}=0$
বা, $\left(\tan A-\sin A\right)^2$$-b^2+4\sqrt{\left(\tan ^2 A-\sin ^2 A\right)}-4\sqrt{ab}=0$
বা, $\left(\tan A-\sin A\right)^2$$-b^2+4\sqrt{\left(\tan A+\sin A\right)\left(\tan A-\sin A\right)}-4\sqrt{ab}=0$
বা, $\left(\tan A-\sin A\right)^2$$-b^2+4\sqrt{a\left(\tan A-\sin A\right)}-4\sqrt{ab}=0$
বা, $\left(\tan A-\sin A+b\right)\left(\tan A-\sin A-b\right)$$+4\sqrt{a}\left(\sqrt{\tan A-\sin A}-\sqrt{b}\right)=0$
বা, $\left(\tan A-\sin A+b\right)\left(\sqrt{\tan A-\sin A}^2-\sqrt{b}^2\right)$$+4\sqrt{a}\left(\sqrt{\tan A-\sin A}-\sqrt{b}\right)=0$
বা, $\left(\tan A-\sin A+b\right)$$\left(\sqrt{\tan A-\sin A}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{\tan A-\sin A}-\sqrt{b}\right)$
$+4\sqrt{a}\left(\sqrt{\tan A-\sin A}-\sqrt{b}\right)=0$
বা, $\left(\sqrt{\tan A-\sin A}-\sqrt{b}\right)$$\left\{\left(\tan A-\sin A+b\right)\left(\sqrt{\tan A-\sin A}+\sqrt{b}\right)+4\sqrt{a}\right\}=0$
হয়, $\sqrt{\tan A-\sin A}-\sqrt{b}=0$
বা, $\sqrt{\tan A-\sin A}=\sqrt{b}$
$\therefore \tan A-\sin A=b$ $(proved)$
(গ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$\tan A+\sin A=a\cdots\cdots(i)$
এবং $\tan A-\sin A=b\cdots\cdots(ii)$
$(i)÷(ii)\Rightarrow$
$\dfrac{\tan A+\sin A}{\tan A-\sin A}=\dfrac{a}{b}$
বা, $\dfrac{\tan A+\sin A+\tan A-\sin A}{\tan A+\sin A-\tan A+\sin A}=\dfrac{a+b}{a-b}$
বা, $\dfrac{2\tan A}{2\sin A}=\dfrac{a+b}{a-b}$
বা, $\dfrac{\dfrac{\sin A}{\cos A}}{\sin A}=\dfrac{a+b}{a-b}$
বা, $\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{a+b}{a-b}$
বা, $\sec A=\dfrac{a+b}{a-b}$
বা, $\sec ^2 A=\dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2}$
বা, $1+\tan ^2 A=\dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2}$
বা, $\tan ^2 A=\dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2}-1$
বা, $\tan ^2 A=\dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{(a-b)^2}$
বা, $\tan ^2 A=\dfrac{4ab}{(a-b)^2}$
বা, $\tan A=\pm \dfrac{2\sqrt{ab}}{a-b}$ $(proved)$
গাণিতিক সমস্যা-১:
$\triangle{ABC}$ এর $\angle B=90^\circ$ এবং $8\cot A=15$ হলে $\sec C$ এবং $\sin C$ এর মান নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা-২:
$\sin ^{6}\theta +\cos ^{6}\theta =1-3\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta $
গাণিতিক সমস্যা-৩:
$\sec ^{6}\theta -\tan ^{6}\theta =1+3\tan^2\theta +3\tan ^{4}\theta$
সমাধান:
$L\cdot H\cdot S=\sec ^{6}\theta -\tan ^{6}\theta$ $=\left( \sec ^{2}\theta \right) ^{3}-\left( \tan ^{2}\theta \right) ^{3}$
$ =\left( \sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta \right) ^{3}$$+3\sec ^{2}\theta \tan ^{2}\theta \left( \sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta\right)$
$=1^{3}+3\sec ^{2 }\theta \tan ^{2}\theta \cdot 1$
$=1+3\left( 1+\tan ^{2}\theta \right) \tan ^{2}\theta $
$=1+3\tan ^{2}\theta +3\tan ^{4}\theta $
$ =R\cdot H\cdot S$
অনুরূপভাবে প্রমান কর যে,
$\cot^6\theta-cosec^6\theta=-1-3\cot^2\theta-3\cot^4\theta$
গাণিতিক সমস্যা-৪:
প্রমাণ কর যে,$\sec ^{4}\theta -\sec ^{2}\theta = \tan ^{4}\theta +\tan ^{2}\theta $
গাণিতিক সমস্যা-৫:
প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{\cos ecA-\cot A}-\dfrac{1}{\sin A}$$ =\dfrac{1}{\sin A}-\dfrac{1}{co\sec A+\cot A}$
গাণিতিক সমস্যা-৬:
$\cos \theta =\dfrac{4}{5}$ হলে $\dfrac{1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }=?$
গাণিতিক সমস্যা-৭:
$a+b\tan ^{2}\theta =c\sec ^{2}\theta $ হলে $ \sin \theta =?$
গাণিতিক সমস্যা-৮:
$\left( a^{2}-b^{2}\right) \sin \theta +$$ 2ab\cos \theta =a^{2}+b^{2}$ হলে$\sec \theta =?$ এবং $ \tan \theta =?$
গাণিতিক সমস্যা-৯:
$\sec\theta -\tan\theta=\dfrac{1}{x}$ হলে $\sec\theta$ কে $x$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
গাণিতিক সমস্যা-১০:
$\cos ec\theta-\cot\theta=x$ হলে $\cot\theta$ কে $x$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
গাণিতিক সমস্যা-১১:
$\tan\theta+\cot\theta=\dfrac{1}{x}$ হলে প্রমাণ কর যে $\sin^2\theta-\sin^4\theta=x^2$
অথবা,$\cos^2\theta-\cos^4\theta=x^2$
গাণিতিক সমস্যা-১২:
$7\sin^2\theta +3\cos^2\theta =6$ হলে $\theta=$ কত?
সমাধানঃ
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে $AB=BC=AC$ এবং $\angle {A}=\angle {B}=\angle{C}=60^\circ $
$L.H.S=\dfrac{AB+BC}{AC}$
$=\dfrac{AB+AB}{AB}$
$=\dfrac{2AB}{AB}$
$=2$
$R.H.S=\cot\left(\dfrac{B}{2}\right)$
$=\cot\left(\dfrac{60^\circ }{2}\right)$
$=\cot30° $
$=\sqrt{3}$
$\therefore L.H.S \ne R.H.S$
উচ্চতর গণিত
ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ের সূত্রঃ
মনে করি ,$h$ ঘণ্টা $m$ মিনিট$=h:m$ টায় ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ $=\theta$
মিনিটের কাঁটার
$60$ মিনিটে অতিক্রান্ত কৌণিক সরণ $=360^\circ$
$1$ মিনিটে অতিক্রান্ত কৌণিক সরণ $=\dfrac{360^\circ}{60}$
$m$ মিনিটে অতিক্রান্ত কৌণিক সরণ $=\dfrac{m\times 360^\circ}{60}$
$=6m$ ডিগ্রী$={\theta}_1$.
$h:m$ টা $=\left(60h+m\right)$ মিনিট যা ঘণ্টার কাঁটার অতিক্রান্ত সময়।
ঘণ্টার কাঁটার $12$ঘণ্টায় বা $12\times 60$ মিনিটে বা
$720$ মিনিটে অতিক্রান্ত কৌণিক সরণ $=360^\circ$
$1$ মিনিটে অতিক্রান্ত কৌণিক সরণ $=\dfrac{360^\circ}{720}$
$\left(60h+m\right)$ মিনিটে অতিক্রান্ত কৌণিক সরণ $=\dfrac{\left(60h+m\right)\times 360^\circ}{720}$
$=\dfrac{60h+m}{2}$ডিগ্রী $={\theta}_2$.
$\therefore \theta =\left|{\theta}_2-{\theta}_1\right|$
$=\left|\dfrac{60h+m}{2}-6m\right|$ ডিগ্রী
$=\left|\dfrac{60h+m-12m}{2}\right|$ ডিগ্রী
$=\left|\dfrac{60h-11m}{2}\right|$ ডিগ্রী
উপরোক্ত সূত্রের ভিত্তিতে সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$8:45$ টায় ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ $theta$.
(ক) কোণের ষাটমূলক ও বৃত্তীয় এককের পারস্পরিক সম্পর্ক লিখ।
(খ) ষাটমূলক ও বৃত্তীয় এককে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।
(গ) ঘড়ির ডায়ালের পরিধি $70\mathrm{cm}$ হলে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতর চাপের দৈর্ঘ্য এবং বৃহত্তর বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
(খ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$h:m=8:45$ টায় $h=8$
$m=45$
সুতরাং ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ,$=\left|\dfrac{60h-11m}{2}\right|$ ডিগ্রী
$=\left|\dfrac{60\times 8-11\times 45}{2}\right|$ ডিগ্রী
$=\left|\dfrac{480-495}{2}\right|$ ডিগ্রী
$=\left|\dfrac{-15}{2}\right|$ ডিগ্রী
$=\left|-7.5\right|$ ডিগ্রী
$=7.5$ ডিগ্রী
$=7^\circ 30^\prime$ [$\because 0.5^\circ =30$ মিনিট $=30^\prime$ ]
অথবা,$\theta =360^\circ -7.5^\circ =352.5\circ$
আমরাজানি, $1^\circ=\dfrac{{\pi}^c}{180}$
$\therefore 7.5^\circ=\dfrac{7.5\times {\pi}^c }{180}$
$=\dfrac{{\pi}^c}{24}$
$=0.131^c$
গাণিতিক সমস্যা-১:
$30^\circ-\theta$ এর পূরক কোণ $\alpha$ এবং $\sin\theta=\cos\alpha$ হলে $\tan3\theta-\cot4\alpha$ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
$\because 30^\circ-\theta$ এর পূরক কোণ $\alpha$
$\therefore \alpha =90^{\circ}-\left(30^{\circ}-\theta\right)$
$\sin \theta=\cos \alpha$
$\Rightarrow \sin \theta=\cos \left\{90^{\circ}-\left(30^{\circ}-\theta\right)\right\} $
$\Rightarrow \sin \theta=\sin \left(30^{\circ}-\theta\right)$
$\Rightarrow \theta=30^{\circ}-\theta $
$\Rightarrow 2 \theta=30^{\circ} $
$\therefore \theta=15^{\circ} $
$\therefore \alpha=90^{\circ}-\left(30^{\circ}-15^{\circ}\right) $
$=90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$
গাণিতিক সমস্যা-২:
$\sin \alpha =\sqrt{\sin \alpha -\sqrt{\sin \alpha -\sqrt{\sin \alpha \cdot \ldots }}}$ হলে $\tan5\alpha$ এর মান নির্ণয় কর।
গাণিতিক সমস্যা-৩:
$\sec \theta =\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ এবং $ cosec \theta =\dfrac{1}{\sqrt{18}}$ হলে $ \tan 3\theta $ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
$\sec \theta =\dfrac{1}{\sqrt{6}}$
বা,$\cos \theta =\sqrt{6}\cdots(i)$এবং
$ co\sec \theta =\dfrac{1}{\sqrt{18}}$
বা,$ \sin \theta =\sqrt{18}$
$= \sqrt{6\times 3}$
$= \sqrt{6}\times \sqrt{3}$
$ =\cos \theta \times \sqrt{3}$
$\therefore \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\sqrt{3}$
বা,$\tan\theta=\sqrt{3}$
বা,$\tan\theta=\tan\dfrac{\pi}{3}$
$\therefore \theta =\dfrac{\pi}{3}$
এখন,$\tan3\theta=\tan\left({3\cdot\dfrac{\pi}{3}}\right)$
$ = \tan{\pi}$
$=0.$
গাণিতিক প্রশ্ন-৪:
সরলমান নির্ণয় কর
১. $\cos 198°+\sin 432°+\tan 168°+\tan 12°$
২. $\cos 420° \sin \left(-300° \right)-\sin 870° \cos 570°$
৩. $\sin 780° \cos 390^°-\sin 330^° \cos (-300^0)$
৪. $\tan{\dfrac{17π}{4}} \cos{\dfrac{11π}{4}}+\sec{\dfrac{34π}{3}} \mathrm{cosec{\dfrac{25π}{6}}}$
৫. $\cos A+\sin{\left(\dfrac{23π}{2}+A\right)}-\sin{\left(\dfrac{23π}{2}-A\right)}$$+\cos (17π+A)$
৬. $\sin^2\dfrac{17π}{8}+\sin^2\dfrac{5π}{8}+\cos^2\dfrac{37π}{8}+\cos^2\dfrac{7\pi}{8}$
গাণিতিক প্রশ্ন-৫:
$(0,2π)$ ব্যবধিতে সমাধান কর:
(ক) $\mathrm{2sin^2θ-5cos θ+1=0}$
(খ) $\mathrm{cot θ+tan θ=2secθ}$
(গ) $\mathrm{cosθ+\sqrt{3}sinθ=2}$
(ঘ) $\mathrm{1-2sinθ-2cosθ+cotθ=0}$
(ঙ) $\mathrm{tan^2θ+secθ+1=0}$
(চ) $\mathrm{3tan^2θ-4\sqrt{3} secθ+7=0}$
(ছ) $\mathrm{cosecθ+cotθ=\sqrt{3}}$
(জ) $\mathrm{\dfrac{cosθ}{1+sinθ}=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}}$
(ঝ) $\mathrm{cosθ+sinθ=\sqrt{2}}$
(ঞ) $\mathrm{sec\theta+tan\theta=\sqrt{3}}$
(ট) $\mathrm{\sqrt{3}sin\theta cos\theta=\dfrac{3}{4}}$
(ঠ) $\mathrm{\dfrac{tan\theta}{1-cot\theta}=3}$
গাণিতিক সমস্যা-৬:
সমাধান করঃ
$\mathrm{cosec\theta +cot\theta=-\sqrt{3}}$ যখন $-\dfrac{\pi}{2}\le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$
গাণিতিক সমস্যা-৭:
সমাধান করঃ
$\mathrm{sec \theta +tan \theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$ যখন $-\pi\le \theta <\pi$
গাণিতিক সমস্যা-৮ঃ
$ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, $\cot A+\cot B+\cot C+\cot D=0$.
গাণিতিক সমস্যা-৯:
$p=\mathrm{cot\theta +cosec\theta}$ হলে প্রমাণ কর যে, $(p^2+1)\cos\theta +(p^2+1)\sin\theta =(p+1)^2-2$
সৃজনশীল প্রশ্ন ১:
(খ) যদি $r=s $ হয় তবে প্রমাণ কর যে,$\angle{AOB}$ একটি ধ্রূব কোণ।
(গ) যদি $s=11$ সে.মি. হয় তবে $\angle{AOB} $ কে ডিগ্রী এককে প্রকাশ কর এবং প্রতি সেকেন্ডে ছয় পাক ঘুরলে চাকাটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কি.মি.?
সৃজনশীল প্রশ্ন-২:
একটি ত্রিভুজের কোণ গুলো গুণোত্তর ধারাভুক্ত এবং বৃহত্তম কোণটি ক্ষুদ্রতম কোণের চারগুণ ।
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $6440$ কি.মি. ।
(ক)$x$চলকের মাধ্যমে কোণগুলোকে প্রকাশ কর।
(খ) কোণগুলোর রেডিয়ান পরিমাপ কত?
(গ)পৃথিবী পৃষ্ঠের দুটি স্থান কেন্দ্রে বৃহত্তম কোণটি উৎপন্ন করলে তাদের দুরত্ব কত?
সৃজনশীল প্রশ্ন-৩:
$p=\sec θ-\tan θ ,\;q=\sin θ+\cos θ.$
(ক) $q=1$ হলে প্রমাণ কর যে, $\sin θ-\cos θ=±1$
(খ) দেখাও যে, $(1+p^2 )\cos θ+(1+p^2 )\sin θ+2p^2=(1+p)^2.$
(গ) $p=\sqrt{2}-1$ হলে $θ$ এর মান বের কর যখন $0<θ<2π.$
সৃজনশীল প্রশ্ন-৪:
$A=\dfrac{\cos θ-\sin θ+1}{\cos θ+\sin θ-1}$ , $B=\dfrac{1+\cos θ}{\sin θ}$
(ক) $B=1$ হলে প্রমাণ কর যে $\sin θ+\cos θ=±1.$
(খ) $A=\sqrt{2}+1$ হলে $\tan θ$ এর মান নির্ণয় কর।
(গ) প্রমাণ কর যে, $A=B.$
সৃজনশীল প্রশ্ন-৫:
$a\sin θ-b\cos θ=c$
(ক) $c=0$ হলে $\sec θ$ নির্ণয় কর।
(খ) প্রমাণ কর যে, $b\sin θ+a\cos θ=±\sqrt{a^2+b^2-c^2}$
(গ) $a=1 ,b=-1$ এবং $c=\sqrt{2}$ হলে $\tan θ$ এর মান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-৬:
$\dfrac{\sin θ-\cos θ+1}{\sin θ+\cos θ-1}=x$
(ক) $θ=-\dfrac{2π}{3}$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
(খ)প্রমাণ কর যে, $\sin θ=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}.$
(গ) $x=2+\sqrt{3}$ হলে $0<θ<2π$ ব্যবধিতে $θ$ এর মান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-৭:
$b\sin^2\theta+a\cos^2\theta=c$
(ক) প্রমাণ কর যে, $-1\geq \sec{x}\geq1$
(খ) প্রমাণ কর যে, $\cot\theta=±\sqrt{\dfrac{b-c}{c-a}}$
(গ) $a=1,b=5,c=2$ হলে $\theta $ নির্ণয় কর যখন
$0\leq \theta \leq 2\pi$
সৃজনশীল প্রশ্ন-৮:
$1+\cos\theta =x\sin\theta$
(ক) প্রমাণ কর যে,$ \sin\phi+\cos\phi>1 $ যখন $\phi $ সূক্ষ্মকোণ।
(খ) $\tan\theta $ কে $x$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
(গ) $\dfrac{2}{x+\dfrac{1}{x}}+\dfrac{x-\dfrac{1}{x}}{x+\dfrac{1}{x}}=\sqrt{2}$ হলে $\theta$ নির্ণয় কর যখন $0\le \theta \le 2\pi$
সৃজনশীল প্রশ্ন-৯:
$\mathrm{secA+tanA=x}$ এবং $r=\mathrm{\dfrac{sinθ+cosθ-1}{sinθ-cosθ+1}}$
(ক) $\mathrm{tanA}$ কে $x$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
(খ) প্রমাণ কর যে, $r=\mathrm{\dfrac{cosθ}{1+sinθ}}.$
(গ) $r=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}$ হলে $θ$ নির্ণয় কর যখন $0<θ<2π.$
সৃজনশীল প্রশ্ন-১০:
$\mathrm{sec^2x+tan^2x=3,\;0<x<2π}$
(ক) $\mathrm{tan\left( \dfrac{11\pi }{3}\right)}$ এর মান নির্ণয় কর।
(খ) $x$ এর মান সমূহ নির্ণয় কর।
(গ) $x$এর সর্বনিম্ন মান ব্যবহার করে
$\mathrm{cos^2\left(\dfrac{4x}{15}\right)+cos^2\left(\dfrac{26x}{15}\right)+cos^2\left(\dfrac{64x}{15}\right)}$$\mathrm{+cos^2\left(\dfrac{94x}{15}\right)}$ এর মান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-১১:
$\mathrm{3\left(cot^2x+cosec^2x\right)=5\; ,\;0<x<2π}$
(ক) $\mathrm{sec\left(\dfrac{19π}{2}±θ\right)}$ কে $θ$ কোণের অনুপাতে প্রকাশ কর।
(খ) $x$ এর মানসমূহ নির্ণয় কর।
(গ) $x$ এর সর্বনিম্ন মান ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে,
$\mathrm{sin14x\cdot cos13x-cos(-10x)\cdot sin11x=0}$
সৃজনশীল প্রশ্ন-১২:
$\mathrm{5 cot^2x-7cotx\cdot cosecx+3=0\; ,\;0<x<2π}$
(ক) $\mathrm{cotβ=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\; ,\;\dfrac{3π}{2}<β<2π}$ হলে $β$ এর মান নির্ণয় কর।
(খ) $x$ এর মানসমূহ নির্ণয় কর।
(গ) $x$ এর সর্বোচ্চ মান ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে,
$\sin \left( \dfrac{13x}{5}\right) \cos \left( \dfrac{13x}{10}\right) + \sin \left( -\dfrac{11x}{10}\right) \cos x=1$
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৩:
$\mathrm{2\left(sinθcosθ+\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}cosθ+4sinθ}$ ; $\dfrac{π}{2}< θ<π$
(ক) দেখাও যে $θ=\dfrac{π}{3}$ এর জন্য সমীকরণটি সিদ্ধ ।
(খ)প্রদত্ত ব্যবধিতে সমীকরণটির সমাধান কর।
(গ) $θ$ এর প্রাপ্ত মান ব্যবহার করে $\sin \left( \dfrac{11\theta }{60}\right) +\cos \left( \dfrac{\theta }{20}\right) +\sin \left( \dfrac{101\theta }{60}\right)$$ +\cos \left( \dfrac{31\theta }{20}\right)+\cos \left( \dfrac{5\theta }{2}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৪:
$\mathrm{cosx+secx=\dfrac{7}{2\sqrt{3}}}$ , $0<x<2π$
(ক) $\mathrm{sec\left(θ-\dfrac{11π}{2}\right)}$ কে $θ$ কোণের অনুপাতে প্রকাশ কর।
(খ) $x$ এর মানসমূহ নির্ণয় কর।
(গ) $x$ এর সর্বোচ্চ মান ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে,
$\mathrm{cos2x=cos^2x-sin^2x=\dfrac{1-tan^2x}{1+tan^2x}}$
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৫:
$\mathrm{cosecx+secx=2\sqrt{2}}$ , $0<x<\dfrac{π}{2}$
(ক) $\mathrm{tan\theta=\dfrac{5}{12}}$ এবং $\mathrm{cosθ}$ ঋণাত্মক হলে $\mathrm{sin\theta}$ এর মান নির্ণয় কর।
(খ) $x$ এর মান নির্ণয় কর ।
(গ) $x$ এর মান ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে
$\cot \left( \dfrac{x}{5}\right) \cot \left( \dfrac{3x}{5}\right) \cot \left( x\right) \cot \left( \dfrac{7x}{5}\right) \cot \left( \dfrac{9x}{5}\right) $$=1$
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৬:
$\mathrm{cotθ+cosecθ=\sqrt{3}}$ , $0<θ≤2π$
(ক) $\mathrm{tanx=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$ , $\dfrac{π}{2}<x<2π$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
(খ) $θ$ এর মানসমূহ নির্ণয় কর।
(গ) $θ$ এর মানসমূহের একটি $A$ অপরটি $B$ ধরে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{cot(A-B)=\dfrac{cotAcotB+1}{cotB-cotA}}$
সৃজনশীল প্রশ্ন-১৭:
$\mathrm{sec^2θ+1=cosec^2θ}$ হলে
(ক) দেখাও যে, $\mathrm{\dfrac{cos^2 θ}{1+cos^2θ}=sin^2θ}$
(খ) প্রমাণ করবে, $\mathrm{cot^4θ-cot^2θ=1}$ এবং $\mathrm{tan^4θ+tan^2θ=1}$
(গ) প্রমাণ করবে, $\mathrm{sin^2θ+ sec^2θ=2}$ এবং $\mathrm{1-tan^2θ=sin^2θ}$
বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ
Sir....উচ্চতর গণিতের গাণিতিক সমস্যা ১ম ২টা করে দিতে চাইছিলেন।