mathematics, inequality
mathematics, inequality related problems and solutions,higher mathematics,application of inequality,graph of inequality,graphic solution, number line
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
একব্যক্তি $70$ টাকা কেজি দরে $x$ কেজি আম কিনে $500$ টাকার একখানা নোট দিলেন।দোকানদার $x$ খানা $50$ টাকার নোটসহ বাকি টাকা ফেরৎ দিলেন।
(ক) তথ্যগুলো অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ কর । (খ) অসমতাটি সমাধান করে সমাধান সেট $(A)$ সংখ্যারেখায় দেখাও।
(গ) $B=\left\{y∈\mathbb{N}:y^3-5y^2-6y=0\right\}$ হলে $P\left(\left\{A∩B\right\}\right)$ এবং $B\setminus A$ নির্ণয় কর ।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$5(3-2x)≤3(4-3x)$ এর সমাধান সেট $A$ এবং
$x<\dfrac{1}{2}x+3$ এর সমাধান সেট $B$ । যেখানে $x∈\mathbb{R}$.
(ক) প্রথম অসমতাটির সমাধান কর। (খ) $A∩B$ এবং $A^\prime\cap B^\prime$ নির্ণয় কর।
(গ) $x∈\mathbb{N}$ হলে $n(P(A∩B))$ নির্ণয় কর ।
নিচের অসমতাগুলোর সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও
১.$(2x+3)(x-1)\le 0$
২.$(x+1)(4x-2)≥0$
৩.$x(x-1)(x+3)>0$
৪.$\dfrac{x(x+2)}{x-3}>0$
৫.$\dfrac{x(x-3)}{x-4}<0$
৬.$\dfrac{x-5}{x-3}>\dfrac{x-4}{x-1}$
৭.$\dfrac{x+1}{x+2}>\dfrac{x-4}{x-5}$
৮.$\dfrac{2x+3}{x-3}<\dfrac{x+3}{x-1}$
৯.$\dfrac{(2x-3)(x-2)^2}{x+1}>0$
নিচের অসমতাযুগলের যুগপৎ সমাধানের লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং $x+y$ এর সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান (যদি বিদ্যমান থাকে) নির্ণয় করঃ
$x-3y-6\le0$ এবং $3x+y+2\le0$
সমাধানঃ
$x-3y-6\le0\cdots \cdots (i)$
$3x+y+2\le0\cdots \cdots(ii)$
$(i)$ নং অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য প্রথমে
$x-3y-6=0$ বা,$y=\dfrac{x-6}{3}$ এর লেখচিত্র অঙ্কন করি।
এজন্য $x$ এর কয়েকটি মানের জন্য $y$ এর সংশ্লিষ্ট মানের ছক তৈরি করিঃ
| $x$ | $0$ | $3$ | $6$ |
|---|---|---|---|
| $y$ | $-2$ | $-1$ | $0$ |
| $(x,y)$ | $(0,-2)$ | $(3,-1)$ | $(6,0)$ |
$(ii)$ নং অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য প্রথমে
$3x+y+2=0$ বা,$y=-3x-2$ এর লেখচিত্র অঙ্কন করি।
এজন্য $x$ এর কয়েকটি মানের জন্য $y$ এর সংশ্লিষ্ট মানের ছক তৈরি করিঃ
| $x$ | $0$ | $-1$ | $1$ |
|---|---|---|---|
| $y$ | $-2$ | $1$ | $-5$ |
| $(x,y)$ | $(0,-2)$ | $(-1,1)$ | $(1,-5)$ |
ছক কাগজে $XOX'$ কে $x-$ অক্ষ এবং $YOY'$ কে $y-$ অক্ষ বিবেচনা করে বিন্দু গুলো স্থাপন করে যোগ করলে প্রথম ছকের জন্য প্রাপ্ত সরলরেখা ২য় ছকের জন্য প্রাপ্ত সরলরেখাকে $(0,-2)$ বিন্দুতে ছেদ করে ।
$O(0,0)$ বিন্দুর জন্য $(i)$ নং অসমতা দাঁড়ায়,
$0-0-6\le 0$
বা,$-6\le 0$ যা সত্য।
সুতরাং মূলবিন্দু যে পাশে অবস্থিত সরলরেখার উপরস্থ বিন্দুসহ সেই পাশের সকল বিন্দু দ্বারা অসমতাটি সত্য।
$O(0,0)$ বিন্দুর জন্য $(ii)$ নং অসমতা দাঁড়ায়,
$0+0+2\le 0$
বা,$2\le 0$ যা সত্য নয়।
সুতরাং মূলবিন্দু যে পাশে অবস্থিত সরলরেখার উপরস্থ বিন্দুসহ তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দু দ্বারা অসমতাটি সত্য।
চিত্রের গাঢ় অংশটি অসমতা দুটির যুগপৎ সমাধানের লেখচিত্র ।যার নিম্নসীমা ও উচ্চসীমার কোন বিন্দু নির্দিষ্ট নয়।তাই অসমতা দুটির সবোর্চ্চ বা সর্বনিম্ন মান নেই।
লেখচিত্রটি নিম্নরূপঃ
বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ
১.$a,b,c,d$ চারটি বাস্তব সংখ্যা এবং $\dfrac{a}{b}<\dfrac{b}{c}$ হলে –
$i.\dfrac{ad}{b}<\dfrac{bd}{c}$ যখন $d>0$
$ ii. \dfrac{ad}{b}>\dfrac{bd}{c}$ যখন $d<0$
$iii. \dfrac{b}{a}>\dfrac{c}{b}$
কোনটি সঠিক?
(ক)$i ,ii$ (খ) $i,iii$ (গ) $ii,iii$ (ঘ) $i,ii,iii$
২.$\dfrac{x}{4}≤x+3$ এর সমাধান সেট কোনটি?
(ক) $[-∞,-4]$ (খ) $[-4,∞]$ (গ) $[-4,∞)$ (ঘ) $(-∞,-4]$
৩.$2x>3x-1$ এর সমাধান সেট কত?
(ক) $x>1$ (খ) $x<1$ (গ) $x>\dfrac{1}{2}$ (ঘ) $x<\dfrac{1}{2}$
৪.$x≤\dfrac{x}{4}+3$ অসমতার সমাধান সেট নিচের কোনটি?
(ক) $\left\{x\in \mathbb{R}:x≤4\right\}$
(খ) $\left\{x\in\mathbb{R}:x≥4\right\}$
(গ) $S=\left\{x\in\mathbb{R}:x>4\right\}$
(ঘ) $S=\left\{x\in\mathbb{R}:x<4\right\}$
সৃজনশীল :১: হযরত শাহাজালাল বিমান বন্দর থেকে সিঙ্গাপুর বিমান বন্দর এর পথের দূরত্ব $\mathrm{1793}$ কি. মি. । বাংলাদেশ বিমানের সর্বোচ্চ গতিবেগ $\mathrm{500}$ কি. মি. / ঘন্টা । কিন্তু হযরত শাহজালাল বিমান বন্দর থেকে সিঙাগাপুর যাবার পথে প্রকিতৃক $\mathrm{60}$ কি. মি. /ঘন্টা বেগে বায়ু প্রবাহের সম্মুখীন হতে হয় ।
(ক) উদ্দীপকের সমস্যাটির প্রয়োজনীয় সময় $\mathrm{t}$ ঘন্টা ধরে সমস্যাটিকে অসময়তায় দেখাও ।
(খ) অসময়তাটির প্রয়োজনীয় সময়কে সংখ্যারেখায় দেখাও ।
(গ) সিঙ্গাপুর থেকে শাহাজালাল বিমান বন্দর ফেরার পথে বিরতিহীন উজ্জয়নের প্রযোজনীয় সময় সময়কে $\mathrm{x}$ ঘন্টা ধরে সমস্যাটিকে অসময়ত মাধ্যমে প্রকাশ করে লেখার সাহয্যে সমাধান কর ।
সমাধান : (ক)
যেহেতু $\mathrm{1793}$ কি. মি. উজ্জয়নের প্রয়জনীয় $\mathrm{t}$ ঘন্টা । $\mathrm{\therefore}$ বিমানটির গতিবেগ $\mathrm{\dfrac{t}{1793}}$ কি. মি. /ঘন্টা উদ্দীপকে, বিমানের বেগ $\mathrm{\le{500}}$ কি. মি. /ঘন্টা উদ্দীপকে, বিমানের বেগ $\mathrm{\le(500-600)}$ কি. মি.
বা, $\mathrm{\dfrac{t}{1793}{\le500-60}}$
বা, $\mathrm{\dfrac{t}{1793}{\le440}}$
বা, $\mathrm{440t{\le1793}}$
বা, $\mathrm{t{\le 4{40}{3}}}$
(গ) অনুকূলে, বিমানের বেগ $\mathrm{\le{500+60}}$ কি. মি. /ঘন্টা
বা,$\mathrm{\dfrac{t}{1793}{\le560}}$
বা,$\mathrm{560x{\ge1793}}$
বা,$\mathrm{x}{\ge3}{\dfrac{560}{113}}$
১২. ধরি
কলমের মূল্য $\mathrm{x}$ টাকা
রাবারের মূল্য $\mathrm{y}$ টাকা
খাতার মূল্য $\mathrm{100-(x+y)}$ টাকা
প্রশ্নমতে,
$\mathrm{100=(x+y)>2x}$
বা,$\mathrm{100-x-y>2x}$
বা,$\mathrm{100-x-y+x_y>2x+x+y}$
বা,$\mathrm{100>3x+y}$
বা,$\mathrm{3x+y<100......(i)}$
$\mathrm{3x>4y......(i)}$
$\mathrm{3y>100-(x+y)}$
বা,$\mathrm{3y>100-x-y.......(ii)}$
বা,$\mathrm{3y+x+y>100-x-y+x+y}$
বা,$\mathrm{4y+x+y>100}$
বা,$\mathrm{x+4y>100.....(iii)}$
$\mathrm{(i)(ii)ও(iii)}$ নং অসমতা থেকে,
$\mathrm{3x+y=100....(iv)}$
$\mathrm{3x=4y.....(v)}$
$\mathrm{x+4y=100.....(vi)}$
১৩.ধরি,
সবচেয়ে ছোট সংখ্যা${\mathrm{=x}}$
অপর সংখ্যা ${\mathrm{=y}}$
$\therefore$পরের সংখ্যা $\mathrm{=\dfrac{xy}{720}}$
যেহেতু,$\mathrm{x,y\in}$
$\mathrm{xy\ne o}$ এবং $\mathrm{x-y\ne o}$ এবং $\mathrm{x-\dfrac{xy}{720}\ne O}$
$\mathrm{x-y<O}$
বা,$\mathrm{x<y.....(i)}$
$\mathrm{x-dfrac{xy}{720}<O}$
বা,$\mathrm{\dfrac{x^2y-720}{xy}<O}$
বা,$\mathrm{x^2y-720<O}$
বা,$\mathrm{x^2y<720}$
বা,$\mathrm{y<\dfrac{720}{x^2}}$
১৪.
ধরি,
$\mathrm{\Delta ABC}$ এ $\mathrm{AB=BC}$ ও $\mathrm{\angle BAC={\angle ACB=2x}}$ এখন
$\mathrm {\angle A}$ এর সমদ্বিখন্ডিক $\mathrm {AD,}$ $\mathrm{\Delta ABC}$ কে $\mathrm {\Delta ABCD}$ ও $\mathrm{\Delta ACO}$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে বিভব করে অথবা $\mathrm{\angle ADB}$ বা $\mathrm {\angle ADC}$ সুক্ষ্মকোণ হবে । ধরি $\mathrm {\angle ADB}$ স্থুলকোন ও $\mathrm {\angle ADC}$ সূক্ষ্মকোন
প্রশ্নমতে,$\mathrm {\angle BAD =}$ $\mathrm {\angle CAD=x}$
$\mathrm {\Delta ABD}$ এ $\mathrm {D}$ সূস্থলকোণ
১৫.ধরি,
আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য $\mathrm {x}$
প্রস্থ $\mathrm {y}$
প্রশ্নমতে,
$\mathrm {2(x+y)=16}$
বা,$\mathrm {x+y=8}$
বা, $\mathrm {y=8-x.......(i)}$
$\mathrm {xy \ge 7}$
বা, $\mathrm {x(8-x) \ge 7}$
বা, $\mathrm {8x-x^2 \le-7}$
বা, $\mathrm {-x^2+8x-7 \ge 7-7}$
বা,$\mathrm {-x^2+8x-7 \le O}$
বা,$\mathrm {x^2-8x+7 \le O}$
বা,$\mathrm {x^2-7x-x+7 \le O}$
বা,$\mathrm {x(x-7)-1(x-7) \le O}$
বা,$\mathrm {(x-7)(x-1) \le O}$
১৭. ধরি,
স্কুল থেকে বাসায় দূরত্ব $\mathrm{x}$
সতেজ ও সজীবের দৌড়ানোর বেগ $\mathrm{y}
সতেজের স্কুলে যেতে সময়লাগে $\mathrm{t_1}$
সজীবের " " " $\mathrm{t_1}$
প্রশ্নমতে ,
$\mathrm{t_1={2x}{d}+{2y}{d}}$ বা, $\mathrm{t_1={2xy}{dx+dy}}$
বা, $\mathrm{t_1={2xy}{d(x+y)}.......(i)}$
বা,$\mathrm{2}{xt_2}+{2}{yt_2}{=d}$
বা,$\mathrm{2}{xt_2+yt_2}{=d}$
বা,$\mathrm{t_2={x+y}{2d}......(i)}$
(i)$\mathrm{\div}$ (ii),
$\mathrm{t_2}{t_1}={2xy}{d(x+y)}\times{2d}{(x+y)}$
বা,$\mathrm{t_1}{t_2}={4xy}{(x+y)^2}$
১.$\mathrm{a+ar+ar^2+ar^3+...........}$
(ক) (i) $\mathrm{r\ne 1}$ এর জন্য ধারাটির $\mathrm{n}$ পদ পর্যন্ত আংশিক যোগফল নির্ণয় কর ।
(ii) $\mathrm{|r|\angle 1}$ হরে ধারাটির অসীমতা সমষ্টি কত ?
abdus sattar
Simple Blogger
Enter Comment
comment url