mathematics, real numbers

general mathematics -real numbers (সাধারণ গণিত-১ম অধ্যায়- বাস্তব সংখ্যা )সাধারণ গণিত প্রথম অধ্যায়ের বাস্তব সংখ্যার একটি করে অঙ্ক করে তার ভিত্তিতে

পূর্ণসংখ্যা:

শূণ্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখন্ড সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলে।

পূর্ণসংখ্যাকে জার্মান ভাষায় "$zahlen$" বলা হয়।পূর্ণসংখ্যার সেট নিম্নরূপ:

$\mathbb{Z}=\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$

মূলদ সংখ্যা:

যেসকল সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যা অনুপাতে প্রকাশ করা যায় তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে।

মূলদ সংখ্যার সেট, $Q=\{\dfrac{p}{q}:p,q\in \mathbb{Z},q\ne 0\}$

যেমনঃ $\dfrac{-3}{2}=-1.5=$মূলদ সংখ্যা।কারণ সংখ্যাটি দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত এবং সসীম দশমিক ভগ্নাংশ ।

আবার, $\dfrac{10}{3}=3.333\cdots=3.\dot3=$মূলদ সংখ্যা।কারণ সংখ্যাটি দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত এবং অসীম আবৃত্ত বা পৌনঃপুনিক দশমিক ভগ্নাংশ ।

কিন্তু $\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0.866025\cdots=$ মূলদ সংখ্যা নয়।কারণ সংখ্যাটি দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত নয় এবং অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ ।

সুতরাং সসীম দশমিক বা আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা এবং অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ অমূলদ সংখ্যা ।

মৌলিক সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যার কেবল মাত্র দুটি উৎপাদক রয়েছে তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে

যেমন:$1=1×1$ যা মৌলিক নয় ।কারণ $1$ এর কেবলমাত্র একটি উৎপাদক রয়েছে।

আবার, $2=2\times 1$ যা মৌলিক সংখ্যা ।কারণ $2$ এর কেবল মাত্র দুটি উৎপাদক রয়েছে।

আবার, $-2=2\times 1\times -1$ যা মৌলিক নয় ।কারণ $-2$ এর তিনটি উৎপাদক রয়েছে। এজন্য কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা মৌলিক নয়।

গাণিতিক প্রশ্ন-৯:

প্রমাণ কর যে $\sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা ।

প্রমাণ:

ধরি,$\sqrt{5}$ একটি মূলদ সংখ্যা ।

তাহলে, $\sqrt{5}=\dfrac{p}{q}$ ,যেখানে $p,q$ সহমৌলিক পূর্ণ সংখ্যা এবং $q\ne 0$

বা,$\left(\sqrt{5}\right)^2=\left(\dfrac{p}{q}\right)^2$ [ উভয় পক্ষে বর্গ করে]

বা,$5=\dfrac{p^2}{q^2} $

বা,$5q=\dfrac{p^2}{q}$ [উভয় পক্ষে $q$ দ্বারা গুণ করে]

এখানে $ 5q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $\dfrac{p^2}{q}$ একটি ভগ্নাংশ ।কারণ $p,q$ সহমৌলিক পূর্ণ সংখ্যা এবং $q\ne 0$

তাই $5q$ এবং $\dfrac{p^2}{q}$ সমান হতে পারে না। অর্থাৎ $5q\ne \dfrac{p^2}{q}$.

সুতরাং $\sqrt{5} \ne \dfrac{p}{q}$

$∴\sqrt{5}$ মূলদ সংখ্যা হতে পারে না অর্থাৎ $\sqrt{5}$ অমূলদ সংখ্যা ।

**অনুরূপভাবে প্রমাণ কর যে নিচের সংখ্যাগুলো অমূলদ সংখ্যাঃ

(ক) $\sqrt{10}$

(খ) $3\sqrt{2}$

(গ) $\sin60^\circ$

(ঘ) $\tan30^\circ$

(ঙ) $\sqrt{3}\log_\sqrt{2}{}^2$

(চ)সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজ অমূলদ সংখ্যা যার সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য স্বাভাবিক সংখ্যা ।

মন্তব্য: প্রমাণের এই পদ্ধতিটিকে বিরোধ পদ্ধতি বলে ।

বিরোধ পদ্ধতির মূলকথা হলো একই সাথে কোন ব্যক্তি বা বস্তু দুটি বিপরীত গুণের অধিকারী হতে পারে না ।

অর্থাৎ কোন সংখ্যা একই সাথে মূলদ বা অমূলদ হতে পারে না ।

যৌক্তিক এই পদ্ধতি একটি দুর্বল পদ্ধতি ।

যেমন-$5$ কেও অমূলদ সংখ্যা প্রমাণ করা যায় ।

প্রমাণ:

ধরি,$5$ একটি মূলদ সংখ্যা ।

তাহলে, $5=\dfrac{p}{q}$,যেখানে $p,q$ সহমৌলিক পূর্ণ সংখ্যা এবং $q\ne 0$

বা,$5^2=\left(\dfrac{p}{q}\right)^2$ [ উভয় পক্ষে বর্গ করে]

বা,$25=\dfrac{p^2}{q^2}$

বা,$25q=\dfrac{p^2}{q}$ [উভয় পক্ষে $q$ দ্বারা গুণ করে]

এখানে $25q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $\dfrac{p^2}{q}$ একটি ভগ্নাংশ ।কারণ $p,q$ সহমৌলিক পূর্ণ সংখ্যা এবং $q\ne 0$

তাই $25q$ এবং $\dfrac{p^2}{q}$ সমান হতে পারে না। অর্থাৎ $25q\ne \dfrac{p^2}{q}.$

সুতরাং $5\ne \dfrac{p}{q}$

$∴5$ মূলদ সংখ্যা হতে পারে না অর্থাৎ $5$ অমূলদ সংখ্যা।

যা একটি মিথ্যা প্রমাণ ।

সুতরাং এই পদ্ধতিতে অমূলদ সংখ্যা প্রমাণ না করাই ভালো ।

বিকল্প:

আমরা জানি যেসকল সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় না তাদেরকে অমূলদ সংখ্যা বলে ।

অথবা,

অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশকে অমূলদ সংখ্যা বলে ।

যেহেতু $\sqrt{5}=\dfrac{\sqrt{5}}{1}$ যা দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত নয়।

সুতরাং $\sqrt{5}$ অমূলদ সংখ্যা ।

আবার ,

যেহেতু $\sqrt{5}=2.23606…….. $যা অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ

সুতরাং $\sqrt{5}$ অমূলদ সংখ্যা ।

বিশেষ প্রশ্ন: প্রমাণ কর যে, $\log_68$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রমাণ :

মনে করি, $\log_6⁡8$ একটি মূলদ সংখ্যা।

তাহলে, $\log_6⁡8=\dfrac{p}{q}$ যেখানে $p,q$ সহমৌলিক স্বাভাবিক সংখ্যা এবং $p,q>1$.

বা,$6^\tfrac{p}{q}=8$ [বিপরীত লগারিদম]

বা,$\left(6^\tfrac{p}{q}\right)^q=8^q$

বা,$6^p=8^q$

বা,$2^p\cdot 3^p=8^q$

এখানে,$8$ কে $3$ দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না।কারণ

$p,q$ সহমৌলিক স্বাভাবিক সংখ্যা এবং $p,q>1$.

তাই $2^p\cdot 3^p$ এবং $8^q$ সমান হতে পারে না ।

অর্থাৎ $2^p\cdot 3^p\ne 8^q$

সুতরাং $\log_6⁡8$ মূলদ সংখ্যা হতে পারেনা অর্থাৎ এটি অমূলদ সংখ্যা।

মন্তব্য: এটি একটি দুর্বলপদ্ধতি।

বিকল্প পদ্ধতিঃ

অথবা,

অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশকে অমূলদ সংখ্যা বলে ।

যেহেতু $\log_6⁡8=\dfrac{\log_{10⁡}8}{\log_{10⁡}6} =\dfrac{2 \log_{10⁡}2}{\log_{10⁡}6}$ যা দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত নয়।

সুতরাং$\log_6⁡8$ অমূলদ সংখ্যা ।

আবার ,

যেহেতু $\log_6⁡8=\dfrac{2 \log_{10}⁡2}{\log_{10⁡}6} =1.160558⋯⋯$ যা অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ

সুতরাং $\log_6⁡8$ অমূলদ সংখ্যা ।

অনুরূপভাবে প্রমাণ কর ,

$1.\log_23 $

$2.\log_915 $

$3.\log_37$ অমূলদ সংখ্যা ।

প্রশ্ন-১০:

(ক) $2\sqrt{3}$ এবং $3\sqrt{2}$ এর মাঝে একটি মূলদ এবং একটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

মনে করি, $a=2\sqrt{3}=3.4641\cdots \cdots$

এবং $b=3\sqrt{2}=4.2426\cdots \cdots$

$a$ এবং $b$ এর মাঝে একটি মূলদ সংখ্যা $p$ এবং অমূলদ সংখ্যা $q$ যেখানে,

$p=3.88888\cdots \cdots=3.\dot 8$ এবং

$q=4.121121112\cdots \cdots$

এখানে $a<p<b$ এবং $a<q<b$ এবং $p$ কে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় ।কিন্তু $q$ কে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় না । তাই $a$ ও $b$ এর মাঝে $p$ মূলদ সংখ্যা এবং $q$ অমূলদ সংখ্যা ।

গাণিতিক সমস্যা-১০:

(খ) $0.31$ এবং $0.12$ এর মাঝে দুটি অমূলদ সংখ্যা লিখ ।

সমাধান:

মনে করি, $a=0.12$

এবং $b=0.31$

$a$ এবং $b$ এর মাঝে দুটি অমূলদ সংখ্যা যথাক্রমে $x$ এবং $y$ যেখানে

$x=0.2020020002…….. $এবং

$y=0.2525525552…….. .$

এখানে $a<x<b$ এবং $a<y<b$.

এবং $x$ ও $y$ কে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় না ।

সুতরাং $x$ এবং $y$ নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা ।

গাণিতিক সমস্যা-১০:

(গ) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ এবং $\sqrt{2}$ এর মাঝে দুটি মূলদ এবং দুটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

সমাধান:

মনে করি, $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=0.707……….$

এবং $b=\sqrt{2}=1.141……. $

$a$ এবং $b$ এর মাঝে দুটি মূলদ সংখ্যা যথাক্রমে $x ,y$ এবং দুটি অমূলদ সংখ্যা যথাক্রমে $z,w$ যেখানে

$x=0.858585…… ,$

$y=0.999…….. ,$

$z=0.9191191119….. $এবং

$w=1.010010001…… .$

এখানে $a<x<b$ ,$a<y<b ,a<z<b$ এবং $a<w<b$.

$x$ এবং $y$ কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় তাই এগুলো মূলদ এবং

$z$ এবং $w$ কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় না তাই এগুলো অমূলদ সংখ্যা ।

অনুরূপভাবে দুটি মূলদ ও দুটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর :

(ক) $e$ এবং $π$ এর মাঝে ।

(খ) $\sin30°$ এবং $\cos30°$ এর মাঝে ।

(গ) $\log_23$ এবং $\log_32$ এর মাঝে ।

(ঘ) $0.\dot{3}$ এবং $0.\dot{4}$ এর মাঝে ।

গাণিতিক সমস্যা-১২:

$\dfrac{22}{7}$ কে আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

$\dfrac{22}{7}$

$=3.142857142857\cdots \cdots$

$=3.\dot14285\dot7$

অনুরূপ প্রশ্ন:

নিচের সাধারণ ভগ্নাংশ কে আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর:

১.$\dfrac{5}{7}$

২.$\dfrac{7}{3}$

৩.$\dfrac{3}{7}$

৪.$\dfrac{4}{7}$

৫.$\dfrac{9}{7}$

৬.$\dfrac{11}{7}$

৭.$\dfrac{17}{11}$

৮.$\dfrac{15}{14}$

৯.$\dfrac{23}{21}$

১০.$\dfrac{31}{35}$

১১.$\dfrac{7}{22}$

[Note: $7$ বা $7$ এর গুনিতক হরে থাকলে বেশি সংখ্যক আবৃত্ত অঙ্ক ভগ্নাংশ আসে]

প্রশ্ন-২০:

(ক) $\dfrac{\tan{45^\circ}\cdot e^2}{\log_{\pi}e}$ সংখ্যাটির প্রকৃতি লিখ ।

সমাধানঃ

$\dfrac{\tan{45^\circ}\cdot e^2}{\log_{\pi}e}$

$=\dfrac{1\cdot (2.71828\cdots)^2}{\dfrac{\log_{10}e}{\log_{10}\pi}}$

$=\dfrac{7.389056\cdots}{\dfrac{0.434294\cdots}{0.4971498\cdot}}$

$=\dfrac{7.389056\cdots}{0.873567\cdots}$

$=8.458488\cdots=$ অমূলদ সংখ্যা ।কারণ সংখ্যাটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ ।যাকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় না ।

অনুরূপভাবে নিচের কোনটি মূলদ এবং কোনটি অমূলদ সংখ্যাঃ

১.$\sin60^\circ$

২.$\dfrac{e}{\pi}$

৩.$\log_{10}0.001$

৪.$\log_57$

৫.$\dfrac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[1]{3}}$

২০.(খ) দেখাও যে, $3^{3 log_3⁡2}$ একটি মূলদ সংখ্যা।

সমাধানঃ

$3^{3\log_3⁡2}=\left(3^{\log_3⁡2}\right)^3=2^3=8=\dfrac{8}{1}$ যা দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত । অতএব সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা।

অনুরুপ প্রশ্ন:

প্রমান কর যে, নিচের সংখ্যাগুলো মূলদ সংখ্যা

(ক) $2^{3 \log_2⁡3}$

(খ) $\sqrt{5}^{\log_5⁡4}$

(গ) $\sqrt[3]{7}^{3\log_7⁡2}$

(ঘ)$\sqrt[4]{e}^{\ln \left( \tfrac{1}{16}\right) }$

সৃজনশীল প্রশ্ন-১:

$x=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ এবং $ y=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

(ক) $x$ ও $y$ এর মাঝে একটি মুলদ ও একটি অমুলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

(খ) দেখাও যে,$x-2$ একটি অমুলদ সংখ্যা ।

(গ) প্রমাণ কর যে, $x^4+x^2y^2+y^4=195.$

সৃজনশীল প্রশ্ন-২:

$x=\sqrt{3}$ এবং $y=\sqrt{2}$

(ক) $x$ এবং $y$ এর মাঝে একটি মূলদ ও একটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

(খ) প্রমাণ কর যে , $xy$ এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় কর।

(গ) প্রমাণ কর যে,$\dfrac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x-y}}+\dfrac{\sqrt{x-y}}{\sqrt{x+y}}$ এর মান একটি অমূলদ সংখ্যা।

(ঘ) প্রমাণ কর যে,$\dfrac{y+\sqrt{y^{2}-1}}{y-\sqrt{y^{2}-1}}-\dfrac{y-\sqrt{y^{2}-1}}{y+\sqrt{y^{2}-1}}=4\sqrt{2}$

(ঙ) প্রমাণ কর যে,$\dfrac{y+\sqrt{y^{2}-1}}{y-\sqrt{y^{2}-1}}-\dfrac{y-\sqrt{y^{2}-1}}{y+\sqrt{y^{2}-1}}$ এর মান একটি অমূলদ সংখ্যা।

সৃজনশীল প্রশ্ন-৩:

$x=2\sqrt{3}$ এবং $y=3\sqrt{2}$ $z=\pi$

(ক) $z$ কি ধরণের সংখ্যা?

(খ) $x$ ও $y$ এর মাঝে দুটি মূলদ সংখ্যা এবং দুটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর ।

(গ) দেখাও যে ,$xy$ একটি অমূলদ সংখ্যা ।

সৃজনশীল প্রশ্ন-৪:

$x=0.4\;,y=0.4\dot5\;,z=0.95\dot3\dot8$

এবং $w=\dfrac{31}{35}$

(ক) $z$ কে সাধারণ এবং $w$ কে আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

(খ) $\sqrt{y-x}$ এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় কর।

(গ) $\dfrac{z-y-x}{xy}$ এর সরলফল নির্ণয় কর।

(ঘ) $x$ ও $y$ এর মাঝে দুটি মূলদ এবং দুটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

সৃজনশীল প্রশ্ন-৫:

$\log_a400=4$ এবং $\log_b324=4$

(ক) $a$ এর মান নির্ণয় কর।

(খ) $a$ ও $b$ এর মাঝে দুটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

(গ) প্রমাণ কর যে, $b$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ

১. $b,c$ পূর্ণসংখ্যা এবং $c,b$ এর গুণনীয়ক হলে $\dfrac{b}{c}$ নিচের কোনটি হবে?

(ক)পূর্ণসংখ্যা (খ) অমূলদ সংখ্যা

(গ) ভগ্নাংশ (ঘ) আবৃত্ত দশমিক

২. তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সব সময়ই নিচের কোনটি দ্বারা বিভাজ্য হবে?

(ক) $11$ (খ) $7$ (গ) $5$ (ঘ) $3$

৩.নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

(ক) $1.666….$ (খ) $1.58113….$

(গ) $1.3333….... $ (ঘ) $0.6666......$

৪. $a,b$ পূর্ণসংখ্যা এবং $a>b>0$ হলে নিচের কোনটি স্বাভাবিক সংখ্যা?

(ক) $a-b$ (খ) $b-a$ (গ) $b^2-a^2$ (ঘ) $b-2a$

৫. দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি $25$ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

(ক) $2$ (খ) $3$ (গ) $4$ (ঘ) $13$

৬. ধনাত্মক সংখ্যা কত অপেক্ষা বড়?

(ক) $0.1$ (খ) $0.01$ (গ) $0$ (ঘ) $0.001$

৭. $8.269421…..$ সংখ্যাটির চার দশমিক স্থান

পর্যন্ত মান কত?

(ক) $8.2695$ (খ) $8.2694$ (গ) $8.2693$ (ঘ) $8.2692$

৮. নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর:

$i.$ পূর্ণসংখ্যার সেটে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নেই।

$ii.$ পূর্ণসংখ্যার সেটে বৃহত্তম সংখ্যা নেই

$iii.$ পূর্ণসংখ্যার সেটে যোগ, বিয়োগ এবং গুণ

প্রক্রিয়ার ফল পূর্ণসংখ্যাই হয়

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) $i ,ii $ (খ) $i ,iii$ (গ) $ii , iii$ (ঘ) $i, ii , iii$

৯. নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর:

$i.$ পূর্ণবর্গ নয় এরূপ স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল

নির্ণয় করলে মূলদ সংখ্যা পাওয়া যায়

$ii.$ অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার

অনুপাতে দেখানো যায় না।

$iii.$ স্বাভাবিক সংখ্যার সেটে নিম্ন সীমা রয়েছে।

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) $i ওii$ (খ) $i ওiii$ (গ) $ii ও iii$ (ঘ) $i, ii ও iii$

১০.দশমিক ভগ্নাংশে দশমিক বিন্দুর পর আবৃত্তাংশ ছাড়া অন্য কোনো অঙ্ক না থাকলে তাকে কি বলে?

(ক) বিশুদ্ধ পৌনঃপুনিক (খ) অবিশুদ্ধ পৌনঃপুনিক

(গ) মিশ্র পৌনঃপুনিক (ঘ) পূর্ণসংখ্যা

১১. $2.3+2.\dot{3}=$কত?

(ক) $4.6$ (খ) $4.\dot{6}$ (গ) $4.6\dot{3}$ (ঘ) $4.3\cdot{3}$

১২. কোনটি বিশুদ্ধ পৌনঃপুনিক সংখ্যা প্রকাশ করে ?

(ক) $\dfrac{91}{90}$ (খ) $\dfrac{181}{90}$ (গ) $\dfrac{28}{9}$ (ঘ) $\dfrac{361}{90}$

১৩.নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা প্রকাশ করে?

(ক) $2.2+2.\dot{2}$ (খ) $0.2\dot{3}+π$

(গ) $\log_{10}⁡100+\sin30°$ (ঘ) $\dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{16}}$

১৪. $a, b, c $ এবং $d$ চারটি অশূণ্য ক্রমিক ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে-

$i.$ $\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}$ হলে $\dfrac{b}{a}<\dfrac{d}{c}$

$ii.$ $a>b$ হলে $ac<bc$ $iii. abcd+1$ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা কোনটি সঠিক?

(ক) $i ,ii$ (খ) $i ,iii$ (গ) $ii , iii$ (ঘ) $i, ii , iii$

১৫. $0.6\dot{6}÷0.55\dot{5}=$কত?

(ক) $\dfrac{3}{5}$ (খ) $0.2$ (গ) $1.2$ (ঘ) $1.5$

১৬.$a,b,c$ বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে-

$i.$ $a(b-c)=ab-ac$ [বন্টন বিধি]

$ii.$ $a+(b-c)=(a+b)-c$ [ সংযোগ বিধি]

$iii.$ $ba=ab$ [বিনিময় বিধি]

কোনটি সঠিক?

(ক) $i, ii$ (খ) $i,iii $ (গ) $ii,iii $ (ঘ) $i, ii, iii $

১৭.নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

(ক) $\dfrac{\ln e^2}{\log_{64}2}$ (খ) $\log_656$ (গ) $e$ (ঘ) $\pi$

১৮.$i.$ মূলদ $+$ অমূলদ$ =$অমূলদ

$ii.$মূলদ $\times$ অমূলদ $=$অমূলদ

$iii.$ অমূলদ $\div$অমূলদ $=$অমূলদ

(ক) $i, ii$ (খ) $i,iii $ (গ) $ii,iii $ (ঘ) $i, ii, iii $

১৯.চারটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল সর্বদাই

(ক) পূর্ণবর্গ (খ) মূলদ সংখ্যা (গ)অমূলদ সংখ্যা (ঘ) পরবর্তী সংখ্যার বর্গের সমান ।

২০. $1.0\dot 3$ এর সাধারণ ভগ্নাংশ-

(ক) $\dfrac{31}{30}$ (খ) $\dfrac{31}{33}$ (গ) $\dfrac{51}{45}$ (ঘ) $\dfrac{45}{51}$

২১. $i.$ অনাবৃত দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়।

$ii.$ সকল অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ অমূলদ সংখ্যা।

$iii.$ $4.\dot{2}0\dot{3}$ বিশুদ্ধ পৌনঃপুনিক সংখ্যা।

কোনটি সঠিক?

(ক) $i, ii$ (খ) $i,iii $ (গ) $ii,iii $ (ঘ) $i, ii, iii $

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে ২২-২৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

$9.45$ এবং $2.8\dot{6}\dot{3}$

২২. সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

(ক) $12.31\dot{3}\dot{6}$ (খ) $12.31$ (গ) $12.\dot{3}\dot{6}$ (ঘ) $12.36$

২৩. ২য় সংখ্যাকে ১ম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

(ক) $0.\dot{3}0\dot{3}$ (খ)$0.\dot{3}03\dot{0}$

(গ) $0.\dot{3}\dot{3}$ (ঘ) $0.\dot{3}$

২৪. নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

(ক) $\sqrt[3] {\dfrac{7}{9}}$ (খ) $ \sqrt[4] {\dfrac{2}{27}}$ (গ) $ \sqrt[4] {\dfrac{4}{64}}$ (ঘ) $ \sqrt{\dfrac{9}{27}}$

২৫.অমূলদ সংখ্যার বর্গ -

$i.$ সর্বদাই অমূলদ সংখ্যা

$ii.$ সর্বদাই মূলদ সংখ্যা

$iii.$ মূলদ বা অমূলদ হতে পারে।

কোনটি সঠিক?

(ক) $i$ (খ) $ii $ (গ) $iii $ (ঘ) $i, ii, iii $

২৬. $a,b,c\in\mathbb{R}$ এবং $a<b$ হলে

$i.$ $\; ac<bc$ যখন $c>0$

$ii.$ $\;ac>bc$ যখন $c<0$

$iii.$ $\;a(b+ c)=ab-ac$ যখন $c<0$

কোনটি সঠিক?

(ক) $i, ii$ (খ) $i,iii $ (গ) $ii,iii $ (ঘ) $i, ii, iii $

২৭. $1.0\dot{3}$ এর সাধারণ ভগ্নাংশ নিচের কোনটি?

(ক) $\dfrac{31}{30}$ (খ) $\dfrac{31}{99}$ (গ) $\dfrac{51}{45}$ (ঘ) $\dfrac{45}{51}$

২৮. $3.0\dot{3}$ এর সামান্য ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ-

(ক) $\dfrac{91}{45}$ (খ) $\dfrac{91}{90}$ (গ) $\dfrac{91}{30}$ (ঘ) $\dfrac{91}{15}$

২৯. $7.05×5.23\dot{1}$ এর সাধারণ ভগ্নাংশ কোনটি?

(ক) $\dfrac{55317}{1500}$ (খ) $\dfrac{55319}{1500}$

(গ) $\dfrac{55321}{1500}$ (ঘ) $\dfrac{55323}{1500}$

৩o. $3.00\dot{6}÷2.\dot{4}$ এর সাধারণ ভগ্নাংশ কোনটি?

(ক) $\dfrac{117}{100}$ (খ) $\dfrac{119}{100}$

(গ) $\dfrac{121}{100}$ (ঘ) $\dfrac{123}{100}$

৩১. $0.5\dot{9}+4.\dot{8}$ এর সাধারণ ভগ্নাংশ কোনটি?

(ক) $\dfrac{31}{45}$ (খ) $\dfrac{33}{45}$ (গ) $\dfrac{37}{45}$ (ঘ) $\dfrac{41}{45}$

৩২. $7.\dot{5}\dot{3}-2.02\dot{3}$ এর সাধারণ ভগ্নাংশ নিচের কোনটি?

(ক) $\dfrac{45569}{9900}$ (খ) $\dfrac{56549}{9900}$

(গ) $\dfrac{54569}{9900}$ (ঘ) $\dfrac{45459}{9900}$

৩৩. $\dfrac{22}{7}$ এর আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ –

(ক) $3.\dot{1}4285\dot{6}$ (খ) $3.\dot{1}4285\dot{7}$

(গ) $3.\dot{1}4286\dot{7}$ (ঘ) $3.\dot{1}4275\dot{7}$

উত্তরপত্রঃ

১.(ক) ২.(ঘ) ৩.(খ) 8.(ক) ৫.(খ) ৬.(গ) ৭.(খ) ৮.(ঘ) ৯.(গ) ১০.(ক) ১১.(গ) ১২.(গ) ১৩.(খ) ১৪.(ঘ) ১৫.(গ) ১৬.(ঘ) ১৭.(ক) ১৮.(ক) ১৯.(ক) ২০.(ক) ২১.(গ) ২২.(ক) ২৩. (খ) ২৪.(গ) ২৫.(গ) ২৬.(ক) ২৭.(ক) ২৮.(গ) 2৯. (খ) ৩০. (ঘ) ৩১. (ক) ৩২. গ ৩৩. (খ)