equation in one variable
mathematics, equation in one variable related equations and solutions of them and applications of one variable equation
সাধারণ গণিত
Question-1:
$\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{(1-x)^2}{b}=\dfrac{1}{a+b}$
Solution:
$\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{(1-x)^2}{b}=\dfrac{1}{a+b}$
$\Rightarrow \dfrac{b x^2+a\left(1-2 x+x^2\right)}{a b}=\dfrac{1}{a+b} $
$\Rightarrow \dfrac{b x^2+a-2 a x+a x^2}{a b}=\dfrac{1}{a+b} $
$\Rightarrow, \dfrac{(a+b) x^2-2 a x+a}{a b}=\dfrac{1}{a+b} $
$\Rightarrow (a+b)\left\{(a+b) x^2-2 a x+a\right\}=a b $
$\Rightarrow (a+b)^2 x^2-2(a+b) a x+a^2+a b=a b $
$\Rightarrow \{(a+b) x-a\}^2=0 $
$\Rightarrow (a+b) x-a=0 $
$\therefore x=\dfrac{a}{a+b} \quad \text { (Ans.) }$
গাণিতিক সমস্যাঃ
সমাধান করঃ
$\dfrac{x-2a}{b}+\dfrac{x-2b}{a}+\dfrac{x-6a-6b}{a+b}=0$
সমাধানঃ
$\dfrac{x-2a}{b}+\dfrac{x-2b}{a}+\dfrac{x-6a-6b}{a+b}=0$
বা,$\dfrac{x-2a}{b}+\dfrac{x-2b}{a}+\dfrac{x-6(a+b)}{a+b}=0$
বা,$\dfrac{x-2a}{b}+\dfrac{x-2b}{a}+\dfrac{x}{a+b}-\dfrac{6(a+b)}{a+b}=0$
বা,$\dfrac{x-2a}{b}+\dfrac{x-2b}{a}+\dfrac{x}{a+b}-6=0$
বা,$\dfrac{x-2a}{b}-2+\dfrac{x-2b}{a}-2+\dfrac{x}{a+b}-2=0$
বা,$\left(\dfrac{x-2a}{b}-2\right)+\left(\dfrac{x-2b}{a}-2\right)$$+\left(\dfrac{x}{a+b}-2\right)=0$
বা,$\dfrac{x-2a-2b}{b}+\dfrac{x-2b-2a}{a}+\dfrac{x-2a-2b}{a+b}=0$
বা,$(x-2a-2b)\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a+b}\right)$$=0$
$\therefore x-2a-2b=0 $ $\left[\because \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a+b}\ne 0\right]$
$\therefore x=2a+2b$
নির্ণেয় সমাধান, $x=2a+2b$
অনুরূপভাবে সমাধান করঃ
১.$\dfrac{x-2a}{3b}+\dfrac{x-3b}{2a}+\dfrac{x-6a-9b}{2a+3b}=0$
২.$\dfrac{x+a}{b}+\dfrac{x+b}{a}+\dfrac{x+3a+3b}{a+b}=0$
৩.$\dfrac{x-a}{2b}+\dfrac{x-2b}{a}+\dfrac{x-3a-6b}{a+2b}=0$
৪.$\dfrac{x+a}{2b}+\dfrac{x+2b}{a}+\dfrac{x+3a+6b}{a+2b}=0$
৫.$\dfrac{x+2a}{b}+\dfrac{x+2b}{a}+\dfrac{x+6a+6b}{a+b}=0$
৬.$\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{x+2}{5}+\dfrac{x-19}{8}=0$
$\dfrac{x-2a}{b}+\dfrac{x-2b}{a}+\dfrac{x-6a-6b}{a+b}=0$
সমাধানঃ
$\dfrac{x-2a}{b}+\dfrac{x-2b}{a}+\dfrac{x-6a-6b}{a+b}=0$
বা,$\dfrac{x-2a}{b}+\dfrac{x-2b}{a}+\dfrac{x-6(a+b)}{a+b}=0$
বা,$\dfrac{x-2a}{b}+\dfrac{x-2b}{a}+\dfrac{x}{a+b}-\dfrac{6(a+b)}{a+b}=0$
বা,$\dfrac{x-2a}{b}+\dfrac{x-2b}{a}+\dfrac{x}{a+b}-6=0$
বা,$\dfrac{x-2a}{b}-2+\dfrac{x-2b}{a}-2+\dfrac{x}{a+b}-2=0$
বা,$\left(\dfrac{x-2a}{b}-2\right)+\left(\dfrac{x-2b}{a}-2\right)$$+\left(\dfrac{x}{a+b}-2\right)=0$
বা,$\dfrac{x-2a-2b}{b}+\dfrac{x-2b-2a}{a}+\dfrac{x-2a-2b}{a+b}=0$
বা,$(x-2a-2b)\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a+b}\right)$$=0$
$\therefore x-2a-2b=0 $ $\left[\because \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a+b}\ne 0\right]$
$\therefore x=2a+2b$
নির্ণেয় সমাধান, $x=2a+2b$
অনুরূপভাবে সমাধান করঃ
১.$\dfrac{x-2a}{3b}+\dfrac{x-3b}{2a}+\dfrac{x-6a-9b}{2a+3b}=0$
২.$\dfrac{x+a}{b}+\dfrac{x+b}{a}+\dfrac{x+3a+3b}{a+b}=0$
৩.$\dfrac{x-a}{2b}+\dfrac{x-2b}{a}+\dfrac{x-3a-6b}{a+2b}=0$
৪.$\dfrac{x+a}{2b}+\dfrac{x+2b}{a}+\dfrac{x+3a+6b}{a+2b}=0$
৫.$\dfrac{x+2a}{b}+\dfrac{x+2b}{a}+\dfrac{x+6a+6b}{a+b}=0$
৬.$\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{x+2}{5}+\dfrac{x-19}{8}=0$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{9}{x^2}=2\left(\dfrac{x}{4}-\dfrac{3}{x}\right)+\dfrac{1}{2}$
Ans: $-2,6$
সমাধান করঃ
$3\sqrt{2}x^2-5x-\sqrt{2}=0$
সমাধান করঃ
$\dfrac{a}{ax-1}+\dfrac{b}{bx-1}=a+b$
সমাধানঃ
$\dfrac{a}{ax-1}-b+\dfrac{b}{bx-1}-a=0$
বা, $\dfrac{a-abx+b}{ax-1}+\dfrac{b-abx+a}{bx-1}=0$
বা, $(a+b-abx)\left(\dfrac{1}{ax-1}+\dfrac{1}{bx-1}\right)=0$
হয়, $a+b-abx=0$ অথবা, $\dfrac{1}{ax-1}+\dfrac{1}{bx-1}=0$
বা, $x=\dfrac{a+b}{ab}$ বা, $x=\dfrac{2}{a+b}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
$\dfrac{2x-5}{x}+\dfrac{2y-5}{y}+\dfrac{2z-5}{z}= 0$ হলে $\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{z}=$ কত?
গাণিতিক সমস্যাঃ
সমাধান করঃ $\dfrac{x}{x-1}+1=\dfrac{1}{x-1}$
সমাধানঃ
$\dfrac{x}{x-1}+1=\dfrac{1}{x-1}$
বা$1=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x}{x-1}$
বা, $1=\dfrac{1-x}{x-1}$
বা,$1=-\dfrac{x-1}{x-1}$
$\therefore 1=-1$ যা অবাস্তব ।
সুতরাং সমীকরণটির কোনো সমাধান নেই ।
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান সেট, $S=\emptyset$
সমাধান সেটের শক্তি সেট (power set) $P(S)=\{\emptyset\}$
বিকল্প নিয়মঃ
$\dfrac{x}{x-1}+1=\dfrac{1}{x-1}$
বা, $\dfrac{x+x-1}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}$
বা,$\dfrac{2x-1}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}$
বা,$2x-1=1$
বা,$2x=1+1$
বা,$2x=2$
$\therefore x=1$
কিন্তু $x=1$ মানের জন্য সমীকরণটি অসঙ্গায়িত হয়।কারণ $ x=1$ হলে হর শূণ্য হয়ে যায় ।
তাই সমীকরণটির কোনো সমাধান নেই ।
অর্থাৎ সমাধান সেট, $S=\{\}$.
অনুরূপভাবেসমাধান করঃ
১.$\dfrac{2x}{2x-1}-4=\dfrac{1}{2x-1}$
২.$3-\dfrac{2}{3x+2}=\dfrac{3x}{3x+2}$
৩.$5-\dfrac{4x}{2x-3}=\dfrac{6}{3-2x}$
৪.$\dfrac{z}{1-z}+2=\dfrac{1}{1-z}$
গাণিতিক সমস্যাঃ
সমাধান কর:
$\sqrt{x-4}+3=2 $
সমাধান:
$\sqrt{x-4}+3=2 $
বা,$\sqrt{x-4}=2-3$
বা,$\sqrt{x-4}=-1$
বা,$\left(\sqrt{x-4}\right)^2=(-1)^2$
বা,$x-4=1$
বা,$x=1+4$
$∴x=5 $
শুদ্ধি পরীক্ষা:
$x=5$ হলে $\sqrt{5-4}+3=2$
বা,$\sqrt{1}+3=2$
বা,$1+3=2$
বা,$4=2$ ,যা সত্য নয়।
সুতরাং $x=5$ সমীকরণটির সমাধান নয়।
নির্ণেয় সমাধান সেট , $S=\left\{ \right\}$ বা,$\emptyset$
অনুরূপভাবে সমাধান কর:
১.$\sqrt{x-3}+5=3$
২.$\sqrt{x-1}+7=5$
৩.$\sqrt{x-5}+4=2$
৪.$\sqrt{x-7}+6=9$
৫. $\sqrt{x-4}+3=2$.
নিম্নোক্ত সমীকরণগুলোর সমাধান করঃ১. $ln( 1-x) ^{2} =0$
২. $x^{2}=\sqrt[4] {81}$
৩. $x=\sqrt{2x-1}$
৪. $\dfrac{x}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{a}$
৫. $ x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}=0$
৬. $\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}+2=1$
৭. $\dfrac{x}{a+b}+\dfrac{x}{b+c}+\dfrac{x}{a+b+c}=0$
৮.$\dfrac{x-c^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\dfrac{x-a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\dfrac{x-3a^{2}-b^{2}-3c^{2}}{c^{2}+a^{2}}=0$
৯.$y^{2}=0$
১০.$\sqrt{x-1}+5=3$
১১.$\dfrac{x}{x-1}+1=\dfrac{1}{x-1}$
১২.$\dfrac{x-a^{2}}{a^{3}-b^{3}}+\dfrac{x-b^{2}}{b^{3}-a^{3}}=0$
১৩.$x\left( 2+\sqrt{2}\right) +5=6\sqrt{2}$
১৪. $\dfrac{x^3-8}{x^2-4}=-7$
গাণিতিক সমস্যাঃ
সমাধান কর:
$\dfrac{a-x}{b-x}-\dfrac{b}{a}=\dfrac{b-x}{a-x}-\dfrac{a}{b}$
গাণিতিক সমস্যা:
সমাধান কর: $\left(\dfrac{a-x}{x+a}\right)^2+5\left(\dfrac{a-x}{x+a}\right)-6=0$
গাণিতিক সমস্যা:
সমাধান কর: $\left(\dfrac{x-a}{x+a}\right)^2+5\left(\dfrac{x-a}{x+a}\right)-6=0$
গাণিতিক সমস্যাঃ
শফিক $144$ টাকায় কতগুলো খাতা কিনল। সে যদি ঐ টাকায় একটি খাতা কম পেত তবে প্রতিটি খাতার দাম গড়ে $2$ টাকা বেশি পড়তো।সে কতগুলো খাতা কিনেছিল এবং প্রতিটি খাতার দাম কত পড়লো।
উত্তর: খাতার সংখ্যা $9$ টি।
গাণিতিক সমস্যাঃ
$10cm$ দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে $60^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো ।
গাণিতিক সমস্যাঃ
$7cm$ দৈর্ঘ্যের একটি অর্ধজ্যা বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো ।
গাণিতিক সমস্যাঃ
$5cm$ ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের একটি অর্ধ জ্যা কেন্দ্র থেকে ঐ জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্বের দ্বিগুণ অপেক্ষা $2cm$ কম । জ্যাটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তর: $8cm$
গাণিতিক সমস্যাঃ
ঢাকার নিউমার্কেট থেকে গাবতলীর দূরত্ব $12$ কি.মি.। সজল নিউমার্কেট থেকে রিক্সায় ঘণ্টায় $6$ কি.মি. বেগে এবং কাজল একই স্থান থেকে পায়ে হেঁটে ঘণ্টায় $4$ কি.মি. বেগে গাবতলীর দিকে রওনা হলো।সজল গাবতলী পৌঁছে সেখানে $30$ মিনিট বিশ্রাম নিয়ে আবার নিউমার্কেটের দিকে একই বেগে রওনা হলো। তারা নিউমার্কেট থেকে কতদূরে মিলিত হবে?
সমাধানঃ
মনে করি, নিউমার্কেট থেকে $x$ কি.মি. দূরে দুজনে মিলিত হয় ।
সুতরাং গাবতলী থেকে মিলিত স্থানের দূরত্ব $=(12-x) $ কি.মি.
সজলের নিউমার্কেট থেকে গাবতলী যেতে সময়, $t_1=\dfrac{12}{6}$ ঘণ্টা $=2$ ঘণ্টা। [সূত্রঃ $s=vt$]
সজলের গাবতলীতে বিশ্রাম নিতে সময়, $t_2=30$ মিনিট $=0.5$ ঘণ্টা ।
সজলের গাবতলী থেকে মিলিত স্থানে যেতে সময় $t_3=\dfrac{12-x}{6}$ ঘণ্টা ।
সজলের প্রয়োজনীয় মোট সময় $t_s=t_1 +t_2 +t_3$
$=2+0.5+\dfrac{12-x}{6}$ ঘণ্টা ।
$=2.5+\dfrac{12-x}{6}$ ঘণ্টা ।
কাজলের নিউমার্কেট থেকে মিলিত স্থানে যেতে সময়, $t_k=\dfrac{x}{4}$
দুইজনের সময় একই ।
তাই, $t_k=t_s$
বা, $\dfrac{x}{4}=2.5+\dfrac{12-x}{6}$
বা, $\dfrac{x}{4}-\dfrac{12-x}{6}=2.5$
বা, $\dfrac{3x-24+2x}{12}=2.5$
বা, $5x-24=12\times 2.5$
বা, $5x-24=30$
বা, $5x=30+24$
বা,$5x=54$
বা $x=\dfrac{54}{5}$
$\therefore x=10\dfrac{4}{5}$
সুতরাং তারা নিউমার্কেট থেকে $10\dfrac{4}{5}$ কি.মি. দূরে মিলিত হবে ।
গাণিতিক সমস্যাঃ
নাবিলের বয়স যখন শুভর বর্তমান বয়সের সমান ছিল তখন শুভর যে বয়স ছিল নাবিলের বর্তমান বয়স তার দ্বিগুণ। শুভর বয়স যখন নাবিলের বর্তমান বয়সের সমান হবে তখন তাদের দুজনের বয়সের যোগফল $63$ বছর হলে প্রত্যেকের বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
মনে করি, নাবিলের বর্তমান বয়স $=x$ বছর,
শুভর বর্তমান বয়স $=y$ বছর এবং
$z$ বছর পূর্বে নাবিলের বয়স শুভর বর্তমান বয়সের সমান ছিল ।অর্থাৎ, $y=x-z$
বা,$z=x-y\cdots \cdots (i)$
তখন শুভর বয়স ছিল $y-z$ বছর ।
প্রশ্নমতে, $x=2(y-z)$
বা, $x=2(y-x+y)$ [$(i)$ হতে]
বা, $x=2(2y-x)$
বা, $x=4y-2x$
বা,$x+2x=4y$
বা,$4y=3x$
$\therefore y=\dfrac{3x}{4}\cdots \cdots (ii)$
ধরি, $t$ বছর পর শুভর বয়স নাবিলের বর্তমান বয়সের সমান হবে। অর্থাৎ, $x=y+t$
বা, $t=x-y\cdots \cdots (iii)$
প্রশ্নমতে, $x+t+y+t=63$
বা, $x+y+2t=63$
বা, $x+y+2(x-y)=63$ [$(iii)$ হতে]
বা, $3x-y=63$
বা, $3x-\dfrac{3x}{4}=63$
বা, $\dfrac{12x-3x}{4}=63$
বা, $\dfrac{9x}{4}=63$
বা, $\dfrac{x}{4}=7$
$\therefore x=28$
$x$ এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে,
$y=\dfrac{3\times 28}{4}$
$\therefore y=21$
সুতরাং নাবিলের বর্তমান $28$ বছর এবং শুভর বর্তমান বয়স $21$ বছর।
গাণিতিক সমস্যাঃ
সবুজ $3:30$ টার সময় বাসা থেকে ড্রয়িং ক্লাসে গেল। সে যখন স্কুল থেকে বাসায় ফিরছিল তখন ও মিনিটের কাটা খাড়া নিচের দিকে ছিল। কিন্তু $3:30$ টার তুলনায় দুটি কাঁটার মধ্যে দূরত্ব $30°$ কম ছিল ।সবুজ স্কুল থেকে বাসায় কখন ফিরেছিল?
সমাধানঃ
আমরা জানি, ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ,$\theta =\left|\dfrac{60h-11m}{2}\right |^\circ $
$3:30$ টায়,$h=3,m=30$
$\therefore\theta=\left| \dfrac{60\times 3-11\times 30}{2}\right| ^\circ$
$=\left| \dfrac{-150}{2}\right| ^\circ$
$=\left |-75\right|^\circ$
$=75^\circ$
কাঁটা দুটির মধ্যবর্তী কোণ $30^\circ$ কমে,
$\theta _{1}=75^\circ -30^{\circ }=45^{\circ }$
বাসায় ফেরার পর যেহেতু মিনিটের কাঁটা খাঁড়া নিচের দিকে ছিল।তাই, $m=30$
এখন,
$\theta _{1}=\left| \dfrac{60h-11m}{2}\right| ^{\circ}$
বা, $45^{\circ }=\left| \dfrac{60h-11\times 30}{2}\right| ^\circ$
বা,$\pm 45=\dfrac{60h-330}{2}$
$(+)$ চিহ্ন নিয়ে,
$45=\dfrac{60h-330}{2}$
বা, $ 60h-330=90$
বা,$60h=330+90$
$\therefore h=7$
সুতরাং $h:m=7:30$ টায় বাসায় ফিরেছিল।
অথবা, $(-)$ চিহ্ন নিয়ে,
$-45=\dfrac{60h-330}{2}$
বা,$60h-330=-90$
বা,$60h=-90+330$
বা, $h=\dfrac{240}{60}$
$\therefore h=4$
সুতরাং $h:m=4:30$ টায় বাসায় ফিরেছিল।
ঢাকার নিউমার্কেট থেকে গাবতলীর দূরত্ব $12$ কি.মি.। সজল নিউমার্কেট থেকে রিক্সায় ঘণ্টায় $6$ কি.মি. বেগে এবং কাজল একই স্থান থেকে পায়ে হেঁটে ঘণ্টায় $4$ কি.মি. বেগে গাবতলীর দিকে রওনা হলো।সজল গাবতলী পৌঁছে সেখানে $30$ মিনিট বিশ্রাম নিয়ে আবার নিউমার্কেটের দিকে একই বেগে রওনা হলো। তারা নিউমার্কেট থেকে কতদূরে মিলিত হবে?
সমাধানঃ
মনে করি, নিউমার্কেট থেকে $x$ কি.মি. দূরে দুজনে মিলিত হয় ।
সুতরাং গাবতলী থেকে মিলিত স্থানের দূরত্ব $=(12-x) $ কি.মি.
সজলের নিউমার্কেট থেকে গাবতলী যেতে সময়, $t_1=\dfrac{12}{6}$ ঘণ্টা $=2$ ঘণ্টা। [সূত্রঃ $s=vt$]
সজলের গাবতলীতে বিশ্রাম নিতে সময়, $t_2=30$ মিনিট $=0.5$ ঘণ্টা ।
সজলের গাবতলী থেকে মিলিত স্থানে যেতে সময় $t_3=\dfrac{12-x}{6}$ ঘণ্টা ।
সজলের প্রয়োজনীয় মোট সময় $t_s=t_1 +t_2 +t_3$
$=2+0.5+\dfrac{12-x}{6}$ ঘণ্টা ।
$=2.5+\dfrac{12-x}{6}$ ঘণ্টা ।
কাজলের নিউমার্কেট থেকে মিলিত স্থানে যেতে সময়, $t_k=\dfrac{x}{4}$
দুইজনের সময় একই ।
তাই, $t_k=t_s$
বা, $\dfrac{x}{4}=2.5+\dfrac{12-x}{6}$
বা, $\dfrac{x}{4}-\dfrac{12-x}{6}=2.5$
বা, $\dfrac{3x-24+2x}{12}=2.5$
বা, $5x-24=12\times 2.5$
বা, $5x-24=30$
বা, $5x=30+24$
বা,$5x=54$
বা $x=\dfrac{54}{5}$
$\therefore x=10\dfrac{4}{5}$
সুতরাং তারা নিউমার্কেট থেকে $10\dfrac{4}{5}$ কি.মি. দূরে মিলিত হবে ।
গাণিতিক সমস্যাঃ
নাবিলের বয়স যখন শুভর বর্তমান বয়সের সমান ছিল তখন শুভর যে বয়স ছিল নাবিলের বর্তমান বয়স তার দ্বিগুণ। শুভর বয়স যখন নাবিলের বর্তমান বয়সের সমান হবে তখন তাদের দুজনের বয়সের যোগফল $63$ বছর হলে প্রত্যেকের বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
মনে করি, নাবিলের বর্তমান বয়স $=x$ বছর,
শুভর বর্তমান বয়স $=y$ বছর এবং
$z$ বছর পূর্বে নাবিলের বয়স শুভর বর্তমান বয়সের সমান ছিল ।অর্থাৎ, $y=x-z$
বা,$z=x-y\cdots \cdots (i)$
তখন শুভর বয়স ছিল $y-z$ বছর ।
প্রশ্নমতে, $x=2(y-z)$
বা, $x=2(y-x+y)$ [$(i)$ হতে]
বা, $x=2(2y-x)$
বা, $x=4y-2x$
বা,$x+2x=4y$
বা,$4y=3x$
$\therefore y=\dfrac{3x}{4}\cdots \cdots (ii)$
ধরি, $t$ বছর পর শুভর বয়স নাবিলের বর্তমান বয়সের সমান হবে। অর্থাৎ, $x=y+t$
বা, $t=x-y\cdots \cdots (iii)$
প্রশ্নমতে, $x+t+y+t=63$
বা, $x+y+2t=63$
বা, $x+y+2(x-y)=63$ [$(iii)$ হতে]
বা, $3x-y=63$
বা, $3x-\dfrac{3x}{4}=63$
বা, $\dfrac{12x-3x}{4}=63$
বা, $\dfrac{9x}{4}=63$
বা, $\dfrac{x}{4}=7$
$\therefore x=28$
$x$ এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে,
$y=\dfrac{3\times 28}{4}$
$\therefore y=21$
সুতরাং নাবিলের বর্তমান $28$ বছর এবং শুভর বর্তমান বয়স $21$ বছর।
গাণিতিক সমস্যাঃ
সবুজ $3:30$ টার সময় বাসা থেকে ড্রয়িং ক্লাসে গেল। সে যখন স্কুল থেকে বাসায় ফিরছিল তখন ও মিনিটের কাটা খাড়া নিচের দিকে ছিল। কিন্তু $3:30$ টার তুলনায় দুটি কাঁটার মধ্যে দূরত্ব $30°$ কম ছিল ।সবুজ স্কুল থেকে বাসায় কখন ফিরেছিল?
সমাধানঃ
আমরা জানি, ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ,$\theta =\left|\dfrac{60h-11m}{2}\right |^\circ $
$3:30$ টায়,$h=3,m=30$
$\therefore\theta=\left| \dfrac{60\times 3-11\times 30}{2}\right| ^\circ$
$=\left| \dfrac{-150}{2}\right| ^\circ$
$=\left |-75\right|^\circ$
$=75^\circ$
কাঁটা দুটির মধ্যবর্তী কোণ $30^\circ$ কমে,
$\theta _{1}=75^\circ -30^{\circ }=45^{\circ }$
বাসায় ফেরার পর যেহেতু মিনিটের কাঁটা খাঁড়া নিচের দিকে ছিল।তাই, $m=30$
এখন,
$\theta _{1}=\left| \dfrac{60h-11m}{2}\right| ^{\circ}$
বা, $45^{\circ }=\left| \dfrac{60h-11\times 30}{2}\right| ^\circ$
বা,$\pm 45=\dfrac{60h-330}{2}$
$(+)$ চিহ্ন নিয়ে,
$45=\dfrac{60h-330}{2}$
বা, $ 60h-330=90$
বা,$60h=330+90$
$\therefore h=7$
সুতরাং $h:m=7:30$ টায় বাসায় ফিরেছিল।
অথবা, $(-)$ চিহ্ন নিয়ে,
$-45=\dfrac{60h-330}{2}$
বা,$60h-330=-90$
বা,$60h=-90+330$
বা, $h=\dfrac{240}{60}$
$\therefore h=4$
সুতরাং $h:m=4:30$ টায় বাসায় ফিরেছিল।
গাণিতিক সমস্যাঃ
১. একব্যক্তি $4$ টা ও $5$ টার মধ্যে বাড়ি থেকে বের হয়ে $5$ টা ও $6$ টার মধ্যে বাড়ি ফিরে দেখেন যে ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুটি স্থান বিনিময় করেছে। সে কখন বাইরে গিয়েছিল?
২. সমাধান করো: $\dfrac{1}{2 a+b+2 x}=\dfrac{1}{2 a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{2 x}$
৩. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকে তার অঙ্ক দুটির গুণফল বিয়োগ করলে বিয়েগাফল 15 হয়। সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক কত?
গাণিতিক সমস্যাঃ
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $192$ বর্গমিটার ।ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ প্রত্যেকটির পরিমাণ $4$ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল পূর্বের $\dfrac{5}{3}$ গুণ হয়।ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন :
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $4$ সে.মি. এবং অতিভুজ ও অপর বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর $2$ সে.মি.।
(ক)ত্রিভুজটি অঙ্কন কর।
(খ) ত্রিভুজটির পরিসীমা নির্ণয় কর ।
(গ)ত্রিভুজটি দ্বারা তার পরিবৃত্তের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
একটি বালিকা বিদ্যালয়ের শ্রেণিকক্ষে প্রতি বেঞ্চে $5$ জন করে ছাত্রী বসালে একটি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে $4$ জন করে ছাত্রী বসালে $5$ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ ছাত্রীদের প্রত্যেকে পঁচিশ পয়সা বা পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রায় চাঁদা দিলে $18$ টাকা হয়।
(ক) $\dfrac{3}{2x-3}-5=\dfrac{2x}{3-2x}$ এর সমাধান সেট নির্ণয় কর।
(খ) ঐ শ্রেণির ছাত্রী ও বেঞ্চের সংখ্যা নির্ণয় কর।
(গ) কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
একটি জমির ক্ষেত্রফল $600$ বর্গমিটার। জমিটির দৈর্ঘ্য $10$ মিটার কমালে এবং প্রস্থ $10$ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে।আবার জমিটির মাঝখানে জমিটির উভয় দৈর্ঘ্যকে স্পর্শ একটি বৃত্ত আঁকা হলো । বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে একটি জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা এর অর্ধেকের চেয়ে $2$ মিটার কম।
(ক) জমিটির দৈর্ঘ্যকে $x$ এবং প্রস্থকে $y$ ধরে তথ্যগুলোকে সমীকরণে প্রকাশ কর।
(খ) জমিটির পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
(গ) বৃত্তটির জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।বৃত্তটি দ্বারা জমিটির অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্ন:
এক ব্যক্তি $5600$ টাকার কিছু $5\%$ এবং অবশিষ্ট টাকা $4\%$ হারে বিনিয়োগ করে দুই বছরান্তে $512$ টাকা মুনাফা পেলেন।
(ক) $4\%$ হার মুনাফায় $x$ টাকা বিনিয়োগ করলে উদ্দীপকের আলোকে সমীকরণ গঠন কর ।
(খ)সমীকরণটির সমাধান করে x এর মান নির্ণয় কর ।
(গ) উক্ত সময়ে সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত হবে?
(ক)নং এর সমাধান:
$r_1=4\%=0.04$ হারে বিনিয়োগ করে, $p_1=x $টাকা
$∴r_2=5\%=0.05$ হারে বিনিয়োগ করে $p_2=(5600-x)$ টাকা।
উভয়ক্ষেত্রে সময়, $n=2$ বছর ।
সুতরাং $I_1+I_2=512$ টাকা
বা,$p_1 r_1 n+p_2 r_2 n=512$ টাকা
বা,$x×0.04×2+(5600-x)×0.05×2=512$
(খ)নং প্রশ্নের সমাধান:
‘ক’হতে প্রাপ্ত,
$0.08x+560-0.1x=512 $
বা,$-0.02x=512-560$
বা,$-0.02x=-48$
বা,$x=\dfrac{(-48)}{(-0.02)}$
$∴x=2400$
সুতরাং $4\%$ হারে বিনিয়োগ করে $p_1=2400$ টাকা ।
এবং $5\%$ হারে বিনিয়োগ করে $p_2=(5600-2400) $টাকা
$=3200$ টাকা
(গ) এর সমাধান:
প্রথম ক্ষেত্রে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা $=C_1-p_1$
$=p_1 (1+r_1 )^n-p_1 $
$={2400(1+0.04)^2-2400}$ টাকা
$=195.84$ টাকা
অঅনুরূপভাবে,২য় ক্ষেত্রে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা
$={3200(1+0.05)^2-3200}$টাকা
$=328$ টাকা
মোট চক্রবৃদ্ধি মুনাফা $=(195.84+328)$ টাকা
$=523.84$ টাকা
সুতরাং দুই মুনাফার পার্থক্য $=(523.84-512)$টাকা
$=11.84$ টাকা
উত্তর:$11.84$ টাকা
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$P=x-a ,Q=x-b ,R=x-3a-3b$
(ক) $P+2Q=2(a+b)$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
(খ) $\dfrac{P}{b}+\dfrac{Q}{a}+\dfrac{R}{a+b}=0 $ হলে সমীকরণটির সমাধান কর।
(গ) $\dfrac{P}{Q}+\dfrac{Q}{P}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}$ সমীকরণটির সমাধান সেট নির্ণয় কর।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
$p=\dfrac{x+2b^2+c^2}{a+b},\;q=\dfrac{x+2a^2+b^2}{c+a},$$\;r=\dfrac{x+2c^2+a^2}{b+c}$
(ক)অভেদ ও সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য লিখ।
(খ) $x$ এর কোন মানের জন্য $p+q+r=0$ হবে?
(গ) $p+q+r=0$ এর বীজ $6$ এবং $a+b+c=6$ হলে $ab+bc+ca$ এর মান নির্ণয় কর ।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
একটি গাড়ি $60\;kmh^{-1}$ বেগে কিছুদূর পথ এবং অবশিষ্ট পথ $40\;kmh^{-1}$ বেগে গতিশীল হয়ে $5$ঘন্টায় $240km$ পথ অতিক্রম করে।
(ক) গাড়িটির গড়বেগ নির্ণয় কর।
(খ) $60\mathrm{kmh^{-1}}$ বেগে গাড়িটি কত সময় ধরে চলছিল?
(গ) $40\mathrm{kmh^{-1}}$ বেগে গাড়িটি কত দূরত্ব অতিক্রম করেছিল?
১.$3+2x^2+x=0$সমীকরণটিকে $ax^2+bx+c=0$ সমীকরণ সাথে তুলনা করলে $b$ এর মান
(ক) 3 (খ)2 (গ) 1 (ঘ) 0
২. দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ । একক স্থানীয় অঙ্ক $x$ হলে , সংখ্যাটি কত ?
(ক)$21x$ (খ) $12x$ (গ) $3x$ (ঘ) $2x$
৩.$\sqrt{2x-5}+3=2$ এর সঠিক সমাধান সেট কোনটি ?
(ক) $\left\{3\right\}$ (খ)$\left\{\pm 3\right\}$ (গ) $\left\{\right\}$ (ঘ) $\left\{\emptyset \right\}$
৪.$\sqrt{2x-3}+5=2$এর সমাধান কোনটি ?
(ক) $6$ (খ) সমাধান নেই (গ) $2$ (ঘ) $∅$
৫.$\dfrac{z-2}{z-1}=2-\dfrac{1}{z-1}$ এর সমাধান সেট কোনটি ?
(ক) $1$ (খ) $0$ (গ)$\left\{\right\}$ (ঘ) $2$
৬. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুন । একক স্থানীয় অঙ্ক $x$ হলে , সংখ্যাটি কত হবে ?
(ক) $31x$ (খ) $13x$ (গ) $4x$ (ঘ) $3x^2$
৭. $x^3-\dfrac{1}{x}=4$ হলে এর ধ্রুব পদ কত ?
(ক) $-1$ (খ) $3$ (গ) $4$ (ঘ) $5$
৮.$x^2-\dfrac{1}{x^2}=0$ সমীকরণটির চলকের ঘাত কত ?
(ক) $1$ (খ) $2$ (গ) $3$ (ঘ) $4$
৯. একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি $11$ এবং অন্তরফল $3$ । ভগ্নাংশটি কত ?
(ক) $65$ (খ) $74$ (গ) $83$ (ঘ) $47$
নিচের তথ্যের আলোকে $১০-১১$ নং প্রশ্নের উত্তর দাও :-
শিহাব গাড়ি চালিয়ে ঘন্টায় $60$ কি.মি বেগে কিছু পথ এবং ঘন্টায় $30$ কি.মি বেগে বাকি পথ মোট $5$ ঘন্টায় অতিক্রম করলো ।
১০.যদি গাড়িটি ঘন্টায় $60$ কি.মি বেগে মোট সময়ের দুই তৃতীয়াংশ অতিক্রম করে তবে শিহাব কত কি.মি দূরত্ব গিয়েছে ?
(ক) $100$ (খ) $150$ (গ) $180$ (ঘ) $200$
১০.যদি উভয় বেগে পথের দূরত্ব সমান হয় তবে শিহাব মোট সময়ে কত কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে?
(ক) $200$ (খ) $250$ (গ) $270$ (ঘ) $300$
১২. $\sqrt{3x+3}+1=4$ হলে , $x$ এর সঠিক মান কোনটি ?
(ক) $ϕ$ (খ) $13$ (গ) সমাধান নেই (ঘ) $2$
১৩. যদি $x=a$ এবং $c≠0$ , হয় তাহলে নিচের কোনটি সঠিক ?
(ক) $x-c=a+c$ (খ) $x+c=a-c$
(গ) $xc=c^2$ (ঘ) $\dfrac{x}{c}=\dfrac{a}{c}$
১৪. $x^2=2x$ সমীকরণের সমাধান সেট নিচের কোনটি ?
(ক) $\left\{2\right\}$ (খ) $\left\{0,2\right\}$ (গ) $\left\{\right\}$ (ঘ) $\left\{0,-2\right\}$
১৫. $\dfrac{x-a^2}{a^3-b^3}=\dfrac{x-b^2}{b^3-a^3}$ সমীকরণের সমাধন কোনটি?
(ক) $\dfrac{a+b}{2}$ (খ) $\dfrac{a^2-b^2}{2}$ (গ) $\dfrac{a^2+b^2}{2}$ (ঘ) $\dfrac{b^2-a^2}{2}$
১৬. $x(2+√2)+5=6+√2$ এর সমাধান কোনটি?
(ক) $\dfrac{1}{2}$ (খ) $1+√2$ (গ) $1-√2$ (ঘ) $\dfrac{√2}{2}$
১৭.নিচের কোনটি অভেদ ?
(ক) $(x-3)^2=(3+x)^2$ (খ) $(a+b)^2-(a-b)^2=2\left(a^2+b^2\right)$
(গ) $(a+b)^2+(a-b)^2=4ab$ (ঘ) $x(x+1)-x(x-1)=2x$
১৮.নিচের কোনটি অভেদ নয়?
(ক) $a^2+b^2=\dfrac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2}$ (খ) $sin^2θ+cos^2θ=1$
(গ) $\dfrac{1}{x(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x}$ (ঘ) $a^2-b^2=(a+b)^2-2ab$
১৯. অভেদের সমান চিহ্নের উভয়পক্ষ
$i.$ এর মাত্রা সমান হবে।
$ii.$ সাধারণত সকল বাস্তব মানের জন্য সত্য।
$iii.$ একটিমাত্র চলক দ্বারা গঠিত।
কোনটি সঠিক?
(ক) $i ,ii$ (খ) $i ,iii$ (গ) $ii, iii$ (ঘ) $i ,ii, iii$
২০. $\left(x^2-\dfrac{4}{x}\right)^3=0$ সমীকরণটির মূল কয়টি ?
(ক) $3$ (খ) $6$ (গ) $9$ (ঘ) $12$
উত্তরপত্রঃ
১.(গ) ২.(ক) ৩.(ঘ) ৪.(ক) ৫.(গ) ৬.(ক) ৭.(ক) ৮.(ঘ) ৯.(খ) ১০.(ঘ) ১১.(ক) ১২.(ঘ) ১৩.(ঘ) ১৪.(খ) ১৫.(গ) ১৬.(ঘ) ১৭.(ঘ) ১৮.(ঘ) ১৯.(ক) ২০.(গ)
সেট-২
১.$y^2=0$ সমীকরণটির মূল কয়টি?
(ক) $0$ (খ) $1$ (গ) $2$ (ঘ) মূল নেই ।
২.$\sqrt{x-1}+5=3$ সমীকরণটির সমাধান সেট কোনটি?
(ক) $\{5\}$ (খ) $\{3\}$ (গ) $\{1\}$ (ঘ) $\{\}$
৩. $\dfrac{x}{x-1}+1=\dfrac{1}{x-1}$ এর সমাধান সেট এর শক্তি সেট কোনটি?
(ক) $\{\emptyset \}$ (খ) $\emptyset$ (গ) $\{\{1\}\}$ (ঘ) $\{1\}$
(ক) $0$ (খ) $1$ (গ) $2$ (ঘ) মূল নেই ।
২.$\sqrt{x-1}+5=3$ সমীকরণটির সমাধান সেট কোনটি?
(ক) $\{5\}$ (খ) $\{3\}$ (গ) $\{1\}$ (ঘ) $\{\}$
৩. $\dfrac{x}{x-1}+1=\dfrac{1}{x-1}$ এর সমাধান সেট এর শক্তি সেট কোনটি?
(ক) $\{\emptyset \}$ (খ) $\emptyset$ (গ) $\{\{1\}\}$ (ঘ) $\{1\}$
৪. $\dfrac{x-a^2}{a^3-b^3}=\dfrac{x-b^2}{b^3-a^3}$ এর সমাধান কোনটি?
(ক) $\dfrac{a^2-b^2}{2}$ (খ) $\dfrac{b^2-a^2}{2}$
(গ) $\dfrac{a^2+b^2}{2}$ (ঘ) $\dfrac{a+b}{2}$
৫. অভেদের সমান চিহ্নের উভয়পক্ষ
$ii$.সাধারণত চলকের সকল বাস্তব মানের জন্য সত্য।
$iii$.চলকের অসংখ্য মানের জন্য সত্য।
কোনটি সঠিক?
(ক) $i, ii $ (খ) $i, iii $ (গ) $ii,iii$ (ঘ) $i, ii, iii $
৫. অভেদের সমান চিহ্নের উভয়পক্ষ
$ii$.সাধারণত চলকের সকল বাস্তব মানের জন্য সত্য।
$iii$.চলকের অসংখ্য মানের জন্য সত্য।
কোনটি সঠিক?
(ক) $i, ii $ (খ) $i, iii $ (গ) $ii,iii$ (ঘ) $i, ii, iii $
৬.$x(2+\sqrt{2})+5=6+\sqrt{2}$ এর সমাধান কোনটি?
(ক) $\sqrt{2}$ (খ) $\sqrt{2}+1$ (গ) $1-\sqrt{2}$ (ঘ) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
৭.নিচের কোনটি অভেদ?
(ক) $( x-3)^5=(3+x)^5$
(খ) $(a+b)^2+(a-b)^2=4ab$
(গ) $(a+b)^2-(a-b)^2=2(a^2+b^2)$
(ঘ) $x(x+1)-x(x-1)=2x$
৮.নিচের কোনটি অভেদ নয়?
(ক) $a^2+b^2=\dfrac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2}$
(খ) $\sin^2\theta +\cos^2\theta =1$
(গ) $\dfrac {1}{x(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x}$
(ঘ) $a^2-b^2=(a+b)^2-2ab$
৯.$\sqrt{x+1}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$ এর মাত্রা কত?
(ক) $1$ (খ)$\dfrac{1}{2}$ (গ) $\dfrac{-1}{2}$ (ঘ) $2$
১o. $x^3=0$ সমীকরণটির মূল কয়টি?
(ক) $0$ (খ) $1$ (গ) $2$ (ঘ) $3$
১১.দুটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার বর্গের অন্তর $20$ হলে তাদের বর্গের সমষ্টি কত?
(ক)$42$ (খ) $52$ (গ) $62$ (ঘ) $72$
১২. নিচের কোনটি $x$ চলকের দ্বিঘাত সমীকরণ?
(ক) $ax^{2}+bx+c=0;a,b,c\in \mathbb{R}$
(খ) $ax^{2}+c=0;a,c\in \mathbb{R} ,a\neq 0$
(গ) $ax^{2}+bx=0$
(ঘ) $ax^{2}+bx+c=0$
১৩. কোনটি $y$ চলকের দ্বিঘাত সমীকরণ ?
(ক) $\sqrt{y}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}=0$
(খ) $y+\dfrac{1}{y}=2$
(গ) $y=\dfrac{1}{y^{2}}$
(ঘ) $y^{2}-\dfrac{1}{y^{2}}=0$
উত্তরপত্রঃ
১.(গ) ২.(ঘ) ৩.(ক) ৪.(গ) ৫.(ঘ) ৬.(ঘ) ৭.(ঘ) ৮.(ঘ) ৯.(ক) ১০.(ঘ) ১১.(খ) ১২.(খ) ১৩.(খ)
১.(গ) ২.(ঘ) ৩.(ক) ৪.(গ) ৫.(ঘ) ৬.(ঘ) ৭.(ঘ) ৮.(ঘ) ৯.(ক) ১০.(ঘ) ১১.(খ) ১২.(খ) ১৩.(খ)
abdus sattar
Simple Blogger
Enter Comment
comment url