Posts

geometry higher mathematics

-
Image
                                               অনুশীলনী-৩.১ ১. $\Delta ABC$ এর $\angle B=60°$ হলে প্রমাণ কর যে, $AC^2=AB^2+BC^2-AB.BC$  সমাধান : দেওয়া  আছে, $\Delta ABC-$ এ $\angle B=60°$ । প্রমান করতে হবে যে, $AC^2=AB^2+BC^2-AB.BC$ অঙ্কন : $A$ বিন্দু থেখে $BC$ এর উপর $AD$ লম্ব আঁকি । প্রমান : $\Delta ABD$- এ $cos 60°=\dfrac{BD}{AB}$ বা, $dfrac{1}{2}=\dfrac{BD}{AB}$                                           [$\because cos 60°=\dfrac{1}{2}$] বা, $AB=2BD$ এখন, $\Delta ADC-$ এ $\angle ADC$ সমকোণ । $\therefore AC^2=AD^2+CD^2$                                                 [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী] বা, $AC^2=AD^2+(BC-BD)^2$ বা, $AC^2=AD^2+BC^2+BD^2-2BD.BC$ বা, $AC^2=AD^2+BD^2+BC^2-AB.BC$                                   [$\because 2BD=AB$] আবার, $\Delta ABD-$ এ $\angle ADB$ সমকোণ । $\therefore AB^2=AD^2+BD^2$ অতএব, $AC^2=AB^2+BC^2-AB.BC$ (প্রমাণিত) ২. $\Delta ABC$ এর $\angle B=120°$ হলে প্রমাণ কর যে, $AC^2=AB^2+BC^2+AB.BC$ সমাধান : দেওয়া আছে, $\Delta ABC$ এর $\angle B=120°$ । প্রম
1 comment
Read more

agebraic expression higher math

-
 ৮. মনে কর . $P(x)=ax^5x+ bx^4 +cx^3 + cx^2 + bx + a$ যেখানে $a,b,c$ ধ্রুবক এবং $a\ne 0,$ দেখাও যে, $(x-r)$ যদি $P(x)$ এর একটি উৎপাদক হয়, তবে $P(x)$ এর আরেকটি উৎপাদক $(x-r)$ । সমধান : দেওয়া আছে , $P(x)=ax^5 + bx^4+cx^3 + bx + a........(i)$            [যেখানে $a,b,c$ ধ্রুবক এবং $a\ne 0$ ] যেহেতু $(x-r),P(x)$ এর একটি উৎপাদক , সেহেতু $P(r)=0$  এখন, $P(r)=ar^5 + br^4 + cr^3 + cr^2 + br + ab + a$ $\therefore ar^5 + br^4 + cr^3 + cr^2 + br + a=0..........(ii)$ ধরি, $rx-1=0$ বা, $rx=1$ $\therefore x=\dfrac1r$ এখন, $P\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}^5+b\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}^4+c\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}^3+c\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}^2+b\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}+a$ $=\frac a{r^5}+\;\frac b{r^4}+\frac c{r^3}+\frac c{r^2}+\frac br+a$ $=\frac{a+\;br\;+\;cr^2\;+\;cr^3\;+\;br^4+\;ar^5}{r^5}$ $=\frac0{r^5}$ যেহেতু  $(i)$ নং বহুপদীতে $x=\frac1r$ বসালে প্রদত্ত বহুপদীর মান শূন্য হয়  সেহেতু $(rx-1)$ উক্ত বহুপদীর একটি উৎপাদক । $\therefore (r
Post a Comment
Read more

set and function higher math

-
Image
 5. Given that $U=\{x:3\le x\le20,n\in \mathbb{Z}\}$ , $A=\{x:x \;\text{is odd number}\}$  and $B=\{x:x\; \text{is prime number}\}$ নিম্নের সেটগুলো তালিকা পদ্ধতাতে লিপিবদ্ধ কর : $(i) $ $A$ $(ii) $ $B$ $(iii)$ $C=${$x:x\in A$ এবং $x\in B$} এবং  $(iv)$ $D=${$x;x\in A$ অথবা $x\in B$} সমাধান : দেওয়া আছে, $U=\{x:3\le x \le 20, x \in\mathbb{Z}\}$ $\therefore$ $U=\{3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\}$ $A=${$x:x $বিজোর সংখ্যা } $B=${$x:x$মৌলিক সংখ্যা } $(i)$  $A=${$x:x$বিজোর সংখ্যা } $\therefore$ $A=\{3,5,7,9,11,13,15,17,19\}$ $(ii)$ $B=${$x:x$ মৌলের সংখ্যা } $\therefore$ $B=\{3,5,7,11,13,17,19\}$ $(iii)$ দেওয়া আছে, $C=${$x:x \in A$ এবং $x \in B$} $A\cap B=\{3,5,7,9,11,13,15,17,19\}$ $\cap \{3,5,7,11,13,17,19\}$ $=\{3,5,7,11,13,17,19\}$ [ নোট : $C$ হলে $3$ থেকে $20$ পর্যন্ত সকল মৌলিক বিজোর সংখ্যা সেট এবং $C=B$ ।] $(iv)$ $D=${$x:x \in A$ অথবা $x \in B$} $A\cup B=\{3,5,7,9,11,13,15,17,19\}\cup \{3,5,7,11,13,17,19\}$ $=\{3,5,7,9,11,13,15,17,19\}$ ৬. ভেনচিত্রে $A$ এবং $B$ সেটের
Post a Comment
Read more

mathematics, resolution into factors

-
1. Resolve into factor: $\dfrac{1}{8}x^2-2$  Solution:      $\dfrac{1}{8}x^2-2$ $=\dfrac{x^2-16}{8}$ $=\dfrac{x^2-4^2}{8}$ $=\dfrac{(x+4)(x-4)}{8}$ $=\dfrac{1}{8}(x+4)(x-4)$ $(Ans.)$ Factorise similarly :   $(i).\; \dfrac{1}{3}x^2-3$                                              $(ii).\; \dfrac{1}{\sqrt{3}} x^3-9\sqrt{3}$             2.Resolve into factor:  $\dfrac{1}{2}a^3-4$ Solution:     $\dfrac{1}{2}a^3-4$ $=\dfrac{a^3-8}{2}$ $=\dfrac{a^3-2^3}{2}$ $=\dfrac{(a-2)(a^2+a\cdot 2 +2^2)}{2}$ $=\dfrac{(a-2)(a^2+2a +4)}{2}$ $=\dfrac{1}{2} (a-2)(a^2+2a +4)$ $(Ans.)$ similar factorization:   $\dfrac{1}{4}x^3-16$ 3.Factorise the expression: $x^2+\dfrac{1}{x^2}-x+\dfrac{1}{x}-2$ Solution:     $x^2+\dfrac{1}{x^2}-x+\dfrac{1}{x}-2$ $=x^2+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2-x+\dfrac{1}{x}-2$ $=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+2\cdot x\cdot \dfrac{1}{x}-x+\dfrac{1}{x}-2$ $=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+2-x+\dfrac{1}{x}-2$ $=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2-x+\dfrac{1}{x}$ $=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2-\le
Post a Comment
Read more

ratio and percentage , class six ,mathematics

-
                                                              অনুশীলনী ২.১ অনুপাত : দুইটি সমজাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনায় কতগুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশটিকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে। ‘:’ চিহ্ন দ্বারা অনুপাত প্রকাশ করা হয়। অনুপাতের রাশি দুইটি সমজাতীয় বলে এর কোনো একক নেই। অনুপাতের প্রথম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং দ্বিতীয় রাশিকে উত্তর রাশি বলে।  সমতুল অনুপাত : কোনো অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশিকে শূন্য (০) ব্যতীত কোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। এরূপ অনুপাতকে সমতুল অনুপাত বলা হয়। যেমন, ২ : ৫ = (২ $\times $ ২) : (৫ $\times $ ২) = ৪ : ১০ $\therefore $ ২ : ৫ ও ৪ : ১০ সমতুল অনুপাত। সরল অনুপাত : অনুপাতে দুইটি রাশি থাকলে তাকে সরল অনুপাত বলে। যেমন, ৩ : ৫ একটি সরল অনুপাত, এখানে ৩ হলো পূর্ব রাশি ও ৫ হলো উত্তর রাশি। লঘু অনুপাত : সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি, উত্তর রাশি থেকে ছোট হলে, তাকে লঘু অনুপাত বলে। যেমন, ৪ : ৭ একটি লঘু অনুপাত। এই অনুপাতটির পূর্ব রাশি ৪, উত্তর রাশি ৭ অপেক্ষা ছোট হওয়ায় এটি একটি লঘু অনুপাত। গুরু অনুপাত : কোনো সরল অ
Post a Comment
Read more

class six, mathematics, first chapter, Natural Numbers and fractions

-
Image
                                                    অনুশীলনী $১.১$   ১.নিচের সংখ্যাগুলো অঙ্কে লেখ: (ক) বিশ হাজার সত্তর, ত্রিশ হাজার আট, পঞ্চান্ন হাজার চারশ। সমাধান:   বিশ হাজার সত্তর কোটি নিযুত লক্ষ অযুত হাজার শতক দশক একক $২$ $০$ $০$ $৭$ $০$ কথায় প্রকাশিত সংখ্যাটি অঙ্কপাতনের পর দেখা যায় যে, শতক ও এককের ঘরে কোনো অঙ্ক নেই। সুতরাং এ খালি ঘরগুলোতে শূন্য $(০)$ বসিয়ে সংখ্যাটি পাওয়া যায়। উত্তর: বিশ হাজার সত্তর $=২০,০৭০$ । ত্রিশ হাজার আট কোটি নিযুত লক্ষ অযুত হাজার শতক দশক একক $৩$ $০$ $০$ $০$ $৮$ কথায় প্রকাশিত সংখ্যাটি অঙ্কপাতনের পর দেখা যায় যে, শতক ও দশকের ঘরে কোনো অঙ্ক নেই। সুতরাং এ খালি ঘরগুলোতে শূন্য $(০)$ বসিয়ে সংখ্যাটি পাওয়া যায়। উত্তর: ত্রিশ হাজার আট $=৩০,০০৮$ । পঞ্চান্ন হাজার চারশ কোটি নিযুত লক্ষ অযুত হাজার শতক দশক একক $৫$ $৫$ $৪$
Post a Comment
Read more

higher mathematics,infinite series

-
Image
                 উচ্চতর গণিত অসীম গুণোত্তর ধারার সূত্রঃ $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$  যেখানে $|r|<1$                                বা, $-1<r<1$ মন্তব্যঃ $(i)$ সংখ্যারেখার দুই বিচ্ছিন্ন অঞ্চলের শর্ত দ্বারা সেট গঠন করলে "অথবা" $\left(\cup\right)$ ব্যবহার করতে হবে । তবে "এবং" $\left(\cap\right)$ ব্যবহার করলে ফলাফল হবে ফাঁকা সেট অর্থাৎ $\emptyset$ হবে। $(ii)$ সাধারণ অনুপাতে চলক হরে থাকলে "অথবা"  এবং চলক মুক্ত হর হলে "এবং" হবে।                                              গাণিতিক প্রশ্নঃ  নিচের ধারার ক্ষেত্রে $x$ এর উপর শর্ত আরোপ করে অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করঃ ১. $1+\dfrac{3-2x}{x}+\left(\dfrac{3-2x}{x}\right)^2+\cdots\cdots  $ ২.  $\dfrac{3x}{4-x}+\left(\dfrac{3-2x}{x}\right)^2+\cdots\cdots $ ৩. $\sqrt{1-x}+(1-x)+(1-x)\sqrt{1-x}+\cdots\cdots $                                               সৃজনশীল প্রশ্ন                     সৃজনশীল প্রশ্ন-১: $ar+ar^2+ar^3+\cdots\cdots\cdots$ (ক) $(i)$ ধারাটির $n$ পদের যোগফল নির্ণয়ের সূত্রটি লিখ।  $(ii)$ ধার
Post a Comment
Read more